西南交通大学考研结构力学最新课件快速绘制M图的一些规律

快速绘制M图练习指导
一、方法步骤
1.确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。

2. 对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求
作M图（M图画在受拉一侧）；
对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。

（学会“局部悬臂梁法”求截面弯矩）
二、观察检验M图的正确性
1.观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向
要符合“弓箭法则”；
2.结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3.结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。

（要熟练掌握
目测判断）。

多跨静定梁是若干单跨静定梁用铰相联而成
的静定结构。

计算简图
从几何组成来看，多跨静定梁可分为基本部分和附属部分。

3-2多跨静定梁的内力分析
基本部分：不依赖结构的其他部分而能独立地维持其几何不变的结构部分。

附属部分：必须依赖基本部分的支承才能维持其几何不变性的结构部分。

计算简图
先算附属部分，后算基本部分
即：与几何组成的顺序相反，可顺利的求出各铰结处的约束力和各支座反力，而避免求解联立方程。

弯矩图的作法：先作出各个单跨梁的弯矩图；再把各单跨梁的弯矩图联在一起，就得到多跨静定梁的弯矩
图。

机动分析：地基
地基
AB 梁、CD
梁BC 梁
内力分析：BC
梁AB 梁、CD 梁计算多跨静定梁的顺序
D 10kN
B
C
10kN
层叠图基本部分
附属部分
4例1作图示多跨静定梁的内力图
D B C D M 图（kN.m)++-
-4644Q 图（kN)
M 图、Q 图
10kN B
C
10kN
4kN 基本部分基本部分附属部分例2作图示多跨静定梁的内力图
基本部分
基本部分
附属部分作出各个单跨梁的弯矩图
6kN/m M 图（kN.m)
99.5Q 图（kN)
把
4
4
42
82m
M
图（kN.m)
Q 图（kN)
R C =8.5+2=10.5kN
例3作图示多跨静定梁的内力图。

西南交通大学考研结构力学最新课件快速绘制M图的一些规律3-4 快速绘制M图的一些规律一. 利用 q、Q、M 之间的微分关系以及一些推论1.无荷载区段，M为直线直线12.受匀布荷载 q 作用时，M为抛物线，且凸向与 q 方向一致ql 2 8 ql 2 823. 受集中荷载P作用时，M为折线，折点在集中力作用点处，且凸向与P方向一致。

P P4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳跃量为m，且左右直线均平行。

mm平行二. 铰处 M = 0M=0 M=03三. 刚结点力矩平衡40 20 20 10 30 20 20∑M =0∑M =0四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M 为零4P P M=0 M=0五. 剪力Q为常值时，M图为斜线；剪力 Q为零时， M为常值，M图为直线。

5P剪力Q为零时， M图为直线。

P剪力Q为常值时，M图为斜线六. 平衡力系的影响6当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本身为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分的反力内力皆为零。

P PP平衡力系P七、利用对称性作弯矩图结构对称，荷载对称结构对称，荷载反对称Pa/2 P Pa/27内力对称内力反对称mm0 0a a a a示例1试作图示刚架的弯矩图。

各杆杆长均为l。

P P Pl Q= 0，M为一直线 M=0 2Pl P 2Pl P Q= P，M为一斜线8例2 试作图示刚架的M图ql 2 2 ql 2 29ql 2 8ql ql（各杆杆长均为l）示例 310试作图示刚架的弯矩图。

各杆杆长均为l = 4m。

20kN/m 80 80 40kN 80 4040示例 4试作图示刚架的弯矩图。

P P P11三根竖杆均为悬臂，其M图可先绘出。

PaPa Pa PaPa Pa属悬臂部分，相应的 M图为水平线。

两段的剪力相等铰处的M为零，M图的坡度（斜率）相等，两条线平行。

铰处的M为零，相应的M图为一斜直线。

示例 5试作图示刚架的弯矩图。

4－5 静定结构由于温度变化及杆件制造误差引起的位移计算对于静定结构，杆件在温度变化以及杆件 1 制造误差情况下，不引起内力；由于材料具有发生膨胀和收缩的性质以及由于杆件制造误差所引起的杆件变形，可使静定结构自由地产生符合其约束条件的位移。

