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第一课学案——第一章《集合与函数的概念》备课人：江鸿标初高中知识衔接(1)知识衔接①数范围的扩大与集合自然数、分数、负数、有理数、无理数（平方根）、实数（正数、负数、0）……（虚数、复数）②一元一次不等式解集的表达方式、注意负号要变号③因式分解提取公因式公式法：平方差公式、完全平方差公式分组分解：ac+ad+bc+bd十字相乘法：x²+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）④初中函数的定义、所学过的函数定义：唯一对应正比例函数（定义、图像、性质——点，象限，增减性）反比例函数（定义、图像、性质——象限，原点对称，双曲线，增减性（注意不连续）、对称轴，比例系数的几何意义）一次函数（k取值与b取值不同对应的图像，性质，二元一次方程与不等式、方程组）二次函数（概念、一般形式、解法、判别式、根与系数关系，a的几何意义，c的几何意义）⑤一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的联系分类讨论（△）：二次函数的图像、一元二次方程的解的个数、一元二次不等式的解集（注意a＞0，a＜0的情况）⑥二次函数三种表达式：一般式、顶点式、交点式（2）方法衔接①待定系数法②变量代换法1.1集合(1)讲课要点：①元素与集合的概念：研究对象，总体②集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性③集合的表示法：列举法，描述法④元素与集合的关系：属于，不属于⑤集合的分类：按元素类型分，按元素多少分⑥常用数集的符号：自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集⑦子集与真子集：定义，讨论空集⑧集合相等：元素相同，互为子集⑨空集：不含任何元素⑩Venn图：封闭曲线，包含关系11交集：相同的元素的集合，属于A且属于B的所有元素的集合12并集：或13全集：全部元素，U14补集：CuA15集合的运算律:交换律（交、并）、结合律（并并、交交）、分配律（交并等于交并交，并交等于并交并）、德·摩根定律（交补等于补并补、并补等于补交补）16集合中元素的个数：card（A）=？17集合与集合的关系：相等，子集，真子集，不包含于18集合中子集的个数：n个元素，子集2的n次方，真子集？非空真子集？非空子集？19偶数集、奇数集：如何表示？描述法？列举法？1.集合的含义:一般地,我们把统称为元素。
1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 练 习 1．填空：(1)在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为_____ (2)若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________． (3)若|x-1| =0， 则x=__________，若|1-x |=1，则x=_______．(4)如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________（5）例. 解不等式：4|1|>-x解法一：由01=-x ，得1=x ；①若1<x ，不等式可变为4)1(>--x ，即41>-x ，得3-<x ，又x ＜1， ∴x ＜-3；②若x ≤1，不等式可变为4)1(>-x ， 即5>x 又1≥x ∴ 5>x综上所述，原不等式的解为3-<x 或5>x 。
解法二：如图，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |＞4．可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点D (坐标5)的右侧． ∴ 3-<x 或5>x 。
2、解不等式：3|2|<+x3、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c 的值为多少 4. 已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。
1A -3 C P |x －1|D5．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．6. 已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a<b<c ，求a 、b 、c 的值。
第04讲充分条件与必要条件模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题.知识点1充分条件与必要条件1、命题（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．2、充分条件与必要条件（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．（3）充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系．3、充要条件（1）充要条件的概念：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）充要条件的含义：若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．（3）充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价．4、充分条件与必要条件的传递性（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p q ⇒，q s ⇒，则有p s ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q p ⇒，s q ⇒，则有s p ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p q ⇔，q s ⇔，则有p s ⇔，即p 是s 的充要条件．5、条件关系判定的常用结论p 与q 的关系结论p q ⇒，但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件p q ¿且q p¿p 是q 的既不充分也不必要条件知识点2从不同角度理解充分必要性1、从命题的角度充分理解充分必要性若把原命题中的条件和结论分别记作p和q，则原命题与逆命题同p与q之间有如下关系:（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则p是q的充分不必要条件；（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则p是q的必要不充分条件；（3）若原命题和逆命题都是真命题，则p和q互为充要条件；（4）若原命题和逆命题都是假命题,则p是q的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，（1）若A B，则p是q的充分不必要条件；（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；（3）若A B，则p是q的必要不充分条件；（4）若A＝B，则p是q的充要条件；（5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；知识点3充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式22()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−（5）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．