华东师大版九年级数学上册《相似三角形的判定》教案
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相似三角形的判定(第1课时)一、教学目标1.理解相似三角形的定义和判定条件。
2.能够运用相似三角形的判定条件解决与相似三角形相关的问题。
二、教学重点1.掌握相似三角形的判定条件。
2.能够灵活运用相似三角形的判定条件解决问题。
三、教学内容与过程1. 引入•提问:你们知道什么是相似三角形吗?•学生回答。
•解释:当两个三角形的对应角相等时,我们称这两个三角形为相似三角形。
相似三角形具有相似比例关系,即对应边的比例相等。
2. 相似三角形的判定条件•讲解相似三角形的判定条件:–两个三角形的对应角相等。
–两个三角形的对应边成比例。
3. 相似三角形的判定实例练习•给出两个三角形的图形,并提问:根据相似三角形的判定条件,这两个三角形是否相似?•学生思考并回答。
•解答:比较对应角,判断对应边是否成比例,得出结论。
4. 相似三角形的判定定理证明•呈现相似三角形判定定理的证明过程。
•讲解证明过程中各个步骤的含义和推理方法。
5. 练习•呈现一道相似三角形的判定题目。
•学生独立思考并解答。
•教师给出答案并解析。
四、课堂小结•总结相似三角形的判定条件,以及相似三角形判定定理的证明过程。
•强调相似三角形的重要性和应用。
五、课后作业1.完成课后习题:书上相似三角形的练习题。
2.思考相似三角形的实际应用场景。
六、教学反思本节课通过引入相似三角形的概念,讲解相似三角形的判定条件,并进行实例练习和判定定理的证明,使学生能够更好地理解和掌握相似三角形的概念与判定方法。
同时,在教学过程中注重启发式提问,激发学生思考和解决问题的能力。
教学效果良好,学生对相似三角形的概念和判定条件有了一定的了解和认识。
华东师范版《相似三角形的性质》教学设计教学目标:1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系;掌握定理的证明方法。
2、灵活运用相似三角形的判定和性质,解决相关问题。
教学重点:相似三角形性质定理的探索、理解及应用教学难点:综合应用相似三角形的性质与判定,探索三角形中面积与线段之间的关系教学过程:一、复习导入:1. 相似三角形的判定方法有哪些?2. 相似三角形的性质有哪些?3. 全等三角形有哪些性质?二、问题探究:通过类比,让学生探究全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形相似三角形对应边相等对应边的比等于相似比对应角相等对应角相等对应高相等对应高……?对应中线相等对应中线……?对应角平分线相等对应角平分线……?周长相等周长……?面积相等面积……?二、实践交流,探索新知(一)探究一1、画一画:请你在课本后面的方格纸图中,画出两个相似但不全等的三角形,再画一组对应高。
2、量一量:你画的两个相似三角形的相似比是多少?对应高AD与A1D1的比是多少?相似比与对应高的比相等吗?3、推一推:如果△ABC∽△A1B1C1相似比为k,AD、A1D1分别为BC、B1C1边上的高,那么AD、A1D1之间有什么关系?请说说你的理由。
学生推理已知:如图,△ABC∽△A1B1C1, △ABC与△A1B1C1的相似比是k, AD、A1D1是对应高。
求证:4、想一想:如果AD,A1D1分别是相似三角形对应角平分线,对应中线,那么上述结论是否还成立?引导学生得出结论:相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比。
(二)探究二两个相似三角形的周长比是什么?探究:如图所示,△ABC和△A1B1C1相似,且相似比为k,那么它们周长之间有什么关系呢?学生自主探究,交流合作得出结论相似三角形的周长比等于相似比(三)探究三:如下图⑴、⑵、⑶分别是边长为1、2、3C1B1A1ACB D D1C1B1A1ACB D D1⑴⑵与⑴的相似比=()⑵与⑴的面积比=()⑶与⑴的相似比=()⑶与⑴的面积比=()学生自主探究,交流合作得出结论对等边三角形而言,面积比=相似比的平方。
温馨提示:此材料是教师讲课的教案,学生学习的学案,上课时的笔记,课后的复习资料,请同学们装订保管。
发给同学们后请通过研读课本资料,并在同学和老师帮助下完成,并达到能讲的水平。
23.3.2相似三角形的判定(1)教学案一、学习目标:掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法,并会灵活运用;让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力;培养学生获得数学猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣,体验数学活动充满着探索性和创造性。
(学生课后体会)二、学习重难点:相似三角形的判定定理1的理解和应用;相似三角形判定定理1的归纳与证明。
(学生课后检测是否到达要求)三、课前预习:阅读课本64---67页(学生自行安排时间)四、教具准备:多媒体课件、教学案五、学习过程:(一)、创设情境,引入新课: 问题:如果两个三角形的对应边 ,对应角 ,那么这两个三角形相似。
结合我们学习全等三角形的判定,是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢?如果有,包括哪几种情况?写下来:(二)、合作交流,探究新知:探索相似三角形的判定方法1(1)请同学们观察你与老师的直角三角尺,同样角度的三角尺是否相似?你能提出什么猜想?(2)完成课本65页“探索”。
(提示:在测量过程中要尽可能减少误差)(3)由此我们发现:如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等,那么 。
(4)如果两个三角形的两对角分别对应相等,这两个三角形是否相似?为什么?归纳:由此我们得到相似三角形的判定定理1: 。
练一练 下列图形中两个三角形是否相似?独立思考:如果两个三角形仅有一对角对应相等,它们是否一定相似?举反例说明。