这种位移仍可应用变形体系的虚功原理计算。

（一）由于温度变化引起的位移计算K 2 ΔKt 实际状态设：温度沿杆件截面厚度h为线性分布，即在发生温度变形后，截面仍保持为平面。

dut dθt（一）由于温度变化引起的位移计算K 3 ΔKt dut dθt 位移状态（实际状态）PK=1 M N 力状态（虚拟状态）虚拟状态的外力和内力 1 ⋅ ΔKt = ∑ ∫ N dut + ∑ ∫ M dθt 实际状态的位移和变形(温度变化材料的线膨胀系数为α 平均温度dut 4 du t = αt 0 ds dθt = αt2ds − αt1ds h 温差dθt 1 当h l＝h 2，其形心轴处的温度为：t 0 = (t 1 + t 2 2 Δt = t2 − t1 温差： t 1 h2 + t 2 h1 当h1≠h2 ，其形心轴处的温度为：t 0 = h α t2 − t1 ds αΔtds = = h h温度作用引起的位移计算公式 1⋅ Δ Kt = ∑ ∫ N dut + ∑ ∫ M dθ t αΔt = ∑ ∫ N α t ds + ∑ ∫ M ds h 0 5 如果 t 0 、Δt 沿每一杆件的全长为常数，则得：αΔt Δ Kt = ∑ α t 0 ∫ N ds + ∑ ∫ M ds 直杆的 N 图面积ωN h 直杆的 M 图面积ωM αΔt ωM ΔKt = ∑ αt 0 ωN + ∑ h正负号规定如下：αΔt ωM ΔKt = ± ∑ αt 0 ωN ± ∑ h （1）轴力 N 与 t 0的符号一致为正，相反为负。

6 N 以拉力为正 t 0 以温度升高为正αΔt ω ΔKt = ± ∑ αt 0 ωN ± ∑ 取－ M h 当 M 弯矩和温差Δt 引起的弯曲为同一方向时，其乘积取正值；反之取负值。

第1次作业四、主观题(共8道小题)18.?用力法作图示结构的M图，EI＝常数。

参考答案：建立力法方程：绘单位弯矩图和荷载弯矩图，求系数和自由项，求解出，即?由叠加原理作出最后弯矩图。

19.??用力法计算，并绘图示结构的M图。

EI = 常数。

?参考答案：建立力法方程：绘单位弯矩图和荷载弯矩图，求系数和自由项，求解出，即20.?用位移法作图示结构M图，各杆线刚度均为i，各杆长为l?。

参考答案：21.??已知图示结构在荷载作用下结点A产生之角位移 ? （逆时针方向），试作M图。

?参考答案：22.?图（a）所示结构，选取图（b）所示的力法基本结构计算时，其????????????????。

???????参考答案：23.?图示结构用位移法求解时典型方程的系数r22为?????????????????????? ?。

参考答案：24.?图示排架结构，横梁刚度为无穷大，各柱EI相同，则F N2＝?????????????? 。

参考答案：F P／225.?图?示?刚?架?，已?求?得?B??点?转?角?＝?i?(?顺?时?针?）?,?C??点?水?平?位?移?＝??i（），??则??＝????????????? ?，＝???????????????????????? ?。

???????参考答案：－；?－第二次作业四、主观题(共8道小题)15.?用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵K，E =常数。

不计轴向变形影响。

参考答案：16.?试求图示结构原始刚度矩阵中的子块K22的4个元素。

已知各杆件在整体坐标系中的单元刚度矩阵为：参考答案：17.?求图示结构的自由结点荷载列阵F参考答案：18.?已用矩阵位移法求得图a所示结构单元③的杆端力(整体坐标)为参考答案：19.?在矩阵位移法中，处理位移边界条件时有以下两种方法，即????????????????????? 和??????????????? ，前一种方法的未知量数目比后一种方法的?????????????? 。

3-4 快速绘制M图的一些规律一. 利用 q、Q、M 之间的微分关系以及一些 推论1.无荷载区段，M为直线直线12.受匀布荷载 q 作用时，M为抛物线，且凸向与 q 方 向一致ql 2 8 ql 2 823. 受集中荷载P作用时，M为折线，折点在集中力 作用点处，且凸向与P方向一致。

P P4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃 （突变），跳跃量为m，且左右直线均平行。

mm平行二. 铰处 M = 0M=0 M=03？三. 刚结点力矩平衡40 20 20 10 30 20 20∑M =0∑M =0四. 集中力 P 与某些杆轴线重合 时，M 为零4P P M=0 M=0五. 剪力Q为常值时，M图为斜线； 剪力 Q为零时， M为常值， M图为直线。

5PP剪力Q为零时， M图为直线。

剪力Q为常值 时，M图为斜线六. 平衡力系的影响6当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某 一本身为几何不变的部分上时，则只有此部分受 力，其余部分的反力内力皆为零。

P PP平衡力系P七、利用对称性作弯矩图结构对称，荷载对称 结构对称，荷载反对称Pa/2 P Pa/27内力对称 内力反对称mm0 0a a a a判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。

8√q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓√ql2/8 l 0 lP9PP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓P P√示例试作图示刚架的弯矩图。

各杆杆长均为l。

P P Pl Q= 0，M为一直线 M=0 2Pl P 2Pl P Q= P，M为一斜线10示例试作图示刚架的弯矩图。

各杆杆长均为l。

m m m m m11在m作用点处M 有跳跃 （突变），跳跃量为 m，且左右直线均平行。

Q= 0，M为一直线示例122Pa2Pa 2Pa 3Pa P铰处的M为零，且梁上无 集中荷载作用，M图为一 无斜率变化的斜直线。

Q= P，M 为一斜线P Q= 0，M为一直线 3Pa示例3qa 2q(2a)2 = 2qa 2 213qa ⋅ 2a = qa 2 2 qa 2 8例 作图示多跨静定梁的弯矩图4kN 4kN.m 1kN/m14铰处的M为零，且梁上无集中荷载作用， M图为一无斜率变化的斜直线。