2．提取公因式法例2.分解因式： （1）()()b a b a −+−552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+−a （2）()()2223y x y x −−+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332−+−（2）222456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +−；（2）2244x xy y +−．练习（1）256x x −−（2）()21x a x a −++（3）21118x x −+（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22126x xy y +−（7）()()3211262+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()22244+−−x x （10）1224+−x x （11）by ax b a y x 222222++−+−（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2－2x －1（14）31a +；（15）424139x x −+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，。
目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
第03讲集合的基本运算，并能够运用这些语言解决集合运算知识点1并集1、并集的概念自然语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }图形语言2、并集的运算性质性质定义A B B A = 满足交换律A A A = 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A A A∅=∅= 任何集合与空集的并集等于这个集合本身()()A B C A B C = 多个集合的并集满足结合律()A A B ⊆ ,()B A B ⊆ 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集A B ⊆⇔A B B= 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然知识点2交集1、交集的概念自然语言由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言2、交集的运算性质性质定义A B B A = 满足交换律A ∅=∅ 空集与任何集合的交集都是空集A A A= 集合与集合本身的交集仍为集合本身()()A B C A B C = 多个集合的交集满足结合律()()()A B C A C B C = 多个集合的综合运算满足分配律()()()A B C A C B C = 若A B A = ，则A B⊆交集关系与子集关系的转化()(),A B A A B B⊆⊆ 两个集合的交集是其中任一集合的子集知识点3全集与补集1、全集的概念自然语言一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .符号语言若,,,A U B U C U ⊆⊆⊆ ，则U 为全集.图形语言2、补集的概念自然语言若集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ð.符号语言{}U A x x U x A =∈∉且ð图形语言3、补集的运算性质性质定义()U A A U= ð任何集合与其补集的并集为全集()U A A =∅ ð任何集合与其补集的交集为空集()UUA A=痧任何集合补集的补集为集合本身,U U U U=∅∅=痧全集的补集为空集，空集的补集为全集知识点4德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U 为全集，A 、B 为U 的子集，则有（1）()()()U U U A B A B = 痧（2）()()()U U U A B A B = 痧2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的交、并、补。
第01讲 集合的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过实例了解集合的含义；2．理解集合中元素的特征；3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.知识点 1 集合的含义1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．3、对集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．知识点 2 元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，读作a 属于A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ，读作a 不属于A ．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。
第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。
高一数学初高中衔接知识及详解大全第一部分：目前初高中数学衔接教学的误区误区之一：衔接教材讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课.这样做的目的可能是想让学生占有时间上的优势，但是在暑假我们不可能将高一的课程全部学完.实际上，如果学生在被动状态下提前学习，开学后，你们会发觉老师正常进度很快就赶上来了.而且由于这些知识都能在课堂上再现，有的学生甚至到了真正的课堂上讲该知识点时，觉得那是补习学过的，于是麻痹大意，结果反而不利于后续的学习.这样衔接学习就做成了“夹生饭”.我们要提倡学生自主学习，指导学生养成独立预习的习惯.误区之二：衔接教材讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课.许多家长与老师认为，在初中把竞赛搞好，高中学习就不会有问题了.大家的出发点是好的，但仔细分析《初中数学竞赛大纲》的朋友很清楚，初中竞赛有很多内容不仅是初中不需要学习，就连高中也不会接触，这样的内容只适合有竞赛兴趣的同学去学习.我们为什么一定要撒大网捞小鱼呢？对于大多数同学而言，过多的参与数学竞赛不仅不能真正提高能力，反而加重他们的负担，耽误了他在其它方面的发展.误区之三：衔接教材仅仅只是巩固初中知识，衔接课变成了复习课.利用课余对少数基础比较弱的同学巩固初中知识也是必要的，我们不妨把这称为“补习”. 初高中衔接的功能则是有针对性的，它所面临的对象应该是相关基础知识已经掌握的学生. 如果我们的衔接只复习不提高，这样衔接知识就做成了“炒现饭”.如果你是学生，我要提醒你，对于数学，暑假并不是要急于学习高一的新课本，而是将初中一些应该提高与拓展的部分进行巩固.第二部分知识方面的衔接一．数与式的运算1.1.绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要的概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展，不断深化．