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概率论与数理统计教学教案第五章大数定律及中心极限定理教学基本指标教学课题第五章笫一节大数定律课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点切比雪夫不等式和依概率收敛的定义，三个大数定律的讲解教学难点用切比雪夫不等式求解概率上界；理解依概率收敛的定义参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解切比雪夫不等式的意义掌握用切比雪夫不等式求解概率X 一E(X)D 的上界理解依概率收敛的定义掌握切比雪夫大数定律掌握伯努利大数定律掌握辛钦大数定律理解大数定律在实际中的应用教学基本内容—、基本概念：1、切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望E(x)及方差D(x)存在，则对于任意的£>(),有p(|x-E(X)*£)S字■2、随机变量序列极限的定义方式设X],X2‘ 是一个随机变量序列。
如果存在一个常数C ,使得对任意一个£>° ,总有lim P(| X n - c |< 6*) = 1 Y X X pe n。
那么，称随机变量序列2，依概率收敛于C,记作①I即对任意£ > 0, P(| X” _ C 2 £)T 0/ T 00二、定理与性质1、如果X”丄TC , Y n ^^b ，且函数g(x,y)在⑺,b)处连续，那么g(X 〃，ZJ 」^g(a,b)。
2、切比雪夫大数定律设随机变量序列X P X 2, ,X”，相互独立(或两两不相关)，若存在常数c,使得D (Xj=ofWcvoo,7 = 1,2, ,/z,.则对任意£>0,有limP"TOO_ 1 〃 1 n也可以表示为无=—工E (XJ 。
刃7T比吿3、独立同分布大数定律设随机变量序列XpX 2, ,x”,对任意g>o,有、<£/独立同分布，若E (Xj = “vs, D (XJ 二b,g,山1,2,。
第 ×× 次课 2学时本次课教学重点：常用的统计量 本次课教学难点：总体，简单随机样本，统计量的概念。
本次课教学内容：第五章 数理统计的基础知识 第一节 数理统计的基本概念 教学组织： 一、引言在前五章中我们学习了概率论的基本内容，因为随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计规律性，所以在概率论的许多问题中，概率分布通常都是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在此基础上得出来的。
然而，实际情况往往并非如此。
一个随机现象所服从的分布概型可能完全不知道，或者只知道其概型而不知其分布函数中所含的参数。
例如，某工厂生产的灯泡的寿命服从什么分布是不知道的。
再如，某厂生产的一件产品是合格品还是不合格品，我们知道它服从两点分布，但其参数p 却不知道。
那么怎样才能知道一个随机现象的分布或其参数呢？这就是数理统计所要解决的一个首要问题。
为了获得灯泡的寿命分布，我们从所有的灯泡中抽出一部分进行观察与测试以取得相关信息，从而做出推断。
由于观察和测试是随机现象，依据有限个观察与测试对整体所做出的推断不可能绝对准确，这个不确定性我们用概率来表达。
数理统计学的基本问题就是依据观测或试验所取得的有限信息对整体做出推断，每个推断必须伴有一定的概率来表明其可靠程度。
这种伴有一定概率的推断称为统计推断。
二、总体与随机样本 1、总体在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一数量指标(如灯泡的寿命这一数量指标)。
为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察。
我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为总体，总体中的每个对象称为个体。
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。
容量有限的总体称为有限总体，容量无限的总体称为无限总体。
例如，考察某批灯泡的质量，如这一批灯泡共有5000只，每个灯泡的寿命是一个可能的观察值，是一个个体。
所有5000只灯泡的寿命是一个有限总体。
