2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短.求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题.二、动点构成特殊图形问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决.小结在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.考向1 动点与最值1．(2019·聊城)如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(4，4)，点C在边AB上，且ACCB=13，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．(52，52) C．(83，83) D．(3，3)2.（2019·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM.则线段OM 的长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）.3．(2019·巴中)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以点O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M.（1）求证:DC 是e O 的切线;（2）若AC=4MC 且AC=8，求图中阴影部分的面积;（3）在②的条件下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值.4．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.5．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB=6cm ，动点P 从点A 出发以cm/s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′，当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．考向2 动点与图形存在性问题1.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y=ax 2+2x+c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y=174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2019·凉山州）如图，抛物线y= ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △PAM =S △PAC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 考向3 动点与函数图像问题1．(2019·广元)如图，点P 是菱形ABCD 边上的动点，它从点A 出发沿A→B→C→D 路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为( )2．（2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）．3.（2019·菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）4．（2019·长沙）如图，函数kyx=(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM 分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k=2；④若MF=25MB，则MD=2MA．其中正确的结论的序号是．2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
专题09几何动态与函数图象问题题型解读｜模型构建｜通关试练学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象.题目难度中等，属于中考热点题型．模型01动点问题动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题.在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题.模型02线动问题线动问题的函数图象题，该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.模型03函数图象判断函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．模型01动点问题考｜向｜预｜测动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是解本题的关键.这类问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、填空为主，具有一定的难度，是学生主要的失分题型之一.答｜题｜技｜巧第一步：根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节点；第二步：找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；第三步：根据选项做出选择；例1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥于点()D AD BD >．动点M 从A 点出发，沿折线AB BC →方向运动，运动到点C 停止．设点M 的运动路程为x ，AMD 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2，则AC 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．13【答案】A 【详解】解：由图2知，213AB BC +=，AB BC = ，13AB ∴=，AB BC = ，BD AC ⊥，2AC AD =∴，90ADB ∠=︒，例2．（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，设圆的半径为R ，∴两个机器人最初的距离是2AM CN R ++，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A ，C ，∴两个机器人之间的距离y 越来越小，故排除A ，C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，保持不变，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C ，故选：D ．模型02线动问题考｜向｜预｜测线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点P 从点A 出发运动到点B 时停止，过点P 作PQ AB ⊥，交直角边AC （或BC ）于点Q ，设点P 运动的路程为x ，APQ △的面积为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当5x =时，APQ △的面积为（）AB ．CD ．当5x =时，5AP =，BP ∵30B ∠=︒，∴tan 303PQ BP =⨯︒=例2．（2023•海南）如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，BC =D 在折线ACB 上运动，过点D 作AB 的垂线，垂足为E ．设AE x =，ADE S y = ，则y 关于x 的函数图象大致是()A ．B ．C ．D ．