下载文档原格式
先自学数学，再考进数学系曾经有个数学伪娘写过一篇文章，讽刺那些先学数学后转经济的人，说别人可谓是头头是道，可要是转到自己头上，却是半斤八两一丘之貉五十步笑百步。
下面Strongart教授就仿照其模式来写篇小文章，讽刺一下像他那样先自学数学，再考进数学系的小聪明。
在中国数学爱好者中有一种非常典型的模式，那就是先自学数学，再考进数学系。
不少人认为，假如能从数学爱好者成功考上数学系研究生，他们的饭碗就算是保住啦！不少同学也会向这部分人投去羡慕的目光，认为他们才是自己崇拜的精英。
而那些没能成功考进数学系的同学则被视为是屌丝，loser！这种现象可真是让文明人笑掉大牙。
今天我要讲的是，先自学数学，再考进数学系，这实际上是一种典型的低等人模式。
中国人非常奇怪，明明有幸可以走上一条高等人的道路，它们反而觉得那样没有前途，非要从高等人的队列里艰难地爬出来，冲到低等人的群体当中，和同类拱在一起发臭，这样他们的人生才算是圆满了，这实在是一件非常可笑的事。
事实上，这样做的动机也不难理解，因为中国人所有的举动都可以descend到同一件事上：吃饭。
尽管在绝大多数时候，有饭吃是肯定的，可是由于中国人进化不完全的缘故，即使储存的饭多得一辈子吃不完，他们还是在坚持创造更多的饭，可以说在现代文明中很好地再现了西西弗斯精神。
事实上，稍有数学学习经历的人都知道，假如一个人严肃地自学过数学，是绝对不可能看得上那种批量培养的数学系，并且当一个人从自由学习的精神追求中走出来，过渡到做题考试写呸破儿的时候，心里产生的落差是可想而知的。
可是，天朝不少数学爱好者还真能违背自然规律，反戈一击，逆转命运，毅然抛弃自学数学，选择数学系考研，我想这里面的原因就显得比较丑陋了。
假如一个人从一开始就在数学系内学习，那么就应该坚定不移地去跟着数学系的老师学，这样的人还算是比较可爱的，假若是在好的学校遇到好的老师，至少还能够“取乎法上，得之乎中”，经过一二十年的经验堆积，也真的可能会有所小成。
中学生可以学哪些新数学最近对中学数学的争议不断，有人叫数学滚出高考，还有说是要降低难度，但也有人指出要让学生了解一点近现代的数学思想。
本人自然是赞同后者，只是不能把数学系的课程直接提前下放，而是侧重于中学数学知识的延伸，特别是可以引入所谓的新奇数学（这是由Strongart教授提出的概念，有别于一般的应用数学），既能够开阔视野，又用不着太多的知识预备，下面我就来提一些适合中学生学的新数学。
非欧几何与射影几何：平面几何中的平行共设自然就能引出非欧几何，讲解一点球面的情形，对于学生的视野扩展是很有帮助的。
而学完标准的平面几何后，完全可以引入无穷远点，使得原先理论呈现出更优美的形态，相信直线与点的对偶以及一些共线定理，一定能够极大的激发出学生的数学兴趣。
等到以后学习微分几何与代数几何，非欧几何与射影几何的直观基础自然是很有帮助的。
单纯形理论：学完立体几何之后，聪明的学生自然会考虑n维几何的情形，这个单纯形理论正是满足了他们的需求。
从中看出数学在发展过程中，会逐渐舍弃一些太繁琐的部分，从平面几何到立体几何中，全等形的判定是完全被舍弃的了，只保留最基本的线面关系与简单体积计算，而到了n维单纯形理论中，还必须把几何图形进行规范化处理，从中也可以提现出坐标语言优越性。
等到以后学习代数拓扑，单纯形理论无疑就是单纯同调论的基础。
分形几何学：这是由曼德尔勃罗特在上个世纪七十年代创立的新数学分支，属于应用型的新奇数学，其中包含了很多美丽分形图形，可以说是数学中的艺术家。
从理论上来说，了解了一般的n维情形，一般学生应该是很满足了，但忽然发现还有分数维的奇特景象，自然是无比美妙的事情。
只要掌握简单的极限理论，学生就能够自己计算图形的维数，熟悉计算机的学生还能自己进行绘图，创造更为美丽的数学图形。
直观拓扑与扭结：这个倒是很难找到中学数学的基础，因为它本身就已经非常基础了，具有直观易操作的特性。
拓扑学俗称为橡皮几何学，是相当具有趣味性的，中学生完全可以了解其中的基础内容。
Measure and Category读后感上个月我非常愉快的读完了John C.Oxtoby的Measure and Category，封面上译名为测度与范畴学，不过我觉得书名应该翻译成测度与纲，因为它和代数学中范畴并没有什么关系。
在现代数学中有三种衡量集合大小的概念；基数、测度与纲，前者是集合论中的概念，而这本书主要就是对后两者的异同做了详细的阐释，特别指出了零测集与第一纲集的惊人相似，比如在直线这两个集合都是σ-理想，都包含所有的可数集，都包含标准Cantor集，都不包含区间、补集都稠密等等。
正如我们所知，测度理论作为积分理论的基础已经非常成熟了，而纲的地位则比较尴尬，Rudin在他的《泛函分析》中说纲是公认的缺乏启发性的概念，却同时又是顽固而又难以改变的。
这本书中介绍很多测度与纲之间的联系，测度内容往往已经为我们所知，而纲的部分则要显得生疏一些，下面我就具体谈谈自己的体会。
第一章从直线上开始讲基本概念，值得注意的是最后一个定理，它说明直线上任何子集都是零集与第一纲集的不交并。
