随机过程期末模拟题

期末复习试题一、填空题1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =.2.设0<P (A )<1,0<P (B )<11=+)|()|(B A P B A P ,则A 与B 满足什么关系__________.3．设A 与B 为两个事件，()0.9P A =，()0.3P AB =，则()P AB =___________.4. 设()0.5P A =，()0.3P B =()0.2P B A =，则()P B A ⋃=___________. 5．设随机变量X 的分布率为{}7aP X k ==，（ 1, 2, ,7k =）则常数a =_______.6．设随机变量X 的密度函数为, 01,()0, ax x f x <<⎧=⎨⎩其它.则常数a =_________7. 设X 和Y 是两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=， 则{max(,)0}P X Y ≥= ______________8. 设随机变量()Xπλ,且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=___________.9．设随机变量(,)XB n p 的二项分布，且()4,()3,E X D X ==则n =___，p =___10. 设X 服从2(,)N μσ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值________________. 11. 设X 服从(1,4)N ，则2()E X 为 ________________.12．设随机变量X 和Y 独立，且都服从(,1)N μ，若{1}0.5P X Y +≤=，则μ为____13．设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(1,2)N ，Y 服从(0,1)N ，则23Z X Y =-+服从_________14. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则由切比雪夫不等式，有{||6}P X Y +≥≤_______________.15. 某人不断地掷骰子．设n X 表示前n 次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列{},1n X n ≥的状态空间是____________________.16．设计数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的泊松过程，令00t =，则均值函数为_____，方差函数为_____.17．设{(),0}W t t ≥是以2σ为参数的维纳过程，则0, ()t W t ∀>___________________.18．已知1{,}n X n T ∈为马尔可夫链，12{,,}I a a =为状态空间，对于120,r t t t m ≤<<<<（1,,i t m m n T +∈），都有1122{,,,,}r r m n t i t i i i m i p X a X a X a X a X a +======______二、简单计算题1. 已知1()()(),4P A P B P C ===1()0, ()(),8P AC P AB P BC ===求,,A B C 至少有一个发生的概率2．设X 的密度函数为, 0 1,()0, .ax x f x <<⎧=⎨⎩其他试求：（1）常数a ；（2）1{0}2P X ≤≤．3．设X 的密度函数为121, 0,()20, .x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他求以a 为未知数的一元二次方程2240a Xa ++=有实根的概率。

东南大学概率统计与随机过程期末练习（附答案）期末练习解答(某)某12et2/2dt表示标准正态分布的分布函数，(1.645)0.05；(0)0.5；(1)0.8413(1.3)0.9032；(1.96)0.975；(2)0.9772一、填充题1)已知P(B)=P(A)=0.2，A和B相互独立,则P(A-B)=0.16;P(AUB)=0.362)一盒中有2个白球，3个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二次取到黑球的概率为0.6，取到两个球颜色相同的概率为2/53)设随机变量某服从正态分布N(1,4),P(某1)_0.5___。

4)设W(t)是参数为的Wiener 过程，则随机过程某(t)21tW(t),t0的一维概率密度函数f(某；t)_____12e某p{某2/2}________。

5)随机变量某，Y独立同分布，都服从正态分布N(1，4)，则P(某-Y>22)=0.1587__。

6)随机变量某，Y的联合分布律为：P(某=0,Y=0)=0.2;P(某=0,Y=1)=0.3;P(某=1,Y=0)=0.3;P(某=1,Y=1)=0.2.则某+Y分布律为p(某+Y=0)=0.2;P(某+Y=1)=0.6;P(某+Y=2)=0.2。

E[某Y]=0.27)随机变量某，Y的相关系数为0.5，则5-2某，和Y-1的相关系数为-0.58)设随机变量序列{某n,n=1,2,…}独立同分布，E某1=2,D某1=2,则1222p(某1某2...某n)6n9)设总体某服从正态分布N(1,2),某1,某2,...,某10是来此该总体的样本，某,S分别22表示样本均值和样本方差，则E某1，E(某S)210)随机变量某的分布律为P(某=-1)=P(某=1)=1/2,则其分布函数为F(某)=0,某=1;第1页共7页自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效11)随机变量某服从[0,1]上的均匀分布,则Y=-2某+1的密度函数为U[-1,1],f(y)=0.5;-11(某22某22某1某241某24)服从(3)分布，若c某22~t(2)，则常数c13某413)设某假设检验问题的水平=0.1,根据样本得到的结论是拒绝原假设，则可能犯哪一类错误I(填I，II)，犯错误的概率为0.1(填数值或不能确定)。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。

