探究式导学案2：2.1.1 第1课时 变量与函数的概念

【学习目标】1．让学生了解变量与函数的相关概念，力求做到理解．2．让学生理解并掌握函数的三种最常用的表示方法，并会用表达式法表示数量关系． 【学习重点】变量与函数的概念． 【学习难点】变量与函数的概念．行为提示：创设问题情景导入，激发学生的求知欲望．行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流．知识链接：1．对于收音机而言，波长与频率的积是一个定值．2．利率＝利息本金×100%.解题思路：将所有相应的x ，y 的值代入函数关系式，如果等式成立，则成立．方法指导：一个函数中，至少有两个变量，而且自变量对因变量而言，是一一对应的关系．情景导入 生成问题【旧知回顾】1．在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题：如图是某地一天内的气温变化图，请同学们看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温；(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 2．学生思考、讨论后，引导学生如何从图象中获取信息，并给出本题答案： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1 ℃、2 ℃、5 ℃； (2)这一天中最高气温是5 ℃，最低气温是－4 ℃；(3)这一天中，3～14时的气温在逐渐升高，0～3时和14～24时的气温在逐渐降低．自学互研 生成能力知识模块一 函数的表示方法 【自主探究】1．图象法：从上图中我们可以看到，随着时间t(h )的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．也就是说，我们可以用图来反映气温随时间变化的规律．2．列表法：下表是某年某月某银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：来反映两个变化着的量之间的关系．3．表达式法：如λf ＝300 000或f ＝300 000λ或S ＝πr 2等，可以用一个等式来反映两个变化着的数量之间的关系．4．不同的函数之间的表示方法也可以互相变换．学习笔记：1．函数的三种表示方法：列表法、图象法、表达式法． 2．当一个自变量对应唯一一个因变量时才是函数．3．寻找函数表达式时，一般应建立等式，再写成左边只含因变量、右边含变量的形式．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比．学习笔记：检测的目的在于让学生掌握函数中的变量、常量与表示方法，学会求简单的函数表达式． 【合作探究】范例1：已知两个量x 和y ，它们之间的3组对应值如下表所示：则y 与x A ．y ＝x B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x 2＋x ＋1 D ．y ＝3x知识模块二 常量、变量与函数的定义 【自主探究】1．变量：在某一变化过程中，可以取__不同数值的量__，叫做变量．2．函数：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都__有唯一的值__与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．3．常量：在某一变化过程中，取值__始终保持不变__的量，叫做常量． 【合作探究】 范例2：写出下列各问题中两个变量间的关系式，并指出哪些量是变量，哪些量是常量．(1)橘子每千克的售价是1.5元，则购买数量x(kg )与所付款y(元)之间的关系式； (2)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，则矩形的面积S 与一边长x 之间的关系式． 解：(1)y ＝1.5x ，x ，y 是变量，1.5是常量；(2)S ＝－x 2＋30x ，x ，S 是变量，－1，30是常量．范例3：声音在空气中传播的速度y(m /s )(简称音速)与气温x(℃)有一定的关系，下表列出一组不同气温时的音速：(1)y 确定吗？(2)音速y 可以看成是气温x 的函数吗？如果可以，请写出函数表达式． 解：(1)确定；(2)音速y 可以看成是气温x 的函数，此时y ＝0.6x ＋331.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题“和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一函数的表示方法知识模块二常量、变量与函数的定义检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

1.2.1函数的概念（第1课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解构成函数的基本要素，理解并掌握函数的概念，熟悉用“区间”、“无穷大”等符号表示取值范围，在数学抽象、数学建模中体会对应关系在刻画函数概念中的作用． （二）学习目标 1．通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．2．学习用集合语言和对应关系刻画函数，并明确函数的基本要素，掌握判别两个函数是否相同的方法．3．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（三）学习重点 1．体会函数的重要模型化思想，了解构成函数的要素并理解函数的概念．2．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（四）学习难点1．体会并理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”．2．符号“y=f (x )”的含义． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第18页，填空：设B A ,是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()x f y =，A x ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域． （2）写一写：区间(设a ＜b ){x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a ＜x ＜b } 开区间 (a ，b ){x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a ＜x ≤b } 半开半闭区间 (a ，b ] {x |x ≥a } 半开半闭区间 [a ，＋∞) {x |x ＞a } 开区间 (a ，＋∞) {x |x ≤a } 半开半闭区间 (－∞，a ] {x |x ＜a } 开区间(－∞，a )2．预习自测(1)()x f 与()a f 的区别与联系？答：()a f 表示当a x =时函数()x f 的值，是一个常量，而()x f 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量；()a f 是()x f 的一个特殊值．(2)通过学习函数的概念，你觉得函数的基本要素有哪些？定义两个函数是否相等时，是否需要函数的几个基本要素必须都相同？答：基本要素有定义域、对应关系、值域。

初中数学《变量与函数》教案一、教学目标1. 让学生理解变量的概念，能够识别生活中的变量。

2. 让学生掌握函数的定义，能够判断生活中的函数关系。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 变量：定义、分类及表示方法。