第五章随机变量的数字特征问题、目的、意义:所谓随机变量的数字特征,是指连系于它的分布函数的某些数,如平均值,方差等.它们反映随机变量的某些方的特征.在第二章我们举出常见的随机变量分布函数的各种例子,很多分布函数含有两个或多于一个参数(如泊松分布含有一个参数λ,正态分布含有两个参数μ和σ),这些参数往往是由某些数字特征或其它数值所决定的,因此找到这些特征,分布函数(或分布律,概率密度)跟着就确定了.但对一般随机变量,要完全确定它的分布函数就不那么容易了,不过在许多实践问题中,我们并不需要完全知道分布函数,我们只需要知道随机变量某些特征也就够了.例如,在测量某物体的长度时,测量的结果是一个随机变量.在实际工作中,往往用测量长度的平均数来代表这一物体的长度.又如对一射手的技术评定,除了要了解命中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况,命中点分散还是比较集中？由此而可见, 随机变量的数字特征的研究有理论上和实际上的重要意义.第一节 数学期望一、数学期望的概念设某射手进行了100次射击,其中命中7环10次，命中8环20次，命中9环40次，命中10环30次，求此人平均命中环数. 解平均环数为)3010409208107(1001⨯+⨯+⨯+⨯⨯1003010100409100208100107⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑==⋅=⋅=107107k kkk p k n n k9.8= ,其中 100=n ,107=n ,208=n ,409=n ,3010=n .nnp kk=,是环数k 出现的频率.由于频率趋向于概率值,因此我们用概率来代替频率而引出数学期望的概念. 数学期望是平均值的推广.如果随机变量X 的分布律为{},1,2,,k k P X x p k n ===L ；称1nk k k x p =∑为X 的数学期望， 记为 1()nk k k E X EX x p ===∑ .“期望”在我们日常生活中常指有根据的希望。
1. 离散型随机变量X 的数学期望：定义1 设随机变量X 的分布律为： {Λ,2,1,}===k p x X P kk,若级数∑∞=1k kkp x 绝对收敛(即∑∞=1||k kkp x 收敛)，则称级数∑∞=1k k k p x 为X 的数学期望， 记为 ∑∞===1)(k kkp x EX X E .2． 离散型随机变量X 的函数的数学期望：设()X g Y =，()x g 是连续函数； 定理 设X 是离散型随机变量， 且{Λ,2,1,}===k p x X P kk，若级数()kk kp x g ∑∞=1绝对收敛，则有：()==X Eg EY ()kk kp x g ∑∞=1.(计算()X g Y =的数学期望,按定义要先求出()X g Y =的分布律,再求}{1∑+∞===i i i y Y P y EY ,但这样麻烦,有了此定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的分布律.(其实是先合并取相同值的概率,与后合并取相同值的概率之分,两个算法一致))例1 设随机变量X 的分布律如下:求,EX 2EX , )53(2+X E 解 2.03.023.004.02-=⨯+⨯+⨯-=EX ,,8.23.00)3.04.0(43.023.004.0)2(2222=⨯++=⨯+⨯+⨯-=EX 3.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-=+X E 4.133.05)3.04.0(17=⨯++⨯= .例2 设随机变量X 的分布律为1{}k P X k qp -==， ,0,1p q q p >=-，1,2,k =L ,求EX 和2EX .解 111{}k k k EX k P X k k qp +∞+∞-===⋅==⋅∑∑11k k q k p +∞-==⋅∑211(1)1q p p =⋅=--.这里,利用了幂级数求和公式)1()(111'-='=∑∑∞+=∞+=-xx x kx k kk k 2)1(1x -= xx x x x k k k -=+++++=∑+∞=11120ΛΛ,(1||<x ). 同理222111{}k k k EX k P X k k qp +∞+∞-===⋅==⋅∑∑211k k q k p +∞-==⋅∑3211(1)(1)p pq p p ++=⋅=--, 利用了))1(()()(2111112'-='='=∑∑∑+∞=-+∞=+∞=-x xkx x kx xk k k k kk k 3)1(1x x-+= , (1||<x )3． 连续型随机变量X 的数学期望：定义3 设X 的概率密度为()x f ，若积分()dx x xf ⎰+∞∞-绝对收敛(即()dx x f x ⎰+∞∞-||收敛)，则称积分()dx x xf ⎰+∞∞-为X 的数学期望，记为EX X E =)(. 即()dx x xf EX ⎰+∞∞-=.4.连续型随机变量X的函数)(X g Y =的数学期望:定理 设随机变量X 的概率密度为()x f ，若积分()()dx x f x g ⎰+∞∞-绝对收敛，则随机变量)(X g Y =的数学期望()==X Eg EY ()()dx x f x g ⎰+∞∞-.