(三)、应用新知,体验成功A B C A ’ C ’ B ’ A B C D E A B C A ’ B ’ C ’ A B C D E例1如图,在两个直角三角形△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B =∠B ′=90°,∠A =∠A ′,证明这两个三角形是否相似.例2 如图23.3.9,△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,证明:△ADE ∽△EFC.如果点D 恰好是边AB 的中点,那么点E 是边AC 的中点吗? DE 和BC 又有什么关系?(四)、达标测试,巩固提高:一、请你来判断下面的话是否正确。
23.3.3相似三角形的性质教学目标:知识与技能说出相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
数学思考与问题解决培养由特殊到一般的思维方法,培养逻辑思维能力和应用能力。
情感态度经历探索相似三角形性质的过程,并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观,体验解决问题策略的多样性。
重点:相似三角形性质的应用。
难点:相似三角形的判定和性质的综合应用。
教学过程:一、复习引入1.三角形中的主要线段有哪些?2.全等三角形有哪些性质?类比全等三角形你能说说相似三角形的性质吗?二、自主探索1.根据相似三角形的定义我们可以知道哪些性质?对应角相等,对应边成比例。
2.相似三角形还有哪些性质呢?3.我们把相似三角形对应边的比值称为相似比4.猜想相似三角形对应高的比是否等于相似比性质定理1:相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.教师启发学生自己写出“已知、求证”,然后教师分析证题思路,这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时,是根据相似三角形的性质得到的,这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚,而证明过程可由学生自己完成.分析示意图:结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)后两个定理的证明可以由学生独立完成。
5.相似三角形周长的比等于多少?(教师指导学生进行猜想、证明,让学生用类比的方法进行研究,培养推理能力。
)6.相似三角形面积的比等于多少?(指导学生猜想结论并加以证明)7.知识运用例:小王有一块三角形余料ABC,它的边BC=60cm,高线AD=40cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上。
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?(2)求正方形SPQR的面积。
三、巩固练习.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,那么对应角的角平分线的比等于多少?2.相似三角形对应边的比为2:5,那么相似比为______,对应角的角平分线的比为______,周长的比为______,面积的比为______.3、若两个三角形面积之比为16:9,则它们的对高之比为_____,对应中线之比为_____四.小结这节课你有什么收获?五.布置作业课本习题23的6、7、8板书设计23.3.3相似三角形的性质1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
27.2.1 相似三角形的判定(二)一、教学目标1.初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法,以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.二、重点、难点1. 重点:掌握两种判定方法,会运用两种判定方法判定两个三角形相似.2. 难点:(1)三角形相似的条件归纳、证明;(2)会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.三、课堂引入1.复习提问:(1) 两个三角形全等有哪些判定方法?(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法?(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系?(4) 如图,如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似,是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?2.(1)提出问题:首先,由三角形全等的SSS 判定方法,我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢?(2)带领学生画图探究;(3)【归纳】三角形相似的判定方法 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似.3.(1)提出问题:怎样证明这个命题是正确的呢?(2)教师带领学生探求证明方法.4.用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件:(1)提出问题:由三角形全等的SAS 判定方法,我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢?(2)让学生画图,自主展开探究活动.(3)【归纳】三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等,且它们的夹角相等,那么这两个三角形相似. 四、例题讲解 例1(教材P46例1)分析:判定两个三角形是否相似,可以根据已知条件,看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法,对于(1)由于是已知一对对应角相等及四条边长,因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”,对于(2)给的几个条件全是边,因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可,其方法是通过计算成比例的线段得到对应边.