突破点一 参数方程
[基本知识]
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函
数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参
数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0
＋r sin θ(θ为参数)．
(3)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． [基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形是直线．( )
(2)直线y ＝x 与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为1.( )
答案：(1)√ (2)× 二、填空题
1．曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ，
y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为
____________________．
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ，
y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．
答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)
2．椭圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，
B 两点，则|AB |min ＝________.
答案：
18
5
3．参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2t 2
1＋t 2
，y ＝4－2t
21＋t
2
(t 为参数)化为普通方程为________________________．
解析：∵x ＝2t 2
1＋t 2
，
y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x .
又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2
＝2－21＋t 2∈[0,2)， ∴x ∈[0,2)，
∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))
[全析考法]
考法一 参数方程与普通方程的互化
[例1] 将下列参数方程化为普通方程．
(1)⎩⎨⎧
x ＝3k
1＋k 2，y ＝
6k
21＋k
2
(k 为参数)；
(2)⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． [解] (1)两式相除，得k ＝
y
2x
， 将其代入x ＝3k
1＋k 2，得x ＝3·y 2x 1＋⎝⎛⎭
⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 故所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．
[方法技巧]
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． 考法二 参数方程的应用
[例2] (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ
为参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
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＝1.
当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－
4(2cos α＋sin α)
1＋3cos 2α
，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2. [方法技巧]
1．直线参数方程的标准形式的应用
过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0
＋t sin α.若M 1，M 2是l
上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则
(1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2
2
，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪
t 1＋t 22.