【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】接触含字母的绝对值，含绝对值不等式在选修系列 4—5 不等式选讲．含字母的绝对值运算贯穿于整个高中数学中.【建议】掌握含字母的绝对值及简单的含绝对值的方程（不等式）的解法．补充知识：1.和差的绝对值与绝对值的和差的关系（1）a -b ≤ a +b ≤ a +b ;（2）a -b ≤a -b ≤a +b ;2.含有绝对值的不等式的解法（1）最简单的含有绝对值的不等式的解法：x <a (a > 0) 的解为-a <x <a ；x <a (a=0) 无解；x <a (a < 0) 无解；x >a (a > 0) 的解为x <-a 或x >a ；x >a (a=0) 的解为x ≠ 0 的一切实数；x >a (a < 0) 的解为一切实数.（2）较简单的含有绝对值的不等式的解法：⎧ax +b >-c,（i）ax +b <c (c > 0)⇔-c <ax +b <c ⇔⎨⎩ax +b <c.（ii）ax +b >c (c > 0)⇔ax +b <-c或ax +b >c.解：（1）若x≥m，则原不等式可化为x-m<1，解得x <m +1，∴ m ≤x <m +1.（2）若x <m ，则原不等式可化为-(x -m)<1，解得x >m -1，∴ m -1<x <m .综上所述，原不等式的解为m -1 <x <m +1.【例 2】解不等式：x -1 +x - 3 ＞4．解法一：由x -1 = 0 ，得x = 1；由x - 3 = 0 ，得x = 3；（iii）x -a +x -b <c(c < 0) 的解法.【高一前应掌握的练习】【例 1】解关于x 的不等式：x -m < 1 .①若x < 1，不等式可变为-(x -1) - (x - 3) > 4 ，即-2x + 4 ＞4，解得x＜0，又x＜1，∴ x＜0 ；②若1 ≤x < 2 ，不等式可变为(x -1) - (x - 3) > 4 ，即 1＞4，∴不存在满足条件的x；③若x ≥ 3 ，不等式可变为(x -1) + (x - 3) > 4 ，即2x - 4 ＞4，解得x＞4 ．又x ≥ 3 ，∴ x＞4 ．综上所述，原不等式的解为x＜0 或x＞4 ．解法二：如图 1．1－1，x - 1 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为 1 的点A 之间的距离|PA|，即PA ＝| x－1 |；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2 的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式x -1 +x - 3 ＞4 的几何意义即为PA ＋PB ＞4 ．由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为 0)的左侧、或点P 在点D(坐标为 4)的右侧．|x－3|P C A B Dx 0 1 3 4x所以x＜0 或x＞4 ．|x－1|图1．1－1【例 3】}关于 x 的方程有一个负根而没有正根，求 m 的取值范围.【分析】本题首先对 x 分情况讨论，将方程化简，在每种情况中注意到方程“有负根而无正根”这一条件.用分类讨论法解题.解：x = 0 不是原方程的解.当 x<0 时，原方程可化为，即 .∵方程有负根，∴ ，且，∴ .①当时，原方程可化为，即，假设原方程有正根，则，且，∴ .从而时原方程无正根.②综合①②知， .1.2. 乘法公式整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．【高中】不再学习整式．但是乘法公式一直贯穿于整个高中数学的学习.【建议】熟练使用立方和、立方差、和的立方、差的立方及三数和的平方公式.补充知识：我们在初中已经学习了下列乘法公式：⎨-a (a ≤ 0); （1）平方差公式： (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2； （2）完全平方公式： (a ± b )2= a 2± 2ab + b 2 ． 我们还可以通过证明得到下列乘法公式：（1）立方和公式： (a + b )(a 2- ab + b 2) = a 3+ b 3； （2）立方差公式： (a - b )(a 2+ ab + b 2) = a 3- b 3；（3）三数和的平方公式： (a + b + c )2= a 2+ b 2+ c 2+ 2ab + 2bc + 2ac ；（4）两数和的立方公式： (a + b )3= a 3+ b 3+ 3a 2b + 3ab 2；（5）两数差的立方公式： (a - b )3 = a 3 - b 3 - 3a 2b + 3ab 2． 【高一前应掌握的练习】【例 1】 计算： (x +1)(x -1)(x 2 - x +1)(x 2+ x+1) ． 解法一：原式= (x 2 -1) ⎡⎣(x 2 +1)2 - x 2⎤⎦= (x 2 -1)(x 4 + x 2+1) = x 6-1．解法二：原式= (x +1)(x 2 - x +1)(x -1)(x 2+ x +1) = (x 3 +1)(x 3-1) = x 6-1．【例 2】 已知a + b + c = 4 ， ab + b c + ac = 4 ，求a 2+ b 2+ c 2的值． 解： a 2+ b 2+ c 2= (a + b + c )2- 2(ab + bc + ac ) = 8．1.3 ．二次根式高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，会涉及到大量与二次根式有关的计算．【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)．【高中】会学习有理指数幂及运算.【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概念与运用，分子(母)有理化， 简单的无理方程（不等式）． 补充知识：1. 二次根式的性质（1）若a ≥ 0，则( a )2=a ;（2） a 2= a = ⎧a (a ≥ 0),⎩（3） a ⋅ b = ab (a ≥ 0,b ≥ 0);3 -1( 3 +1)( 3 -1)3 -1 11 11 10 6 11 12 - 11 10 11 + 10 1 （4） a= b(a ≥ 0, b > 0).2. 分母有理化1 把分母中的根号化去，即分母有理化.如== .2把分子中的根号化去，即分子有理化.如【高一前应掌握的练习】-1=2. x = 3 +11,2 2a【例 1】 计算： ÷ (3 - 3) .解法一： ÷ (3 - 3) ＝ 3 ⋅ (3 + 3) ＝ 3 3 + 3 ＝(3 - 3)(3 + 3) 3 + 1 9 - 3 ＝6＝．2解法二： ÷ (3 - 3) ＝ 33 - 33 +1 3 = 3( 3 -1) 3 + 11 ＝3 -1 ＝＝．( 3 -1)( 3 +1) 2【例 2】化简：（1） 9 - 4 5 ； （2）x 2 + 1 x 2- 2 (0 < x < 1) ． 解：（1）原式= 5 - 4 5 + 4= ( 5)2 - 2 ⨯ 2 ⨯ 5 + 22= (2 - 5)2= 2 - 5 = 5 - 2 ．（2）原式= ( x - 1 )2x = x - 1， x∵ 0 < x <1，∴ 1> 1 > x ，x ∴原式＝ - x ． x【例 3】试比较下列各组数的大小：2（1） - 和 - ； （2）6 + 4和2 2－ .( 12 - 11)( 12 + 11) 1解：（1）∵ - = = = ，1 12 + 11 12 + 11 11 - 10 ( 11 - 10)( 11 + 10) 1- == = ， 1 11 + 10a b 3 +1 3 -b ± b 2- 4ac 3 3 3 3 - 33( 3 + 1)3 12 12 11解：（1）原方程变形为 x 2+ 5x +1=2x -1，两边平分，得 x 2 + 5x +1=4x 2- 4x +1.