解:略※例2 (补充)已知:如图,在四边形ABCD 中,∠B=∠ACD ,AB=6,BC=4,AC=5,CD=217,求AD 的长. 分析:由已知一对对应角相等及四条边长,猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明.计算得出AC CD CD AB =,结合∠B=∠ACD ,证明△ABC ∽△DCA ,再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式AD AC AC CD =,从而求出AD 的长. 解:略(AD=425). 五、课堂练习1.教材P47.2. 2.如果在△ABC 中∠B=30°,AB=5㎝,AC=4㎝,在△A’B’C’中,∠B’=30°A’B’=10㎝,A’C’=8㎝,这两个三角形一定相似吗?试着画一画、看一看?3.如图,△ABC 中,点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,求证:△ABC ∽△DEF .六、作业1.教材P47.1、3.2.如图,AB•AC=AD•AE,且∠1=∠2,求证:△ABC ∽△AED .※3.已知:如图,P为△ABC中线AD上的一点,且BD2=PD•AD,求证:△ADC∽△CDP.。
相似三角形-华东师大版九年级数学上册教案教学目标
1.了解相似三角形的定义和相似判定定理。
2.学会利用相似三角形求解实际问题。
3.初步学会用正弦、余弦和正切函数求角度大小。
教学重点
1.相似三角形的概念。
2.相似三角形的性质和判定方法。
3.利用相似三角形解决实际问题。
教学难点
1.用正弦、余弦和正切函数求角度大小。
2.综合应用相似三角形解决实际问题。
教学过程
1. 导入
1.引入相似三角形,根据已学知识来认识相似三角形重要性质。
2.复习平面内基本图形(点、线、三角形等)。
2. 相似三角形的定义
1.相似三角形的定义。
2.相似三角形的符号表示。
3. 相似三角形的性质和判定方法
1.学习相似三角形的性质(对应角相等,对应边成比例)。
2.探究相似三角形的判定方法(AA、SSS、SAS)。
4. 相似三角形的应用
1.利用相似三角形解决实际问题。
2.用正弦、余弦、正切函数求解角度大小。
5. 总结与归纳
1.概括相似三角形的定义及其应用。
2.练习应用相似三角形解决实际问题。
教学反思
本节课通过引入相似三角形概念和其性质,能帮助学生加深对三角形的理解,掌握相似三角形的基础知识和判定方法,学习应用相似三角形解决实际问题,并初步认识三角函数。
在教学过程中,老师注重启发式教学方法,将知识和实际应用结合起来,让学生可以通过实际问题的解决,更好地理解相似三角形的应用。
同时,老师强调了练习的重要性,通过针对性的练习,进一步提高了学生的综合运用能力和解决实际问题的能力。
23.3 相似三角形23。
3.3 相似三角形的性质教学目标会说出相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
教学过程一、复习1.识别两个三角形相似的简便方法有哪些?2.在△ABC与△A′B′C′中,AB=l0cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm,这两个三角形相似吗?说明理由。
如果相似,它们的相似比是多少?二、新课讲解上述两个三角形是相似的,它们对应边的比就是相似比,△ABC∽△A′B′C′,相似比为错误!=2 。
相似的两个三角形,它们的对应角相等,对应边会成比例,除此之外,还会得出什么结果呢?一个三角形内有三条主要线段;高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似,那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
同学画出上述的两个三角形,作对应边AB和A′B′边上的高,用刻度尺量一量CD与C′D′的长,错误!等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论:相似三角形对应高的比等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?同学们用上面类似方法,得出:相似三角形对应中线的比等于相似比;相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?看如图的三个三角形,三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍,(3)的各边长分别是(1)的3倍,所以它们都是相似的,填空:(2)与(1)的相似比为( ),(2)与(1)的面积比为( ),(3)与(1)的相似比为( ),(3)与(1)的面积比为(),(3)与(2)的相似比为(),(3)与(2)的面积比为().以上可以看出当相似比为K时,面积比为K2.对于一般相似的三角形都具有这种关系,可以得出结论:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、练习1.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为3:2,则对应中线的比等于( ).2.相似三角形对应角平分线的比为0.2,则相似比为( ),周长比为( ),面积比为()3.△ABC∽△A′B′c′,相似比为错误!,已知△A′B′C′的面积为18cm2,那么△ABC的面积为( ).四、小结(填空形式,同学回答)相似三角形()相等,()的比等于相似比,面积的比等于()。
华师大版九年级上册23.3.1相似三角形教案教学内容:课本P61页~课本P64页。
教学目标:1、理解相似三角形,能够用符号表示相似三角形;2、理解相似三角形的对应边成比例,对应角相等;3、理解平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似的结论。