∵Rt ABC 中，90C ∠=︒，∴2225AC AB BC =-=，∴1tan CB A ==，∵5EB AB AE x =-=-，tan B ∴()225DE EB x ==-∴()225210y x x x x =-=-+,模型03函数图象判断考｜向｜预｜测函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．答｜题｜技｜巧例1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形ABCD 中，6cm AD =，3cm AB =，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，4cm AE =，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是0.5cm/s ，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），BPQ V 的面积为2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：在矩形ABCD 中，3cm AB =，6cm AD =，AD BC ∥，点E 在AD 上，且4cm AE =，则在直角ABE 中，根据勾股定理得到2222435cm BE AB AE =+=+=，①当010t ≤<，即点P 在线段BE 上，点Q 在线段BC 上时，过点P 作PF BC ⊥于F ，∵AD BC ∥，∴AEB PBF ∠=∠，∴3sin sin 5AB PBF AEB BE Ð=Ð==，则3sin 10PF BP PBF t =仔=，∴2111332221040y BQ PF t t t =�创=，此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；②当1012t ≤≤，即点P 在线段DE 上，点Q 在线段BC 上时，此时111332224y BQ CD t t =�创=，此时该函数图象是直线的一部分；③当1214t <≤，即点P 在线段DE 上，点Q 在点C 时，BPQ V 的面积21639cm 2=创=，此时该三角形面积保持不变；综上所述，C 正确．故选：C ．例2．（2023•吉林）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ，设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．1．（2023•湖北）如图，在Rt ABC ∆中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为()．A ．1323B ．43C 45511D 1453【答案】C【详解】解：∵动点P 从点D 出发，线段CP 的长度为y ，运动时间为x 的，根据图象可知，当x =0时，y =2∴CD =2，∵点D 为AC 边中点，∴AD =CD =2，CA =2CD =4，由图象可知，当运动时间x =()211s +时，y 最小，即CP 最小，根据垂线段最短，∴此时CP ⊥AB ，如下图所示，此时点P 运动的路程DA ＋AP =()()1211211⨯+=+，所以此时AP =()21111AD +-=，∵∠A =∠A ，∠APC =∠ACB =90°，∴△APC ∽△ACB ，∴AP AC AC AB =，即1144AB=，解得：AB =161111，在Rt △ABC 中，BC =2245511AB AC -=．故选C ．2．（2023•山东）如图（1），Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是中线，点P 从点D 出发，沿D C B →→的方向以1cm/s 的速度运动到点B ．图（2）是点P 运动时，ADP △的面积()2cm y 随时间()s x 变化的图象，则a 的值为（）A ．2B ．52C D ∴122AC DE ⋅=∵CD 是中线，∴AD CD =，∴D 为AC 中点，∴DE 是ABC 3．（2023•广西）如图1，点F 从四条边都相等的ABCD Y 的顶点A 出发，沿A D B →→以1cm /s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，FBC 的面积()2cm y 随时间()s x 变化的关系图象，则a 的值为（）A B ．2C ．52D ．∵ABCD Y 的四条边都相等，∴AB BC CD ===由图象可知，点F4．（2023•江苏）如图①，在正方形ABCD 中，点M 是AB 的中点，设DN x =，AN MN y +=．已知y 与x之间的函数图象如图②所示，点(,E a 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（）A ．2B ．C ．4D ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于BD 对称，∴NA NC =，∴AN MN NC MN +=+，故选：C ．5．（2023•贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC FGH 、如图1放置（点C 与点H 重合），若将FGH 绕点C 在平面内旋转，HG HF 、分别交边AB 于点E D 、（点D E 、均不与点A B 、重合）．设,AE x BD y ==，在旋转过程中，y 与x 的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（）A ．a =B ．245y x x =--C ．2222AD BE DE +=D ．8xy =6．（2023•北京）如图，ABC 中，90C ∠=︒，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的-的值为（）对应关系如图所示，则a bA．54B．52C．50D．48168242BDE b S ∴==⨯⨯= ，762452a b ∴-=-=．故选：B ．7．（2023•上海）如图，ABC 中，ACB 90∠= ，A 30∠= ，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC(或边CB)于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：∵∠ACB =90°，∠A =30°，AB =16，∴∠B =60°，BC =12AB =8，∴∠BCD =30°，∴BD =12BC =4，∴AD =AB ﹣BD =12．如图1，当0≤AD ≤12时，AP =x ，PQ =AP •tan30°=33x ，∴y =12x •33x =36x 2；如图2：当12＜x ≤16时，BP =AB ﹣AP =16﹣x ，∴PQ =BP •tan60°=3（16﹣x ），8．（2023•广西）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，∵PE平分∠BPC1，∴∠BPE=∠C1PE，∴∠BPE+∠CPD=90°，∵∠C=90°，∴∠CPD+∠PDC=90°，9．（2023•内蒙古）如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ，设点P 运动的路程为x ，PB y PC =，如图2所示为点P 运动时y 随x 变化的函数关系图象，则等边三角形ABC 的边长是（）A ．B ．4C ．6D ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，∴2PB PC AO ==，，又∵ABC 为等边三角形，10．（2023•杭州）如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PB y PC=，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（）A ．6B ．3C ．D ．