沪科版九年级上册数学：相似形(公开课课件)

D'
E'
B
C
△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
问题3：试着运DE与△ABC中，∠A=∠A.
A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
E
再证明两个三角形的边成比例，
过点D作DF∥AC，交BC于点F.
AD AB
=
DE BC
=
EA CA
D
E
B
C
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
问题3：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点
D作BC的平行线DE，交AC于点E.△ADE与△ABC之间
有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
△ADE∽△ABC
A
平行移动DE的位置，结论还成立
D
E
△AD'E'∽△ABC 我们发现:
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
练一练：如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC
上，DE∥BC,若BD=2AD，则下列结论正确的是（B ）
A.
AD 1 AB 2
B. AE 1
EC 2
C. AD 1
EC 2
D. DE 1
BC 2
课程讲授
1 相似三角形的有关概念
练一练：如图，△ABC∽△AED,∠AED=∠B,那么下
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴
AD AB
=
AE AC
BF = AE BC AC
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC，
B
AD ∴ AB

随堂练习
6. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °， ∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， A
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
【分析】欲证AB·DE＝BC·CD， 可证 ＝ ，则证明 △ABC∽△CDE即可，由题意可
知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠A＝
90°，则∠2＝∠A.于是 Rt△ABC∽Rt△CDE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝90°，又∠1＋∠A＝90°，Байду номын сангаас1＋∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， ∴△ABC∽△CDE，
2．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且 BP＝1，D为AC上一点，当∠APD＝60°时，CD的长为 __________．
随堂练习
3.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交 BC、BD于点E、F，则△AGD∽_△__E__G_C___∽_△__E_A__B__．
探究新知
探究 如图在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝ ∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：在△ABC的AB上截BD＝B′A′，
过D作DE∥AC，交BC于E.
∴△ABC∽△DBE.
∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′， ∴∠BDE＝∠A′. ∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′， ∴△DBE≌△B′A′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′.
定理：两角分别相等的两个 三角形类似
类似三角形的判定定理1的运用
∴ ＝ ，即AB·DE＝BC·CD.

一角对应相等的两个三角形不一定相似。
例题
A
已知：DE∥BC，EF∥AB.
D
E
求证：△ADE∽△EFC. B
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知）
C F
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）
1.如图，AD是RT△ABC斜边上的中线，AE⊥AD， AE交CB的延长线于点E.求证：△BAE～△ACE.
2.已知，如图，E是矩形ABCD的边CD上的一 点，BF⊥AE于点F，求证： AB AE .
AF DF
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上截取 一点D，使BD=BC,过D作DE⊥AB交AC于点E，若 AC=8,BC=6,求DE的长。
B C
A CLeabharlann DOEA
BB
C
C O
D A D
E C
小练习
找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形 C
有三对相似三角形：
△ACD∽ △CBD
△CBD∽ △ABC
△ACD∽ △ABC
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
C
A
D
B
常用的相等的角：
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD 常用的成比例的线段：
B
D B
A
A
1 D
2 E
常见的相似 图形
22.2.2 相似三角形的判定
第2课时
思考
大家一起画一个三角形 ，三个角分别为60°、 45°、75°，大家画出的三角形相似吗?
一定需要三个 角吗？

由此得出，BC=2B′C′
从而
B'C BC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似
22.2.4 相似三角形的判定（4）
课堂小结
定理：三边对应成比例的两个三角形相似
利用三边 判定三角 形相似
相似三角形的判定定理3的运用
22.2.4 相似三角形的判定（4）
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知应用
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
DE 2.4 0.6, EF 2.1 0.6, FD 1.8 0.6,
AB 4
BC 3.5
随堂练习 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6. 否
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10. 是 DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
否
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)两个三角形在同一图形中. C
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知探究
(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
(4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角 形相似的方法吗？

