抛物线的性质

抛物线的性质与识别抛物线是一种重要的曲线形状，在数学和物理学中有广泛的应用。

本文将重点讨论抛物线的性质以及如何识别抛物线。

一、抛物线的定义与性质抛物线是平面上一组点的集合，满足以下定义：对于一个给定的焦点F和直线L，到焦点F和直线L距离之差相等于给定的常数。

这个常数称为焦距，常用字母p表示。

抛物线的主要性质如下：1. 对称性：抛物线关于对称轴对称。

对称轴是通过焦点F与抛物线顶点的直线。

2. 焦点位置：焦点在对称轴上方或下方，距离对称轴的距离等于焦距p。

3. 平准性：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦距p。

4. 切线性：抛物线上任一点的切线与焦点到该点的线段垂直。

5. 抛物线开口方向：焦点在抛物线顶点上方，抛物线开口向上；焦点在抛物线顶点下方，抛物线开口向下。

二、抛物线的标准方程与一般方程抛物线可以通过标准方程和一般方程来表示。

标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

该方程中，a决定了抛物线的开口方向，正值为开口向上，负值为开口向下。

一般方程为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为实数且至少有一个不等于零。

通过特定的系数组合可以识别出抛物线、椭圆、双曲线或者直线。

三、识别抛物线的方法1. 方程判断法：对于给定的方程，判断其是否为抛物线方程。

如果方程满足抛物线的一般方程，则可以判断为抛物线。

2. 观察焦点与直线：通过观察焦点位置和直线的关系，可以初步判断曲线是否为抛物线。

如果焦点在对称轴上方或下方，且距离对称轴等于焦距，那么可以确定为抛物线。

3. 判断开口方向：根据方程中二次项系数的符号，即a的正负，可以判断抛物线的开口方向。

4. 同轨与异轨：如果两个抛物线的方程相差一个常数，则这两个抛物线为同轨抛物线；如果两个抛物线的方程相差两个不同的常数，则这两个抛物线为异轨抛物线。

总结：抛物线作为一种特殊的曲线形状，在数学和物理学中具有重要的应用价值。

抛物线的定义与性质抛物线是由平面上一点P到一个定点F的距离与点P到一条直线L的距离相等的轨迹。

在平面直角坐标系中，抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。

抛物线具有许多有趣的性质，下面将逐一介绍。

性质一：焦点和直线L抛物线的焦点是定点F，直线L是平行于y轴的直线，距离焦点F的垂直距离是h。

根据抛物线的定义，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，我们可以得到以下关系：PF = PL√[(x - p)² + (y - q)²] = |y - h|其中，(p, q)是抛物线的顶点。

性质二：焦半径焦半径是从焦点F到抛物线上任意一点P的线段。

根据性质一中的等式，我们可以得到焦点与抛物线上的任意一点之间的距离PF与抛物线切线的夹角θ满足以下关系：PF = |PC|cosθ其中，切线的斜率可以通过抛物线的方程求出。

性质三：对称轴抛物线的对称轴是直线x = p，其中p是抛物线的顶点的横坐标。

对称轴将抛物线分成两个对称的部分，具有关于对称轴的对称性。

性质四：焦点的坐标对于抛物线y = ax² + bx + c，焦点的横坐标可以通过以下公式计算：p = -b / (2a)焦点的纵坐标可以通过以下公式计算：q = c - b² / (4a)性质五：切线与法线抛物线上的任意一点P的切线与该点的法线垂直，并且共线。

对于抛物线y = ax² + bx + c，点P(x0, y0)处的切线的斜率可以通过以下公式计算：m = 2ax0 + b点P处的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)该切线的法线与切线斜率的乘积为-1。

性质六：焦点的几何意义抛物线的焦点F到任意一点P的线段PF的长度与FP的长度相等。

这说明，焦点是抛物线上各点到抛物线的一条对称轴的距离之差的等分点。

性质七：离心率离心率是抛物线焦点到抛物线对称轴的距离与焦点到抛物线上任意一点P的距离之比的绝对值。

抛物线的性质与定理应用抛物线是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和定理。

作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍抛物线的性质与定理，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、抛物线的基本性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的曲线，具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。

