概率论与数理统计同济大学第5章

习题5-17、设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，记(1)1min()i i nX X ≤≤=，()1max()n i i nX X ≤≤=，求(1)(),n X X 各自的分布函数与密度函数。

解：记(1)X 的分布函数和密度函数分别为(1)(1)(),()F x f x ，()n X 的分布函数和密度函数分别为()()(),()n n F x f x ，则(1)12(){min()}1{min()}1{,,...}i i n F x P X x P X x P X x X x X x =≤=->=->>>1[1()]n F x =--，所以1(1)(1)()[()][1()]()n f x F x n F x f x -'==-。

()12(){max()}{,,...}[()]n n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=，所以1()()()[()][()]()n n n f x F x n F x f x -'==。

8、设总体X 服从指数分布()E λ，12,X X 是容量为2的样本，求(1)X ，(2)X 的概率密度。

解：由于总体X 服从指数分布()E λ，故X 的概率密度函数与分布函数分别为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 所以，(1)X 的概率密度为2121(1)2[1(1)],02,0()[1()]()0,00,0x x x n e e x e x f x n F x f x x x λλλλλ-----⎧⎧-->>=-==⎨⎨≤≤⎩⎩， (2)X 的概率密度为211(2)2(1),02(1),0()[()]()0,00,0x x x x n e e x e e x f x n F x f x x x λλλλλλ------⎧⎧->->===⎨⎨≤≤⎩⎩。

第五章 随机变量序列的极限 学号 专业 姓名 作业号
14 5.1 设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量,试在下列三种情形下分别计算()E X 与()D X .(1)(),i X P λ
1,2,...,i n =;(2)(,),1,2,...,i X R a b i n = ;(3)(),i X E λ 1,2,...,i n =.
5.2 设12,,...X X 是一个独立同分布的随机变量序列.在下列两种情形下,当n →∞时,试问X 依概率收敛于什么值？(1)(),1,2,...i X P i λ= ;(2)(0,),1,2,...i X R i θ= ,其中0θ>.
5.5 已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布.现在从该厂的产品中随机地抽取64只.试求这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率.假定这些晶体管的寿命是相互独立的.
5.6 为了测定一台机床的重量,把它分解成若干部件来称量.假定每个部件的称量误差(单位：kg )服从区间(-2,2)上的均匀分布.试问,最多可以把这台机床分解成多少个部件,才能以不低于99％的概率保证总重量误差的绝对值不超过10kg .
5.7 已知男孩的出生率为51.5％.试求刚出生的10000个婴儿中男孩多于女孩的概率 .
5.9 某厂有200台车床,每台车床的开工率仅为0.1.设每台车床是否开工是相互独立的,假定每台车床开工时需要50kw 电力.试问,供电局至少应该提供该厂多少电力,才能以不低于 99.9％的概率保证该厂不致因供电不足而影响生产？。