3-1 某弹簧质量系统1k ，m ，具有自然频率1f ，第2个弹簧2k 串联于第一个弹簧，其自然频率降至1/21f ，求以1k 表示的2k 。
解：1112k f m π= (1)121212111k k k kk k k ==++1221121122()k k f f m k k π==+ (2)122(1)2(2)k k k +== ,则 123k k =3-2 如图所示，杆a 与弹簧1k 和2k 相连，弹簧3k 置于杆a 的中央，杆b 与弹簧 3k 和 4k 相连，质量m 置于杆b 的中央。
设杆a 和杆b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。
求质量m 上、下振动的固有频率。
解：1114x k =2214x k = 1233122x x x k +=+ 4412x k = 12341111161644e x k k k k ∴=+++ 1234111111161644e ek x k k k k ==+++所以n 1234114111122()44e k f m m k k k k ππ==+++ (2)n f ωπ=3-3求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解： 1k 和2k 为串联，等效刚度为：212112k k k k k +=。
（因为总变形为求和）12k 和3k 为并联（因为12k 的变形等于3k 的变形），则：2132312132121312123k k k k k k k k k k k k k k k k +++=++=+=123k 和4k 为串联（因为总变形为求和），故：424132312143243142141234123k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k e ++++++=+=故：m k en =ω3-4求图所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
解： m 的位置：A A x k mgx x x +=+=22 a F mgl 1=，amglF =1，11ak mgl x =∴l a x x A =1，1221k a mgl x a l x A ==∴ mgk k a k l k a mg k a l k k a mgl k mg x x x A 2122212122212222 1+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=∴2212212k l k a k k a k e +=∴，m k e n=ωmgx 1x A3-5在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
求固有频率。
解：对m 进行受力分析可得：33x k mg =，即33k mgx =如图可得：()()22221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 212221212110++=+-+='+=()22120323e 12a k b k 11x x x mg mg k k a b k k ⎡⎤+=+=+=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦ 则等效弹簧刚度为：()()2123223123212k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：()()()[]222132212321bk a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ωmg ba a F +=2x x 23-6 质量1m 物体挂在弹簧()/k N m 下端形成静平衡，第二个质量2m 从高度h 降落到物体1m 上，该碰撞为完全弹性碰撞，如图所示，求碰撞后下方质量的运动。
解：由1m 的静平衡位置得位移：x由撞击后12m m +为自由体，分析力系动平衡，得到振动的运动平衡方程：122()m m x m g kx +=-一般解：2cos sin t m gxA tB t kωω=++ 其中12km m ω=+2m 从高度h 处落下，其速度有能量守恒：222212m gh m v =，得到22v gh =。
1m ，2m 碰撞后，由于2m 不反弹（完全弹性碰撞），所以能量守恒并不适用，根据动量不减定律2212()m v m m v =+， 得到两者合体速度速度为2122/()m gh m m +。
初始条件：212(0)0,(0)2/()x x m gh m m ==+&220212(0)0,(0)(sin cos )2/()t m g m gx A A k kx A t B t B m gh m m ωωωωω==+==-=-+==+&2212121222.()m ghm gh m m B k h m m +==+ 2221222122()cos sin ()2 (1cos )sin ()m gh m g m gx t t t k k k m m m gh m gt t k k m m ωωωω-=+-+=-++3-7 如图所示，质量为 m 1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m 2的重物从高度为 h 处自由降落到m 1 上而无弹跳，求系统的运动规律。
解：无阻尼自由振动通解：1n 2n ()cos sin x t c t c tωω=+其中 10c x = 20n/c x ω=&由1m 的静平衡位置得位移：12()m m gkλ+=120m g m gx k kλ=-+=- 无弹跳（完全弹性碰撞：动能和动量守恒） 所以有222212m gh m v =；得到22v gh = 2212()m v m m v =+ 得到200122m ghv x ==所以221212122()sincos ()m g hm g k k x t t tm m k m m m m k=-+++3-8 一个弹簧-质量系统从倾斜角为30°的光滑斜面下滑。
求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。
解：设弹簧接触挡板的时刻为t=0，此后质量块做无阻尼自由振动，以弹簧的平衡位置为原点，其运动方程为：0mx kx +=&&t=0时的初始速度 02sin30x gS gS =⋅=o & 初始位移（即弹簧自由长度与静平衡长度的差值）0sin 302mg mgx k k=-=-o 质量块的运动规律为 00cos sin n n nx x x t t ωωω=+& /n k m ω=求出运动规律后，要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。
解法一：设弹簧运行至最低点时t = τ，则弹簧脱离挡板的时刻应为t = 2τ。
令 ()0x τ=&， 可得 00sin cos 0n n n x x ωωτωτ-+=&14tan m kS k mg τπ-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭弹簧从接触挡板到脱离的时间为2t τ∆=解法二：将此简谐运动写作 00cos sin cos()n n n n x x x t t A t ωωωφω=+=-&式中：0004arctanarctannx kSx x mgφω==& 由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为222222242arctan nt T m kSk mg πφπφπππωπ--∆==⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭3-9一振动系统具有下列参数：质量m = 17.5 kg，弹簧刚度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系数c = 0.70 N s/cm。
求：(a) 阻尼比ζ；(b) 有阻尼固有频率；(c) 对数衰减率；(d) 任意二相临振幅比值。
对数衰减率：时间-位移曲线上两相邻极大值之比再取对数解：0.1cccζ==≈（注意单位之间的统一：,,,c m kζ这里要将k=7000N/m）d19.9rad/sωω===0.628δ=≈nd21e 1.88nnxxπζωω+==≈3-10 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m = 5 kg，等效刚度k = 10 kN/m，其任意两相邻振幅比为1 :0.98，求:(a) 系统的有阻尼固有频率；(b) 对数衰减率；(c) 阻尼系数c；(d) 阻尼比．解：11:0.98nnxexδ+==所以0.0202δ=由δ=所以0.003215ζ=d44.72rad/sω=1.44Ns/mc=。