(计算()X g Y =的数学期望,按定义要先求出()X g Y =概率密度)(y f Y ,再求()dy y f y EY Y⎰+∞∞-=,但这样麻烦,有时又难于求出)(y f Y ,有了此定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的概率密度)例3 已知随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ,求EX 及2EX .解 ()dx x xf EX⎰+∞∞-=()()()()01212xf x dx xf x dx xf x dx xf x dx +∞-∞=+++⎰⎰⎰⎰1201(2)x xdx x x dx =⋅+-⎰⎰122201(2)1x dx x x dx =+-=⎰⎰,()dx x f x EX⎰+∞∞-=22()()()()0122222012x f x dx x f x dx x f x dx x f x dx+∞-∞=+++⎰⎰⎰⎰12221(2)x xdx x x dx =⋅+-⎰⎰12323017(2)6x dx x x dx =+-=⎰⎰例4 随机变量X 服从柯西分布, 其概率密度为2111)(xx f +⋅=π ,+∞<<∞-x . 问X 的数学期望是否存在.解⎰+∞∞-dx x g )( 收敛是指⎰∞-0)(dx x g 和⎰+∞)(dxx g 都收敛.dx xx A20111||+⋅⎰π dx x x A⎰+=211π221121dx x A⎰+=π )(,)1ln(21|)1ln(21202+∞→+∞→+=+=A A x Aππ,积分dx xx 2111||+⋅⎰+∞π不收敛, 于是,积分dx xx 2111||+⋅⎰∞+∞-π不收敛, 发散,所以 X 的数学期望不存在.5.随机向量的函数的数学期望定理 设()Y X ,为随机变量，()y x g ,为连续函数，那么()Y X g Z ,=是一个随机变量.(1) 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为{},,2,1,,,Λ====j i p y Y x X P ijji则有:()()==Y X Eg Z E ,()iji j jip y x g ∑∑∞=∞=11, ,其中要求()iji j jip y x g ∑∑∞=∞=11,绝对收敛.(2) 若()Y X ,为连续型随机变量,其概率密度为()y x f ,,则有: ()()Y X Eg Z E ,=()()dxdy y x f y x g ,,⎰⎰∞∞-∞∞-=,其中要求()()dxdy y x f y x g ,,⎰⎰∞∞-∞∞-绝对收敛.定理 设),,,(21n X X X ⋅⋅⋅为连续型随机变量, 其概率密度为()n x x x f ,,,21⋅⋅⋅,函数()nx x x g ,,,21⋅⋅⋅连续,则随机变量 ),,,(21nX X X g Z ⋅⋅⋅=的数学期望)],,,([21n X X X g E EZ ⋅⋅⋅=nn n R dx dx dx x x x f x x x g n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎰212121),,,(),,,(例5 设随机变量()Y X ,的分布律为求 ,及 解 ij iji p x EX ∑∑=∑∑=ijij i p x}{i ii x X P x ==∑47)4121(2)041(1=+⨯++⨯=,ij ijj p y EY ∑∑=∑∑=jiij j p y}{j jj y Y P y ==∑21)410(1)2141()1(-=+⨯++⨯-=,ij ijj i p y x XY E ∑∑=)(01141)1(1⋅⨯+⋅-⨯=43411221)1(2-=⋅⨯+⋅-⨯+ 。
例6 设随机变量()Y X ,在矩形区域 20,10:≤≤≤≤y x G 内服从均匀分布,求]cos [sin 2Y X E ⋅. 解 ()Y X ,的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ,]cos [sin 2Y X E ⋅dxdy y x f y x ),(cos sin 2⋅⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x 21cos sin 10202⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⋅=20102cos sin 21ydy xdx dx x⎰-=1022cos 12sin 21 )2sin 211(212sin 21-⋅= . 二. 