教学重点:三角形相似的简易判定,相似三角形对应边成比例,对应角相等的应用;教学难点:相似三角形对应边成比例的应用。
教学过程:一、相似三角形1、相似三角形的符号:∽,读作:相似于。
2、相似三角形的性质:对应边成比例,对应角相等。
B C AE F D∵△ABC∽△DEF, ∴AB BC AC DE EF DF ==,∠A =∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
(相似三角形的性质)3、判定方法:对应边成比例,对应角相等的三角形是相似三角形。
∵AB BC AC DE EF DF ==,∠A =∠D,∠B=∠E,∠C=∠F ∴△ABC∽△DEF。
(相似三角形的判定)例1、已知:如图,DE∥BC,并分别交AB、AC于点D、E。
求证:△ADE∽△ABCB C AD EB CAD E F学生练习:已知:如图,DE∥BC,并分别交AC、AB延长线于点D、E。
求证:△ADE∽△ABCA B C DE4、结论:平行于三角形一边的直线,和其他两国(或两国的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似。
例2、如图,在△ABC中,点D是边AB的三等分点,DE∥BC,DE=5.求BC的长。
BC AD E学生练习:P63页练习第1、2题。
二、小结1、学生小结;2、老师小结:本节课学习了相似三角形的性质和判定。
三、作业设计课本P64页第3题。
四、板书设计五、教学反思23.3.1相似三角形二、相似三角形的性质……………………………………………………………………………………………一、相似三角形的判定……………………………………………………………………………………………。
华东师大版九年级数学上册《相似三角形》教案及教学反思教学目标•了解相似三角形的定义和性质。
•能够判断两个三角形是否相似。
•能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学重点理解相似三角形的概念和判断方法。
教学难点能够准确地应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学过程第一步:导入引导学生复习之前学过的同类比例,让学生了解同类比例的定义和特点。
如果学生还没有学习同类比例,老师可以简单介绍一下。
第二步:概念讲解1.什么是相似三角形?相似三角形是指对应角相等,对应边成比例的两个三角形。
2.如何判断两个三角形是否相似?两个三角形相似的条件是它们的对应角相等,对应边成比例。
也就是说,如果两个三角形的三个角分别相等或者只有两个角相等,且它们的对应边成比例,那么这两个三角形就是相似三角形。
第三步:讲解例题给学生呈现一个例子,让学生在实际操作中理解如何应用相似三角形的性质。
例如:△ABC中,<A=<C,<B=60°。
点D在BC上,且BD:DC=2:1,连接AD,求△ACD的角度。
步骤: 1. 由于<A=<C,所以△ABC是等腰三角形; 2. 其中<B=60°,所以△ABC是等边三角形; 3. 在BD上取点E,使DE||AC,连接AE; 4. 根据三角形平行线定理得知,AD:DE=BC:AC; 5. 由于BD:DC=2:1,所以BC:AC=3:2; 6. 代入上面的式子,得到AD:DE=3:2; 7. 根据这个比值,得到ADEF是相似三角形; 8. 因此,可以知道<DAF=<CED,<ACD=<AFC; 9. 根据<AFC=60°,可得<ACD=30°。
第四步:课堂练习让学生在课堂上完成一个练习,训练学生应用相似三角形的能力。
例如:已知△ABC与△DEF相似,且AB=4.5cm,AC=6cm,BC=7.5cm,AD=6cm,问EF等于多少?步骤: 1. 由于△ABC与△DEF相似,所以AB:DE=AC:DF=BC:EF=k(常数); 2. 代入数据,得到AB:DE=3:2,AC:DF=2:3,BC:EF=3:4; 3. 因此EF=7.5cm×4÷3=10 cm。
23.3 相似三角形1.相似三角形※教学目标※【知识与技能】能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边.【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单的问题,进一步培养合情推理能力和初步的逻辑推理意识.【情感态度】在探索活动中,增强发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯.【教学重点】相似三角形的概念.【教学难点】相似三角形概念的应用.※教学过程※一、复习引入什么是相似图形?识别两个多边形是否相似的标准是什么?二、探索新知1.相似三角形的有关概念(1)相似三角形的定义:如果在△ABC与△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,那么△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号,读作“相似于”.如△ABC∽△A′B′C′读作△ABC相似于△ABC.(2)相似比.如果记=k,那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比,它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′,它们的相似比为k,即指=k,那么△ABC与△A′B′C′的相似比应是,就不是k了,应为.(3)当相似比k=1时,两个相似三角形是全等三角形.2.相似三角形与全等三角形的关系全等三角形是相似三角形的特例;但相似三角形不一定是全等三角形,只有当相似比k=1时,两个相似三角形才是全等三角形.3.探索一:如图,在△ABC中,D为边AB上的任一点,作DE∥BC,交边AC于点E,求证:△ADE∽△ABC.证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,(平行线分线段成比例).过点D作AC的平行线交BC于点F,(平行线分线段成比例),∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE是平行四边形,∴DE=FC.