第4节 平面向量的综合应用

§5.4 平面向量的综合应用考情考向分析 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题. 2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.知识拓展1.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2.若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线.( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形.( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形.( √ ) (4)设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( √ ) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二 教材改编2.[P89习题T10]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为________三角形. 答案 直角解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形.3.[P93习题T7]若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 为________三角形.答案 等腰解析 ∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →， 由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →). ∴△ABC 为等腰三角形. 题组三 易错自纠4.在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________. 答案 －23或113或3±132解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0， 解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0， 因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)， 所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0， 解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.5.在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________. 答案 5解析 依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 6.(2017·江苏南通中学月考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________. 答案 120°解析 设a 与b 的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，由题意，得(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝1＋1×2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝120°.题型一 向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ， 则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________.答案 重心解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心. 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心.思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.跟踪训练 (1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形. 答案 等边解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线.因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形. (2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 32解析 取HF 中点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.题型二 向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________. 答案 2x ＋y －3＝0解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________. 答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________. 答案 0解析 设AB 的中点为D ，则有OM →＝OA →＋OB →＝2OD →， ∴|OM →|＝2|OD →|＝R ＝2(R 为圆C 的半径)， ∴|OD →|＝1.由点到直线的距离公式，得1＝|0－0＋1|k 2＋1，解得k ＝0.(2)(2017·江苏灌云中学质检)设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________. 答案 －2解析 由题意得c ＝a 2－b 2＝3， 又12PF QF S 四边形＝122SPF F ＝2×12×F 1F 2·h (h 为P 点纵坐标的绝对值)， 所以当h ＝b ＝1时，12PF QF S 四形边取得最大值， 此时|PF 1→|＝|PF 2→|＝2，且∠F 1PF 2＝120°. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用典例 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________. 答案 3解析 在Rt △ABC 中，由AB →·AC →＝9， 得AB ·AC ·cos A ＝9，由面积为6，得AB ·AC ·sin A ＝12， 由以上两式解得tan A ＝43，所以sin A ＝45，cos A ＝35，所以AB ·AC ＝15，所以AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4. 又P 为线段AB 上的点，且CP →＝x 3·CA →＋y 4·CB →，故x 3＋y 4＝1≥2x 3·y4， 即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号.命题点2 向量在解三角形中的应用典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________. 答案 35解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35.跟踪训练 (1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______.答案 3解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3. (2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且满足EF ＝1，则AE →·AF →的最大值为________.答案 4解析 取EF 的中点M ，则M 点的轨迹是以C 点为圆心，12为半径的圆的四分之一(在矩形内的四分之一)，而AE →·AF →＝(AE →＋AF →)2－(AE →－AF →)24＝4AM →2－FE →24＝AM →2－14≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－14＝4，当且仅当M 是BC 的中点时，(AE →·AF →)max ＝4.1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形. 答案 直角解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形.2.已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2θ的值为________. 答案 2解析 由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2. 3.在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝________.答案 13解析 如图，由已知得点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ， 所以S △BCD S △ABD ＝13. 4.(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________. 答案 2解析 ∵在平面直角坐标系xOy 中，OA →＝(3，－1)， OB →＝(0,2)，∴AB →＝(－3,3)，设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋1)， ∵OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，∴－3x ＋3y ＝0，(x －3，y ＋1)＝(0,2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，y ＋1＝2λ，x ＝y ，解得x ＝y ＝3，λ＝2.5.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为________.答案 8,7解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8.6.