数学期望的性质(1)设C 为常数,则有C C E =)(; (2)设C 为常数,X 为随机变量,则有CEX CX E =)( ; (3) 设Y X ,为任意随机变量, 则有EY EX Y X E +=+)(;证明 只就离散型随机变量的情形给出证明. 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为{},,2,1,,,Λ====j i p y Y x X P ijji则有:()=+Y X E ()ij i j j i p y x ∑∑∞=∞=+11∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=1111i j ijj i ij j i p y p x)()(1111∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=j i ij j i j ij i p y p x }{}{11jj jii iy Y P y x X P x =+==∑∑∞=∞=EY EX += .c bEY aEX c bY aX E ++=++)(, (c b a ,,为常数)性质(3)可以推广到任意有限个随机变量的和的情形:设),,,(21nX X X ⋅⋅⋅随机变量, 则有∑∑===ni ini iEX X E 11)(,∑∑===ni iin i iiEX k X k E 11)( ;(4)设Y X ,为相互独立的随机变量,且||,||,(||)E X E Y E XY 存在，则有EY EX XY E ⋅=)(,证明 只就离散型随机变量的情形给出证明. 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为{},,2,1,,,Λ====j i p y Y x X P ijji且X 与Y 相互独立,即{},,2,1,},{}{,Λ==⋅====j i y Y P x X P y Y x X P jiji则有 ()=XY E()iji j jipy x ∑∑∞=∞=11()},{11jii j jiy Y x X P y x ===∑∑∞=∞=()}{}{11jii j jiy Y P x X P y x ===∑∑∞=∞=}){}({11jj jii iy Y P y x X P x ===∑∑∞=∞=EY x X P x ii i}{1==∑∞=EY EX ⋅= .性质(4)可以推广到任意有限个随机变量的积的情形:设nX X X ,,,21⋅⋅⋅为相互独立的随机变量, 则有)(21nX X X E ⋅⋅⋅ nEX EX EX ⋅⋅⋅⋅=21.利用性质计算数学期望举例例7 一批产品中有M 件正品,N 件次品,从中任意抽取n 件,以X 表示取到次品的件数,求随机变量X 的数学期望.解 }{k X ==恰取到k 件次品，nNM k n Mk N C C C k X P +-==}{， l k ,,1,0⋅⋅⋅=；),min(N n l =；∑∑==+-===lk lk n NM k Nk n M C C C k X P 00}{1，（比较NMNM x x x )1()1()1(++=++两边nx的系数，得到）方法一EX∑∑==+-===lk lk nN M k Nk n M C C C k k X kP 00}{∑=--+---+⋅⋅=lk n N M k N kn MC nN M Ck N C k 11111)(∑=--+-----+=l k n N M k N k n MC C C N M nN 11111)1(1NM nN += . (从M 件正品和1-N 件次品中,从中任意抽取1-n 件,取到次品件数的分布律之和为1)方法二 取 n 个产品可看作不放回地取n 次,每次取一个产品.令⎩⎨⎧=次取到正品第取到次品第i i X i,0,1 ,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,则 nX X X X +⋅⋅⋅++=21,且有NM NX P i+==}1{, n i ,,2,1⋅⋅⋅=,NM NX P X P EX iii+==⋅+=⋅=}0{0}1{1,于是)(21nX X X E EX +⋅⋅⋅++=NM nNN M N EX ni ni i+=+==∑∑==11. 例8 设一袋中有n 个白球和m 个黑球,现在从中无放回接连抽取N 个球,求第i 次取时得黑球的概率(m n N i +≤≤≤1).解 设=i A “第i 次取时得黑球”,显然 mn mA P +=)(1,把n 个白球和m 个黑球看作是各不相同,样本空间考虑前N 次摸球.