这个性质使得我们在研究抛物线时可以利用对称性简化问题，节省计算时间。

2. 焦点与准线的关系：抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

这个性质被广泛应用于抛物线的测量和设计中，例如卫星天线的调整和太阳能聚光器的设计等。

3. 切线性质：抛物线上的切线与准线垂直。

这个性质使得我们可以通过求解切线斜率为零的方程来确定抛物线上的顶点，从而得到抛物线的标准方程。

二、抛物线的定理应用1. 焦半径定理：焦半径定理是抛物线的一个重要定理，它指出抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。

这个定理可以用来解决很多与焦点和准线有关的实际问题，例如抛物线反射器的设计和抛物面反射望远镜的原理等。

2. 焦点坐标定理：焦点坐标定理是抛物线的另一个重要定理，它指出抛物线的焦点坐标为（p，0），其中p是焦准距。

这个定理可以用来确定抛物线的焦点位置，从而进一步求解抛物线的标准方程。

3. 抛物线的最值问题：抛物线在一定范围内的最值问题是数学中常见的优化问题。

通过求解抛物线的最值，我们可以确定抛物线的最高点、最低点以及最值对应的自变量值。

这个问题在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。

三、抛物线的实际应用举例1. 抛物线的轨迹问题：假设有一个人站在地面上，以一定的初速度和角度抛出一个物体。

我们可以利用抛物线的轨迹性质来计算物体的飞行距离、最大高度和落地点等。

这个问题在射击、投掷和运动等领域都有实际应用。

2. 抛物线的抛物面反射望远镜：抛物面反射望远镜是一种常见的望远镜设计，它利用抛物线的焦点和准线性质来聚集光线，从而实现远距离的观测。

第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。

4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。

抛物线性质抛物线是一种二次函数，其方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a≠0。

抛物线有以下几个性质：1. 对称性抛物线有一条对称轴，对称轴垂直于x轴，过抛物线的顶点。

对称轴的方程为x=-b/2a。

抛物线对称于其对称轴。

对于每个点(x,y)，如果它在抛物线上，则它关于对称轴的对称点也在抛物线上。

2. 正负性当a>0时，抛物线开口向上，形状像一个U形。

当a<0时，抛物线开口向下，形状像一个倒U形。

3. 零点抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点或根。

当抛物线与x轴有两个交点时，抛物线有两个零点。

当抛物线与x轴只有一个交点时，抛物线只有一个零点。

4. 额定值抛物线最高点的y坐标称为抛物线的额定值。

抛物线的额定值等于其顶点的纵坐标。

5. 最大值/最小值如果a<0，则抛物线的最大值等于其额定值，最小值为负无穷。

如果a>0，则抛物线的最小值等于其额定值，最大值为正无穷。

6. 焦点抛物线有一点称为焦点，它是抛物线与其对称轴的交点的一半距离处。

焦点的x坐标为-b/2a，y坐标为(c-b²/4a)。

7. 直线的切线如果抛物线在某一点处存在一条斜率，则这条斜率对应于该点处的切线。

对于抛物线y=ax²+bx+c，其导数为dy/dx=2ax+b。

因此，在x处的切线斜率为2ax+b。

8. 拐点抛物线的拐点是曲线从凸部到凹部或从凹部到凸部的点。

拐点的位置为(-b/2a，c-b²/4a)。

9. 化简抛物线的标准形式抛物线方程y=ax²+bx+c可以化简为y=a(x-h)²+k的标准形式，其中(h,k)为抛物线的顶点。

要将抛物线方程转换为标准形式，可以首先通过完成平方的方法来消除x的一次项：y=a(x²+(b/a)x)+c。

然后，将完全平方的形式应用于括号内的表达式：y=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²)+c。

抛物线的性质引言抛物线是一种常见的二次曲线，具有独特的形状和性质。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和应用，以帮助读者更好地理解和应用抛物线。

抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，定义为到一个固定点（称为焦点）和到一条固定直线（称为准线）的距离之比等于从抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离之比，即满足关系式：$ \frac{PF}{PQ} = e $。

其中，P为抛物线上任意一点，F为焦点，Q为准线上与点P垂直的点，e为常数，称为离心率。

抛物线的形状抛物线的形状是一个对称的弧线。

根据抛物线的定义，可以得出以下结论：1.抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。

2.抛物线没有端点，它在无穷远处逐渐接近准线，但永远不会和准线相交。

3.离心率e决定了抛物线的形状。

当0 < e < 1时，抛物线开口向上；当e > 1时，抛物线开口向下；当e = 1时，抛物线是一个特殊的情况，称为标准抛物线，开口向上且对称轴和准线重合。

抛物线的方程抛物线可以用一般式和顶点式两种形式来表示。

一般式抛物线的一般式表示为：$ y = ax^2 + bx + c $。

其中，a、b、c为常数，决定了抛物线的位置和形状。

顶点式抛物线的顶点式表示为：$ y = a(x-h)^2 + k $。

其中，(h,k)为抛物线的顶点坐标。

由一般式转换为顶点式的方式如下：1.将一般式中的x项的系数b除以2a，得到顶点的横坐标h。

2.将一般式中横坐标为h的点代入一般式，求出纵坐标k。

抛物线的性质抛物线具有多种性质，包括焦点、准线、对称轴、顶点、拋物线方程和焦距等。

焦点和准线根据抛物线的定义，焦点是到抛物线上任意一点的距离与到准线的距离之比的固定点。

准线是与焦点相对应的直线。

对称轴抛物线的对称轴是准线和焦点连线的中垂线，也就是抛物线的对称轴是垂直于准线且通过焦点的一条直线。

顶点抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，即曲线的拐点。

顶点的坐标可以通过将一般式转换为顶点式来计算得出。

几何中的抛物线性质抛物线是数学中的一种特殊曲线，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍抛物线的定义及其基本性质，包括焦点、准线、顶点、对称轴等重要概念。

同时，还将探讨抛物线的相关公式和实际应用，帮助读者更好地理解并应用这一几何形状。

一、抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由焦点到准线的距离始终相等构成。

其数学表达式为：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数且a≠0。

抛物线是一个平滑的U形曲线，向上或向下开口，具有许多独特的性质。

二、抛物线的基本性质1. 焦点和准线：焦点是指离抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等的点。

准线是平行于对称轴，并与抛物线不相交的一条直线。

2. 顶点和对称轴：顶点是指抛物线的最高点或最低点，即曲线的拐点。

对称轴是通过焦点和顶点的直线，也是抛物线的对称轴线。

3. 焦距公式：焦距是指焦点到对称轴的距离。

在一般的抛物线方程中，焦距的计算公式为：f = 1 / (4a)4. 切线和法线：切线是抛物线某一点处切于曲线的直线，而法线则与切线垂直。

5. 弧长和曲率：抛物线的弧长可使用积分计算。

曲率是抛物线某一点处曲线的弯曲程度，由相应的导数或偏导数表示。

三、抛物线的相关公式1. 标准形式：y = ax²2. 顶点坐标：(-b/2a, f(-b/2a))3. 焦点的坐标：(p, a/p)，其中p为焦距4. 准线方程：y = -p5. 切线方程：y = mx + c，其中m是抛物线某一点处的导数，c为相应的截距四、抛物线的实际应用抛物线不仅在数学领域中具有重要意义，还广泛应用于各行各业。

以下是一些抛物线在实际中的应用示例：1. 抛物线反射器：抛物线形状的反射器可以将平行光线聚焦到一个点上，常用于望远镜、卫星天线等设备中。

2. 炮弹的轨迹：抛物线方程可用于计算炮弹射程和最大高度等参数，有助于炮弹的轨迹预测和射击控制。

3. 桥梁设计：在桥梁的设计过程中，抛物线形状能够提供足够的结构安全性和荷载分布均匀性。

抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线2b x a=- 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P ，特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P ，坐标为P[2b a -，244ac b a-]。