2. 函数：定义、表示方法及生活中的函数关系。

三、教学重点与难点1. 重点：变量与函数的概念及表示方法。

2. 难点：函数关系的判断及应用。

四、教学方法1. 采用情境教学法，结合生活实例讲解变量与函数的概念。

2. 利用数形结合法，引导学生理解函数的表示方法。

3. 运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的一些变化现象，引导学生认识变量。

2. 新课导入：介绍变量的定义、分类及表示方法。

3. 案例分析：分析生活中的函数关系，让学生理解函数的概念。

4. 课堂练习：让学生自主完成一些关于变量与函数的练习题。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对变量与函数概念的理解，以及能否运用所学知识解决实际问题。

2. 评价方法：课堂问答、练习题、小组讨论、课后作业等。

3. 评价内容：a. 学生能否正确识别生活中的变量。

b. 学生能否理解并运用函数的定义。

c. 学生能否判断生活中的函数关系。

d. 学生能否运用数学知识解决实际问题。

七、教学资源1. 教学课件：展示生活中的变化现象，图片、图表等。

2. 练习题：提供一些关于变量与函数的练习题，包括选择题、填空题、解答题等。

3. 小组讨论材料：提供一些实际问题，让学生在小组内进行讨论和分析。

八、教学进度安排1. 第1周：介绍变量概念，让学生认识生活中的变量。

2. 第2周：讲解函数的定义，让学生理解函数关系。

3. 第3周：练习题讲解，巩固所学知识。

4. 第4周：小组合作学习，解决实际问题。

九、课后作业1. 复习本节课的主要内容，整理笔记。

2. 完成练习题，巩固所学知识。

3. 思考生活中的函数关系，尝试运用所学知识解决实际问题。

17、1 变量与函数第一课时变量与函数教学目标：1、知识与技能：使学生会发现、提出函数的实例，并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数，理解函数的定义。

2、过程与方法：能应用方程思想列出实例中的等量关系。

3、情感态度与价值观：培养学生用字母表示数的思想，和变量思想。

教学重点、难点：因变量和自变量的概念，函数的概念，既是重点也是难点。

教学过程一、由下列问题导入新课问题l、右图(一)是某日的气温的变化图看图回答：1．这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗? 2．这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少?3．这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看出，随着时间t(时)的变化，相应的气温T(℃)也随之变化。

问题2 一辆汽车以30千米／时的速度行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时，那么，s 与t具有什么关系呢?问题3 设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系．问题4 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数：波长l（m）300 500 600 1000 1500频率f(kHz) 1000 600 500 300 200同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢?二、讲解新课1．常量和变量在上述两个问题中有几个量?分别指出两个问题中的各个量?第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化．第2个问题中有路程s，时间t和速度v，这三个量中s和t可以取不同的数值是变量，而速度30千米/时，是保持不变的量是常量．路程随着时间的变化而变化。

第3个问题中的体积V和R是变量，而是常量，体积随着底面半径的变化而变化．第4个问题中的l与频率f是变量．而它们的积等于300000，是常量．常量：在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量．变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量．2．函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有惟一的温度与之对应，t是自变量，T因变量(T是t的函数)．在上述的2个问题中，s＝30t，给出变量t的一个值，就可以得到变量s惟一值与之对应，t是自变量，s因变量(s是t的函数)。