整理，得3x 2- 9x = 0,即3x (x - 3)= 0 ， 解得 x = 0 或 x = 3.（2）原方程变形为 2x - 4 = x + 5 +1，两边平分，得2x - 4 = x + 5 +1+ 2 x + 5 ，再两边平分，得 x 2- 20x +100 = 4x + 20 ，12 11 12 11 6 2 2－ 6 (2 2－ 6)(2 2+ 6) 2 2+ 6 2 2+ 6 6 3 - 2 3 + 2 2x 2 + 3x + 9 x + 5 2x 2 + 3x + 9 又 + > 11+ 10 ， ∴ - ＜ - 10 ．2 （2）∵ 2 2－ == = , 1又 4＞2 2，∴ 6＋4＞ 6＋2 2， 2∴6 + 4＜ 2 2－ .【例 4】已知 x = 3 - 2 , y =3 + 2，求3x 2 - 5xy + 3y 2的值 ． 解：∵ x + y = 3 - 2+ 3 + 2 = ( - 2)2 + ( 3 + 2)2 = 10 ，3 + 2 3 - 23 + 2 xy = ⋅ = 1，3 - 2∴ 3x 2 - 5xy + 3y 2 = 3(x + y )2 -11xy = 3⨯102 -11 = 289 ．【例 5】解方程：（1） - 2x + 1 = 0 ；（2） 2x - 4 - x + 5 = 1；（3） 2x 2+ 3x - 5 + 3 = 0 ．即 x -10 = 2 .整理，得 x 2- 24x + 80 = 0 ，即(x - 20)(x - 4) = 0 ，解得 x = 20 或 x = 4 . （3）原式可化为( 2x2+ 3x + 9 )2- + 25 = 49 ，4 4即⎛5 ⎫2- ⎪ ⎛ 7 ⎫2= ⎪ ，⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 113 + 2 3 - 23 x 2 + 5x + 1 2x 2 + 3x + 92x 2+ 3x + 9 A ⎩5 = 7 ⎛ - 7 舍⎫ ， 2 2 2 ⎪⎝ ⎭∴ 2x 2+ 3x + 9 =6 ，解得 x = 3 或 x = - 9.2小知识：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.在解无理方程时，需要将方程得两边乘方，从而化为有理方程，这样得到的方程有可能产生不适合原方程得根.因此，解无理方程时，必须把解得的有理方程得根带入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根；如果不适合，就是曾根.1.４．分式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．【高中】不再学习.但在整个高中学习中都会用到分式的计算. 高二选修中，有少量分式不等式的学习.【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程．补充知识：a 1.繁分式：像 bm + n + p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．遇 ，c + d2m n + p到繁分式化简要分清谁是分母，谁是分子，将其化成一般分式进行运算.2.解分式不等式： ；f (x )⎧ f (x )g (x ) ≥ 0(≤ 0),≥ 0(≤ 0) ⇒ ⎨g (x ) ⎩g (x ) ≠ 0.若分式不等式的一端不为 0 ，则先移项，使得不等式一端为零，再通分化为f (x )> 0(< 0) 或 g (x )f (x )≥ 0(≤ 0) 的形式进行求解. g (x )【高一前应掌握的练习】5x + 4 【例 1】若= A + B ，求常数 A , B 的值．x (x + 2) x x + 2解： ∵ + B= A (x + 2) + Bx = ( A + B )x + 2A =5x + 4 ， x x + 2 ⎧ A + B = 5,∴ ⎨2A = 4,x (x + 2) x (x + 2) x (x + 2) 解得 A = 2, B = 3 ．【例 2】解方程 1 + x + 2 4x - x 2- 4 2x - 2= 1 ．- = - = < ⎪解：原式通分3x - 6(x + 2)(x - 2)x - 2 + 4x - 2 ( x + 2) (x + 2)(x - 2)= 1，= 1，3x + 2= 1 ，解得 x =1.【例 3】（1）已知a > b > 0 ，求证： 1 < 1．ab（2）已知 x > 0，求证： x + 1≥ 2 ．x1 1 (b - a )证明：（1） .a b ab∵ a > b > 0 ，∴ b - a < 0 ， ab > 0 ，1 1 (b - a )∴ 0 .a b ab∴ 1 < 1 .ab1x 2 - 2x +1(x -1)2（2） x + - 2 ==.xxx∵ x > 0 ，∴ (x -1)2≥ 0 ，∴(x -1)2x ≥ 0 ， ∴ x + 1 x≥ 2 . 【例 4】解下列不等式： 3x + 1 ≥ -1 3 - x解：（1） 3x + 1 +1 ≥ 0 ，3 - x； x 2- 3x + 2 x 2 - 2x - 3< 0 ．3x +1+ 3 - x ≥ 0 ，即 2x + 4 ≥ 0 ，3 - x ⎧⎪(x + 4)(3 - x ) ≥ 0, ∴ ⎨ ⎩3 - x ≠ 0,3 - x解得-2 ≤ x < 3. （2）原不等式变形为(x 2- 3x + 2)(x 2- 2x - 3)< 01 12 2 1 2即 (x -1)(x - 2)(x - 3)(x +1)< 0 ， 解高次不等式用穿根法，得-1 < x < 1 或2 < x < 3 .2.1 分解因式【初中】会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）． 【高中】不再学习整式．但在整个高中学习中都会用到因式分解进行计算.【建议】掌握十字相乘法分解因式. 补充知识：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法．1.分组分解法对于一个多项式整体，若不能直接运用提公因式法或公式法进行因式分解，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解.2.十字相乘法一般地，对于二次三项式ax 2+ bx + c (a ≠ 0) ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a = a 1a 2 ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c = c 1c 2 ，把a 1, a 2 , c 1, c 2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c + a c ，若它正好等于二次三项式 ax 2+ bx + c 的1 22 1一次项系数b ，即a 1c 2 + a 2c 1 =b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x + c 1 和a 2 x + c 2之积，即ax 2+ bx + c = (a x + c )(a x + c ).像这种借助面十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.3.求根法若 ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 有两个实数根 x , x ，则二次三项式ax 2 + bx + c 就可以分解为a (x - x 1 )(x - x 2 ) .4.