面积的比等于相似比的平方
1、两个相似多边形的面积比为4:1，则它们的 相似比为_______，周长比为_______。
2、如果把一个三角形的三条边长都扩大为原来 的100倍，则面积扩大为原来的_______倍，周长 扩大为______倍。
3、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍， 则边长为原来的_____倍，周长为原来的______倍。
相
对应高的比
似
三
对应角平分线的比
都等于相似比
角
形
对应中线的比
如图AD、 A′D′ 分别是锐角△ABC和锐角 △A′B′C′的高,且△ABC∽ △A′B′C′,则
AD:A’D’=AAB:A’B’. ∵ △ABC∽ △A′B′C′,
∴∠B=∠B’
又因为AD、 A′D′ 分别是
△ABC和△A′B′C′的高
AB BC CA AB BC CA k AB BC CA
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A A’
B
D
C
B’
D’ C’
△ABC～△A’B’C’，相似比为K
S 1/2 ·BC ·AD =
BC · AD =
= K2
S’ 1/2 ·B’C’ · A’D’ B’C’ · A’D’
K
K
例 已知： △ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别 为 60cm 和 72cm ，且 AB = 15cm ， B′C′= 24cm .求：BC、AC、 A′B′、 A′C′.
B
D
C ∴∠ADB=∠A’D’B’=90° 在△ABD和△A′B′D′中
A′
∠B=∠B’
∠ADB=∠A’D’B’ ∴ △ABD∽ △A′B′D′,

想一想：已知，如图△ABC和△A′B′C′中， .求证：△ABC∽△A′B′C′ .证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E，则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC ,∵ ,∴ .
问题引入
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗？问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
相似
3
3
5
5
探索新知
思 考对于△ABC和△A′B′C′，如果 ，∠B=∠B′， 这两个三角形一定相似吗？
D
E
∴ ,∴ ,∴△ADE≌△A′B′C′(SAS),∵∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定定理2： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简单地说:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.用数学符号表示：∵ ,∴△ABC∽△A′B′C′.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年Βιβλιοθήκη 月1日第22章 相似形22.2 相似三角形的判定
第3课时 三角形相似的判定定理2
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握两个三角形相似的判定方法(两边对应成比例，夹角相等)及其应用.2.体会探究两个三角形相似判定方法的过程.
运用相似三角形的判定定理2解决简单的有关问题.
相似三角形的判定定理2的探索及证明过程.
例题示范
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.(1)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm;(2)∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm.解:(1)∵∴又∵∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.

2
22
∵∠ABN＝∠E，∠ANB＝∠CNE，
∴△NCE∽△NAB，
∴
CE AB
CN AN
，即
X 3
3X 5 22 93X
，
解得，x＝ 5 (或x＝－2 5 2，舍去)．
∵BP＝CE，∴BP＝ 5 .
②解：BP＝ 7－1. 【解法提示】设BP＝x，如解图②，过点C作
CH⊥AB于点H，延长AB至E，使BE＝BP，则AH＝
第22章 类似形（通用）
比例的性质 比例线段
平行线分线段成比例
类 似 类似三角形的性质 三 角 类似三角形的判定 形
类似三角形的基本类型
性质1： a c ad bc(abcd 0)
bd
性质2： 性质3：
如果
如果
a
ba b
c d
c d
, 那么 a
b
b ＝①
m (b d n
c
d
d
2.两角对应相等，两三角形类似
类 似
一般三角形
3.两边对应成比例，且⑥ 夹角相等 ，两三角形类似；
三 角
4.三边对应成比例,两三角形类似
形 的
1.一组锐角对应相等
判 定
直角三角形
①两直角边对应成比例 2.两条边对 应成比例 ②斜边和一直角边对应
成比例
“平行线型”的类似三角形（有“A型”与“X型” ）
AC•cos∠A＝1，BH＝CH＝AC •sin∠A＝ 3，HE＝x ＋，3
∴EC2＝EH 2＋HC 2＝(x＋ )23＋( )2＝3 x2＋2 x＋3 6，
∵M是PC的中点，
∴BM是△PEC的中位线，
∴BM∥EC，
∴∠PCE＝∠PMB＝∠A，

感悟新知
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
知2－练
∴ AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD.
∴△BEF ∽△CDF，△BEF ∽△AED.∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝3BE，∴△BEF与△CDF的相似比k1＝CBDE＝BAEB＝
1 3
；
△
BEF
与
△
AED
的
相
似
比
k2
＝
BE AE
＝
1 4
；
△
CDF
知1－练
感悟新知
知识点 2 平行线截三角形相似的定理
知2－讲
1. 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的
延长线)相交，截得的三角形与原三示，
∵ DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
书写两个三角形相似时，要把表示对应顶 点的大写字母写在对应的位置上.
感悟新知
知2－练
解题秘方：判断是用“平行线截线段成比例”，还是用 “平行线截三角形相似的对应边成比例”解 题是关键.
解：由题意知BD⊥AB，AC⊥AB，∴ BD∥AC. ∴△ACE∽△BDE. ∴ BADC＝ABEE，即A1C＝1.60－.20.2 . ∴ AC＝7 米.
感悟新知
知2－练
3-1.
感悟新知
知2－讲
2. 作用 本定理是相似三角形判定定理的预备定理， 它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相 等、对应边成比例.
感悟新知
特别提醒
知2－讲
根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有
BC∥DE，图22.2-4 ①②很像大写字母A，故我们称之为
“A”型相似；图22.2-4 ③
很像大写字母X，故我们