19.1 函数 19.1.1 变量与函数第1课时 常量与变量学习目标：1．会口述常量与变量的概念, 掌握常量与变量之间的联系与区别. 2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量. 学习重点：能够区分同一个问题中的常量与变量.一、课前检测 二、温故知新1．人们在认识和描述某一事物时, 经常会用“量〞来具体表达事物的某些特征(属性), 如：速度、时间、路程、温度、面积等, 请你再写出三个“量〞：、、.同时用“数〞来说明“量〞的大小.2．写出路程(s)、速度(v)、时间(t)之间的关系：.三、预习导航〔预习教材71页, 标出你认为重要的关键词〕1．小明去文具店购置一些铅笔, 铅笔的单价为0.2元／支, 总价y 元随铅笔支数x 的变化而变化, 在这个问题中, 变量是________, 常量是________.2．圆的面积S 随着半径r 的变化而变化, 它们的关系为:2r S π=,在这个问题中, 常量是, 变量是. 3．自主归纳：变量：在一个变化过程中, 数值________________的量为变量. 常量：在一个变化过程中, 数值________________的量为常量. 四、自学自测1．指出以下关系式中的常量和变量.(1)长方形的长为2, 长方形面积S 与宽x 之间的关系S=2x ；(2)一批香蕉每千克6元, 那么总金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系式为y=6x.2.一名运发动以8米/秒的速度奔跑, 写出他奔跑的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式, 并指出其中的变量和常量.五、我的疑惑(反思)_____________________________________________________________________一、要点探究探究点1：常量与变量问题1：一辆汽车以60千米／时的速度匀速行驶, 行驶里程为s 千米．行驶时间为t 小时．(1)请同学们根据题意填写下表：(2)试用含t 的式子表示s,那么s=；(3)在以上这个过程中, 变化的量有, 不变化的量有__________．t/小时 1 2 3 4 5s/千米自主研习探究点拨问题2：每张电影票的售价为10元, 如果早场售出票150张, 日场售出205张, 晚场售出310张, 三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x 张, 票房收入y 元．(1)请同学们根据题意填写： 早场电影的票房收入为元； 日场电影的票房收入为元； 晚场电影的票房收入为元；(2)在以上这个过程中, 变化的量是_____________, 不变化的量是__________． (3)试用含x 的式子表示y,那么y=；这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．问题3：你见过水中涟漪吗? 如下图,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r 分别为10cm,20cm,30cm 时,圆的面积S 分别为多少?(1)填空：当圆的半径为10cm 时, 圆的面积为cm 2； 当圆的半径为20cm 时, 圆的面积为cm 2； 当圆的半径为30cm 时, 圆的面积为cm 2； 当圆的半径为r 时, 圆的面积S=；(2)在以上这个过程中, 变化的量是_____________, 不变化的量是__________． 要点归纳：在一个变化过程中, 数值发生变化的量为, 数值始终不变的量为. 二、精讲点拨例1 指出以下事件过程中的常量与变量(1)某水果店橘子的单价为5元／千克, 买a 千橘子的总价为m 元, 其中常量是________, 变量是________；(2)周长C 与圆的半径r 之间的关系式是C ＝2πr, 其中常量是________, 变量是________；(3)三角形的一边长5cm, 它的面积S(cm 2)与这边上的高h(cm)的关系式h S 25中, 其中常量是________, 变量是________.变式题阅读并完成下面的填空：(1)某人持续以a 米／分的速度用t 分钟时间跑了s 米, 其中常量是________,变量是________.(2)s 米的路程不同的人以不同的速度a 米／分各需跑的时间为t 分, 其中常量是________,变量是________.(3)根据上面的表达, 写出一句关于常量与变量的结论：_________________________.方法总结:区分常量与变量, 就是看在某个变化过程中, 该量的值是否可以改变, 即是否可以取不同的值.探究点2：确定两个变量之间的关系例2.弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm, 每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm, 试填下表：重物的质量(kg) 1 2 3 4 5 弹簧长度(cm)怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)? 变式题：如果弹簧原长为12cm, 每1kg 重物使弹簧压缩0.5cm, 那么用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为______________.三、变式训练分别写出以下各问题中的关系式, 并指出各关系式中的常量和变量．〔1〕如果直角三角形中一个锐角的度数为α, 另一个锐角的度数β与α之间的关系；〔2〕一支蜡烛原长为20cmcm , 点燃x 〔分钟〕后, 蜡烛的长度y 〔cm 〕与x 〔分钟〕之间的关系；〔3〕有一边长为2cm 的正方形, 假设边长增加xcm , 那么增加的面积y 〔cm 2〕与x 之间的关系．四、课堂小结常量与变量的概念 常量 在一个变化过程中, 数值________的量为常量 变量 在一个变化过程中, 数值________的量为变量 易错提醒 在不同的条件下, 常量与变量是相对的★1．假设球体体积为V , 半径为R , 那么343V R π=, 其中变量是_______, 常量是______.★2．方案购置50元的乒乓球, 所能购置的总数n(个)与单价 a(元)的关系式是________, 其中变量是________, 常量是________.★3．汽车开始行驶时油箱内有油60升, 如果每小时耗油8升, 那么油箱内余油量Q(升)与行驶时间t(小时)的关系是________, 其中的常量是________, 变量是________.★★4．表格列出了一项实验的统计数据, 表示小球从高度x(单位：m)落下时弹跳高度y(单位：m)与下落高的关系, 据表可以写出的一个关系式是．★★5.如图, 直线m, n 之间的距离是3, △ABC 的顶点A 在直线m上, 边BC 在直线n 上, 求△ABC 的面积S 和BC 边的长x 之间的关系式, 并指出其中的变量和常量.xn mCBA3★★★6.瓶子或罐头盒等物体常如以下图那样堆放, 试确定瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.x 1 2 3 … n50 80 100 150 25 40 50 75 星级达标自学自测1．试题分析：在一个变化过程中, 数值保持不变的量为常量, 数值发生变化的量为变量, 据此定义可以做出判断. 详解：〔1〕在长方形的面积关系式S=2x 中, S 与x 是变化的, 长度2不变, ∴变量是S, x ；常量是2.〔2〕在关系式y=6x 中, 总金额y(元)与销售量x(千克)是变化的, 每千克香蕉的售价6元不变, ∴变量是y 与x, 常量是6.：根据路程、速度、时间的关系可知s=8t, 然后根据常量、变量的定义即可加以判断. 详解：由题意得s=8t.其中变量为s 与t, 常量是8. 精讲点拨例1 试题分析：根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中, 数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案． 详解：〔1〕常量是5, 变量是a 和m ； （2）常量是2π, 变量是C, r ； （3）常量是25, 变量是S, h. 变式题试题分析：根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中, 数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．详解：〔1〕某人持续以a 米/分钟的速度t 分钟内跑了s 米, 其中常量是a, 变量是t, s ； 〔2〕s 米的路程不同的人以不同的速度a 米/分钟各需跑t 分钟, 其中常量是s, 变量是a, t ；〔3〕根据以上表达, 写一句关于常量与变量的结论：在一个变化的过程中, 数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．故答案为：a, t, s ；s, a, t ；在一个变化的过程中, 数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．例2.试题分析：根据每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm, 可知表格中弹簧长度依次为10+0.5＝10.5, 10+2×0.5＝11, 10+3×0.5＝11.5, 10+4×0.5＝12, 10+5×0.5＝12.5.其中0.5为常量, 10也为常量．据此即可得出弹簧总长L 〔cm 〕与所挂重物m 〔kg 〕之间的关系式．详解：由题意知10+0.5＝10.5, 10+2×0.5＝11, 10+3×0.5＝11.5, 10+4×0.5＝12, 10+5×0.5＝12.5, ∴表中弹簧长度分别为：10.5,11,11.5,12,12.5.所以, 弹簧总长L 〔cm 〕与所挂重物m 〔kg 〕之间的函数关系式为L ＝0.5m+10． 变式题：试题分析：根据每1kg 重物使弹簧压缩0.5cm, 可知重物质量m(kg)时的弹簧长度 L(cm)为L=12-0.5m.详解：由题意知, 用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为L=12-0.5m. 变式训练试题分析：〔1〕由“直角三角形的两个锐角互余〞来写α与β的关系式； 〔2〕根据点燃后蜡烛的长度＝原长﹣燃烧的长度, 列出x 与y 的关系式；〔3〕根据正方形增加的面积＝新正方形的面积﹣原正方形的面积, 写出x 与y 的关系式． 详解：〔1〕β＝90°﹣α, 90°是常量, α、β是变量； 〔2〕y ＝20﹣0.5x, 20, 0.5是常量, x, y 是变量；〔3〕y ＝〔2+x 〕2﹣22＝4+4x+x 2﹣4＝x 2+4x, 4是常量, x, y 是变量． 星级达标：1．试题分析：根据常量与变量的定义判断即可. 详解：在球的体积公式343V R π=中, V 和R 是变化的, π34不变. 所以变量为V, R ；常量为π34. 2．试题分析：直接利用总钱数÷单价＝购置乒乓球的总数, 进而得出答案． 详解：∵方案花50元购置乒乓球,∴所能购置乒乓球的总数n 〔个〕与单价a 〔元/个〕的关系式为：n ＝a50, 其中n 与a 是变量, 50是常量． 故答案为：n ＝a50, n 、a, 50．3．试题分析：根据油箱内剩余油量＝油箱内总油量﹣消耗掉的油, 进而得出关系式, 再利用常量、变量的定义得出答案． 详解：根据题意可得：油箱内剩余油量Q 〔升〕与行驶时间t 〔小时〕的函数关系为：Q ＝60﹣8t, 常量为：60、﹣8；变量为：Q 、t ． 故答案为：Q ＝60﹣8t, 60、﹣8, Q 、t ．4．试题分析：根据表格中的数据可以发现x 和y 的关系, 从而可以解答此题． 详解：由表格中的数据可知, x y 21=. ：直接利用三角形面积公式可得出S 与x 的关系式, 进而找出常量与变量． 详解：由题意可得：S ＝x, 变量是：S, x ；常量是．：当x 为1时, y ＝1；当x ＝2时, y ＝1+2；当x ＝3时, y ＝1+2+3, 据此得出答案即可．详解：填表如下：x 1 2 3 … ny136…2)1( n n 依题意得：y ＝1+2+3+…+x ＝〔x ≥1且为整数〕第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x 和y , 并且对于变量x 的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y 是x 的________, 其中________是自变量． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长B ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( ) 9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 二、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表： 信件质量x /g 0＜x ≤2020＜x ≤4040＜x ≤60邮资y /元(1)y 是x 的函数吗？为什么？(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表： 品种 价格(单位：元/棵)成活率 劳务费(单位：元/棵)A 15 95% 3 B2099%4设购置A 种树苗x 棵, 造这片树林的总费用为y 元, 解答以下问题： (1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？第26章 反比例函数实际问题与反比例函数2一、根底稳固1.某工厂现有原材料100吨, 每天平均用去x 吨, 这批原材料能用y 天, 那么y 与x 之间的函数表达式为〔 〕 A ．y ＝100x B ．y ＝C ．y ＝+100D ．y ＝100﹣x2.如图, 市煤气公司方案在地下修建一个容积为104m 3的圆柱形煤气储存室, 那么储存室的底面积S〔单位：m2〕与其深度d〔单位：m〕的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．3.甲、乙两地相距s〔单位：km〕, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 那么汽车行驶的时间y〔单位：h〕关于行驶速度x〔单位：km/h〕的函数图象是〔〕A．B．C．D．4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热每分钟上升10℃, 加热到100℃, 停止加热,水温开始下降, 此时水温〔℃〕与开机后用时〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．水温y〔℃〕和时间x〔min〕的关系如图．某天张老师在水温为30℃时, 接通了电源, 为了在上午课间时〔8：45〕能喝到不超过50℃的水, 那么接通电源的时间可以是当天上午的〔〕A．7：50B．7：45C．7：30D．7：205.在温度不变的条件下, 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压, 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强, 如下表：那么可以反映y与x之间的关系的式子是〔〕体积x〔mL〕10080604020压强y〔kPa〕6075100150300A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝D．y＝6.随着私家车的增加, 交通也越来越拥挤, 通常情况下, 某段公路上车辆的行驶速度〔千米/时〕与路上每百米拥有车的数量x〔辆〕的关系如下图, 当x≥8时, y与x成反比例函数关系, 当车速度低于20千米/时, 交通就会拥堵, 为防止出现交通拥堵, 公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是〔〕A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥327.如图, 在平面直角坐标系中, 函数y＝〔k＞0, x＞0〕的图象与等边三角形OAB的边OA, AB分别交于点M, N, 且OM＝2MA, 假设AB＝3, 那么点N的横坐标为〔〕A．B．C．4D．68.如图, 反比例函数y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕中, 作直线x＝10, 分别交x轴, y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕于点P, 点A, 点B, 假设＝3, 那么＝〔〕A．B．3C．﹣3D．9.直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A, B点, 与y＝〔x＜0〕的图象交于C、D两点, E是点C关于点A的中心对称点, EF⊥OA于F, 假设△AOD的面积与△AEF的面积之和为时, 那么k ＝〔〕A．3B．﹣2C．﹣3D．﹣10.如图, 点A、B在双曲线〔x＜0〕上, 连接OA、AB, 以OA、AB为边作▱OABC．假设点C恰落在双曲线〔x＞0〕上, 此时▱OABC的面积为〔〕A．B．C．D．411.某物体对地面的压强P〔Pa〕与物体和地面的接触面积S〔m2m2时, 该物体对地面的压强是Pa．12.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示, 售价是销量的反比例函数〔统计数据见下表〕．该运动鞋的进价为180元/双, 要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元, 那么其售价应定为元．售价x〔元/双〕200240250400销售量y〔双〕3025241513.小刚同学家里要用1500W的空调, 家里保险丝通过的最大电流是10A, 额定电压为220V, 那么他家最多还可以有只50W的灯泡与空调同时使用．14.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体, 当改变容器的体积时, 气体的密度也会随之改变, 密度ρ〔单位：kg/m3〕与体积v〔单位：m3〕满足函数关系式〔k为常数, k≠0〕其图象如下图过点〔6, 1.5〕, 那么k的值为．15.小丁在课余时间找了几副度数不同的老花镜, 让镜片正对太阳光, 上下移动镜片, 直到地上的光斑最小, 此时他测量了镜片与光斑的距离, 得到如下数据：老花镜的度数x/度…100125200250…镜片与光斑的距离y/m…1…m, 那么这副老花镜为度．16.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞, 药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与燃烧时间x〔分钟〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃烧完, 此时教室内每立方米空气含药量为6mgmg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少需要经过分钟后, 学生才能回到教室．二、拓展提升17.近似眼镜片的度数y〔度〕是镜片焦距x〔cm〕〔x＞0〕的反比例函数, 调查数据如表：眼镜片度数y〔度〕4006258001000 (1250)镜片焦距x〔cm〕251610 (8)〔1〕求y与x的函数表达式；〔2〕假设近视眼镜镜片的度数为500度, 求该镜片的焦距．18.y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕成正比例；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x成反比例．根据图中提供的信息, 解答以下问题：〔1〕写出一般成人喝半斤低度白酒后, y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；〔2〕按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞, 不能驾车上路．参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．19.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热时每分钟上升10℃, 加热到100℃停止加热, 水温开始下降, 此时水温y〔℃〕与开机后用时x〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机, 饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．假设在水温为30℃时接通电源, 水温y〔℃〕与时间x〔min〕的关系如下图：〔1〕分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕怡萱同学想喝高于50℃的水, 请问她最多需要等待多长时间？20.某地建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为360万米3．〔1〕写出运输公司完成任务所需的时间y〔单位：天〕与平均每天的工作量x〔单位：万米3〕之间的函数关系式；〔2〕当运输公司平均每天的工作量15万米3, 完成任务所需的时间是多少？〔3〕为了能在150天内完成任务, 平均每天的工作量至少是多少万米3？21.蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时, 电流Ⅰ〔单位：A〕与电阻R〔单位：Ω〕是反比例函数关系, 它的图象如下图．〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A, 那么该用电器的可变电阻至少是多少？22.某公司用100万元研发一种市场急需电子产品, 已于当年投入生产并销售, 生产这种电子产品的本钱为4元/件, 在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x〔元/件〕的关系如下图, 其中AB为反比例函数图象的一局部, 设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕的函数表达式；〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕的函数表达式, 并求出第一年年利润的最大值．23.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞．药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与药物在空气中的持续时间x〔m〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃完, 此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答以下问题：〔1〕分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式mg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？mg的持续时间超过20分钟, 才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效, 并说明理由．第四单元第1课函数二、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y, 其中y不是．．x的函数的是()A．y：正方形的面积, x：这个正方形的周长B．y：等边三角形的周长, x：这个等边三角形的边长C．y：圆的面积, x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根, x：这个正数3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( ) 9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 三、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：(2)分别求当x取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植A, B两种树苗的相关信息如下表：(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？。