常见的配方变形有：（1） a 2 + b 2 = (a + b )2 - 2ab = (a - b )2+ 2ab ；（2） x 2+ 1 x 2= (x + 1 )2 - 2 = (x - 1)2 + 2 ；xx（3） a 2+ b 2+ c 2= (a + b + c )2- 2(ab + bc + ca ) ；－111 2 （4） a 2 + b 2 + c 2+ ab + bc + ca = 1[(a + b )2 + (b + c )2 + (c + a )2] ；……2【高一前应掌握的练习】1．十字相乘法【例 1】分解因式：（1） x 2－3x ＋2 ； （2） x 2＋4x －12 ；（3） x 2 - (a + b )xy + aby 2； （4） xy -1+ x - y ．解：（1） x 2－3x ＋2 =（x -1）(x - 2)；（2） x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ；（3） x 2- (a + b )xy + aby 2＝ (x - ay )(x - by ) ;（4） xy -1+ x - y ＝xy ＋(x －y )－1x＝(x －1) ( y +1)（如图所示）．y2．提取公因式法与分组分解法【例 2】分解因式：（1） a 2 (b - 5)+ a (5 - b )（2）x 3 + 9 + 3x 2 + 3x （3） 2x 2+ xy - y 2- 4x + 5y - 6 ．解：（1） a 2(b - 5)+ a (5 - b )= a (b - 5)(a - 1)（2）方法一： x 3 + 9 + 3x 2 + 3x = (x 3 + 3x 2 ) + (3x + 9) = x 2(x + 3) + 3(x + 3)= (x + 3)(x 2+ 3) ．方法二： x 3 + 9 + 3x 2+ 3x ＝ (x 3 + 3x 2 + 3x +1) + 8＝ (x +1)3 + 8 ＝ (x +1)3 + 23＝[(x +1) + 2][(x +1)2- (x +1) ⨯ 2 + 22]＝ (x + 3)(x 2+ 3)（3）方法一： 2x 2+ xy - y 2- 4x + 5y - 6 = 2x 2+ ( y - 4)x - y 2+ 5y - 6= 2x 2+ ( y - 4)x - ( y - 2)( y - 3) =(2x - y + 2)(x + y - 3) ． 方法二： 2x 2+ xy - y 2- 4x + 5y - 6 = (2x 2+ xy - y 2) - (4x - 5y ) - 6=(2x - y )(x + y ) - (4x - 5 y ) - 6 =(2x - y + 2)(x + y - 3) ．3．关于 x 的二次三项式ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的因式分解．若关于 x 的方程 ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0)的两个实数根是 x ， x ， 则二次三项式12ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 就可分解为a (x - x )(x - x ) .2 1 1 【例 3】把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） x 2+ 2x -1； （2） x 2 + 4xy - 4y 2．解： （1）令 x 2+ 2x -1=0，则解得 x = -1 + 2 ， x = -1- ，2∴ x 2+ 2x -1=⎡ x - (-1+ 2)⎤ ⎡ x - (-1 - 2)⎤ ⎣⎦ ⎣⎦= (x +1- 2)(x +1+ 2) ．（2）令 x 2 + 4xy - 4y 2 =0，则解得 x = (-2 + 2 2) y ， x 1 = (-2 - 2 2) y ，∴ x 2 + 4xy - 4y 2 =[x + 2(1- 2) y ][x + 2(1+ 2) y ] ．二．函数与方程二次函数知识的生长点在初中，而发展点则在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化．【初中】具体地学习了一次函数、二次函数、反比例函数，了解这些函数的概念、图象和性质. 确定二次函数的表达式，会用描点法画出二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【高中】结合二次函数的图象，（1）判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；（2）求一元二次不等式.【建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究，所以应该更深入地研究二次函数的图象和性质，包括：简单的图象变换、求给定自变量 x 的范围的二次函数的最值、构造二次函数来解决一些问题．2.1 二次函数的三种表示方式1．一般式： y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0)；2．顶点式： y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠ 0)，其中顶点坐标是(－h ，k ) ．3．两根式： y ＝a (x －x 1 ) (x －x 2 ) (a ≠ 0) ，其中 x 1，x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、两根式这三种表达形式中的某一形式来解题．2.2 根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)，用配方法可以将其变形为-b b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b b 2 - 4ac(x + b )2 2ab 2- 4ac ． ①4a 2 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，通常用符号“ ”来表示．综上所述，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)，有（1）当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1,2 = 2a ；（2）当 ＝0 时，方程有两个相等的实数根： x ＝x ＝－ b；1 2 2a（3）当 ＜0 时，方程没有实数根．【例 1】. 已知关于 x 的方程(m 2-1)x 2+ (m +1)x +1 = 0 有实根，求实数m 的取值范围. 【分析】这是一个二次项系数含字母的方程，需要分情况讨论.但当m 2-1 = 0 ，即= ±1 时，还要看m +1是否为零，即这个方程可以是二次的，也可以是一次的. 【解】当m 2-1 = 0 ，即m = ±1时，已知方程化为(m +1)x +1 = 0 . 若m = 1，则 x = - 1.2若 m = -1，则0⋅ x +1 = 0 ，方程无解.当 m 2-1 ≠ 0 ，即m ≠ ±1时，原方程有实根，此时， ∆=(m +1)2 - 4(m 2 -1) = -3m 2 + 2m + 5 ≥ 0 ，即 ⎛m - 5 ⎫ (m +1) ≤ 0 ，解得-1 ≤ m ≤ 5 且m ≠ 1.3 ⎪ 3 ⎝ ⎭ 综合上述两方面知，当原方程有实根时，实数m 的范围是⎛-1, 5 ⎤ .3 ⎥ ⎝ ⎦【说明】判别式对二次方程使用有效.在用判别式时，应考虑二次项的系数不等于 0 这个前提，这是容易漏掉的地方.2.3 根与系数的关系（韦达定理）【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．