若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n ＝________.答案 2解析 因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2.7.在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2，∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8.已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两个相等的实根，则向量a 与b 的夹角是________.答案 2π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 9.已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________.答案 1∶2解析 如图所示，取AC 的中点D ，∴OA →＋OC →＝2OD →，∴OD →＝BO →，∴O 为BD 的中点，∴面积比为高之比.即S △AOC S △ABC ＝DO BD ＝12. 10.如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________.答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →.∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94， 即(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92， 当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立.故最小值为－92. 11.已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程. 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得 (x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－x 2，b ＝y 3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0). ∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0). 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意，得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6.即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.13.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则________.(填序号) ①动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心；②动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；③动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；④动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.答案 ④解析 由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ·|AB →||BC →|cos(180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C＝0， 所以AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.14.已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →.(1)若∠C ＝90°，则λ＋μ＝________；(2)若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为________.答案 (1)12 (2)23解析 (1)若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点，BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故λ＋μ＝12.(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →，BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23－a 3c ，μ＝23－c 3a ，则λ＋μ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23.15.(2017·江苏南京一中质检)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________.答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →， 又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2 ＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2 ＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0， 又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 16.已知在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC ＝90°，边AB ，AC 的长分别为方程x 2－2(1＋3)x ＋43＝0的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的E ，F 两点，且EF ＝1，∠EAF ＝θ，则tan θ的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311 解析 由题可知AB ＝2，AC ＝23，BC ＝AB 2＋AC2＝4.建立如图所示的坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23).设BF →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34， BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋14BC →， 则F (2－2λ，23λ)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32. 所以AE →·AF →＝(2－2λ，23λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32 ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－182＋114∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9. 因为点A 到BC 边的距离d ＝AB ·AC BC＝3， 所以△AEF 的面积S △AEF ＝12EF ·3＝32为定值. 所以S △AEF AE →·AF →＝12|AE →||AF →|sin θ|AE →||AF →|cos θ＝12tan θ， 故tan θ＝2S △AEF AE →·AF →＝3AE →·AF →∈⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311.。

【例2】(1)已知向量 a (cos 3x , sin 3x ),b (cos x ,sin x ), x ［0, ］,
2
2
22
2
则函数 gx | a b | 的值域为_______.
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
p=(1-sinA, 12 ), q=(cos2A,2sinA),且p∥q.
【反思·感悟】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适宜的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体 的坐标，这样就能进行对应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决. (2)基向量法 适宜选用一组基底，沟通向量之间的联系，运用向量共线构造 有关设定未知量的方程来进行求解.
向量在三角函数中的应用 【办法点睛】平面对量与三角函数的综合问题的命题形式与解 题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向 量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求 解. (2)给出用三角函数表达的向量坐标，规定的是向量的模或者 其它向量的体现形式，解题思路是通过向量的运算，运用三角 函数在定义域内的有界性，求得值域等.
1 ( 1) 1 . 32 6
∵0≤x≤
,∴3
≤co1sθ≤1,∴0≤θ≤
2
.
3
∴θ的最大值为 ,此时x=0,
3
∴点P的坐标为(0,± )3.
【反思·感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的核心是把点的 坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算. 2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经惯用到，必须 纯熟掌握.
【易错误区】无视对直角位置的讨论致误 【典例】(2012·烟台模拟)已知平面上三点A、B、C， BC =(2-k,3), AC =(2,4). (1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，求k的值.

