(完整word版)2017-2018期末随机过程试题及答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。

故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________2 •设随机过程X(t)二Acos( • • t+G),-：： <t< ：：其中•’为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。

3•强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为丄____ 的同一指数分布。

4•设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t 一0?对应的一个等待时间序列，则W n服从-分布。

5•袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，f t对每一个确定的t对应随机变量x(t)二3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取得白球程的状态空间_________ 。

6•设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，二者之间的关系为—P(n) =P n—。

7•设:X n,n 一0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。

二i)，绝对概率P j(n) =P(X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)八P i p j n)。

8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1.为e，(e -1)。

2. (sin(・t+1)-sin t)。

3. _ 2 ■1 24. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。

6 . P(n^ P n。

7 . P j(n) 7 P i p j n) <—13 3 J ------------ 阳6t a8. 18e 9。

K t i；=H t］亠i0K t — sdM s 10.2. 设｛X(t), t_0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫过程。

《随机过程期末考试 卷》1设随机变量X 服从参数为的 泊松分布，贝U X 的特征函数为。

2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为 率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。

8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变 量，且A 和服从在区间0,1上的 均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3. 强度为入的泊松过程的点间间 距是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布。

9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。

10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。

4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球， 每隔单位时间从袋中任取一球，取后 放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。

6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。

7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明 条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。

2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔 科夫过程。

3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态 空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意 义。

4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人 二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球 如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。

中国科学技术大学期末考试题考试科目：随机过程（B ） 得分： 学生所在系： 姓名： 学号：（2018年1月9日，半开卷）一、( 20分) 判断是非与填空： （1）（每空2分）设{,0}n X X =≥为一不可约、有限（N 个）状态的马氏链，且其转移概率矩阵P为双随机的（行和与列和均为1），则：.a X 的平稳分布不一定存在 ( ) ； .b X的平稳分布存在但不必唯一( ) ；Xc .的平稳分布为) (1)11N N N ，，，（（ ）； .d X的极限分布为：) (1)11N N N ，，，（（ ） 。

（2）（每空3分）设公路上某观察站红、黄、蓝三种颜色的汽车到达数分别是强度为2、3和5（辆/分钟）的泊松过程。

则：.a 第一辆车到达的平均时间为( ) ； .b 红车首先到达的概率为 ( ) ；.c 在第一辆红车到达之前恰好到达k 辆非红车的概率为（ ）。

（3）（3分）有关某种商品的销售状况共有24个季度的连续数据 ( 1—畅销，0—滞销 )：，，1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,10,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1若该商品销售状况满足齐次马氏链，则据以上数据可估计出该马氏链的转移概率矩阵P 为（ ）。

二、（15分）设到达某计数器的脉冲数}0),({≥t t N 是一速率为λ的泊松过程，每个脉冲被记录的概率均为p ，且各脉冲是否被记录是相互独立的。

现以)(1t N 表示被记录的脉冲数，试求)(1t N 的矩母函数)()(1v g t N 以及)(1t EN ,)]([1t N Var 和))(),((11t N s N Cov 。

三、（20分）设马氏链}0,{≥n X n 的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323132313231000321P（1）设30=X ，试求：)3,2,1(},{)2(},{121=====i i X P i X P i i ππ）（，并求： )(1X E 和)(2X E ；（2）试求该马氏链的极限分布：)3,2,1,(,)(,lim ==∞→j i p n j i n j π；（3）当初始分布)3,2,1(0=i i ）（π为什么分布时，该马氏链为严格平稳过程？并求此时的)(n X E 。

随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。

(完整word 版)随机过程试题电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共 小时）课程名称 应用随机过程 学时 60 学分 3 教学方式 讲授考核日期 2009 年 元 月 5 日 成绩考核方式： （学生填写）一、（12分）已知随机过程{(),[2,2]},(),X t t X t U t U ∈-=+为随机变量,服从()0,π上 的均匀分布.试求：(1）任意两个样本函数，并绘出草图； （2）随机过程()X t 的特征函数；(3)随机过程()X t 的均值函数，自协方差函数.解 （1）(2）][][);(φ)()(t U u j t X u j e E eE u t +===][U u j t u j e E e= uj e eu j tu j π1π- （3）2π)()())((+=+=+=t t U E t U E t X E ； )]([)]([)]()([),(t X E s X E t X s X E t s C -= ][][)])([(t U E s U E t U s U E ++-++=12π)()]([)(222==-=U D U E U E二、（12分）设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数1(,)2cos X t t ω=，,2cos )ω,(2t t X -=t -∞<<+∞且1()0.8P ω=，2()0.2P ω=,分别求：(1）一维分布函数);0(x F 和);4π(x F ;（2）二维分布函数(0,;,)4F x y π。