【高中】不再直接学习.但根与系数的关系会在研究函数、导数、圆锥曲线时直接使用. 【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造 以 x 1 , x 2 为根的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题． 补充知识： 1.韦达定理若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)有两个实数根x 1 = 2a ， x 2 = 2a， =b 2- 4ac ∆ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2-2b b则有 x 1 + x 2 =+ = = - ； 2a ab 2 - (b 2- 4ac ) 4ac cx 1 x 2 = ⋅ 2a 2a = 4a 2 = = ． 4a 2a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的两根分别是 x ，x ，那么 x ＋x ＝- b ，x ·x ＝ c ．这一关系也被称为韦达定理．1 2 1 2a1 2a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0 ，若 x ，x 是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2 )，q ＝x 1·x 2 ，所以，方程 x 2＋px ＋q ＝0 可化为 x 2－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 ，由于 x ，x是一元二次方 121 212程 x 2＋px ＋q ＝0 的两根，所以 x ，x 也是一元二次方程 x 2－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 的两根．因此 ， 以 两 个 数 x 1，x 2 x 2－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 . 为 根 的 一 元 二 次 方 程 （ 二 次 项 系 数 为 1 ）是2. 一元二次方程的两根之差的绝对值一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的 问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x 和 x 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的两根，则1x 1 = 2-b + b 2 - 4ac 2a ，x 2 = -b -b 2 - 4ac， 2a∴ x 1－x 2 -b + ＝ b 2 - 4ac - -b - 2a b 2 - 4ac =2a= = ．| a | | a |于是有下面的结论：若 x 和 x 是一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0) 的两根，则 x －x =（其中1212| a |∆＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接应用上面的结论． 【高一前应掌握的练习】 【例 1】 已知方程5x2+ kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值． 解：设方程的另一个根为 x ，由韦达定理，得2x =- 6，解得 x =- 3. 55再由韦达定理，得- 3+ 2 = - k，解得k = -7 .5 5【例 2】已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．【分析】我们可以设出这两个数分别为 x ， y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．-b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac 2 b 2 - 4ac 2a ∆1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2+解：由韦达定理知，这两个数是方程 x 2- 4x -12 = 0 的两个实根. 解方程得 x 1 = 6, x 2 = -2 .【例 3】若关于 x 的一元二次方程 x 2－x ＋a －4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设 x 1，x 2 是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0 ， ① 且 ∆＝(－1)2－4(a －4)＞0 ． ② 由①得 a ＜4 ， 由②得 a <17．∴ a 的取值范围是 a ＜4 ． 4【例 4】已知关于 x 的方程 x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求m 的值．【分析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21 得到关于m 的方程， 从而解得 m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此， 其根的判别式应大于零．解：设 x 1，x 2 是方程的两根，由韦达定理，得 x ＋x ＝－2(m －2)，x ?x ＝m 2＋4． x 2＋x 2－x ·x ＝21， ∴(x ＋x )2－3x ?x ＝21， 即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得m 2－16m －17＝0 ， 解得 m ＝－1或m ＝17 .当 m ＝－1 时，方程为 x 2＋6x ＋5＝0，∆＞0 ，满足题意；当 m ＝17 时，方程为 x 2＋30x ＋293＝0 ，∆＝302－4 ⨯1⨯ 293＜0 ，不合题意，舍去． 综上， m ＝17 ．【例 5】若 x 和 x 分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0 的两根．12（1）求| x 1－x 2 | 的值；11（2）求x 2 x2 的值；1 2（3） x 3＋x 3． 解：∵ x 和 x 分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0 的两根，1 2∴ x + x = - 5 ，x x =- 3． 1 2 2 1 2 2（1）∵ | x －x |2 ＝x 2 + x 2－2x x ＝(x ＋x )2－4x x ＝(- 5)2 - 4 ⨯ (- 3) 1 2 1 2 1 2 125 49＝ ＋6＝ ，4 4 2 1 2 2 2∴ | x 1－x 2|＝ 7 ． 22 - 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 212 2 2(- 5)2 - 2 ⨯ (- 3)25+ 3（2） + 1= x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) - 2x 1 x 2 = 22 = 4 = 37 ． x2x 2 x 2⋅ x 2(x x )23 29 912121 2(- )2 4（3） x 3＋x 3＝(x ＋x )(x 2－x x ＋x 2 )＝(x ＋x )[ (x ＋x )2－3x x ] 5 5 3 215＝(－ )×[(－ ) －3×( )]＝－ ． 