第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数第1课时变量与函数（1）——变量与函数的意义及关系一、新课导入1.导入课题汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h.在这个过程中，哪些量变化，哪些量不变？这些量之间有什么关系？这就是我们今天要学习的“变量与函数（1）”(板书课题).2.学习目标（1）知道常量、变量，感受两个变量之间的变化关系.（2）了解函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型.3.学习重、难点重点：能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.难点：函数的概念的理解.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P71到P72的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：仔细阅读课文内容，关键词语、重点内容做上记号.（4）自学参考提纲：①指出课本中四个问题中的变量和常量.②在同一个问题中，如果存在两个变量，那么这两个变量之间应存在什么关系？③完成P71的练习.④上面这些问题中的两个变量都有什么样的关系？⑤在圆的面积S和半径r中，r每取一个值，S都有唯一值与它对应吗？2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对同一个问题中的两个变量的相关联系和一一对应关系的理解.②差异指导：对个性和共性问题进行分类指导.（2）生助生：小组研讨，帮助解决疑难问题.4.强化（1）强调常量与变量的意义.（2）组织学生交流练习中的问题的答案.（3）强调同一问题中的两个变量之间的对应关系.1.自学指导（1）自学内容：P73例1上面的部分.（2）自学时间：4分钟.（3）自学要求：完成思考中的两个问题的阅读理解，对函数定义进行逐词逐句研读领会其含义.（4）自学参考提纲：①分别指出思考中的两个问题的自变量和函数.②什么叫做函数值？③给出自变量x的一个值，函数y可以有两个以上的值吗？会不会存在自变量x的多个值对应的函数y的值都相同呢？2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对思考中x与y的对应关系的确定与理解，是否能区别自变量与函数的意义.②差异指导：对学生学习中存在的疑问进行点拨、引导.（2）生助生：小组研讨，帮助解答疑难问题.4.强化（1）理解思考中的两个问题.（2）讲解归纳板书函数的定义.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己本节课的学习收获和存在的疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在本节课学习中的态度、学习方式方法、学习成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时内容是学生的认知，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率p与时间t之间的关系，下列说法正确的是(C)A.数100和p，t都是变量B.数100和p都是常量C.p和t是变量D.数100和t都是常量2.(15分)下列关系式中，y不是x的函数的是(B)A.y+x=0B.|y|=2xC.y=|2x|D.y=2x2+43.(15分)下面分别给出了变量x，y之间的对应关系的图象，其中y是x的函数的是(D)4.(15分)在下表中，设x表示乘公共汽车的站数（站），y表示应付的票价(元).根据此表，下列说法正确的是(A)A.y是x的函数B.y不是x的函数C.x是y的函数D.以上说法都不对5.(15分)下列有序实数对中，是函数y=2x-1中自变量x与函数值y的一对对应值的是(D)A.(-2.5，4)B.(-0.25，0.5)C.(1，3)D.(2.5，4)二、综合运用(15分)6.如图，在一个半径为18 cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量、函数各是什么？答案：小圆半径、圆环面积.（2）如果挖去的圆半径为x(cm)，那么圆环的面积y(cm2)与x的关系式是y=324π-πx2；（3）当挖去圆的半径由1 cm变化到9 cm时，圆环面的面积由323πcm2变化到243πcm2.三、拓展延伸(15分)7.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系(其中0≤x≤30)：（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？答案：x是自变量,y是函数.（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？答案：13分钟（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？答案：2＜x＜13，13＜x＜20（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少?答案：52.9。

