面积的函数关系式问题

一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。

当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。

本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。

一、如何将一次函数与面积联系起来在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。

通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。

若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。

二、一次函数与矩形面积的关系在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。

矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。

如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。

三、利用一次函数的特性解决面积问题如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以通过两条函数的表达式来求出图形的面积。

四、实例解析为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，我们来看一个实例：例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。

解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。

将两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。

接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计算出四边形的面积。

将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。

中考压轴题:二次函数中的面积问题学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题课型一对一/一对N教学目标1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。

3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．重、难点割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。

课首沟通1、上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？2、在初中学习二次函数过程中，是否还存在思维障碍和知识点？3、面对二次函数图象中的图形平移得到面积问题能不能自我总结出一般法则呢？知识导图导学一：二次函数中求面积的最值知识点讲解 1：直接公式法求解图形面积S△ = a ha d (d表示已知点到直线的距离)2、割补（和差）法以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。

S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：或S△ =3、平行线等积变换①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC= S△DBC，S△AOB =S△COD例 1. （2015潍坊中考改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2－x1＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．【学有所获】图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)(2)(3)[学有所获答案] (1) 直接公式求法(2) 割补法(3) 平行线等积变换法我爱展示1.（2014海珠一模）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧）与轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE＝90°时，求出点P的坐标；（3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标．2.（2015越秀期末考试）如图，已知抛物线y＝x2＋ax＋4a与x轴交于点A，B，与y轴负半轴交于点C且OB＝OC，点P为抛物线上的一个动点，且点P位于x轴下方，点P与点C不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC的面积为，求点P的坐标；（3）若以A，B，C，P为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，对应的点P有且只有2个?导学二：二次函数中的图形平移、折叠问题知识点讲解 1：二次函数、一次函数图象平移法则将（）的图像如何平移到的图像。

中考数学复习考点知识讲解与练习专题30 二次函数中的面积问题进入函数学习以后，面积问题在一直是学习中的一个重点，常考点，因此在二次函数的面积问题必然是中考复习中的一个重要内容，其面积往往有直接计算，割补法计算等，其中基本图形有以下几种：当然，更多的时候利用铅垂高度与水平宽度的一半进行运用，更显方便；通过本中考数学复习考点知识讲解与练习专题的巩固训练，让学生对二次函数的面积问题能形成良好的才思考方法，学会观察、分析、比较、总结，掌握二次函数面积相关问题的计算方法。