2 2 2 82.4 二次函数的图象和性质（衔接中最重要的内容）二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来．在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．（1） 二次函数图象及性质（2） 二次函数 y = ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.函数二次函数 y = ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠ 0)图象a > 0a > 0性质（1）抛物线开口向上 （1）抛物线开口向下bb 4ac - b 2（2）对称轴是 x = - ，顶点是（- ， ）2a 2a 4a（3）当 x <-b时， y 值随 x 的增2a大而减少；当 x > -b时，y 值随 x 的增大而增2a大b （3）当 x <-时， y 值随 x 的增大而2a增大；b 当 x > -时， y 值随 x 的增大而减少2ax = - b（4）抛物线有最低点，当2a 4ac - b 2y min = 4a时，y 取得最小值， x = - b（4）抛物线有最高点，当2a 时， 4ac - b 2y y max = 4a取得最大值，（2）二次函数的最值已知二次函数 y = f (x ) = ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0) ，我们可以利用配方法或公式法得到：若 a > 0 ，则当 x = - b 2a时，函数有最小值，y =f (- b ) = 最小 2a 4ac - b 2； 4a 若 a < 0 ，则当 x = - b2a时，函数有最大值，y =f (- b ) = 最大 2a函数的最大值与最小值统称为函数的最值.【高一前应掌握的练习】4ac - b 2. 4a【例 1】对于二次函数 y = x 2 - 4x + 1，分别在下列的自变量取值范围内，求出函数的最大 值、最小值．（1） 3 ≤ x ≤ 4 ； （2） 0 ≤ x ≤1； （3） 0 ≤ x ≤5 ． 解：∵令 f (x ) = y = x 2 - 4x +1 = (x - 2)2- 3 ，∴函数的对称轴为 x = 2 .（1）当3 ≤ x ≤ 4 时， y 的值随 x 值的增大而增大， ∴ y min = f (3) = -2, y max = f (4) = 1；（2）当0 ≤ x ≤1时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ y min = f (1) = -2, y max = f (0) = 1；（3）当0 ≤ x ≤ 5 时， y 的值随 x 值的增大先减小再增大， ∴ y min = f (2) = -3, y max = f (5) = 6 .【例 2】 求二次函数 y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵ y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4 ，∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x ＝-1 ； 顶点坐标为(－1，4)；当 x ＝-1 时，函数 y 取最大值 y ＝4 ；当 x ＜－1时， y 随着 x 的增大而增大；当 x ＞－1时， y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点 A (－1，4))，与 x 轴交于点 B (2 3 - 3 , 0) , C (- 2 3 + 3, 0) ， 3 3与 y 轴的交点为 D (0，1) ，过这五点画出图象（如图 2－5 所示）．【 例 3 】 已 知 . （1）求 y 的最值 （f x ）. （2）当 a 取不同的实数值时，抛物线的顶点在何处？解：（1）y=a （ ）若 a>0， 则 当 x= 1 时 ， 最 小 .当 a<0，则当 x= 1 时， 最大 .（2）当 a 取不同的实数值时，抛物线的顶点都在直线 x= 1 上.说明：求二次函数 y =f （x ）= 的最值，必须对二次项系数进行讨论，若a>0，则当 x= 时，函数有最小值， ；若 a<0，则当 x= 时，函数有最小最大值，.最大【例 4】 求函数 y=的最大值.（ ）【分析】本题令 t （ ），t 是一个关于 x 的二次函数，问题就转化为求t= （ ）的最小值，进而可求函数 y=的最大值.（ ）解：∵1- （x 1- x ）= 1- x + x 2= ⎛x - ⎝ 1 ⎫2⎪ ⎭ + 3 ≥ 3 ，4 4∴y = 1≤ 4 ，y = 41- （x 1- x ） 3 max 321 2 1 2 1 2≠－；1. 一元二次不等式2.5 一元二次不等式及不等式组形如 （或 或 ，或 ），其中 的不等式叫做一元二次不等式. （1） 不 等 式 或 （ ） 的 解 如 下 表 .【为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a ＞0 时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△ ＞0，△=0，△＜0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3－2 所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与 ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．（1） 当 Δ ＞0 时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴有两个公共点(x ，0)和(x ，0)， 方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 有两个不相等的实数根 x 和 x (x ＜x )，由图 2.3－2①可知不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 的解为x ＜x 1，或 x ＞x 2； 不等式 ax 2＋bx ＋c ＜0 的解为x 1＜x ＜x 2．（2）当 Δ ＝0 时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴有且仅有一个公共点，方程 ax 2＋b bx ＋c ＝0 有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ ，由图 2.3－2②可知2a 不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 的解为 x b2a不等式ax2＋bx＋c＜0 无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x 轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0 没有实数根，由图 2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0 的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0 无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．（文字说明）对于二次项系数是负数（a<0）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解.（2）不等式与的解：的解或;的解;⇔或⇔或⇔;⇔.