概率论与数理统计同济大学第5章

时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节 中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立 的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性 的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态 分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率 论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一 系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介 绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是 一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。 解 令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目

第五章 极限定理
‹#›
研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式， 由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很 广泛, 最重要的有两种:
“大数定律”和“中心极限定理”。
第五章 极限定理
‹#›
§1 大数定律
对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出 现频率具有稳定性。
大量地掷硬币 正面出现频率
生产过程 中废品率
棣莫佛—拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时 ，二项分布可用正态分布近似。
总结/summary
第五章 极限定理
‹#›
切比雪夫不等式 理解切比雪夫不等式
大数定律
了解辛钦大数定理。
中心极限定理
掌握运用列维-林德伯格中心定理和棣 莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解独立 随机变量之和的近似概率值
第五章 极限定理
字母使用频率
第五章 极限定理
‹#›
1. 切比雪夫不等式
定理1: 设随机变量X有期望μ和方
差σ2，则对任给的ε> 0, 有
P
X
2
1
2
或
P | X |
2 2
.
第五章 极限定理
‹#›
证明：只对X 是连续型情况加以证明。
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
P | X | f (x) dx
2.5
1
P
X
n 14 0.2
2.5
1 (2.5) 0.0062 ；
第五章 极限定理
‹#›
(2).
P{X n
14}
P
X
n
14
14 14
2 / 100 2 / 100
1
P
X
n 14 0.2

F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93
在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 72 H1 : µ ≠ µ0 = 72
问两台机器的加工精度是否有显著差异（α = 0.05 ）？
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ2
因为
µ1，µ
2，σ
12，σ
2 2
均未知，且不知
σ
12与σ
2 2
是否相等，
故先检验假设 H 0′
:
σ
2 1
=
σ
2 2
,
H
1′
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
。
H1 : µ1 ≠ µ2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量

第5章 数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
5.1.3 次序统计量和样本分布函数
例 3 在总体 N(12，4) 中抽出容量为 5 的样本 X1 ，X2 ，X3 ，X4 ，X5 ，求概率 P{X (5) 15} 和 P{X (1) 10} ．
因此
解 设总体 X 的分布函数为 F(x) ，则随机变量 X (5) 和 X(1) 的分布函数分别为 Fmax (x) [F(x)]5 和 Fmin (x) 1 [1 F (x)]5 ，
1，x …x(n) ．
（5-6）
Fn (x) 的图形就是累积频率曲线，它是跳跃式上升的一条 阶梯形曲线．若所有观测值都不相等，则每一跨度为 1 ；若某
n 个观测值有 m 次相等情形，则在该值处跳跃上升 m ．
n
第5章 数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
5.1.3 次序统计量和样本分布函数
1，2 ，3，L
)
，
它的观测值记为 bk
1 n
n i 1
( xi
x )k
(k
1，2，3，L
)
．
显然，样本一阶中心矩恒等于零．
（5-4） （5-5）
第5章 数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
5.1.2 参数与统计量
例 2 有一批钢管，从中抽取了 10 根进行长度测量，得数据如下（单位：cm）： 19.6，19.5，18.9，19.1，18.7，18.9，19.0，18.8，19.2，19.3．
i 1
所以，样本方差的观测值为
s2
1 10
1
10
i 1
xi2
10x 2
1 0.8 10 1

习题5-17、设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，记(1)1min()i i nX X ≤≤=，()1max()n i i nX X ≤≤=，求(1)(),n X X 各自的分布函数与密度函数。

解：记(1)X 的分布函数和密度函数分别为(1)(1)(),()F x f x ，()n X 的分布函数和密度函数分别为()()(),()n n F x f x ，则(1)12(){min()}1{min()}1{,,...}i i n F x P X x P X x P X x X x X x =≤=->=->>>1[1()]n F x =--，所以1(1)(1)()[()][1()]()n f x F x n F x f x -'==-。

()12(){max()}{,,...}[()]n n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=，所以1()()()[()][()]()n n n f x F x n F x f x -'==。

8、设总体X 服从指数分布()E λ，12,X X 是容量为2的样本，求(1)X ，(2)X 的概率密度。

解：由于总体X 服从指数分布()E λ，故X 的概率密度函数与分布函数分别为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 所以，(1)X 的概率密度为2121(1)2[1(1)],02,0()[1()]()0,00,0x x x n e e x e x f x n F x f x x x λλλλλ-----⎧⎧-->>=-==⎨⎨≤≤⎩⎩， (2)X 的概率密度为211(2)2(1),02(1),0()[()]()0,00,0x x x x n e e x e e x f x n F x f x x x λλλλλλ------⎧⎧->->===⎨⎨≤≤⎩⎩。