A
EA ED AD
还有两种情形同学们自己解答.
(3) 由（2）中比例式化成乘积式 可得AE·BF=AD·BE.
C
F
B
E
图4
七.目标总结
本节课我们学习了哪些内容？
本节课首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出 “三角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形与原三 角形相似”这一判定定理.三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直 接用来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其他三个判定定理 的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟
分析
3.解决这个问题的关键在哪里？怎
么解决？
A
转化：将DE平移到BC上（可过
点D作AC的平行线，交BC于F，则
CF=DE）运用定理：平行于三角形
D
E
一边的直线截其他两边（或两边延长
线），所得对应线段成比例.即可得 B
C
到
AD AB
AE DE AC BC
F
证明
过点D作AC的平行线，交BC 于F. ∵DE∥BC,DF∥AC，
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
K
1
,即AB = BC = CA =K
AB BC CA记为
，K 2
即AB
BC =
CA =
=K
AB BC CA
2
练习
3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K 1 和△DEF与△ABC的相似比 K 2 是否相等？如果不相等，K 1 和K 2 满足什么 关系？如果AB=2，DE=2呢？
相似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似形的定义，应有

A
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中类似的三角形；
F
（2）请由其中的一对类似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
线），所得对应线段成比例。即可得 到 AD AE DE 。
AB AC BC
A
E C
证明：
过点D作AC的平行线，交BC于F。
∵DE∥BC，DF∥AC，
A
AD AE , FC AD .
AB AC BC AB
D
因为四边形DFCE是平行四边形，
E
∴DE=FC，
DE BC
AD AB
.
B
C
F
AD AE DE . AB AC BC
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形类似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
类似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据类似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，
想一想：
1.△ABC和△A′B′C′中，∠A=80°、∠B=40°、 ∠A′=80°、∠C′=60°，那么这两个三角形类似吗？ 2.等边三角形都类似吗？ 3.一个锐角对应相等的两个直角三角形类似吗？ 4.有一个内角对应相等的两个等腰三角形类似吗？ 5.各有一个内角为100°的两个等腰三角形类似吗？

\ AB = BC = CD = DA A1B1 B1C1 C1D1 D1A1
例 3：如图，四边形ABCD和EFGH类似，
求角α，β的大小和EH的长度x
21cm D Aβ
18cm B 78° 83°C
H x E 118° 24cm
α
F
G
试一试：如图所示的两个五边形类似，求 未知边a、b、c、d的长度．
A 2
G
B 120°E 6
2.2
C3D H
F 4 J
I 5
解:（1）类似比=CD : HI=3 : 5 （2）∵五边形ABCDE类似于五边形FGHIJ ∴ ∠F =∠A=120o, ∠C= ∠H=90o, ∴AB : FG = BC : GH = CD : HI = DE : IJ = EA : JF 即2 : FG = BC : 6 = 3/5 = 2.2 : IJ = AE :4 解得FG =10/3 cm, BC =18/5cm,IJ=11/3cm,AE=12/5cm
矩形类似吗?为什么?
A
D
解: ∵ 矩形的每个内角都等于90o.
E
∴ ∠A =∠E = 90°，∠B =∠F = 90° F
∠C =∠G = 90°，∠D =∠H = 90°
∴ 它们的对应角相等.
B
∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.
EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.
A
B
∠C= ∠ C1
C1
AB = BC = CA A1B1 B1C1 C1A1
A1
B1
∴ △ABC∽△A1B1C1
（类似多边形的定义可以作为 多边形类似的一种判定方法）

3.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明：△ADE∽△EFC.解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∴ △ADE∽△EFC.
2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE. 求证:(1) △DEF∽△BDE . (2) DG·DF=DB·EF .证明：源自同学们再见！授课老师：
时间：2024年9月1日
归纳小结
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
随堂练习
回顾复习
怎样判定两个三角形相似？(1)定义法 对应角相等，对应边长度的比例相等的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质.(2)预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.利用预备定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定.
在△ADE与△A′B′C′中， ∠A=∠A′ ,∵ AD=A′B′ , ∠ADE=∠B′ ,∴△ADE∽△A′B′C′(ASA) ,∴△ABC∽△A′B′C′ .
可以发现
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.