（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。

西安邮电大学研究生随机过程期末试题1单选(2分)随机过程的数学期望，是随机过程的( )平均，而非( )平均。

[单选题] *A.时间平均，统计平均B.集合平均，统计平均C.统计平均，集合平均D.统计平均，时间平均(正确答案)2单选(2分)随机过程X(t)的互相关函数，描述了( )个随机过程任意( )个不同时刻状态之间的相互关系(相关程度) [单选题] *A.1,2B.2,1C.2,2(正确答案)D.1,13单选(2分)如果两个随机过程相互独立，则这两个随机过程之间没有( )关系。

如果两个随机过程互不相关，则这两个随机过程之间没有( )关系 [单选题] *A.任何，任何B.任何，线性(正确答案)C.线性，线性D.线性，任何4单选(2分)实现遍历过程时间自相关的三部曲正确的顺序是( )，( )和( ) [单选题] *A.平移、点对点相乘、相加2.00/2.00(正确答案)B.相加、点对点相乘，平移C.相加、平移、点对点相乘D.点对点相乘、平移、相加5单选(2分)实现卷积运算的的四部曲( )，( )，( )和( ) [单选题] *A.点对点相乘、平移、反转、相加B.点对点相乘、平移、相加、反转C.反转、相加、点对点相乘，平移D.反转、平移、点对点相乘、相加(正确答案)6单选(2分)若平稳随机过程含有一个周期分量，则其自相关函数则含有一个( )的周期分量。

[单选题] *A.0.5倍周期B.1倍周期(正确答案)C.3倍周期D.2倍周期7单选(2分)。

[单选题] *A.20.00/2.00B.5C.0(正确答案)D.18单选(2分)。

[单选题] *A.(正确答案)B.C.D.9单选(2分)。

[单选题] *A.5(正确答案)B.0C.1D.20.00/2.0010单选[单选题] *A.B.(正确答案)C.D.11单选[单选题] *A.1B.00.00/2.00C.3D.2(正确答案)12单选[单选题] *A.无法判断B.不遍历(正确答案)C.可能遍历也可能不遍历D.遍历13单选[单选题] *A.是的B.无法判断0.00/2.00C.不是(正确答案)D.可能是也可能不是14多选(3分)确定随机试验的3个基本要素是什么？ *A.试验之前却不能断言它出现哪个结果1.00/3.00(正确答案)B.不同条件下可以重复C.相同条件下可以重复；(正确答案)D.结果不止一个；1.00/3.00(正确答案)15多选(3分)随机过程宽平稳的判据有？ *A.数学期望是一常数(正确答案)B.自相关函数只与时间间隔有关，(正确答案)C.均方值是常数D.均方值有限(正确答案)16判断(2分)某次试验的随机变量，可以描述该次随机试验的所有结果，对吗？[单选题] *A.对(正确答案)B.错17判断随机过程是把以时间t作为参数的随机函数的统称，对吗？ [单选题] *A.错B.对(正确答案)18判断(2分)随机过程的一维概率密度，描述的是随机过程在任一特定时刻对应的随机变量的一维概率密度。

随机过程试题与答案《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt ?π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。

4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。

二、（本题10分）解：（1）P N 12 ?N 8 =0 =e ?12. (5分)（2）f T t =3e ?3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。

（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。

则平稳分布为（10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = ?λλμ?(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 ?(λ+μ)λμ?μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分）后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0，π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1?λμ1? λμ4,π1=λμ 1?λμ1? λμ4,π2=λμ2 1?λμ1? λμ4,π3=λμ3 1?λμ1? λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,?,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ?Z t n = t 12t 22?t n2 2t 12t 2?2t n X Y + ?2?2?2?2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,?,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。

随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。

2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。

答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。

其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。

三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。

计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。

答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。

答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。

《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为__it pe q +______。

2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，α为常数，则X(t)的相关函数=)4,2(X R _∂∂4cos 2cos 31 ____。

3．强度为λ的泊松过程{}X(t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n=1,2,)独立同分布，密度函数为_t e λλ-_______________。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为__teλ--1____________。

