4,《结构力学》三铰拱

下面我们研究拱截面的受力情况。
QM
R
N
e
拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。 若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为e = M/N，显
然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
P1 P2
作用线
G
F
rD
D
k2
C
k1
A
RA
RA
P1
D 大小和方向 o 23
P2
RB
P3
P3
（1）确定各截面合力的
q=2kN .m
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如
y
34
5
图所示拱的轴线为抛物线方程
2 1
2
y2
0
6 7 8
f=4m
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
x
制内力图。
A
7.5kN
x2=3m 6m
VA 11kN
B
3m
H 7.5kN （1）计算支座反力
6m
VB 9kN
VA
VA
2
698 12
3
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设
填土的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。
[解]由拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
M M H y M H f y 0
M y f
H
因事先 M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
§5-3 拱的合理轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。

如下所示结构在竖向 荷载作用下，水平反力 等于零，因此它不是拱 结构，而是曲梁结构。
下面所示结构在竖向荷 载作用下，会产生水平反 力，因此它是拱结构。
FP FP
曲梁
三铰拱
二、 拱的类型
三铰拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
拉杆拱 静定拱
三、 拱的各部分名称 拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾 A
起拱线
跨度 l
f l
f
B
A
0 FYB
FYB
FPi ai
L
xk
L1 L
FP2 k C
L2
FP3
取左半跨为隔离体：
FP1
M
C
0
A
0 FYA L1 FP1 L1 a1 FP 2 L1 a2 M C FH f f
B
反力计算公式：
F F 0 YA YA 0 FYB FYB 0 MC H A H B H f
P P P1 P2
P
P
P1
P2
结点单元
杆件单元
杆件体系 单元
1 静定结构受力分析的方法 二、平衡方程的数目 单元平衡方程的数目=单元的自由度数，不一定等 于单元上未知力的数目。
P P1
P2
P
P1
P2
结点单元
杆件体系 单元
1 静定结构受力分析的方法 三、计算的简化与截取单元的次序 计算简化的原则：避免解联立方程，尽量使一个方程中只
FP2 FP1 D
E
C
FP3 FP1 FP2 F B
FRA
A
o
FRA
FRB
FP3

拱架搭设
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动

第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否 则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。
FP1
C FP2
f
A
B
l
FP1
FP2
1 竖向荷载作用下拱反力计算 mB 0
y
A FAx
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
矢高：起拱线至拱顶的 竖直距离。
拱趾
拱顶
矢高f 起拱线
跨度L
拱轴 拱趾
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
带拉杆的拱：在 屋架中，为消除 水平推力对墙或 柱的影响，在两 支座间增加一拉 杆，由拉杆来承 担水平推力，桥 梁中应用也非常 广泛。
第一节 三铰拱的组成和类型
yk
A
B
k
C
Fy' 0
F0 Ay
F0 Sk
F0 Ay
P1
F0 By
FS k FAy cosk P1 cosk FH sin k
M 0 F0 x Px a
k
Ay k
1k
1
FA0y P1 cosk
FS
0 k
c os k
FH
FH sin k
sin k
FN k
Fx' 0
FAy sink P1 sink FH cosk
在工程实践中，由于载荷的多样性，不可能有真正的无弯矩 拱，但是可以想象，接近合理拱轴的设计，应当是可行的方 案。赵州桥是我国隋代工匠李春建造的一个著名的范例。
第一节 三铰拱的组成和类型
1、工程上使用的拱结构实例

4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
yJ 3m
M
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
FP1=15kN K FHA A yk 4m
l/2
C f=4m
MC 0
FVA
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 ND右 QD右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
三、三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯 矩为零的轴线就线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 M M FH y
超静定拱
拉杆拱 静定拱
拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾
A
起拱线 跨度 l
f l
f
高跨比
l 通常 f l 在1-1/10之间变化，f 的值对内力有 很大影响。
工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
二、三铰拱的计算
A 12.5kN K左 Fº ＝12.5kN QK左 A 12.5kN