那么,样本点总数就是从m n +个球中任取N 个球的排列数,即N mn A +,而其中第i 个位置上排黑球的排法是从m 个黑球中任取一个,排在第i 个位置上,再从余下的1-+m n 个球中任取1-N 个, 排在其余1-N 个位置上,这种排法一共有111--+N m n m A C ,于是m n m A A C A P N mn N m n m i +==+--+111)(, (m n N i +≤≤≤1).本题表明,摸得黑球的概率于摸球的先后次序无关.这个结论与我们日常的生活经验是一致的.例如体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关.书上133页 NM NX P i+==}1{就解决了.例9 将n 只球放入M 只盒子中去,每只球落入各个盒子是等可能的,(每盒容纳球的个数不限),求有球的盒子数X 的数学期望.解设 ==}1{i X 第i 只盒子中有球, ==}0{iX 第i 只盒子中无球, M i ,,2,1⋅⋅⋅= .则∑==Mi iX X 1.而 nniMM X P )1(}0{-==,nniiMM X P X P )1(1}0{1}1{--==-==,所以}0{0}1{1=⋅+=⋅=iiiX P X P EXnn MM )1(1--=,故∑∑====Mi iMi iEXX E EX 11)(])1(1[nn MM M --=.例10 书上158页 习题7将100只铅笔随机地分给80个孩子,如果每支铅笔分给哪个孩子是等可能的,问:平均有多少孩子得到铅笔？解 设有X 个孩子得到铅笔,==}1{iX 第i 个孩子得到铅笔, ==}0{iX 第i 个孩子没得到铅笔,80,,2,1⋅⋅⋅=i .则∑==801i iX X .25.18010080100100)8011(80)180(}0{-⋅≈-=-==eX P i,100)8011(1}0{1}1{--==-==iiX P X P ,}0{0}1{1=⋅+=⋅=iiiX P X P EX100)8011(1--=,故∑∑====801801)(i ii iEXX E EX ])8011(1[80100--=57]1[8025.1≈-≈-e .(查数学用表或用数学软件)第二节 方差 一. 方差的概念定义6 设随机变量X 的数学期望为EX ，若2)(EX X E -存在， 则称2)(EX X E -为X 的方差， 记作DX ，或)(X D ，或VaxX ， 即2)()(EX X E X D DX -==， DX 称为标准差或均方差.方差的计算公式:方差DX ,实际上是求随机变量X 的函数2)(EX X Y -=的数学期望,因而(1)若X 是离散型随机变量,分布律为iip x X P ==}{, ⋅⋅⋅=,2,1i 则ii ip EX x EX X E DX 212)()(-=-=∑∞=;(2)若X 是连续型随机变量,概率密度为)(x f ,则dx x f EX x EX X E DX )()()(22⎰+∞∞--=-=; (3)22)(EX EX DX -=,(简便计算公式,常用) 2)(EX X E DX -=])(2[22EX EX X X E +⋅-=22)(2EX EX EX EX +⋅-=22)(EX EX -= .方差计算举例例1 设随机变量X 的分布律为求DX .解 }{iiix X P x EX ==∑821824823832811=⨯+⨯+⨯+⨯=,}{22iiix X P x EX ==∑8638248238328112222=⨯+⨯+⨯+⨯=,22)(EX EX DX -=6463)821(8632=-=.例2 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ,求,EX DX 及}2|{|DX EX X P ≤-.解 易知)(x f 是偶函数, 所以⎰+∞∞-==0)(dx x xf EX , ⎰+∞∞-=dx x f x EX )(22()11211()x f x dx -+∞-∞-=+++⎰⎰⎰⎰1221(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰12323101()()6x x dx x x dx -=++-=⎰⎰, 于是 61)(22=-=EX EX DX ,}2|{|DX EX X P ≤- ⎰-=≤=3131)(}31|{|dx x f X P95)1()1(310031=-++=⎰⎰-dx x dx x .二.方差的性质(1)设C 为常数,则有0)(=C D ; (2)设C 为常数,X 为随机变量,则有DX C CX D 2)(= ;(3)设Y X ,相互独立的随机变量,则有EY EX XY E ⋅=)(,DY DX Y X D +=+)(,DX a c aX D 2)(=+,DY b DX a c bY aX D 22)(+=++, DY DX Y X D +=-)(，22()()[()]D XY E XY E XY =-2222()()EX EY EX EY =⋅- 。