当2b a-=0时，P 在y 轴上；当Δ=24b ac -=0时，P 在x 轴上。

3.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。

当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

|a|越小，则抛物线的开口越大。

4.一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。

5.常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

抛物线与y 轴交于（0，c ）6.抛物线与x 轴交点个数：Δ=24b ac -＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。

Δ=24b ac -=0时，抛物线与x 轴有1个交点。

Δ=24b ac -＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y =2ax bx c ++当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即2ax bx c ++=0。

此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y ＝2ax 时，应先列表，再描点，最后连线。

列表选取自变量x 值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

● 二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y ＝2ax bx c ++ (a ，b ，c 为常数，a≠0).(2)顶点式：y ＝2()a x h k -+（a ，h ，k 为常数，a≠0).(3)两根式：y ＝12()()a x x x x --，其中1x ，2x 是抛物线与x 轴的交点的坐标，即一元二次方程2ax bx c ++=0的两个根，a≠0.● 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝2()a x h k -+，抛物线的顶点坐标是(h ，k)，h ＝0时，抛物线y ＝2ax k +的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线2()a x h -的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝2ax 的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设y=2ax ；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=2ax k +定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=2ax bx c ++（a ，b ，c 为常数，a≠0。

抛物线的性质与方程解析抛物线是数学中一种常见的曲线，具有许多独特的性质和方程解析。

本文将重点探讨抛物线的性质以及如何通过方程解析抛物线的特征。

一、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其焦点轴的对称性是其最基本的性质。

抛物线上任意一点与焦点的距离相等于该点到焦点轴的垂直距离。

这种对称性使得抛物线在很多实际问题中具有重要应用，如天文学、物理学等。

2. 焦点和直线的关系：抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

焦点是抛物线的一个重要属性，影响着抛物线的形状和位置。

3. 切线和法线：抛物线上的任意一点的切线与该点到焦点的连线垂直相交于准线。

这个性质使得我们可以利用切线和法线求解抛物线的各种问题。

二、抛物线的方程解析抛物线可以通过不同的方程来表示，以下是几种常见的形式：1. 顶点形式：设抛物线的顶点为(Vx, Vy)，则抛物线的顶点形式方程可以表示为： y = a(x - Vx)² + Vy。