10.5 12 12
sinϕ D = −0.555 cosϕ D = 0.832
A
3m
0 M = M D − Hy D = 12 × 3 − 10.5 × 3 = 4.5kN ⋅ m 0 QD左 = QD左 cos ϕ D − H sin ϕ D = (− 2 )× 0.832 − 10.5 × (− 0.555) = 4.16kN 0 N D左 = −QD左 sin ϕ D − H cos ϕ D = −(− 2 )× (− 0.555) − 10.5 × 0.832 = −9.85kN 0 QD右 = QD右 cos ϕ D − H sin ϕ D = (− 12 )× 0.832 − 10.5 × (− 0.555) = －4.16kN
在竖向荷载作用下，三铰拱 平拱 的支座反力有如下特点： 平拱)的支座反力有如下特点 在竖向荷载作用下，三铰拱(平拱 的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 ）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 2）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 ）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 3）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力H与拱高 f 成反比，即拱高 ）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力 与拱高 成反比， f 越大，水平推力 H 越小，反之，拱高 f 越小，水平推力 越大。 越大， 越小，反之， 越小，水平推力H越大 越大。 趋近于零时， 推力） 当拱高 f 趋近于零时，水平反力 H（水平推力）趋近于无穷大，此 （水平推力 趋近于无穷大， 三铰在一条直线上， 时A、B、C三铰在一条直线上，构成瞬变体系，不能作为结构 、 、 三铰在一条直线上 构成瞬变体系，不能作为结构.
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。 画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。 （2）画三铰拱内力图的步骤 1）计算支座反力 ） 2）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， ）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 ）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注意： 注意： 1）仍有 Q=dM/dx 即剪力为零处弯矩为极值； 即剪力为零处弯矩为极值； ） 2） M、Q、N图均不再为直线（参见书本 60 图4-6）； 图均不再为直线（ ） 图均不再为直线 参见书本P ）； 3）集中力作用处 图将发生突变； 图将发生突变； ）集中力作用处Q图将发生突变 4）集中力偶作用处 图将发生突变。 图将发生突变。 ）集中力偶作用处M图将发生突变

B
②剪力、轴力计算公式
FQFQ 0co-sFHsin
F0yA φ FP1
M0
F0yB
FNFQ 0sin-FHcos
KM
FN
F
0 Q
—相应简支梁对应截面上的剪力
φ φ—截面处拱轴切线倾角，在左半拱
FH A
y φ FQ
为正(右半拱为负)
φ
x
FVA φ
◆ 拱截面轴力较大，且一般为压力
例3-5 作图示三铰拱的内力图，拱轴为抛物线，其方程为
1kN/m C
f=4m x
FQ0L 1kN
FV A l1=8m
4m
l=16m
4kN
D
B FH B
4m
FV B
FQ0R 5kN
1kN/m
A
C
4kN B
F0yA
F0yB
F QLF Q 0L co-sFHsin 1 0 .89 6 ( 4 0 .44 ) 4 1 .7 7k 8 2 N
F Q RF Q 0c R o -sF Hsin 5 0 .8 9 6 ( 0 4 .44 ) 4 1 7 .7k 2 8N 9
四 三铰拱的合理拱轴线（reasonable axis of arch） 1 合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的拱轴线，称 为拱的合理拱轴线
2 合理拱轴线的确定 根据荷载作用下，任一截面弯矩为零条件确定。如竖向 荷载作用下的三铰拱：
MM0FHy0 y M0
FH
通过由调此整可拱见的，轴当线拱，上使荷拱载在为确已定知荷时载，作只用要下求各出截相面应上简的支弯梁 矩值的为弯零矩，方这程时，拱除截以面支上座只水有平通推过力截FH面，形即心可的求轴得向合压理力拱作轴 用，的其轴压线应方力程沿截面均匀分布，此时的材料使用最为经济

9 / 13
À
第四章 静定拱
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线
q y A x q f C B
FH=ql2/8f M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 y=M0/FH=4fx(l-x)/l2
l
x
抛物线À
10 / 13
第四章 静定拱
荷载布置改变，合理拱轴亦 改变 荷载确定、拱脚位置确定， 则顶铰位置决定水平反力， 因此，有无限多个相似图形 可作合理拱轴 三铰位置确定，合理拱轴唯 一确定 设计时只能根据主要荷载选 择近似合理拱轴
第四章 静定拱 §4-1 概述
三铰拱(three-hinges arch)的构成
拱顶 拱轴线 拱高 拱址 起拱线 拱跨 拱址
1 / 13
ÀБайду номын сангаас
第四章 静定拱
1)拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
2 / 13
À
第四章 静定拱
2)拱的受力特点
FP
曲梁
FP • 在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
6 / 13
À
第四章 静定拱
拱的内力图
− y ⎤⎧M ⎫ ⎧M ⎫ ⎡1 0 ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎨FS ⎬ = ⎢0 cosϕ − sinϕ⎥⎨ FS ⎬ ⎪F ⎪ ⎢0 sinϕ cosϕ ⎥⎪ F ⎪ ⎦⎩ H ⎭ ⎩ N⎭ ⎣
0
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形 的，内力图要通过逐点描图的方法绘制。
拱
• 由于水平推力的存 在，使得拱内弯矩大 大减小。
3 / 13
À
第四章 静定拱 §4-2 三铰拱的计算