又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC(相似三角形的定义).探索二:如图,DE∥BC,△AED与△ABC还相似吗?(教师引导,学生自主完成证明).结论:平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.【例】如图,在△ABC中,点D是边AB的三等分点,DE∥BC,DE=5,求BC的长.分析:先判断△ADE∽△ABC,再由D是AB边的三等分点得到相似比为,进而求BC的长.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线,和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似),∴BC=3DE=15.三、巩固练习1.如图,正方形ABCD的边长为1,点O为对角线的交点,试指出图中的相似三角形.第1题图第3题图2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13,与其相似的三角形的最长边长是39,那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形周长的比是多少?3.如图,在△ABC中,点D是边AB的四等分点,DE∥AC,DF∥BC,AC=8,BC=12.求四边形DECF的周长.答案:1.△OAB∽△OBC∽△OCD∽△ODA∽△BAC∽△DAC∽△ABD∽△CBD.2.较大三角形的周长是90,较小三角形与较大三角形周长的比是.3.∵点D是边AB的四等分点,∵DF∥BC,∴△ADF∽△ABC.∴DF=3,CF=6.又∵DE∥AC,∴四边形DECF是平行四边形.∴四边形DECF的周长是18.四、归纳小结1.书写相似三角形时,通常把对应顶点写在对应位置上,以便比较容易地找到相似三角形中的对应角、对应边.2.相似比有顺序性.3.相似三角形中,对应角所对的边是对应边,对应边所对的角是对应角.4.最大(小)的边(角)与最大(小)的边(角)是对应边(角).※课后作业※教材第75页习题23.3第1、2题.2.相似三角形的判定第1课时利用两角对应相等判定※教学目标※【知识与技能】1.会说出识别两个三角形相似的方法:两角分别相等的两个三角形相似.2.能依据条件,正确判断两个三角形相似.【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单的问题,进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识.【情感态度】经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步提高探究、交流能力,养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯.【教学重点】用相似的判定定理判定两个三角形相似.【教学难点】综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.※教学过程※一、复习引入复习全等三角形的判定方法:将边和角分类考察了几种不同情况,如:两边一角,两角一边,三角,三边.从而得到了一些重要的判定三角形全等的方法.那么,对于相似三角形的判定,是否也存在类似的分类与判定方法呢?二、探索新知观察猜想:观察老师和同学们所用的三角尺,从直观上看,一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等,它们好像就会“相似”.探索:①画两个三角形,使它们的三个角分别相等.实际画图中,只画两个角相等,则第三个角一定会相等,这是根据三角形内角和为180°所确定的.②用刻度尺量一量各边长,它们的对应边是否会成比例?③结论:如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形相似.上述结论,你能不能使条件再简单些?相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.【例1】如图,在Rt△ABC和Rt△ABC中,∠C与∠C′都是直角,∠A=∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.证明:∵∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似).此例告诉我们,两个直角三角形,若有一对锐角对应相等,则它们一定相似.【例2】如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.求证:△ADE∽△EFC.证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴∠EFC=∠B,∴∠ADE=∠EFC,∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似).三、巩固练习1.如图,DG∥EH∥FI∥BC,找出图中所有的相似三角形.第1题图第2题图2.找出图中所有的相似三角形,并说明理由.答案:1.△ABC∽△AFI∽△AEH∽△ADG.2.△ABC∽△ACD∽△CBD.理由如下:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.3.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC=∠CDB.又∵∠A=∠A,∠B=∠B,4.∴△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD.∴△ABC∽△ACD∽△CBD.四、应用拓展教材第66页“想一想”.在【例2】中,如果点D恰好是边AB的中点,则点E也是边AC的中点.此时,DE为△ABC的中位线,所以DE=.同理可得F也是边BC的中点.所以FC=易证△ADE≌△EFC.