其中，a为控制抛物线开口方向和大小的参数。

2. 标准形式：标准形式方程是最简单、最常用的表示抛物线的形式。

标准形式方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，分别控制抛物线的形状、位置和与x轴的交点。

3. 参数方程：通过参数方程可以描述抛物线上各个点的坐标。

常见的参数方程有：x = at²，y = 2at。

这种表示方式更适用于描述抛物线的轨迹和运动。

4. 对称方程：对称方程利用焦点和准线来表示抛物线。

一个常见的对称方程为：(x - p)² = 4a(y - q)，其中(p, q)表示焦点的坐标，a为常数。

通过这些方程解析，我们可以更好地理解抛物线的特征和性质。

在实际问题中，根据抛物线的方程，我们可以进行求解、推导和应用。

三、抛物线的应用抛物线的性质和方程解析在许多领域中得到广泛应用，下面简单介绍几个应用场景。

1. 抛物物体运动轨迹分析：抛物线可以描述空中抛射物的运动轨迹，如抛出的石子、发射的炮弹等。

抛物线性质总结一、抛物线的定义和基本性质抛物线，是数学中一种经典的曲线。

它具有许多令人着迷的性质，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。

本文将总结抛物线的一些基本性质。

抛物线可由以下二次方程表示：y = ax² + bx + c。

其中a、b、c为实数，且a不等于0。

根据该方程，我们可以得出以下基本性质。

1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的。

也就是说，对于任意点(x, y)在抛物线上，横坐标为-x的点(-x, y)同样也在抛物线上。

2. 顶点和焦点：抛物线的图像上存在一个顶点，其横坐标为-x₁ = -b / (2a)，纵坐标为y₁ =c - b² / (4a)。

顶点是抛物线的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。

此外，抛物线还有一个重要的性质，就是焦点。

焦点是一个点，它到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线称为“准线”的距离相等。

焦点的横坐标为-x₂ = -b / (2a)，纵坐标为y₂ = c - (b² - 1) /(4a)。

3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x = -b / (2a)。

对于对称轴上任意一点(x, y)，其与顶点的距离等于该点到抛物线的任意一点的距离。

二、抛物线的拓展性质除了上述基本性质外，抛物线还有一些拓展性质，值得进一步探讨。

1. 切线与法线：沿着抛物线上的任意一点(x₀, y₀)绘制一条直线，使其与抛物线相切。

这条直线称为该点的切线。

切线的斜率等于抛物线在该点的导数。

类似地，通过抛物线上一点(x₀, y₀)作一个垂直于切线的直线，该直线称为该点的法线。

法线的斜率等于切线的负倒数。

2. 点到抛物线的距离：给定一个点(x, y)和一个抛物线，我们可以求出该点到抛物线的最短距离。

这个最短距离等于点到抛物线的准线的距离。

要计算点(x, y)到抛物线的最短距离，我们可以使用以下公式：d = |y - (ax² + bx + c)| / √(a² + 1)。

抛物线性质的概念抛物线是一种代数曲线，定义为平面上所有点到一个固定点（焦点）与到一条固定线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）。

抛物线具有许多重要的性质，如对称性、焦准关系、切线、拱高、焦距、方程等，这些性质在几何和物理学中有广泛的应用。

下面将详细介绍抛物线的性质。

1. 对称性：抛物线固定线（准线）是对称轴，焦点是对称轴上的一个点，抛物线关于对称轴对称。

这意味着对于任意点P(x, y)在抛物线上，点P关于对称轴的对称点也在抛物线上。

抛物线的对称性质有助于解决一些几何问题。

2. 焦准关系：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离与这点P到准线的距离的比值是一个常数（离心率），用e表示。

即PF/PL = e。

焦准关系是抛物线最重要的性质之一，它用于构造抛物线方程。

3. 切线：抛物线上的切线与准线垂直。

如果在抛物线上选取一点P，则该点P处的切线与准线的交点为准线上该点的垂足。

4. 拱高：抛物线固定线（准线）的中垂线与抛物线的焦点相交于抛物线的顶点，该点也是抛物线的最高点，称为拱高。

抛物线的拱高是该曲线在垂直方向上的最大值。

5. 焦距：焦距是焦点到抛物线固定线（准线）的距离。

对于抛物线来说，焦距等于离心率的两倍。

6. 方程：抛物线的一般方程形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

根据焦准关系，当抛物线的焦点在y轴上时，焦点坐标为(0, p)，准线方程为y = -p，此时抛物线的方程为y^2 = 4px。

当抛物线的焦点不在y轴上时，需要通过平移来求得抛物线的方程。

7. 焦点到顶点的距离：焦点到抛物线顶点的距离等于拱高的两倍。

由此可得，当已知拱高和焦准关系中的焦点到准线的距离时，可以计算出焦准关系中离心率的值。

8. 离心率：抛物线的离心率是一个常数，用e表示。

离心率等于焦点到准线的距离与焦点到顶点的距离的比值。

离心率描述了抛物线的形状，当离心率小于1时，抛物线开口朝下；当离心率大于1时，抛物线开口朝上；当离心率等于1时，抛物线是一个特殊的圆锥曲线，称为拋物线。

抛物线常用性质总结抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。

抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。

1. 对称性：抛物线具有轴对称性。

如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。

这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。

2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。

如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。

抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。

3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。

判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。

如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。

如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。

如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。

4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。

这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。

5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。

零点可以通过解二次方程来求得。

如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。

6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。

如果a大于零，抛物线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。

7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。

焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的横坐标，q=c-b^2/4a为抛物线的对称轴上任意一点的纵坐标。