解：设两个方案的年总费用都是施工设备的使用天数X的函数： （1）租赁设备年费用为：C1=（300+100)·X （2）购买设备年费用为： C2 =30×104×（A/P，10％，15）＋4000＋100X 令C1= C2，解得X＝145天
PCS Q
由上式可看出，固定成本占总成本比例越大，盈亏平衡业务量越高，盈亏平衡 单位业务量变动成本越低。高的盈亏平衡业务量和低的盈亏平衡业务量变 动成本会导致项目在面临不确定因素的变动发生亏损的可能性增大。因此 控制固定成本对于盈亏平衡点下降有利。
3、方案评选：
例2：某道路施工企业，需要一套大型施工设备，若自 己购买需一次性投资30万元，使用寿命15年，折现率 为10％，年维修费4000元，运行费用100元/日；如果 租赁这种设备，租金为300元/日，运行费用为100元/ 日。问应采取哪种方案？
1、盈亏平衡产量：
Q* C f P Cv
2、若项目设计生产能力为 Q C ，则盈亏平衡生产能力
利用率：
E*Q *10 % 0 Cf 10 % 0
Q C
(PC v)Q C
3、盈亏平衡价格:
P*
Q BQ CCv
Cf Qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P*为保本价格
4、盈亏平衡单位产品变动成本：
Cv*
P
Cf Q
5、经营安全率： q Q Q
式中：B——销售收入； C f ——固定成本；
C v ——单位产品变动成本 P——单位产品价格； Q——产品产量 ； C——总生产成本
线性量-本-利分析图
Break even Point 盈亏平衡点
解析方法
在盈亏平衡点，销售收入B等于总成本C，设对应于 盈亏平衡点的产量为Q*，则有：

概率函数或边缘分布（律）为
P Y bj
pij
p
，
j
j
1, 2,
i
例2． 一口袋中有 5 个球，4 个白的、1 个 红的。无放回抽样接连摸两次，
记
X
1 0
第一次取到红球 ， 第一次取到白球
1 Y 0
第二次取到红球 第二次取到白球
，试求：（1）
X
与Y 的边缘概率函数；（2） P X Y 。
例 4.设 X 与Y 的联合密度函数为
f
x,
y
2 xy
0
x, yG ，
其余
区域 G 由直线 y x 、 x 2 及 x 轴所围。 2
试求 X 与Y 的边缘密度函数。
定理 2.
设 X ,Y
N
1,
2
,12
,
2 2
,
，
则 X
N 1,12 ， Y
N
2
,
2 2
。
四 随机变量的相互独立性
概率函数。
设随机向量 X,Y 的联合分布为
P X ai ,Y bj pij ， i, j 1, 2, ，
X 的值域为 X a1, a2, ，则 X 的边缘
概率函数为 P X ai pij pi ，
j
i 1, 2, ；
Y 的值域为 Y b1,b2, ，定义Y 的边缘
利用联合概率函数，可求任意随机事件的概率：
P X ,Y D P X ai ,Y bj ai ,bj D
pij
i, j, ai ,bj D
（二） 边缘概率函数
对于二维随机向量 X,Y ，分量 X 或Y
本身是一个（一维）随机变量，它的概

此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要
了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 我们 将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机
变量，又称多维随机变量。
一维随机变量的定义
随机变量 设随机试验的样本空间为Ω ，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数 X ( ) 与
解
lim A B arctan x C arctan y A B C 1 x 2 2 y
lim A B arctan x C arctan y A B C arctan y 0 x 2
之对应，称 X X ( ) 的随机变量。 为样本空间Ω 上
设X是一个随机变量，称定义域为 , ，函 数值在区间 0,1 上的实值函数
F ( x) P X x
( x )
为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的所有可能取值是 x1,x2,…,xk,…，而X 取值 xk 的概率为 pk
SG P{( X , Y } G } SD
例4.设(X,Y)服从如图区 域D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ；
解:
SD 1
1 ( x, y ) D (1) f ( x, y ) others 0
1 3 1 SG 1 1 2 2 4
(x, y)
x
联合分布函数的性质 ① 0 F ( x, y ) 1
x y
y
(,)
lim F x, y
x y