五、归纳小结全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定全等,二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.※课后作业※教材第75页习题23.3的第3、5题.第2课时利用两边成比例且夹角相等或三边成比例判定※教学目标※【知识与技能】1.会说出识别两个三角形相似的方法:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边对应成比例的两个三角形相似.2.能依据条件,灵活运用三种识别方法,正确判断两个三角形相似.【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单问题,进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识.【情感态度】经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步提高探究、交流能力,养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯.【教学重点】用相似的判定定理判定两个三角形相似.【教学难点】综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.※教学过程※一、复习引入如图,AF∥CD,∠1=∠2,∠B=∠D.你能找出图中有几对相似三角形?相似的理由是什么?答:共有4对相似三角形,它们是△AEF∽△DEC,△AFB∽△ACD,△AEB∽△CED,△AEF∽△BEA.相似的理由一种是定义,一种是判定定理1.那么,除此之外,是否还有其他的办法来判定两个三角形相似呢?二、探索新知1.两边成比例,且夹角相等的两个三角形相似.(1)探索:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形一定相似吗?(2)做一做:利用刻度尺和量角器画两个三角形△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,都等于给定的值k.比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小,你能得出什么结论?(3)如果改变k值的大小,再试一试△ABC与△A′B′C′还相似吗?(4)结论:相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.三条边对应成比例的两个三角形相似.(1)探索:如果两个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似吗?(2)做一做:完成教材第69页“做一做”.(3)如果改变k值的大小,再试一试两个三角形还相似吗?(4)结论:相似三角形的判定定理3:三边成比例的两个三角形相似.【例1】证明图中的△AEB和△FEC相似.证明:(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).【例2】在△ABC和△A′B′C′中,AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似.证明:∴△ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似).三、巩固练习依据下列各组条件,说明△ABC和△A′B′C′是否相似:(1)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm;(2)∠A=80°,∠C=60°,∠A′=80°,∠B′=40°;(3)∠A=40°,AB=8,AC=15,∠A′=40°,A′B′=16,A′C′=30.答案:(1)相似(2)相似(3)相似四、应用拓展【例3】如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,且=AD·AC,DE∥AB,试说明△BCD∽△BDE.证明:∵=AD·AC,又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴∠C=∠ABD(相似三角形的对应角相等).又∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE.∴∠C=∠BDE.又∵∠DBC=∠EBD.∴△BCD∽△BDE(两角分别相等的两个三角形相似).五、归纳小结相似三角形4种判定方法的综合应用.(1)先看题目是否有平行条件,如果有平行,就去找“A”型或“X”型相似.(2)找是否有两角对应相等.(3)若没有一组角对应相等,就看三边是否对应成比例.(4)识别和掌握常见的基本图形是寻找和发现相似的有效途径.※课后作业※教材第75页习题23.3的第4题.3.相似三角形的性质※教学目标※【知识与技能】说出相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.【过程与方法】培养由特殊到一般的思维方法,培养逻辑思维能力和应用能力.【情感态度】经历探索相似三角形性质的过程,并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观,体验解决问题策略的多样性.【教学重点】相似三角形性质的应用.【教学难点】相似三角形的判定和性质的综合应用.※教学过程※一、复习引入1.相似三角形的判定方法有哪些?2.相似三角形有哪些性质?3.三角形中的主要线段有哪些?二、探索新知如图,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?1.相似三角形对应高的比等于相似比.证明:∵AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,∴∠ADB=∠A′D′B′.又∵∠B=∠B′,∴△ABD∽△A′B′D′.=k.2.若将上图中的高改为中线、角平分线,那么它们对应中线的比,对应角平分线的比等于多少?(学生用类比法进行研究,独立完成证明)结论:相似三角形对应角的平分线之比等于相似比.