第五章随机变量的数字特征
问题、目的、意义:
所谓随机变量的数字特征,是指连系于它的分布函数的某些数,如平均值,方差等.它们反映随机变量的某些方的特征.
在第二章我们举出常见的随机变量分布函数的各种例子,很多分布函数含有两个或多于一个参数(如泊松分布含有一个参数λ,正态分布含有两个参数μ和σ),这些参数往往是由某些数字特征或其它数值所决定的,因此找到这些特征,分布函数(或分布律,概率密度)跟着就确定了.但对一般随机变量,要完全确定它的分布函数就不那么容易了,不过在许多实践问题中,我们并不需要完全知道分布函数,我们只需要知道随机变量某些特征也就够了.例如,在测量某物体的长度时,测量的结果是一个随机变量.在实际工作中,往往用测量长度的平均数来代表这一物体的
长度.又如对一射手的技术评定,除了要了解命中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况,命中点分散还是比较集中？
由此而可见, 随机变量的数字特征的研究有理论上和实际上的重要意义.
第一节 数学期望
一、数学期望的概念
设某射手进行了100次射击,其中命中7环10次，命中8环20次，命中9环40次，命中10环30次，求此人平均命中环数. 解
平均环数为
)3010409208107(100
1
⨯+⨯+⨯+⨯⨯100
3010100409100208100107⨯
+⨯+⨯+⨯=
∑∑==⋅=⋅=10
710
7
k k
k
k p k n n k
9.8= ,
其中 100=n ,
107=n ,208=n ,409=n ,
3010=n .
n
n
p k
k
=,是环数k 出现的频率.
由于频率趋向于概率值,因此我们用概率来代替频率而引出数学期望的概念. 数学期望是平均值的推广.
如果随机变量X 的分布律为
{},1,2,,k k P X x p k n ===L ；
称1
n
k k k x p =∑为X 的数学期望， 记为 1
()n
k k k E X EX x p ===∑ .
“期望”在我们日常生活中常指有根据的希望。
1. 离散型随机变量X 的数学期望：
定义1 设随机变量X 的分布律为： {Λ,2,1,}===k p x X P k
k
,
若级数∑∞
=1
k k
k
p x 绝对收敛
(即∑∞
=1
||k k
k
p x 收敛)，
则称级数∑∞
=1
k k k p x 为X 的数学期望， 记为 ∑∞
===1
)(k k
k
p x EX X E .
2． 离散型随机变量X 的函数的数学期
望：
设()X g Y =，()x g 是连续函数； 定理 设X 是离散型随机变量， 且{Λ,2,1,}===k p x X P k
k
，
若级数()k
k k
p x g ∑∞
=1
绝对收敛，
则有：()==X Eg EY ()k
k k
p x g ∑∞
=1
.
(计算()X g Y =的数学期望,按定
义要先求出()X g Y =的分布律,再求
}{1∑+∞
===i i i y Y P y EY ,但这样麻烦,有了此
定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的分布律.(其实是先合并取相同值的概率,与后合并取相同值的概率之分,两个算法一致))
例1 设随机变量X 的分布律如下:
求,EX 2
EX , )53(2
+X E 解 2.03.023.004.02-=⨯+⨯+⨯-=EX ,
,
8.23.00)3.04.0(43.023.004.0)2(2222=⨯++=⨯+⨯+⨯-=EX 3
.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-=+X E 4.133.05)3.04.0(17=⨯++⨯= .
例2 设随机变量X 的分布律为
1
{}k P X k qp -==， ,0,1p q q p >=-，
1,2,k =L ,
求EX 和2
EX .
解 1
1
1
{}k k k EX k P X k k qp +∞
+∞
-===⋅==⋅∑∑
1
1
k k q k p +∞
-==⋅∑
211
(1)1q p p =⋅=--.
这里,利用了幂级数求和公式
)1(
)(111
'-='=∑∑∞
+=∞
+=-x
x x kx k k
k k 2
)
1(1
x -= x
x x x x k k k -=+++++=∑+∞
=11
120ΛΛ,(1||22211
1
{}k k k EX k P X k k qp +∞
+∞
-===⋅==⋅∑∑
21
1
k k q k p +∞
-==⋅∑
3211(1)(1)p p
q p p ++=⋅=--, 利用了