初中数学《变量与函数》教案初中数学《变量与函数》教案教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义.能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义.②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力.③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.教学重点与难点重点：函数概念的形成过程.难点：正确理解函数的概念.教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子.教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶.行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：t(小时) 1 2 3 4 5s(千米)2.已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评.(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：悬挂重物的质量m(kg)弹簧长度l(cm)如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报.通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息.探究新知(一)变量与常量的概念1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程.其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量.2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量.3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量.注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力.(二)函数的概念1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值.2.分组讨论教科书P.7 “观察”中的两个问题.注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x 的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值.例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120.同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数；在人口统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52.巩固新知下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?1.右图是北京某日温度变化图2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD 的长为x,则菱形的面积为y= ×4×x3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：信件质量m/克O<m≤20 20<m≤40 40<m≤60邮资y/元 O.80 1.60 2.40注:巩固变量与函数的概念,让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系,初步了解函数的三种表示方法.总结归纳1.常量与变量的概念；2.函数的定义；3.函数的三种表示方式.注:通过总结归纳,完善学生已有的知识结构.布置作业1.必做题：教科书P.18 习题11.1第1题.2.选做题：教科书P.18 习题11.1第2题.3.备选题：(1)下图是某电视台向观众描绘的一周之内日平均温度的变化情况：①图象表示的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是函数?②这周哪天的日平均温度最低?大约是多少度?哪天的日平均温度最高?大约是多少度?③14、15、16日的日平均温度有什么关系?④点A表示的是哪天的日平均温度?大约是多少度?⑤说说这一周的日平均温度是怎样变化的.(2)如右图所示,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8.①梯形面积y与上底的长x之间的关系式是什么?并指出其中的'变量和常量、自变量与函数.②用表格表示当x从10变到20时(每次增加1),y的相应值.③当x每增加1时,y如何变化?说说你的理由.④当x=0时,y等于多少?此时它表示的是什么?(3)研究表明,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：施肥量(千克/公顷) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471土豆产量(吨/公顷) 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.1543.46 40.83 30.75①上表反映的是哪两个变量之间的关系?指出其中的自变量和函数.②当氮肥的施用量为101千克/公顷时,土豆的产量是多少?如果不施氮肥呢?③根据表中的数据,你认为氮肥的施用量为多少比较适宜?说说你的理由.④简单说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.设计思想变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学,是学生数学认识上的一大飞跃.因此,设计本课时应根据学生的认知基础,创设丰富的现实情境,使学生从中感知变量与函数的存在和意义,体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则,引导学生探究新知,引导学生在观察、分析后归纳,然后提出注意问题,帮助学生把握概念的本质特征,并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析、抽象和概括等能力.同时在引导学生探索变量之间的规律,抽象出函数概念的过程中,要注重学生的过程经历和体验,让学生领悟到、现实生活中存在着多姿多采的数学问题,并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神,提高探索、研究和应用的能力,使学生真正成为数学学习的主人.。