例题4－1 求图4－5a所示圆弧形曲杆任意截面的内力M、V、N。 解:以极坐标φ表示B截面的位置，取图4－5c所示BC部分隔离体，
设B截面的内力分别为Mφ、Vφ、Nφ, 参照图4－5b并考虑到ds=Rdα, 由平衡条件得 ∑MB=0 Mφ=∫S qdsRsin（φ－α） =qR2∫0φsin(φ-α）dα=qR2（1－cosφ) 式 (4-1)
ND VD0sinφD Hcos φD （4-19）
五. 斜拱的支座反力和内力计算
连接A、B，先将A和B处的支座
反力分别沿竖向和起拱线方向分解
为两个相互斜交的分力V ’A和 H’A和 V ’B 和H ’B 。 根据上述平衡条件可得：
V
’A＝V
0A，
V
’B
＝V
0 B
H’A＝H ’B＝H’＝M 0C/ f ’
)
HB
VA VA0
VB
VB0
X 0: HA HB H
MC VAl1 P1(l1 a1) Hf 0
H
1 f
[VAl1
P1
(l 1
a 1 )]

M
0 C
VAl1
P1 (l1
a1)
H
M
0 C
f
（4-16）
a1
b1
a2
y
P1 D
φD
HA A
yD f
x xD
VA
P1
MD
D
ND
VD
HA A
产生水平支座反力（推力）HA、HB。水平支座反力对拱截面 产生负弯矩（上侧受拉），从而使得三铰拱截面上的内力弯矩 小于荷载和跨度相同的相应简支梁上各对应截面上的弯矩值， 省材料，空间跨度大，但比梁需要更为坚固的基础或支承结构。

三铰拱
一、概述
（一）工程应用
赵州桥
永定河七号铁路桥（150m）
BEH办公大楼（78m）
菜园坝长江大桥建设方案
（二）拱结构类型
（三）拱的构造
高跨比（矢跨比）： 拱高与跨度之比，即 f l 。 高跨比一般为1～1/10，常用1/4 ～1/6。 拱轴线的形状可以为抛物线、 圆弧曲线等。
（四）拱的特点（拱的共性，并非三铰拱特有）
1.提出公式的目的 （1）求三铰拱内力的方法：截 取 力 平 （2）遇到类似情况，可以直接用公式计算。 2.公式的说明 （1）适用范围：对称三铰拱，任意竖向荷载。 （2）公式中各参数的含义 （3）分析拱的内力特点
M K = M K − HyK
QK = QK cos ϕ K − H sin ϕ K
N K = QK sin ϕ K + H cos Βιβλιοθήκη K例三、合理拱轴线
（一）定义
合理拱轴线：在给定荷载作用下拱所有截面上只承受轴力，弯矩为零时的拱轴线。
（二）合理拱轴线的形状
MK = M − HyK = 0
0 K
M(x) = M0 (x) − Hy(x) = 0 ⇒ y(x) = M (x) / H
0
⇒ yK = M / H
0 K
0 H = MC f
1.曲杆
2.竖向荷载作用下有水平推力 在竖向荷载作用下产生水平推力的曲杆结构称为拱。 3.由于水平推力的存在，使M<M0（可以小到100%）。 4.内力一般有M、Q、N，许多情况下N是主要内力。
（五）拱的性能
1.拱比梁更能发挥材料的作用，适用于较大的跨度和荷载。 2.拱主要受压，便于利用抗压性能好而抗拉性能差的材料。 3.三铰拱给基础施加向外的推力，所以基础比梁的基础要大。