解 1) 对任意实数t ∈R ，有 8.02.0cos 2cos 2)(p tt t X -特别有8.02.022)0(pX - ，8.02.022)4π(p X -学 号 姓 名 学 院 教师……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………故 ⎪⎩⎪⎨⎧<≤<--≤=<=.2,1;222.0;2,0})0({);0(x x x x X P x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<--≤=<=.2,1;22,2.0;2,0})4π({);4π(x x x x X P x F 2)8.02.0)2,2()2,2())4π(),0((p X X -- (0,;,)4F x y π})4π(,)0({y X x X P <<=0,20.2,22,2;1,2,x y x y y x x y ⎧≤-≤⎪⎪=-<≤>-<≤>-⎨⎪>>⎪⎩或三、(12分）设随机过程()cos()Y t X t ω=+Θ，其中ω为常数，随机变量X 服从瑞利分布：22220()(0)00x X x e x f x x σσσ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩~(0,2)U πΘ,且X 与Θ相互独立,试求随机过程()Y t 的均值函数与自协方差函数.解 ])ωcos([)()]([Θ+=t E X E t Y E 0)ωcos(π21σ1π200σ22222=+⨯=⎰⎰∞+-dy y t dx e x x)]([)]([)]()([),(t X E s X E t X s X E t s C -=)]()([t X s X E =])ω)cos(ωcos([)(2ΘΘ++=t s E X E⎰⎰++⨯=∞+-π200σ232)ωcos()ωcos(π21σ122dy y t y s dx e x x ⎰⎰+++-⨯=+∞-2π002)2)((cos )(cos [4π1σ4d θθs t βs t βdu ue u ).(cos σ2)(cos 21σ422s t βs t β-=-⨯=四、(12分）设在［0， t ）时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是5.2=λ（人/分）的泊松过程，试求:（1)在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；（2)第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3)相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

1. 设随机变量X 服从参数为A 的泊松分布，则X 的特征函数为2. 设随机过程X(t)二Acos( a t+①),-ocvtv 处 其中为正常数，A 和①是相互独立的随机变量，且A 和①服从在区间［0,1］上的均匀分布，则X(t)的数学期望 为 。

3. 强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4. _ 设｛W n ，n >1｝是与泊松过程｛x(t),t >0｝对应的一个等待时间序列，则 W n 服 从 分布。

程的状态空间6 .设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p jj )，n 步转移矩阵P ⑺=(pj)，二者之间 的关系为 7.设｛X n ,n >0｝为马氏链，状态空间I ，初始概率P i = P(X 0=i)，绝对概率 P j (n) = P ｛X n =j ｝， n 步转移概率p jn)，三者之间的关系为 ___________ 。

9. 更新方程K (t )=H (t )+J ；K (t -sdF (s )解的一般形式为_ 10. 记卩=EX n,对一切 a>0，当 t TK 时，M (t+a )—M (t 户、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32 分)1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

5.袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回,对每一个确定的t 对应随机变量X(t) 3’ L e t ,如果t 时取得红球，则这个随机过 如果t 时取得白球2. 设｛X(t), E>0｝是独立增量过程,且X(0)=0,证明｛X(t), t30｝是一个马尔科夫过程。

8 .设｛X(t),t > 0｝是泊松过程，且对于任意t^>0则P{X (5) =6|X (3) = 4} =3. 设｛X n ,n >0｝为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n>0,1W l vn 和 i,产I ， n 步转移概率p j n)=2 P 聘p kj -l)，称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,证明并说明其意义。

随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。

答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。

离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。

- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。

用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。

- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。

对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。

- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。

1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。

- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。

遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。

- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。

- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。

反之，则称它是可约的。

不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。

- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。

若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。

2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。

5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

《随机过程期末考试卷》1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 _________ 。

2•设随机过程X(t)=Acos( t+G),rvt<::其中为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和门服从在区间∣0,11上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_的同一指数分布。

4•设:W n)是与泊松过程fX(t),t 一0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。

5•袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，Γ对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3,如果t时取得红球，则这个随机过(e t, 如果t时取得白球程的状态空间__________ 。

6 •设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P i j)，n步转移矩阵Pg=(P(；)),二者之间的关系为。

7•设CX n)n -0?为马氏链，状态空间I ,初始概率P i= P(X°=i),绝对概率P j(n) =P「X n =j?，n步转移概率P j n),三者之间的关系为________________ 。

8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t20则P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______t9 •更新方程K t =H^O K^SdFS解的一般形式为___________________ C 10•记亠-EX n)对一切a—0,当t—：时，M t+a -M t > _____________3. 设］X n)n — 0为马尔科夫链，状态空间为I ,则对任意整数n — 0,仁I Vn和i,j I ,n步转移概率P j n)=V P fk)P k n-I),称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,底I证明并说明其意义、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) C2.设｛X(t), t_0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫过程。