【答案】A 【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，∴PB PC =，23AO =，又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，1．（2024·河南·一模）如图1，在ABC 中，CA CB =，直线l 经过点A 且垂直于AB ．现将直线l 以1cm/s 的速度向右匀速平移，直至到达点B 时停止运动，直线l 与边AB 交于点M ，与边AC （或CB ）交于点N ．设直线l 移动的时间是(s)x ，AMN 的面积为．()cm²y ，，若y 关于x 的函数图象如图2所示，则ABC 的周长为（）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．20cm2．（2024·河南安阳·一模）如图1，Rt ABC △中，点P 从点C 出发，沿折线C B A --匀速运动，连接AP ，设点P 的运动距离为x ，AP 的长为y ，y 关于x 的函数图象如图2所示，则当点P 为BC 的中点时，AP 的长为（）AB ．C ．2D ．53．（2024·四川广元·二模）如图，在梯形ABCD 中，90B ∠=︒，4AB =，3CD =，AD =，点P ，E 分别为对角线AC 和边BC 上的动点，连接.PE 点P 在CA 上以每秒1个单位长度的速度从点C 运动到点A ，在这个过程中始终保持.PE BC ⊥设 CPE 的面积为y ，则y 与点P 的运动时间x 的函数关系图象大致可以表示为（）A ．B ．C．D．则四边形ABCD 是矩形，∵3,4CD AB ==∴4CF AB ==，1FD =4．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知ABCD Y 的边长AB 为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（）AB ．CD ．5．（2023·广西）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，AB =，CD AB ⊥，垂足为点D ，动点M 从点A 出发沿AB 的速度匀速运动到点B ，同时动点N 从点C 出发沿射线DC 方向以1cm/s 的速度匀速运动．当点M 停止运动时，点N 也随之停止，连接MN ，设运动时间为s t ，MND 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁）如图，矩形ABCD 中，8cm AB =，12cm AD =，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B C D →→方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm /s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与OPQ △的面积随时间t 变化的图象最接近的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2024·山东淄博·一模）如图1，点P 从ABC 的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M 为最低点，则ABC 的面积是（）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C 【详解】解：由图得，当点P 运动到点C 和店A 处时，BP 长都是5，即5BC BA ==，当BP 最短时，即BP 垂直AC 时长为4，如图，在Rt BCP △中，5BC = ，4BP =，22PC BC BP ∴=-BC BA = ，BP AC ⊥8．（2023·山东）如图，在Rt ABC △中，10AB =cm ，sin 5A =，90ACB ∠=︒，过点C 向AB 作垂线，垂足为D ．直线,m n 垂直于AB ，直线m 分别与,AB AC 相交于点,M N ，直线n 分别与,AB BC 相交于点P 、Q ．直线m 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动；同时，直线n 从点B 出发，沿BA 方向以相同的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动．若运动过程中直线m 、n 及ABC 围成的多边形MNCQP 的面积是()2cm y ，直线m 的运动时间是x （s ），则y 与x 之间函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．（2024·山东聊城·一模）如图，在ABC 中，10AB =，6BC =，8AC =，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连结MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为．∵10AB =，6BC =，8AC =，∴223664100BC AC +=+=，AB ∵222BC AC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，CP AB ⊥，∴90APC ACB ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，11．如图①，在菱形ABCD 中，120D ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC 的长度为x ，PE 与P B 的长度之和为y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为．∵0x =即点P 与点C 重合时，∴6BC CE +=，中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示12．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在ABC-=．线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则m n13．如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P Q 、运动时，BPQ V 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是．sin 60PM BP ∴=⋅︒=12BPQ S BQ PM ∴=⋅= AB CD ∴∥，14．（2024·福建福州一模）如图（1），点D 为等边三角形ABC 的边AB 的延长线上一点，且BD a =，点E 在线段BC 上运动，点F 在AC 的延长线上运动，连接DE EF DEF ∠，，恒为120︒，设BE 的长为x ，CF 的长为y ，且y 与x 之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E 与点C 重合时，不妨设0y =），已知点Q 为该图象的最高点，则a 的值为．15．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以1v 的速度沿折线A B C ——向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发以2v 的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ,P Q ，记EPQ △的面积为S ，其函数图象为折线MN NF —和曲线FG （图②），已知4ON =，1NH =，点G 的坐标为()8,0．(1)点P 与点Q 的速度之比12V V 的值为；AB AD 的值为；(2)如果15OM =．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得154S ≥？若存在，请说明理由．③存在，理由：设直线MN 的表达式为，S 把()0,15M ，()4,0N 代入，得，4015m n n +=⎧⎨=⎩，15m ⎧=-⎪。
