机械振动单自由度系统的自由振动

ω——圆周率（又称角频率），表示振动快慢， 单位：弧度/秒（或1/秒）。
另外，还有一种自然频率（又称频率）。 f——每秒振动的次数，单位 周/秒（赫兹、次/秒）。
φ——初相位 f 1 T
T 2
速度和加速度
速度
也
v
dx dt
A
cos t
A
sin
t
2
是 同 频
率
加速度
的
简
谐
a
d2x dt 2
a0 2
n1
an
cos
n1t
bn
sin
n1t
1
2
T
是基频，a0, an,bn
均为待定常数。
确定常数 a0，an ，bn 三角函数的正交性
T
0
cos
m1t
cos
n1tdt
0 2
T
mn mn
T
0
sin
m1t
sin
n1tdt
0 2
T
mn mn
T
T
0 sin m1t cos n1tdt 0 cos m1t sin n1tdt 0
x x1 x2
A1
2
A2
sin 1t
1 sin 2t
2
A1
2
A2
sin
1t
1
sin
2t
2
令 1 2 2 ，则上式第二项略去得到
x
A1
A2
cos
t
1
2
2
sin
1
2
2
t
1
2
2
这是一个频率为 1 2 变幅振动
2
振幅在(A1+A2)与零之间周期性的缓慢变化
§1.3 谐波分析
An
n
0 1 21 31 41
0 1 21 31 41
有了两张频谱图就掌握了一个周期振动。 利用频谱图分析振动的方法称为频谱分析。
自变量由时间改变为频率，所以频谱分析由 时间域转为频率域。
例1.1
一周期为 T 、振幅为 F0的矩形波，如图所示。在一个周
期的函数表达式为
F (t )
F0
0 F0
并保持原来的频率。
A
a
b
t
x a cost bsin t
Asin t
两个不同频率的简谐振动合成不再是简 谐振动。
– 频率比为有理数时合成为周期振动 – 频率比为无理数时合成为非周期振动
拍（beat）
频率接近的两个简谐振动的合成会出现“拍” 的现象。
x1 A1 sin 1t 1
x2 A2 sin 2t 2
X
A
A
A 2 O
简谐振动的复数表示法
在复平面上，一个复数z代表在该平面上的一 个矢量 OP 。
虚轴
复数旋转矢量
P
A
t 实轴
O
任意时刻t的表达式为：
z Acost iAsin t Aeit
在复平面实轴或虚轴上的投影来表示一 个简谐振动
x Asin t Imz
合成问题
两个同频率的简谐振动合成仍然是简谐振动，
第一章 振动的运动学概念
运动学——描述质点或系统的运动形态 （位移、速度、加速度、相位等）随时间变化 的规律的学科，不涉及受力情况。
更一般的说，从几何方面研究而不涉及物 理原因。
前边说的第二类分类方法就是从运动学 角度把系统的运动分为简谐振动、一般周期 振动等等。
§1.1 简谐振动
简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦 函数)的规律随时间变化。
X
A
k
0
mt
T
x
Asin
2
T
t
作等速圆周运动的点在铅垂轴上的投影结果也可以看成是
一个简谐振动
X
X
o t A
0
P
A
t 2
x Asin t t 是相位
振动参量
其x中—振—动振参动量任有一：瞬时的位移（线位移或角位移） t——时间，单位秒（time）。 A——振幅（最大振动位移）amplitude。 T——振动周期，振动一次（一周）所需的时间，单位：秒。
T
试展开成付氏级数
t
F0
F
F0
0tT 2
T tT 2
按定义展开成付氏级数
F (t )
a0 2
n1
an
cos
n1t
bn
sin
n1t
求系数 a0 , an , bn
2
a0 T
T 0
F (t )dt
2 T
T 2 0
F0dt
T T F0dt 0 2
an
2 T
T
0 F(t) cos n1tdt 0
通过谐波分析，可以把一般的周期振动分解为 简谐振动。
谐波分析：把一个周期函数展开成一个付氏级 数，亦即展开成一系列简谐函数（或称谐波） 的叠加。
周期函数展开成付氏级数的条件
周期振动函数F(t) ，周期为T ，展开成付氏级数
F (t )
a0 2
a1
cos1t
a2
cos
21t
b1 sin 1t b2 sin 21t
An an2 bn2
tgn
an bn
F (t )
a0 2
n1
An
sin
n1t
n
频谱图：An 和 n 与 之间的变化关系可以用图形
来表示，这种图形称为函数 F(t)的频谱图。
– 振幅频谱图
– 相位频谱图
An和 n只在 n1(n 1,2, )点才有一定的数值，所以 频谱图形是一组离散的垂线，称为谱线。
bn
2 T
T
0 F(t)sin n1tdt
2 T
T
2 0
F0
sin
n1tdt
T
T F0 sin n1tdt
2
2F0 1 cos n
n
4F0
n 1,3,5,
n
各次谐波的幅值为
A1
4F0
,
A3
4F0
3
,
An
4F0
n
频谱图： An
0 1 31 51 71
Байду номын сангаас
T
T
0 cos n1tdt 0 0 sin n1tdt 0 n 0
利用三角函数的正交性，得到
a0
2 T
T
F (t )dt
0
2
an T
T
0 F(t) cos n1tdt
2
bn T
T
0 F(t)sin n1tdt
两个同频率的简谐振动可以合成一个简谐振动
an cos n1t bn sin n1t An sin n1t n
2 Asin
t
2
Asin
t
函 数
a 2x
§1.2 简谐振动的矢量表示法及复数表示法
描述简谐振动的数学表示方法有三种： 用三角函数的代数表示法
矢量表示方法
复数表示
矢量表示方法
X
x
A
t
M1 M
O
旋转矢量
参考圆
x Asin t
各旋转矢量之间的关系
用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速 度旋转矢量的相对位置关系（即相位关系）。