1．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．2y(x3)=+B．2y x9=+C．26y x x=+D．2312y x x=+2．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）A．16y x=B．6y x=C．26y x=D．6yx=3．如图ABC和DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边,BC EF在同一条直线l上，点C ，E 重合，现将ABC ∆沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．将抛物线y=x 2-4x+1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y=-3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．抛物线234y x x =--与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C 点，则△ABC 的面积为（）A ．3B ．4C ．10D ．126．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A ．②③B ．③④C ．①②D ．①④7．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在等腰Rt ABC 中，90C ∠=︒，直角边AC 长与正方形MNPQ 的边长均为2,cm CA 与MN 在直线l 上．开始时A 点与M 点重合，让ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设ABC 与正方形MNPQ 重叠部分(图中阴影部分)的面积为2ycm ，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，用长为24m 的篱笆围成一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃，则围成的花圃的面积最大为（）A ．48 m 2B ．45m 2C ．16 m 2D ．44m 211．如图，等腰()90Rt ABC ACB ∠=的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，在直角坐标系的第一象限内，AOB 是边长为2的等边三角形，设直线:(02)=l x t t 截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的大致函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大14．如图，在Rt DEF △中，90EFD ∠=︒，30DEF ∠=︒，3EF cm =，边长为2cm 的等边ABC 的顶点C 与点E 重合，另一个顶点B （在点C 的左侧）在射线FE 上．将ABC 沿EF 方向进行平移，直到A 、D 、F 在同一条直线上时停止，设ABC 在平移过程中与DEF 的重叠面积为2ycm ，CE 的长为x cm ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．15．如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=6，点O 是线段BD 上一动点，EF 、GH 过点O ，EF∥AB，交AD 于点E ，交BC 于点F ，GH∥BC，交AB 于点G ，交DC 于点H ，四边形AEOG的面积记为S，GB=a，则S关于a的函数关系图象是（）A．B．C．D．16．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，现有四种方案供选择(如图)：A方案为一个封闭的矩形；B方案为一个等边三角形，并留一处1m宽的门；C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门；D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m宽的门．已知计划中的篱笆(不包括门)总长为12m，则能建成的饲养室中面积最大的方案为()A．B．C．D．17．如图，4AB 为半圆的直径，动点P为AB上，点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，速度为2，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．18．如图，ABC 和DEF 都是直角边长为的等腰直角三角形，它们的斜边AB ，DE 在同一条直线l 上，点B ，D 重合．现将ABC 沿着直线l 以2cm/s 的速度向右匀速移动，直至点A 与E 重合时停止移动．在此过程中，设点B 移动的时间为()s x ，两个三角形重叠部分的面积为()2cm y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题19．用一根长为100cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是__________cm 2．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，且5OA =，过抛物线的顶点B 分别作BC x ⊥轴于C 、BD y ⊥轴于D ，则图中阴影部分图形的面积的和为______．21．已知，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，且AC +BD ＝10，当AC ＝_______时，四边形ABCD 的面积最大，最大值为__________．22．如图，ABC ∆为一块铁板余料，10BC =cm ，高AD=10cm ，要用这块余料裁出一个矩形PQMN ，使矩形的顶点P ，N 分别在边上AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边上BC 上，则矩形PQMN 面积的最大为_________2cm ．23．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==AD 为BC 边上的高，动点P 在AD 上，从点A 出发，沿A D →方向运动，设AP x =，ABP △的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，12y S S =+，则y 与x 的关系式是________．24．如图，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A 、D 两点的抛物线与以O 为顶点且经过B 、C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面积是______________．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______26．如图，点P 是双曲线C ：y ＝4x (x ＞0)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：y ＝12x ﹣2于点Q ，连结OP ，OQ ．当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是_____．27．如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >．若ABC ∆与ABD ∆的面积比为1:3，则k 值为________．28．如图，将抛物线y=−12x2平移得到抛物线m．抛物线m经过点A（6，0）和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=−12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．29．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝，则图中阴影部分的面积为___30．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.31．已知二次函数y=x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴上方的抛物线上有一点C ，且△ABC 的面积等于10，则C 点坐标为________．32．如图，在平面直角坐标系中，过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-交于点A ，B ，以线段AB 为对角线作菱形ACBD ，使得60D ︒∠=，则菱形ACBD 的面积最小值为______．33．如图，有一块三角形土地，它的底边100BC m =，高80AH m =，某房地产公司沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的宽是________m ．34．如图，在等边三角形ABC 中，6,AB D =是线段BC 上一点，以AD 为边在AD 右侧作等边三角形ADE ，连结CE ．（1）若2CD =时，CE =_________（2）设BD a =，当EDC ∆的面积最大时，a =__________．35．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx a =+-经过(1,0)-和(0,3)两点，直线1y x =+与抛物线交于A ，B 两点，P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，当ABP △的面积最大值时，点P 的横坐标为___________．三、解答题36．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM =__________（用含x 的式子表示），x 的取值范围是__________；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．37．如图，在ABC 中，∠B=90°，AB=8米，BC=10米，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1米/秒的速度运动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿BC 向C 以2米/秒的速度运动(不与点C 重合)，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动时间为x 秒，BPQ 的面积为y 平方米（1）填空：BQ=米，BP=米(用含x 的代数式表示)（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为多少时y 有最大值，最大值是多少？38．如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知A D ∠=∠90=︒，120C ∠=︒，其中AD DC 、两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏围成．设BC x =米，花圃的面积为y 平方米．（1）用含有x 的代数式表示出DC 的长；（2）求这块花圃的最大面积．39．如图，已知一次函数28y x =-与抛物线2y x bx c =++都经过x 轴上的A 点和y 轴上的B 点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，试求出点D 的坐标和△ABD 的面积；（3）M 是线段OA 上的一点，过点M 作MN x ⊥轴，与抛物线交于N 点，若直线AB 把△MAN 分成的两部分面积之比为1∶3，请求出N 点的坐标．40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ，(0,3)C -，连接BC ，点P 是抛物线上的一个动点，点N 是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当PAB的面积为8时，求点P的坐标．（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

2
3
2
3
2x 18
∵点P在第二象限内,且在直线EF上运动
∴- 9＜x＜0
3
如图,直线y = kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F. 点E的 坐标为(- 9, 0), 点A的坐标为(- 6,0). 点P（x,y）是 第二象限内的直线上的一个动点。 (3)探究：当△OPA的面积为3.6时，求P的坐标
成两部分。
x
(1)求△ABO的面积。 y1 B P
(2)若△ABO被直线CP分成 的两部分面积相等，求点
C
Ay
P的坐标及直线CP的函数表达式。
y2
11
3.如图，一次函数y=kx+1.5 的图象过点M（2，0），与 正比例函数y= —1.5x的图象交于点A，过点A作AB垂直 于x轴于点B。 （1）求k的值并计算y=kx+1.5图象与坐标轴围成的三角 形的面积；
一次函数与面积的关系 动点问题
1
例1.如图,直线y=kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.点E的
坐标为(- 9, 0),点A的坐标为(-6,0),点P(x,y)是第二
象限内的直线上的一个动点。
(1)求k的值；
(2)当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数
关系式，并写出自变量x的取值范围；
2
x
6)
(x,y)p F
∵点P在第二象限
3
PH 2 x 6 2 x 6
3
3
E
A(-6,0) H O
x
∵ A(6,0) OA 6
S△OPA
1 OA PH 2
1 6（2 x 6） 2x 18
OA=__6__,PH=_|_2|_yx_|_6_|。