相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.3.相似三角形的周长比等于相似比.已知:△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,即求证:证明:=k4.如图中(1)、(2)、(3)分别是边长是1、2、3的等边三角形,所以它们都是相似的,填空:(2)与(1)的相似比为,(2)与(1)的面积比为;(3)与(1)的相似比为,(3)与(1)的面积比为;(3)与(2)的相似比为,(3)与(2)的面积比为.从上面可以看出当相似比为k时,面积比为.数学上可以说明,对于一般的相似三角形也具有这种关系.由此可以得出结论:相似三角形的面积比等于相似比的平方.三、巩固练习1.相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为,对应边上的中线的比为,周长的比为,面积的比为.2.如果两个三角形相似,相似比为3:5,那么对应角的平分线的比等于多少?3.若两个相似三角形的最大边长分别为35cm和14cm,它们的周长差为60cm,则较大三角形的周长是多少?4.在△ABC中,已知点D在AB上,点E在AC上,且DE∥BC,AB=30m,BD=18m,△ABC的周长为80m,面积为100m,求△ADE的周长和面积.答案:1.0.4 0.4 0.4 0.16 2.3:53.设较大三角形的周长是x cm,则较小三角形的周长是(x-60)cm.根据题意,得.解得x=100.∴较大三角形的周长是100cm.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵AB=30m,BD=18m,∴AD=12m.∴△ADE的周长=32m,△ADE的面积=16m.四、归纳小结利用相似三角形的性质解题时,应特别注意“对应”,切忌混淆对应边的比与相似比中的前、后项的位置.※课后作业※1.教材第72页练习第3题.2.如图,PN∥BC,AD⊥BC交PN于点E,交BC于点D.(1)若(2)若的值.4.相似三角形的应用※教学目标※【知识与技能】掌握利用三角形相似测量物体的高度或宽度的方法.【过程与方法】通过具体的实践活动体会相似三角形的应用.【情感态度】1.通过著名科学家的名句和如何测量神秘金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣,使全体学生积极参与探索,体验成功的喜悦.2.力求培养学生科学、正确的数学观,体现探索精神.【教学重点】构建相似三角形解决实际问题.【教学难点】利用相似三角形解决实际问题.※教学过程※一、情境导入给我一个支点我可以撬起整个地球.——阿基米德二、探索新知1.数学建模(1)如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高多少米?(2)小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h为多少米?思考:利用三角形的相似,如何解决一些不能直接测量的物体长度的问题?概括:解决此类实际问题时,可构建相似三角形的模型,再利用对应边成比例建立等式,已知三个量去求第四个量.主要构建的两个基本图形是“X”型和“A”型.2.利用相似三角形测量物体的高度或宽度【例1】古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米,A′B′=2米,AB=274米,求金字塔的高度OB.解:∵太阳光是平行光线,∴∠OAB=∠O′A′B′.∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似),【例2】如图,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE 的交点D.此时如果测得BD=118米,DC=61米,EC=50米,求河的宽度AB.(精确到0.1米)解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABD=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似),解得AB=≈96.7(米)答:河的宽度AB约为96.7米.3.利用相似三角形证明几条线段之间的乘积关系【例3】如图,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且∠ADE=∠C.求证:AD·AB=AE·AC.证明:∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似),∴AD·AB=AE·AC.三、巩固练习1.在同一时刻,物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么这幢高楼的高度是多少米?2.如图,在△ABC中,DE∥BC,BC=6,梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍.求DE的长.3.如图,停车场的栏杆的短臂长为1.25m,长臂长为16.5m,当短臂端点下降0.85m时,长臂端点升高多少?(栏杆的宽度忽略不计)答案:1.设高楼的高度为x米,则解得x=36.故这幢高楼的高度是36米.2.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.又∵梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍,∵BC=6,∴DE=3.3.设长臂端点升高x m,则解得x=11.22.故长臂端点升高11.22m.四、归纳小结1.本节课重点是把实际问题转化为数学问题,即构建出相似三角形的模型,再利用相似三角形的性质来解决实际问题.2.让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.※课后作业※教材第75页习题23.3第6、7题.教材第95页复习题B组第17题.。
《两个相似三角形的判定》教案
教学目标
1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.