准线的方程为y=c-1/4a。

8.对称性性质的应用：由于抛物线的对称性，我们可以通过求解对称点的坐标来简化计算。

例如，如果我们已经求得抛物线上一个点(x,y)的坐标，那么我们也可以直接求解它关于对称轴的对称点(2p-x,y)。

抛物线的基本性质抛物线的概念抛物线是一种二次函数，具有单曲线的形状，它是由焦点到直线的距离相等所形成的曲线。

1．对称性。

抛物线的形状具有二次函数的对称性：它与y轴的对称轴称为抛物线的对称轴，对称轴的方程为x=-p，其中p为抛物线的焦距(focus)。

2．极值。

抛物线的平移和缩放只会影响它的大小，而不会改变它的形状，因此它没有最大值和最小值。

但如果我们要探讨抛物线的局部极值，我们需要把抛物线垂直于x轴的高度视为y值，因为它是抛物线的函数式3．判定方程。

我们可以使用方程y=ax^2+bx+c判定一个二次函数是否为抛物线:a>0，则函数是向上的抛物线a=0，则函数是一条水平直线4．交点。

如果两个抛物线相交，它们在交点上的切线相互垂直。

5．求导。

抛物线的导数是二次函数的一阶导数。

要求抛物线的导数，我们只需要将y=ax^2+bx+c带入虚拟的求导公式即可，就像求其他的导数一样6．焦距和焦点。

焦距是定点和抛物线直线之间的距离。

焦点是定点在抛物线上的投影点，它也是抛物线的对称点7．开口方向。

抛物线可以有向上和向下的方向。

当a为正数时，抛物线是向上的，当a为负数时，抛物线是向下的。

这个方向取决于二次函数的条件限制。

8．极坐标方程。

抛物线的极坐标方程是r=2a/(1+cosθ)，其中a是焦距。

极角是一个内部角度，以X轴为起点，并按顺时针方向旋转9．完备方程。

抛物线的完备方程是y=(x-h)^2+k，它是标准方程2ー(x-h)=4a(y-k)的特殊形式。

它们都携带了抛物线的相关信息。

10．光学性质。

抛物线是光的不少经典聚光器的基础，包括新视野太空探测器的天线、著名望远镜哈勃、汽车的头灯等等。

结论抛物线是一种具有很多独特性质的曲线，它的对称性、极值、焦距、光学性质等方面都是其研究的重要方向之一。

无论是物理学、数学、工程学等领域，抛物线都有广泛应用，它的性质和特色使它成为我们理解和解决很多问题的重要工具。

抛物线的性质抛物线是一种基本的数学曲线，具有许多独特的性质和应用。

本文将从几何和代数的角度探讨抛物线的性质，以及它在实际生活中的一些应用。

一、抛物线的定义和基本特征抛物线是一种由平面上的一个点P和一个定点F及一条直线l构成的几何图形。

其中，定点F称为焦点，直线l称为准线。

对于平面上的任意一点Q，其到焦点F的距离与其到准线l的距离的平方成正比。

抛物线的几何特征可以用数学表达式y = ax^2 + bx + c来表示，其中a、b、c为常数，a不等于零。

1.1 焦点和准线抛物线的焦点F位于抛物线的对称轴上，离开准线的距离等于离开抛物线的顶点的距离。

抛物线上的每个点到焦点的距离与到准线的距离的比值都相等，这个比值称为离心率，用e表示。

准线是与抛物线关于对称轴对称的直线。

具体的计算公式可以由抛物线的焦点和准线的坐标表示。

1.2 对称性和顶点抛物线具有关于对称轴的对称性。

对于抛物线上的任意一点P(x,y)，其关于对称轴的对称点P'的坐标为P'(-x,y)。

抛物线的顶点是对称轴上的一个点，其坐标可以通过求导或者由抛物线的标准方程得出。

二、抛物线的性质抛物线除了上述的定义和基本特征外，还有一些重要的性质和定理。

下面将介绍几个常见的抛物线性质。

2.1 切线和法线考虑抛物线上的一点P(x,y)，其切线的斜率为y'。

由于抛物线的方程是二次函数，可以通过求导得到切线的斜率。

切线与抛物线在点P处相切，其方程可以由点斜式或者斜截式得出。

法线是与切线垂直的线段，其斜率为倒数的负数。

根据几何关系可以得出切线和法线在点P 处垂直。

2.2 点的位置关系给定一个点Q(x,y)，如何判断其是否在抛物线上？可以将点Q的坐标带入抛物线的方程中，若等式成立，则点Q在抛物线上；若不成立，则点Q不在抛物线上。