解：∵四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′相似，∴A′ABB′＝ B′BCC′＝C′CDD′，∠B＝∠B′＝60°，∠D＝∠D′＝55°，∴x9＝182＝1y0， β＝55°，∴x＝8×129＝6，y＝12×8 10＝15，α＝360°－∠D－∠B－∠C＝ 360°－55°－60°－90°＝155°.
8．如图，有一块矩形草地，其外围有等宽的小路，其中草地长 100 m，宽 60 m，小路宽 2 m，则里外两个矩形相似吗？
解：∵AB＝CD＝A′B′＋2×2＝64(m)，BC＝AD＝B′C′＋2×2 ＝104(m)，∴A′ABB′＝6604＝1156，B′BCC′＝110004＝2256.∵A′ABB′≠B′BCC′， ∴里外两个矩形不相似．
第22章
相似形
22.1 比例线段
第1课时 相似图形
基础过关 能力提升 核心素养
基础过关
• 知识点1 相似图形 • 1．下列各组图形中，是相似图形的是
D( )
• 2.仔细观察下面的图形，请找出图中相似的图形．
解：其中(1)和(3)，(2)和(5)，(8)和(9)是相似的图形．
• 知识点2 相似多边形及相似比 • 3．在如图所示的各组图形中，相似的是 • A．①② • B．①③ • C．②③ • D．②④
核心素养
• 9．如图四边形ABCD的两条对角线相交于点O，A′，B′， C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形 ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
解：相似．理由：∵A′，B′分别是 OA，OB 的中点，∴A′B′
∥AB，A′B′＝12AB，∴∠OA′B′＝∠OAB，A′ABB′＝21.同理，∠
能力提升
• 6．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角 分___别__为__2_5_°. ，55°，则另一个三角形的最大10内0°角的度数为 • 7．如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， 求B′C′，C′D′的长和∠D的度数．

2 1
3
E
B
C
∠1=∠2=∠3=90°
E
12
3
BD
C
1=2=3=60
A
E
A
E
B
C1
2
3
B
D
C
1=2=3
求证：△ABD∽△DCE
课堂总结
A
A
F
D
EB
②
D
C
A
B
CB ⑤
E
DD
D
E
E
E
A
B
① CA
B
A
CB
A E
CB
B
③C
B
④C
作业
P105 复习题A组 第4、5、6题
课堂总结
A
A
F
D
EB
②
D
C
A
B
CB ⑤
E
DD
D
E
E
E
A
B
① CA
B
A
CB
A E
CB
B
③C
B
④C
体会变换之美，感受转化乐趣
A
C D A
C D
作业
P105 复习题A组 第4、5、6题
拓展提高
在边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一 个△ABC.请同学们在网格上，画出一个与△ABC相 似且面积最大的格点三角形．
A B
C
拓展提高
在边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一 个△ABC.请同学们在网格上，画出一个与△ABC相 似且面积最大的格点三角形．
A B
C
在这个正方形网格图上，和△ABC相似的格点三角 形共有多少个？ （不考虑与△ABC全等及彼此全等 的三角形）

中考趋势:预测202X年的中考,会延
续近几年的趋势,考1~2个有关类似
形的题目,可能是选择题,也可能是
10
解答题(含作图题),如果是解答题,
很可能是与其他知识的综合,“类似
形”会是题目中的1~2个小问.
A
A
D
A
D
D
E
E
3
1
C
2
B
C
B
(2)
D
(1)
A
6
B
C
(3)
4
F
E
6
A
6
1
C 2
3
B
(4)
E
8
4
3

++
, ∴△AED∽△BDF,∴ =
,

++

+
6+4
5
由翻折易知 CE=DE,CF=DF,∴ = + = 6+2 = 4.
D
C
A
G
F
E
F
B
A
E
B
△AEF∽△BGE
D
△BDE∽△CFD
C
动手操作
将两个不全等直角三角形分别分
割两个三角形，使一个三角形分
割的两三角形分别和另一个三角
形分割的两三角形类似。
温馨提示
1、从角方面考虑
；
2、从顶点出发；
将两个不全等钝角三角形分别分割三个三角形，使一个
三角形分割的三个三角形和另一个三角形分割的三个三
角形分别类似。
温馨提示
1、从角方面考虑
；
2、从顶点出发；
三角形及其性质（含特殊三角形