平面向量的综合应用考点一 平面向量与平面几何[典例] (优质试题·石家庄模拟)在平行四边形ABCD 中，|AB ―→|＝12，|AD ―→|＝8.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 法一：由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝AD ―→＋23AB ―→，所以NM ―→＝AM ―→－AN ―→＝AB ―→＋34AD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋23AB ―→＝13AB ―→－ 14AD ―→，所以AM ―→·NM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－14AD ―→＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→－34AD ―→＝ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→2－916AD ―→2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM ―→＝(12,6)，NM ―→＝(4，－2)，所以AM ―→·NM ―→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.[答案] C[专题训练]1．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形．2．(优质试题·西安质检)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB ―→＋PB ―→＋PC―→＝0，|AB ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|＝2，则△ABC 的面积等于( ) A. 3B ．2 3C ．3 3D ．4 3解析：选B 由|PB ―→|＝|PC ―→|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD (图略)，则PD ⊥BC ，又AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，所以AB ―→＝－(PB ―→＋PC ―→)＝－2PD ―→，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB ―→|＝2，|PD ―→|＝1可得|BD ―→|＝3，则|BC ―→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.3.如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在弧AB 上，则PM ―→·PB ―→的最小值为________．解析：如图，以O 为坐标原点，OA ―→为x 轴的正半轴，OB ―→为y 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M (1,0)，B (0,2)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以PM ―→·PB ―→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－25sin(θ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，c os φ＝255，所以PM ―→·PB ―→的最小值为4－2 5. 答案：4－2 5考点二 平面向量与解析几何[典例] (优质试题·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．[解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ．则t a n x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[专题训练]1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(6，k －5)，且AB ―→∥BC ―→，∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0，可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.答案：2x ＋y －3＝02．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．解析：由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，因为FP ―→＝(x 0＋1，y 0)，OP ―→＝(x 0，y 0)，所以OP ―→·FP ―→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP ―→·FP ―→取得最大值224＋2＋3＝6.答案：6考点三 平面向量与三角函数[典例] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A ―→＋PC ―→＝2PO ―→＝(－4,0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB ―→＝(a －2，b )，所以P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(a －6，b )．故|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|＝－12a ＋37，所以当a ＝－1时，|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|取得最大值49＝7.[答案] B[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[专题训练]1．(优质试题·南昌模拟)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋π4(k∈Z)的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵a·b＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos 2α，若a·b＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2kπ±π2(k∈Z)，解得α＝kπ±π4(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋π4(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3 B.2π3，π6C.π3，π6 D.π3，π3解析：选C 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，由题意得cos A ≠0，∴t a n A ＝3，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cosA ＝2R sin(A ＋B )＝2R sinC ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，所以c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.[课时跟踪检测]A 级1．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c os π6，sin π6，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c os 5π6，sin 5π6，则|a －b |＝( ) A ．1B.62C. 3D.102解析：选C 因为a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c os π6－c os 5π6，sin π6－sin 5π6＝(3，0)，所以|a －b |＝3，故选C.2．若向量OF 1―→＝(1,1)，OF 2―→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A.10B ．2 5 C. 5 D.15解析：选C 由于F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝ 5.3．(优质试题·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆，其半径为1，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，AB ＝1，则CA ―→·CB ―→＝( ) A.32B ．3 C. 3 D ．23解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，所以点O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径，又AB ＝1，圆的半径为1，所以∠ACB ＝30°，且AC ＝3，则CA ―→·CB―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3.4．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选C 因为m ∥n ，所以sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，所以2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3.可化为1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，11π6. 因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.5．(优质试题·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.6．