2.3 判别式和焦点位置由抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c可得到判别式D=b^2-4ac。

根据判别式的值，可以判断抛物线的性质：若D大于零，则抛物线开口向上或向下，焦点在对称轴上方或下方；若D等于零，则抛物线开口向上或向下，焦点与顶点重合；若D小于零，则抛物线开口向上或向下，但焦点不存在于实数范围内。

抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。

抛物线常用性质总结抛物线是数学中的一种曲线形状，其方程一般为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

抛物线在几何学、物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。

下面将总结抛物线的一些常用性质。

1.抛物线的形状：抛物线是一种开口向上或向下的曲线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.对称性：抛物线与y轴对称，其顶点坐标为（-b/2a,c-b^2/4a)。

抛物线也可以与x轴对称，其对称轴与x轴垂直，并通过顶点。

3.焦点和准线：抛物线的焦点F的坐标为（-b/2a,c-b^2/4a+1/4a)，准线的方程为y=(c-b^2/4a)-1/4a。

4.抛物线的平移：抛物线的平移是通过调整方程中的常数b和c来实现的。

平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状，但位置有所变化。

5. 零点：抛物线的零点即为方程的解，可以通过求解ax^2+bx+c=0来得到。

根据一元二次方程的解的性质，当b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b^2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。

6.最值：抛物线的最值即为顶点的纵坐标。

当a>0时，抛物线的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，抛物线的最大值为c-b^2/4a。

7.切线和法线：在抛物线上的任意一点，其切线的斜率为抛物线在该点的导数值。

切线与抛物线的切点的坐标可以通过求解方程组来得到。

在抛物线上的任意一点，其法线与切线垂直。

8.弧长：抛物线的弧长表示为y=x^2的积分。

计算抛物线上两点间的弧长可以通过积分计算得到。

9.面积：抛物线与y轴之间的面积可以通过求解抛物线和y轴之间的定积分来计算得到。

抛物线的其中一段与x轴之间的面积可以通过求解抛物线和x轴之间的定积分来计算得到。

10.抛物线的应用：抛物线在现实生活中有很多应用。

例如，在物理学中，抛物线可以描述物体的弹道；在工程学中，抛物线可以描述桥梁、拱门等结构的外形；在经济学中，抛物线可以描述成本、产量等指标的关系。

抛物线性质总结
抛物线是广泛应用在数学中的一条函数曲线，其涉及到诸多的基本性质，常用的有抛物线的根性，关系式，定积分，交点，端点，极值等等。

抛物线的根性：抛物线的轴对称，一般方程通常有两个不同的根，或是称之为把抛物线绳子或扳手弯曲两次；
抛物线的关系式：当方程是幂函数抛物线式时，可以表示成y=ax²+bx+c，a>0，其中a是抛物线下凹，b和c是顶点x和y的坐标，b和c也是抛物线的转折点；
抛物线的定积分：抛物线的定积分可以表示成f(x)=ɑx+1/2∫g(u) du,其中g(u)为定义域内的函数。

抛物线的定积分就是做抛物线上每两个任意点间的积分；
抛物线的交点：抛物线与其他函数交点，只要求解其他函数与抛物线方程的解、公共解得到；
抛物线的端点：抛物线的端点可以通过关系式求出，为左端点x=-b/2a,y=f(-b/2a)，右端点x=b/2a,y=f(b/2a)。

抛物线的极值：抛物线的极值可以通过求解关系式x=-b/2a，得出结论，抛物线的极值为y=f(-b/2a)。

以上就是抛物线的总体性质，由此可见抛物线在数学和几何中起着重要作用，由此也可以解决许多学术问题，正如此抛物线总结中所述，受到学术界的广泛认可。