2．1.1.1 变量与函数的概念整体设计教学分析在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y ＝f(x)的含义．2．通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力．3．启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．4．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y 随时间t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量的描述和研究，引出课题．思路2.问题：已知函数y ＝⎩⎨⎧1，x∈Q ，0，x∈R Q ，请用初中所学函数的定义来解释y 与x 的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课 新知探究 提出问题给出下列三种对应：幻灯片①一枚炮弹发射后，经过26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m ，且炮弹距地面的高度单位：随时间单位：变化的规律是h ＝130t －5t 2.时间t 的变化范围是数集A ＝{t|0≤t≤26}，h 的变化范围是数集B ＝{h|0≤h≤845}，则有对应f ：t→h＝130t －5t 2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km 2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．根据图中的曲线可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况根据上表，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B＝{S|37.9≤S≤53.8}，则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)阅读教材上的三个例子，用集合的观点给出函数的定义．(3)如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？(4)什么是区间？(5)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(6)函数有意义指什么？(7)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．讨论结果：(1)共同特点是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是因变量．(2)定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f(a)或y|x ＝a .所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域． 函数y ＝f(x)也经常写作函数f 或函数f(x)．因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则．(3)根据以上定义，我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①定义域和对应法则是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.(4)在研究函数时常会用到区间的概念，设a ，b 是两个实数，且a ＜b ，如下表所示：(5)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．(6)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0，被开方数为非负数，如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等．(7)C B.应用示例思路1例1 已知函数f(x)＝x ＋3＋1x ＋2，(1)求函数的定义域； (2)求f(－3)，f(23)的值；(3)当a ＞0时，求f(a)，f(a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围；x ＋3有意义，则x ＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组．(2)让学生回想f(－3)，f(23)表示什么含义？f(－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f(23)表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f(－3)，f(23)的值． (3)f(a)表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f(a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0.解得－3≤x＜－2或x＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f(－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f(23)＝23＋3＋123＋2＝38＋333. (3)∵a＞0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)， 即f(a)，f(a －1)有意义． 则f(a)＝a ＋3＋1a ＋2；f(a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数的定义域，通常转化为解不等式组．f(x)是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义．符号f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x 为某一代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等．符号y ＝f(x)表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m 是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m 是常数时，f(m)表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.例2 (1)已知函数f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知函数f(x －1)＝x 2，求f(x)．分析：(1)函数f(x)＝x 2，即x→x 2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自变量没有关系．函数y→y 2，t→t 2，u→u 2，…都表示同一个函数关系．同样自变量换为一个代数式，如x －1，平方后对应的函数值就是(x －1)2.这里f(x －1)表示自变量变换后得到的新函数．(2)为了找出函数y ＝f(x)的对应法则，我们需要用x －1来表示x 2.解：(1)f(x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1；(2)因为f(x －1)＝x 2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1，所以f(t)＝t 2＋2t ＋1，即f(x)＝x 2＋2x ＋1.点评：已知f(x)求f(g(x))，用g(x)替换f(x)中的x ，即可得f(g(x))；已知f(g(x))，求f(x)，利用配凑法求解．还可利用换元法．例如(2)另解：设x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f(t)222思路2例1已知函数f(x)＝x 21＋x 2，那么f(1)＋f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋f(4)＋f(14)＝________.活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨f(a)＋f(1a)的值．解法一：原式＝121＋12＋221＋22＋(12)21＋(12)2＋321＋32＋(13)21＋(13)2＋421＋42＋(14)21＋(14)2＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72. 解法二：由题意得f(x)＋f(1x )＝x 21＋x 2＋(1x )21＋(1x )2＝x 21＋x 2＋11＋x2＝1，则原式＝12＋1＋1＋1＝72.点评：本题主要考查对函数符号f(x)的理解．对于符号f(x)，当x 是一个具体的数值时，相应地f(x)也是一个具体的函数值．本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有f(x)＋f(1x )，故先探讨f(x)＋f(1x )的值，从而使问题简单地获解．求含有多个函数符号的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解．受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪费时间，得不偿失．其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累. 所以，原式＝＝则有例2 已知A ＝{a ，b ，c}，B ＝{－1,0,1}，函数f ：A→B 满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则这样的函数f(x)有( )A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数．定义域和值域确定后，不同的对应法则就是不同的函数，因此对f(a)，f(b)，f(c)的值分类讨论，注意要满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0.解析：当f(a)＝－1时，则f(b)＝0，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝0， 即此时满足条件的函数有2个；当f(a)＝0时，则f(b)＝－1，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝－1或f(b)＝0，f(c)＝0，即此时满足条件的函数有3个；当f(a)＝1时，则f(b)＝0，f(c)＝－1或f(b)＝－1，f(c)＝0， 即此时满足条件的函数有2个．综上所得，满足条件的函数共有2＋3＋2＝7(个)． 答案：C点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.知能训练1．已知函数f(x)满足：f(p ＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则f 2(1)＋f(2)f(1)＋f 2(2)＋f(4)f(3)＋f 2(3)＋f(6)f(5)＋f 2(4)＋f(8)f(7)＋f 2(5)＋f(10)f(9)＝________.解析：∵f(p＋q)＝f(p)f(q)，∴f(x＋x)＝f(x)f(x)，即f 2(x)＝f(2x)． 令q ＝1，得f(p ＋1)＝f(p)f(1)， ∴＋1＝f(1)＝3.∴原式＝2f(2)f(1)＋2f(4)f(3)＋2f(6)f(5)＋2f(8)f(7)＋2f(10)f(9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f(x)＝1x 的定义域为A ，g(x)＝f(x ＋1)－f(x)的定义域为B ，那么( )A ．A∪B＝B B ．A BC ．A ⊆BD ．A∩B＝∅解析：由题意得A ＝{x|x≠0}，B ＝{x|x≠0，且x≠－1}． 则A∪B＝A ，则A 错； A∩B＝B ，则D 错； 由于B A ，则C 错． 答案：B3．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(2x －1)的定义域是________．解析：要使函数f(2x －1)有意义，自变量x 的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1. 答案：[0,1]4．求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．答案：{x|x≤1，且x≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．5．某山海拔7 500 m ，海平面温度为25 ℃，气温是高度的函数，而且高度每升高100 m ，气温下降0.6 ℃.请你用解析表达式表示出气温T 随高度x 变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域．活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数的定义域和值域．解：当高出海平面x m 时，温度下降了x100×0.6(℃)，则函数解析式为T(x)＝25－0.6x 100＝25－3500x.函数的定义域为[0,7 500]，值域为[－20,25]．点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力． 拓展提升问题：已知函数f(x)＝x 2＋1，x∈R .(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值． (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R ，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x 2＋1＝f(x)． ∴对任意x∈R ，总有f(x)＝f(－x)． 课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解． 作业课本本节练习A 6、7、8.设计感想 本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．。