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8
定理1 (切贝谢夫定理)设1,2,...,是相互独立的随机 变量序列，各有数学期望E1,E2,...及方差D1,D2,... 并且对于所有i=1,2,...Di M,M与i无关，则任给0
limP n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
1
此 定 理 表 明 n 个 独 立 随 机 变 量 的 平 均 值 n 1i n 1 i 依 概 率 收 敛 于 其 数 学 期 望 n 1i n1Ei
E
E (x E 2 )2 (x )d x E (x E 2 )2 (x )d x
(xE)2 2
(x)dx
D 2
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3
例 1设 是 掷 一 颗 骰 子 所 出 现 的 点 数 ， 若 给 定 ＝ 1， 2， 实 际 计 算 P(|-E|),并 验 证 切 贝 谢 夫 不 等 式 成 立 。
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23
例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹 中命中5发的概率。
解 ： 5 0 0 发 炮 弹 中 命 中 飞 机 的 数 目 服 从 二 项 分 布
n=500 p=0.01
np 5
npq 2.225
(1)直接计算
P ( 5 ) C 5 5 0 00 .0 1 5 0 .0 9 4 9 5＝0.17635
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 切贝谢夫不等式
研究随机变量的离差与方差的关系。
切贝谢夫不等式： 设 随 机 变 量 有 期 望 值 E 与 方 差 D 。 对 任 给 >0,有 P(|E|)D 2 P(|E|)1D 2
证 ： 若 是 离 散 型 随 机 变 量 ,

第五章 随机变量序列的极限 学号 专业 姓名 作业号
14 5.1 设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量,试在下列三种情形下分别计算()E X 与()D X .(1)(),i X P λ
1,2,...,i n =;(2)(,),1,2,...,i X R a b i n = ;(3)(),i X E λ 1,2,...,i n =.
5.2 设12,,...X X 是一个独立同分布的随机变量序列.在下列两种情形下,当n →∞时,试问X 依概率收敛于什么值？(1)(),1,2,...i X P i λ= ;(2)(0,),1,2,...i X R i θ= ,其中0θ>.
5.5 已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布.现在从该厂的产品中随机地抽取64只.试求这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率.假定这些晶体管的寿命是相互独立的.
5.6 为了测定一台机床的重量,把它分解成若干部件来称量.假定每个部件的称量误差(单位：kg )服从区间(-2,2)上的均匀分布.试问,最多可以把这台机床分解成多少个部件,才能以不低于99％的概率保证总重量误差的绝对值不超过10kg .
5.7 已知男孩的出生率为51.5％.试求刚出生的10000个婴儿中男孩多于女孩的概率 .
5.9 某厂有200台车床,每台车床的开工率仅为0.1.设每台车床是否开工是相互独立的,假定每台车床开工时需要50kw 电力.试问,供电局至少应该提供该厂多少电力,才能以不低于 99.9％的概率保证该厂不致因供电不足而影响生产？。

概率论与数理统计第五章知识点第五章的概率论与数理统计的知识点主要涉及到概率函数、统计推断、分布函数和多元正态分布等内容，这其中包括了多项式概率分布、超几何分布、二项分布、线性回归、假设检验、多重切线回归、卡方检验、小抽样检验、检验均值和协方差等内容。

首先，多项式概率分布是一种特殊的概率分布，它建立了在有限次试验中某个事件出现次数的概率，它由定义性的概率空间和一组完备的事件集合组成，并可以使用不同的统计技术来计算它们。

其次，超几何分布是一种分布，用于计算取样观测中某种特征发生次数的概率，它与多项式分布有着很大的不同，它建立了一个独立的取样模型，它是一种独立取样模型，它利用概率论中的概率空间来分析一个独立取样实验中观测到一个特征发生次数的概率。

