多元函数微分学例题

第九章 多元函数微分学及其应用

1 第九章 多元函数微分学及其应用

第一节 多元函数的基本概念

1、求下列各函数的定义域，并作出其草图.

(1) 2211yxz；

解: 定义域11,11),(yxyxD,图略．

(2) )1ln(4222yxyxz；

解: 由11010422222yxyxyx得:

定义域xyyxyxD4,10),(222,图略．

(3) ）（12arcsin22yxz．

解: 由112122yx得: 定义域22),(22yxyxD,图略．

２．设22),(yxxyyxf，求),(yxf．

解:令sxytyx,得：stsystx11

代入得sststf1)1(),(2

故yyxyxf1)1(),(2．

3、求下列极限：

(1) 32210)(1limyxexyxyx；

解: (直接代入)原式=210101 ．

(2) 11)(cos1lim2200yxxyyx； 第九章 多元函数微分学及其应用

2 解:原式=1)11(2lim2222200yxyxxyyx．

(3)yyxy)(yxy102x1)sin(lim；

解:原式= 210221sinlimexy)(xy(xy)xxxyyx．

4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值．

(1) yyxyx200lim；

解:当0x时，令2kxy，则

kkkxkxxyyxkxyxyx1limlim22202002，其值与k有关，故极限不存在．

(2) 2265limyxyxyx；

解:当,yx时，有 0656565022222222yyxxyxyyxxyxyx，

故065lim22yxyxyx．

5、设yxyxyxf),(，求)],(lim[lim00yxfyx和)],(lim[lim00yxfxy．试问：极限),(lim00yxfyx是否存在？为什么？

解: 1)],(lim[lim00yxfyx，1)],(lim[lim00yxfxy

极限),(lim00yxfyx不存在，因为当0x时，令kxy，其值与k有关．

6、研究函数0,00,1),(2222yxyxyxf的连续性（在哪些点连续，哪些点不连续）．

解:),f(f(x,y)yx0001lim00，故函数在)0,0(处不连续，其它处均连续．

第九章 多元函数微分学及其应用

3 第二节 偏导数

１．填空题：

(1) yxff,在),(00yx处均存在是),(yxf在该点连续的 既非充分也非必要 条件；

(2)曲线 1122xyxz 在点)3,1,1(处的切线与y轴正向所成的角是6；

(3)设xyzln，则xzx1，yzy1；

(4)设xyzef(x,y,z)，则),,(fx1000，),,(fy1000，),,(f100z1．

2．求下列函数的一阶偏导数：

(1)yxxyz ；

解: 22y)(xyxz ，22y)(xxyz．

(2) xxy)(z1 解: ]xyxyxy)([xy)(xzx11ln1 ，121xxy)(xyz．

(3) zyxu ；

解: 1zzyxyxu ，xxzyyuzyzln1，xxyyzuzyzlnln．

3．求下列函数的二阶偏导数：

(1)y)(xxzln

解: yxxy)(xxzln ，yxxyz，

2222y)(xyxxz，22y)(xyyxz，

222y)(xxyz，22y)(xyxyz

(2)yxzarcsin ；

解:

221xyxz ，22xyyxyz， 第九章 多元函数微分学及其应用

4 232222)xx(yxz，23222)xy(yyxz，

23222122222)xx(y)x(yyxyz，][12322221222)x(yx)x(yyxyz．

4．设函数,yx,,yx,yxyf(x,y)0001cos222222判断其在点),(00处的连续性和偏导数是否存在．

解: 1）),f(yxyf(x,y)yxyx0001coslimlim220000

故函数在点),(00处连续；

2）Δx),f()Δx,f(),(fΔxx0000lim000000lim0ΔxΔx

Δy),f(Δy),f(),(fΔyy0000lim000 ΔyΔyΔyΔy01coslim20201coslimΔyΔy，极限不存在，故此点处关于y的偏导数不存在．

第九章 多元函数微分学及其应用

5 第三节 全微分

１．填空选择题：

(1)二元函数f(x,y)z在点),(yx处可微的充分必要条件是0lim0ρdzΔzρ，其中Δzf(x,y)ΔyΔx,yxf,

dz为表达式(x,y)Δxf(x,y)Δxfyx,22ΔyΔx．

(2) 在点),(yx处),(yxdf存在的充分条件为C．

A．f的全部二阶偏导数均存在； B．f连续；

C．f的全部一阶偏导数均连续； D．f连续且yxff,均存在．

2．求函数xyz当2x，1y，1.0x，2.0y时的全增量和全微分．

解:320128012...Δz

30202101.).(.ΔyyzΔxxzdz

3．求下列函数的全微分： (1) 23yxz

解: 223yxxz ，yxyz32

ydyxdxyxdyyzdxxzdz32223

(2)

yxz

解: xyxz21 ，2yxyyz

dyyxydxxydyyzdxxzdz221

(3) )ln(222zyxu

解: 2222zyxxxu ，2222zyxyyu，

2222zyxzzu 第九章 多元函数微分学及其应用

6 dzzyxzdyzyxydxzyxxdu222222222222

4．讨论函数xyz在点)0,0(处的可导性与可微性．

解:000lim000ΔxΔxxzΔx),(, 000lim000ΔyΔyyzΔx),(,

故函数xyz在点)0,0(处的偏导数存在；

但2200limlimΔyΔxΔxΔyρdzΔzρρ，其中22ΔyΔx

易知当Δx,Δy沿直线xy趋于)0,0(时此极限不存在。故函数xyz在点)0,0(处不可微．

第九章 多元函数微分学及其应用

7 第四节 多元复合函数的求导法则

１．求下列函数的偏导数或全导数：

(1) 22yxz，34,3tytx．

解:dtdz=dtdyyzdtdxxz=)ytx(yx3221231

= )t(662486t16t9t1

(2) 22xyf(v),vyz，其中f可导．

解: xzvfxxvvf2

yzvfyyvvf211

(3) yxez，)x(y，其中可导．

解: dxdz=dxdyyzxz=(x)xeeyy

(4)设yxvyxuvuz,2,32，求yzxz,．

解: xz22332vuuvxvvzxuuz

yz22334vuuvyvvzyuuz

(5) wvuz32，13123t,wtv,tu．

解:dtdz=322223394vuwtvuwuv

2．求下列函数的偏导数：

(1) (xy)),yf(xzsin32，其中f可导，求xz，yz．

解: xz21cos2f(xy)yfx

yz212cos3f(xy)xfy

(2) (yz))xyef(xuxsin，其中f可导，求xu，yu，zu．

解: xuf(yz))ye(xsin1， 第九章 多元函数微分学及其应用

8 yu=f(yz))xze(xcos ，zu=f(yz)xycos．

(3) 设yxef(u,x,y),uz，其中f二阶可导，求xz，yxz2．

解: xz21ffey，

yxz2=2321131121ffxefefxefeyyyy．

(4) 设),,(22yxxyfzf具有二阶连续偏导数，求22xz，yxz2，22yz．

解: xz2122fxyfy，yz=2212fxfxy

22xz22221231142442fyxfxyfyfy

yxz2=22312221132125222fyxfyxfxyfxfy

22yz=22412311221442fxfyxfyxfx

3．已知函数f，g可导，验证at)g(xat)f(xu满足

22222xuatu．

证明：g-afatu，gafatu2222，

gfxu，gfxu22，故22222xuatu．