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泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）
1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx
C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx
D.1≥-≥-αα，
y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x
B.()数复为任意实,αααx x =
C. y x y x +≤+
D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的
C.集X是闭的
D.集Y是闭的
5、设(1)
p
l p
<<+∞的共轭空间为q l，则有11
p q
+的值为（）.
A. 1-
B.1
2
C. 1
D.
1
2
-
二、填空题（每个3分，共15分）
1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。
3、1l的共轭空间是（）。
4、设X按内积空间成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）
1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。 ( )
2、距离空间中的列紧集都是可分的。( )
3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( )
4、任何一个Hilbert空间都有正交基。( )
5、设X是线性赋范空间，T是X X的有界线性算子，若T既是单
射又是满射，则T 有逆算子。( ) 四、计算题（10分）
叙述1l 空间的定义，并求1l 上连续线性泛函全体所成的空间？。
五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）
1、若T 为Banach 空间X 上的无界闭算子，证明T 的定义域至多只能在X 中稠
密。
2、设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令
1
0(,)|()()|,d x y x t y t dt =-⎰证明(,)x d 成为度量空间。
3、证明n R 按范数||||max ||i i
x ξ=组成的赋范线性空间X 与n R 按范数
1||||||n
i i x ξ==∑组成的赋范线性空间Y 共轭。
4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有
一个弱*收敛子列。
5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线
性子空间。
泛函分析期末考试试卷答案
一、选择题
1、A
2、D
3、B
4、D
5、D
二、填空题
1、柯西点列
2、巴拿赫空间
3、∞
l 4、||≦||x||||y|| 5、对于一切x ∈X,是实数 三、判断题
1、对
2、对
3、错
4、错
5、错 四、计算题
答： 1
121(,,),,(1,2
)i i i l x R i ξξξξ∞
=⎧
⎫
==<∞∈=∞⎨⎬⎩
⎭
∑ 对于任意12(,,
,)n x ξξξ=，12(,,)n y ηηη=，定义运算
1122
(,)n n x y ξηξηξη+=+++，12
(,)n ax a a a ξξξ=
1
l 按上述加法与数乘运算成为线性空间11
i i x ξ∞
==∑
1l 按上述定义的范数构为Banach 空间
令(0,01,0),1,2
n n
e n ==，121
(,,0,0,),n
n n n i i i x x e ξξξξ===∑
则12
1(,)n
n
x l ξξξ∀=∈能被表示为lim n n x x →∞
=，对任意给定()'
1f l
∈，
令(),1,2
n n f e n η==则1
1
()(lim )lim ()lim ()n
n n n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞
→∞
→∞
======∑∑.
又因为1i e =对于i ∀
有1()i i i f e f e f η=≤=。 由此可得sup i i
f η≤即12
(,)n
l ηηη∞∈