再次，二项分布也是一种概率分布，它用来计算一系列试验中出现某种特征的次数的概率。

它是一种特殊的多项式分布，可以使用概率论的工具来应用二项式分布，以确定两个不同事件之间的概率。

此外，线性回归也是第五章概率论与数理统计中一个重要的概念，它是一种统计方法，用来预测一个变量的变化可能会导致另一个变量的变化。

线性回归的基本原理是拟合两个变量的关系，使回归线能够最佳地拟合所有数据，以找到其中的趋势。

另外，假设检验是一种重要的统计技术，在假设检验中，需要使用概率空间，以便计算假设检验中备择假设的概率，并判断假设是否成立。

另外，多重切线回归也是一种重要的统计方法，它是以多元关系作为因变量和因变量之间的关系来拟合数据，以确定多元回归线的最佳拟合方式，让其效果最好。

此外，卡方检验、小抽样检验和检验均值和协方差等也是第五章概率论与数理统计的重要内容。

其中，卡方检验是一种特殊的假设检验，用来判断一组数据的差异是否大于预期，以确定数据的分布情况。

而小抽样检验是一种统计方法，用于给出总体参数的精确估计，以帮助确定相关的总体统计量，用来估计总体参数。

最后，检验均值和协方差也是一种重要的统计方法，它可以帮助分析两个变量之间的关系，以确定两个变量之间的相关程度。

P{ 10＜X≤n }≥0.9
由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有 P{ 10＜X≤n }
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16
于是
故 解出此不等式得 n≥146.8 或 n≤－68.3 所以至少取 n = 147 能够保证要求。
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17
例4. 甲、乙两家电影院竞争 1000 名 观众, 假定每个观众独立地随机选择一个 电影院, 问: 每个电影院至少应该设多少 个座位, 才能保证观众因座位不够而离去 的概率小于 0.01 ?
E(Xi) = 4, D(Xi) = 2.25;
所求概率为
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8
由独立同分布中心极限定理, 有
整理ppt
9
例2. (参见《复习指南》P.86) 路边有 一个售报亭, 每个过路人在报亭买报的概 率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过 路人数在 280 到 300 之间的概率。
解. 设 X 是正好售出 100 份报纸时的 过路人数, Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售 出第 i 份报纸时的过路人数, 则
第三节 中心极限定理
中心极限定理是一系列描述相互独立 的随机变量之和的极限分布 (依分布收敛) 是正态分布的定理。
设随机变量序列 X1, X2, ···,
Xn, ······相互独立, 且数学期望和方差都
存在。取其前 n 项求和 X1+ X2+ ···+ Xn ,
有
整理ppt
1
将随机变量 作标准化变换:
整理ppt
2
则有
E(Zn) = 0, D(Zn) = 1, n = 1, 记 Zn的分布函数为2, F··n·(·x·)·= P{ Zn≤x } 如果
称随机变量序列{ Xn }服从中心极限定理。

B A
S
17
7.事件的运算律: 交换律: 结合律:
分配律: 对偶律:
证明 对偶律.
18
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
19
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
21
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
11
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收这批
乐器,测试情况如下:
经测试认为音色纯 认为音色不纯
乐器音色纯
0.99
0.01
乐器音色不纯 0.05
0.95
若100件乐器中恰有4件音色不纯,试问:
这批乐器被接收的概率是多少?
49
第一章 习题课
一、主要内容: 样本空间 随机事件 概率定义及性质 古典概型 条件概率 全概率公式 Bayes公式 事件的独立性

第五章 大数定律及中心极限定理协方差与相关系数：E [(X −EX )(Y −EY )]称为 X 、Y 的协方差。

记为Cov(X ，Y)=E [(X −EX )(Y −EY )]若D (X )>0,D (Y )>0,称为X 、Y 的相关系数，记为 ρXY =Cov(X Y)√D ()√D ()计算协方差的简单公式：Cov(X ，Y)= E (XY )−E (X )E (Y )，推导如下：Cov(X ，Y)=E [(X −EX )(Y −EY )]= E [XY −XE (Y )−YE (X )+E (X )E (Y )] =E (XY )−E (X )E (Y )−E (Y )E (X )+E (X )E (Y ) = E (XY )−E (X )E (Y )例1．已知X ，Y 的联合分布为求Cov(X ，Y)，ρXY 解：E (X )=0.5,E (Y )=−0.5D (X )=0.75,D (Y )=0.75E (XY )=0}⇒Cov(X ，Y)=0.25,ρXY =13例2．设随机变量(X ，Y)具有概率密度f(x ，y)={18(x +y )，0≤x ≤2，0≤y ≤20， 其他求Cov(X ，Y)，ρXY .E (X )=∫dx ∫x ∙1220(x +y )dy =7E (Y )=∫dx ∫y ∙1220(x +y )dy =7Cov(X ，Y)= E (XY )−E (X )E (Y )=∫dx ∫xy ∙1220(x +y )dy −7∙7=−1D (X )=E (X 2)−[E (X )]2=∫dx ∫x 2∙18220(x +y )dy −(76)2=1136 D (Y )=1136ρXY =Cov(X ，Y)()()=−1361136=−111二维正态分布的数字特征：设(X,Y )~N (μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)利用二维正态分布及协方差相关系数的计算公式可得X~N (μ1,σ12) Y~N (μ2,σ22)EX =μ1,EY =μ2,DX =σ12,DY =σ22,Cov(X ，Y)=σ1σ2ρ，ρXY =ρ协方差和相关系数的性质：（1）Cov(X ，Y)=Cov(Y ，X) （2）Cov(aX ，bY)=abCov(X ，Y) （3）Cov(X +Y ，Z)=Cov(X ，Z)+Cov(Y ，Z)（4）Cov(X ，X)=D (X ) （5）|ρXY |≤1 （6）D (X ±Y )= D (X )+D (Y )±2 Cov(X ，Y)（7）|ρXY |=1⟺存在常数a ，b (a0)，使P (Y =aX +b )=1即X 和Y 1线性相关显然，若X 与Y 独立，Cov(X ，Y)=0，ρXY =0。