已知向量a ＝(4,0)，b ＝(2,23)，非零向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，|c |的最大值与最小值分别为m ，n ，则m －n 的值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选D 设c ＝(x ，y )，因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(4－x ，－y )·(2－x,23－y )＝x 2＋y 2－6x －23y ＋8＝0，所以(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以满足条件的向量c 的终点落在以(3，3)为圆心，2为半径的圆上，所以|c |的最大值与最小值分别为m ＝2＋23，n ＝23－2，所以m －n ＝4.7．已知△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x －y ＝________.解析：由向量的加法法则知AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝ 13AB ―→＋23AC ―→，所以x ＝13，y ＝23，所以x －y ＝－13.答案：－138．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k >0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k ＝________.解析：设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1× sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0，从而对e 3＝12e 1＋ke 2两边同时平方得 1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)，所以k ＝32. 答案：329.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.解析：AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，所以AO ―→2＝14(AB ―→＋AC ―→)2＝14(AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2)，即AO ―→2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA ―→|＝132.答案：13210．在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (1,3)，O 为坐标原点，且OM ―→＝αOA―→＋βOB ―→ (α＋β＝1)，N (1,0)，则|MN ―→|的最小值为________．解析：∵OM ―→＝αOA ―→＋βOB ―→ (α＋β＝1)，∴A ，B ，M 三点共线，∵A (－2,0)，B (1,3)，∴直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，∵N (1,0)，设点N 到直线AB 的距离为d ，∴d ＝|1－0＋2|2＝322，∴|MN ―→|的最小值为N 到直线AB 的距离322. 答案：32211．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求t a n x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n ， ∴m ·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴t a n x ＝sin x cos x ＝1.(2)由题意知，|m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， |n |＝sin 2x ＋c os 2x ＝1，m ·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.而m ·n ＝|m |·|n |·cos 〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，∴x ＝5π12. 12．(优质试题·河南中原名校质检)在△ABC 中，AB ―→⊥AC ―→，M 是BC 的中点．(1)若|AB ―→|＝|AC ―→|，求向量AB ―→＋2AC ―→与向量2AB ―→＋AC ―→的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB ―→|＝|AC ―→|＝2，求OA ―→·OB ―→＋OC ―→·OA―→的最小值．解：(1)设向量AB ―→＋2AC ―→与向量2AB ―→＋AC ―→的夹角为θ，则cos θ＝(AB ―→＋2AC ―→)·(2AB ―→＋AC ―→)|AB ―→＋2AC ―→|·|2AB ―→＋AC ―→|，令|AB ―→|＝|AC ―→|＝a ，则cos θ＝2a 2＋2a 25a ·5a ＝45. (2)∵|AB ―→|＝|AC ―→|＝2，∴|AM ―→|＝1，设|OA ―→|＝x (0≤x ≤1)，则|OM ―→|＝1－x .而OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→，∴OA ―→·OB ―→＋OC ―→·OA ―→＝OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝2OA ―→·OM ―→＝2|OA ―→|·|OM ―→|c os π＝2x 2－2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12.∴当x ＝12时，OA ―→·OB ―→＋OC ―→·OA ―→取得最小值，最小值是－12.B1．(优质试题·武汉调研)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)的最大值是( )A ．1＋2B ．1－ 2 C.2－1 D ．1解析：选A 如图，作出OD ―→，使得OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，则(OC―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)＝OC ―→2－OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＋OA ―→·OB ―→＝1－(OA ―→＋OB ―→)·OC ―→＝1－OD ―→·OC ―→，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD ―→·OC ―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A.2．在△ABC 中，BC ＝5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且OG ―→·BC ―→＝5，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能解析：选B 如图，在△ABC 中，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，OG ，则OD ⊥BC ，GD ＝13AD ，结合OG ―→＝OD ―→＋DG ―→，AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，OG ―→·BC ―→＝5，得(OD ―→＋DG ―→)·BC ―→＝DG ―→·BC ―→＝－16(AB ―→＋AC ―→)·BC ―→＝5，即－16(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝5，∴AC ―→2－AB ―→2＝－30.又BC ＝5，则|AB ―→|2＝|AC ―→|2＋65|BC ―→|2>|AC ―→|2＋|BC ―→|2，结合余弦定理有cos C <0，∴π2<C <π，△ABC 是钝角三角形．故选B.3．已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB ―→·AC ―→＝9，求a 的值． 解：(1)∵f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝cos 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝12(cos 2x ＋1)＋1＋32sin 2x －32＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z)，又0<A <π，∴A ＝π3.∵b ，a ，c 成等差数列，∴2a ＝b ＋c .∵AB ―→·AC ―→＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝18.由余弦定理，得cos A ＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1＝12，∴a ＝32(负值舍去)．。

2
∴ a b a 2a b b 2 a a 3 a
∴ ab 3 a
∴ cos a (a b)
2
a ab
a21 2
2
a
3
a ab a 3 a a 3 a 2
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b 与 a 3b 垂直？
解（：1）k a b=k(1,2)+(-3,2=) (K-
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
MⅡ
精细胞
变形
精子
精细胞变形总结：
1.细胞核
精子的头部
2.高尔基体
精子头部的顶体
3.中心体
精子的尾部
4.线粒体
线粒体鞘
5.细胞内其他物质 原生质滴
(球状,最后脱落)
胎
卵原细胞
儿
有丝分裂
卵
时
多个卵原细胞
子 发 生 过
初 情 期
期 完 成
染色体复制
初级卵母细胞
MⅠ
程至
次级卵母细胞 第一极体
生
MⅡ
殖
衰 卵子 第二极体
f (ma nb) (mx1 nx2, 2my1 2ny2 mx1 nx2) mf (a) (mx1, 2my1 mx1) nf (b) (nx2, 2ny2 nx2 )
f (ma nb) mf (a) nf (b)
例4 已知 a ( 3, 1),b (1 , 3 ),且存在实数k和t,
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，