2、掌握“两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似.
重点与难点
1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用.
2、例题的解答首先要选择用什么判定方法,然后利用方格进行计算,根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例,需要学生有一定的分析、判断和计算能力,是本节教学的难点.
知识要点
三角形相似的条件:
1、有两个角对应相等的两个三角形相似.
2、两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
3、三边对应成比例的两个三角形线相似.
重要方法
1、利用两对对应角相等证相似,关键是找出两对对应角.
2、三边对应成比例的两个三角形相似中,三边对应是有序的即:大对大,小对小,中对中.
3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边,角是成比例的两边的夹角.
4、在相似三角形条件(3)中,如果对应相等的角不是两条对应边的夹角,那么这两个三角形不一定相似,如在图4-3-14△ABC中,AB=AC,∠A=120°,在△A′B′C′中,A′B′=A′C′,∠A′=30°,可以说AB∶A′B′=AC∶A′C′,∠B=∠A′,但两个三角形不相似.
教学过程A
B C
A′
B′C′4-3-14
一、复习
1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法?
(1)平行于三角形一边直线定理 ∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC
(2)判定定理1:
∵∠A =∠A ′,∠B =∠B ′,∴
△ABC ∽△A ′B ′C ′
(3)直角三角形中的一个重要结论
∵∠ACB =Rt ∠,CD ⊥AB ,∴△ABC ∽△ACD ∽△CDB 二、新课 1、合作学习:
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似?
我们学习了三角形相似的判定定理1,类似于三角形全等的“SAS ” 、“SSS ”判定方法,三角形相似还有两个判定方法,即判定定理2和判定定理3.
2、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似”
已知:如图,△A ′B ′C ′和△ABC 中, ∠A ′=∠A ,A ′B ′∶AB =A ′C ′∶AC 求证:△A ′B ′C ′∽△ABC
A
B
C
A ′
B ′
C ′
定理的几何格式: ∵∠A =∠A ′ AB A ′B ′ =AC A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 3、例题讲解
例.如图已知点D ,E 分别在AB ,AC 上,AD AB =AE
AC
求证:DE ∥BC .
4、判定定理3:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单说成:三边对应成比例,两三角形相似.
几何格式
∵AB A ′B ′ =AC A ′C ′ =BC B ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′
5、例.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
例. 依据下列各组条件,判定△ABC 与△A ´B ´C ´是不是相似,并说明为什么: ⑴∠A =120º,AB =7厘米,AC =14厘米, ∠A ´=120º,A ´B ´=3厘米,A ´C ´=6厘米; ⑵AB =4厘米,BC =6厘米,AC =8厘米, A ´B ´=12厘米,B ´C ´=18厘米,A ´C ´=24厘米
三、探究活动:
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB ,使线段A ,B 恰好在两条平行线上,线段AB 就被平行线分成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆规和直尺,
A
B
C
D E A
B
C
A ′
B ′
C ′A
B C
D
E
F
你会把任意一条线段AB五等分吗?请试一试,并说明你的画法的依据.
四、小结
三角形相似的判定方法.。