2.2.1 用配方法求解一元二次方程

知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解

问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完
10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长
吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积
为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得 x2=25 开平方得
x=±5，
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
为多少？
35 m
解: 设道路的宽为 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的宽为 1 m．
(2)移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25.
开平方，得x－3=±5.
∴ x1=8，x2=－2.
探索&交流
议一议
你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？
你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.
x2 + 12x -15 = 0
移项，得
+px+（
p 2
）
2
=（
p
2
）
2
p
2
p
=（ 2
）2 - q
）2 -q
探索&交流
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项.
(2)二次项系数化为1.
(3)配方.
(4)开方.
例题欣赏
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例2.解方程：x2 + 8x–9 = 0.
解: 可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9.

教师寄语：用心思考，就能战胜困难。

学习目标：1．会用开平方法解形如(x 十m)2＝n(n ≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．学习过程：一、预备知识：1、复习完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±。

2、二次根式：若a x =2，则a x ±=。

3、形如 的方程叫做一元二次方程。

二、自主学习：1、解方程：(1) 42=x (2) 052=-x (3)2)3(2=+x (4)05)2(2=--x阶段总结：配方法基本思路：将方程左边变成平方项，右边变成常数项，利用二次根式来求解。

2、解方程：（1） 41682=+-x x （2） 142=+x x （3） 11102=-x x阶段总结：方程左面要利用完全平方式才能变成平方项， （2）（3）两题左面只有首平方（二次项）和二倍首尾（一次项），所以要利用等式的性质左右两边同时加上尾平方，才能使左边变成平方项，右边变成常数项，来求解。

练习配方：（1） 22)6(12+=++x x x （2） 22)(4-=+-x x x （3） 22)(8+=++x x x （4） 22)(3+=++x x x阶段总结：配方要领：当二次项系数为1时，所配的尾平方其实就是，一次项系数一半的平方。

3、解方程：（1）0162=-+x x （2）8142=-x x （3）48222+=++x x x阶段总结：利用配方法解方程，关键要将二次项作为首平方，一次项作为尾平方，将含有x 的项变成一个完全平方式。

遇到像（3）不是一元二次方程的一般式时，我们应该先整理（整理成一般式），再配方，再求解。

最终配方成n m x =+2)(，)0(≥n 的形式在求解，解为：n m x +-=1，n m x --=2 练习提高：(1) 1042=+x x (2) 025122=++x x (3) x x x 23)32(22+=+ (4) 04152=++x x教师寄语：用心思考，就能战胜困难。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法的步骤和一元二次方程的求解这两个重点。对于难点部分，如配方法的原理和符号运算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示配方法的基本原理。
反思这次教学，我认为在以下几个方面需要改进：
1.对于配方法的理解，可以设计更多生动有趣的实例，帮助学生更好地理解其原理和步骤。
2.在小组讨论环节，注重引导学生发现问题、分析问题，培养他们的逻辑思维能力。
3.在实践活动环节，加强对学生操作过程的指导，及时纠正他们在运算和分解因式等方面的错误。
4.针对不同学生的学习情况，提供个性化的辅导和指导，帮助他们弥补知识漏洞。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了用配方法求解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节《用配方法求解一元二次方程》的课程后，我对整个教学过程进行了深入的思考。首先，我发现学生们在理解配方法的原理和步骤上存在一定的困难。尽管我在课堂上通过详细的讲解和案例演示，但仍有部分学生难以跟上节奏。这让我意识到，对于这部分学生，可能需要设计更具针对性的辅导，例如在课后提供额外的练习题和辅导时间。
三、教学难点与重点
1.教学重点