（3）一元二次不等式的一般解题步骤对于一元二次不等式或（），先计算判别式的值.若或，则求出对应的一元二次方程的根，然后对照上表写出不等式的解，若，则可直接对照上表写出不等式的解.另外，当时，一元二次不等式或（）还可利用积的符号法则化成一次不等式组来解.一般可先将不等式等价变形为或，其中是方程的两根，再进行求解 .2.一元二次不等式组一元二次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组内每一个不等式的解；（2）求这些解的公共解即为原不等式组的解.【高一前应掌握的练习】【例 1】解不等式：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）∵∆＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x ＝-3，x ＝1．1 2∴不等式的解为－3 ≤x ≤ 1．（2）整理，得x2－x－6＞0 ．∵ ∆＞0 ，方程x2－x－6 = 0 的解为x＝－2，x ＝3 ．1 2-a a 2 - 4 -a - a 2- 4 -a + a 2- 4 ⎩∴所以，原不等式的解为 x ＜－2 或 x ＜3 ． （3）整理，得(2x ＋1)2 ≥ 0 . 由于上式对任意实数 x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x －3)2≤ 0 .由于当 x ＝3 时， (x －3)2＝0 成立；而对任意的实数 x ， (x －3)2＜0 都不成立， ∴原不等式的解为 x ＝3 ．（5）整理，得 x 2－x ＋4＞0 ．∆＜0 ，所以，原不等式的解为一切实数．【例 2】解关于 x 的一元二次不等式 x 2+ ax +1 > 0(为实数).【分析】对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 ∆ 的符号,而这里的 ∆是关于未知系数的代数式, ∆ 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对∆ 的符号进行分类讨论. 解: ∆ = a 2- 4 ,①当∆ > 0,即a < -2或a > 2时, 方程x 2+ax +1 = 0的解是x 1 =2 , x 2 = .-a +a 2 - 4 所以,原不等式的解集为 x < 或 x >；22②当∆＝0 ，即a ＝± 2 时，原不等式的解为 x ≠ - a ；2③当∆ < 0,即- 2 < a < 2 .综上,当a ≤ －2 ，或 a ≥ 2 时，原不等式的解是x <-a - a 2 - 4 2 或 x > ； 2当-2 < a < 2时，原不等式的解为一切实数.⎧⎪x 2 + 2x - 35 > 0, （1）【例 3】解不等式组⎨ x - 2 < 10.⎩⎪（2） 解： 由（1）得 x < -7或x > 5.由（2）得-8 < x <12 .⎧x < -7或 x > 5 于 是 原 不 等 式 组 的 解 就 是 ⎨-8 < x < 12的 公 共 部 分 ， 如 图 说 是 ，即-8 < x < 7或 5< x < 1.-a a 2 - 4x ＝－1 OxA 1(－3,－1) A (1,－1)2.6 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．【例 1】求把二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位； （2）向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的解析式可变为 y ＝2(x －1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)．（1）把函数 y ＝2(x －1)2－1的图象向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y ＝2(x－3)2－2 ．（2）把函数 y ＝2(x －1)2－1的图象向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x ＋1)2＋2 ． 2．对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．【例 2】求把二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线 x =-1；（2）直线 y ＝1 ．解 ：（ 1 ） 如 图 2 ． 2 － 7 ， 把二次函 数y ＝2x 2－4x +1 的图象关于直线 x =-1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状． 由于 y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数 y ＝2x 2－4x +1 图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 A 1(－3，1)，所以，二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象关于直线 x =-1对称后所得到图象的函数解析式为 y ＝2(x ＋3)2－1 ，即 y＝2x 2＋12x 17＋ ．y图 2.2－7⎨⎪ （2）如图 2．2－8，把二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象关于直线 x =-1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．由于 y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1 ， 可知， 函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B （1,3） ，且开口向下，所以， 二次函数 y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1 对称后所得到图象的函数解析式为 y ＝－2(x －1)2＋3 ，即 y ＝－2x 2＋4x ＋1．二、分段函数图 2.2－8一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．【例 3】 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80 分，超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分，超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封 x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量 x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当 x 在各个小范围内（如 20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是 160 分）． 解：设每封信的邮资为 y （单位：分），则 y 是 x 的函数．这个函数的解析式为⎧80, ⎪⎪160 y = ⎪240, ⎪320 ⎪⎩400,x ∈ (0, 20] x ∈ (20, 40] x ∈ 940,80] x ∈ (60,80] x ∈ (80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如图 2．2－9 所示．y B (1，3) y ＝1 O x A (1,－1)。