初中数学《变量与函数》教案第一章：变量1.1 引入变量概念解释变量的含义：变量是数学中用来表示可以取不同值的量。

举例说明：温度、身高、年龄等。

1.2 变量分类说明常量和变量的区别：常量是在数学表达式中固定不变的量，变量是可以取不同值的量。

举例说明：π是一个常量，而圆的半径是一个变量。

1.3 变量表示方法介绍变量的表示方法：使用字母或符号来表示变量。

举例说明：使用x表示未知数，y表示函数的输出值等。

第二章：函数的概念2.1 引入函数概念解释函数的定义：函数是一种关系，其中一个变量（自变量）依赖于另一个变量（因变量）。

举例说明：y = 2x + 3 是一个函数，其中x是自变量，y是因变量。

2.2 函数的表示方法介绍函数的表示方法：使用函数表达式、表格、图像等。

举例说明：用函数表达式表示y = 2x + 3，用表格表示输入和输出的对应关系，用图像表示函数的图像。

第三章：函数的性质3.1 函数的单调性解释函数的单调性：函数在某个区间内是单调递增或单调递减的。

举例说明：函数y = 2x + 3在整个实数范围内是单调递增的。

3.2 函数的奇偶性解释函数的奇偶性：函数关于原点对称的性质。

举例说明：函数y = x^2是一个偶函数，而函数y = -x是一个奇函数。

3.3 函数的周期性解释函数的周期性：函数值每隔一个固定时间间隔重复的性质。

举例说明：函数y = sin(x)是一个周期函数，其周期为2π。

第四章：函数的图像4.1 函数图像的画法介绍函数图像的画法：使用平面直角坐标系来绘制函数的图像。

举例说明：绘制函数y = x^2的图像，展示抛物线的形状。

4.2 函数图像的性质解释函数图像的性质：包括开口方向、对称轴、顶点等。

举例说明：函数y = x^2的图像开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点。

4.3 函数图像的变换介绍函数图像的变换：包括平移、缩放、翻转等。

举例说明：函数y = (x 2)^2的图像是在函数y = x^2的图像基础上向右平移2个单位。