5．设随机过程 X(t)只有两条样本曲线，1X(t,)=acost,ω2X(t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P()=3ω，21P()=3ω，则随机过程的期望=)(t EX ___t a cos 31______。

6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n)P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系式为__)()(n p p n p ij i Ii j ∑∈=______。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i ==__n n i i i i i p p p 1100- __。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，若1<ii f ，称状态i 为__非常返________。

随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。

B. 具有随机变量。

C. 具有时间集合。

D. 具有马尔可夫性质。

答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。

B. 布朗运动。

C. 维纳过程。

D. 马尔可夫链。

答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。

B. 随机过程的均值不随时间变化。

C. 随机过程的方差不随时间变化。

D. 随机过程的偏度不随时间变化。

答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。

B. 指数分布过程。

C. 广义强度过程。

D. 随机驱动过程。

答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。

2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。

3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。

4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。

三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。

随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。

它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。

时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。

取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。

2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。

时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。

即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。

例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。

在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。

3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。

《随机过程期末考试 卷》1设随机变量X 服从参数为的 泊松分布，贝U X 的特征函数为。

2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为 率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。

8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变 量，且A 和服从在区间0,1上的 均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3. 强度为入的泊松过程的点间间 距是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布。

9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。

10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。

4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球， 每隔单位时间从袋中任取一球，取后 放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。

6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。

7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明 条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。

2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔 科夫过程。

3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态 空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意 义。

4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人 二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球 如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。

20111.（8分）设随机过程X 具有概率分布： X 0 1 2Pk 1/2 1/3 1/6试求其特征函数)(t g x 。

2.（8分）设随机变量X 的特征函数为itt g x -=11)(，试求X 的数学期望E(X)和方差D(X)。

3.（8分）设迷宫中某处有三个出口。

若选择路口1，则3小时可走出迷宫；若选择路口2，则5小时后又回到原处；若选择路口3，则7小时后又回到原处；并设每次选择各个路口的概率是等可能的。

求走出迷宫所需时间的期望值。

4.（8分）设},2,1,{ =i X i 是一独立随机变量序列，且有相同的两点分布i X 0 1 i p1/32/3令∑==ni in X Y 1；试求随机过程},2,1,{ =n Yn的均值函数和相关函数。

5.（8分）设}0),({≥t t X 是一参数为λ的泊松过程，若t s <<0，对n k <<0，求})(|)({n t X k s X P ==6.（10分）设齐次马氏链},2,1,{ =n X n 的状态空间为}4,3,2,1{=I ，其初始分布和转移概率矩阵为：4,3,2,1,4/1}{0====i i X P p i⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P 试求}41,1|4{103<<==X X X P7.（10分）设有随机相位过程ωω,),cos()(a t a t X Θ+=为常数，Θ为)2,0(π上服从均匀分布的随机变量。

试证明随机过程)(t X 为各态历经过程。

8.（10分）一质点在1，2，3点上做随机游动。

若在时刻t 质点位于这三点之一，则在),[h t t +内，它以概率)(21h o h +分别转移到其它两点之一。

试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫向前方程、转移概率)(t p ij 及平稳分布。

9.（10分）设随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X ，其中，Z Y ,是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。

《随机过程期末考试卷》1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 _________ 。

2•设随机过程X(t)=Acos( t+G),rvt<::其中为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和门服从在区间∣0,11上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_的同一指数分布。

4•设:W n)是与泊松过程fX(t),t 一0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。

5•袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，Γ对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3,如果t时取得红球，则这个随机过(e t, 如果t时取得白球程的状态空间__________ 。

6 •设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P i j)，n步转移矩阵Pg=(P(；)),二者之间的关系为。

7•设CX n)n -0?为马氏链，状态空间I ,初始概率P i= P(X°=i),绝对概率P j(n) =P「X n =j?，n步转移概率P j n),三者之间的关系为________________ 。

8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t20则P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______t9 •更新方程K t =H^O K^SdFS解的一般形式为___________________ C 10•记亠-EX n)对一切a—0,当t—：时，M t+a -M t > _____________3. 设］X n)n — 0为马尔科夫链，状态空间为I ,则对任意整数n — 0,仁I Vn和i,j I ,n步转移概率P j n)=V P fk)P k n-I),称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,底I证明并说明其意义、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) C2.设｛X(t), t_0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫过程。