在测度论中，零集往往是忽略不计的，在纲理论中，第一纲集也是非常可怜的，然而这两个东西居然废物利用般的能凑成整个直线，实在太让人意外了！下面一章介绍了Liouville数，它的集合E与其补集算是对这个神奇的结论给出了一个具体的例子。
第三章在欧式r-空间中由外测度引入测度，指出可测集就是Fσ集加零集（或Gδ集减零集），稍微深刻一点的是最后关于集合密度的Lebesgue稠密定理。
第四章介绍Baire性质，所谓有Baire性质的集就是开集与第一纲集的对称差，相当于测度论中的可测集。
这一章值得注意的是最后的一个定理，它是直线上两正测度集之和包含区间的抽象形式，其证明是非常精致的。
第五章给出三种不可测集的结构，群论的、拓扑学的和集合论的，拓扑学的Bernstein集既不是可测的也不是有Baire性质的。
第六章是一个Game，不苛求细节的话应该是轻松愉快的。
代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。
先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。
设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。
分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。
特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。
可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。
若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。
女士们先生们，我是Strongart。
记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。
现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。
其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。
到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。
在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。
此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。
记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。
那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。
后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。
幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。
刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。
特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。
直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。
记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。
Strongart数学笔记：数学分析与抽象代数为什么难学数学分析为什么那么难学好像经常听到有人说数学分析难学，甚至怀疑自己是不是变笨了，其实这主要不是你的责任，而是中国的数学课程设置很不合理。
正如物理学需要先学普通物理再学理论物理一样，数学也应该先完成普通微积分，然后再去研究那些比较严格的理论。
当年我自学数学分析是在初三的暑假里，用的是陈传璋等人编著的教材，可真是苦了自己啊！先是看极限理论，明明可以感觉到就是那个逼近关系，但书上的例题和习题都在讲怎么用ε-δ定义证明，结果被不等式变换弄得晕乎乎的，甚至都开始怀疑自己是不是想错了！后来讲实数系公理的推导，就更是不知所云，那鬼东西得学到点集拓扑才能充分理解啊，直到开始算导数才稍微缓了口气。
后来才知道，普通的微积分教材也就是算算极限，严格定义能够稍微阐释一下就OK 了，还是早点开始愉快的导数运算吧！据说国外一般都是不直接学数学分析的，一般先学初等微积分，然后再学高等微积分或者是比较高级的数学分析，这才是比较自然的道路。
中国的数学专业非要大杂烩般的搞了个数学分析，既有各种初级计算技巧，甚至还包括近似估计；又有深刻的理论推导，把一些先进的思想压缩到初步的理论中，却又没有余力进行充分展开。
据说这还是继承的前苏联的“大头分析”的传统，等到高中数学把微积分彻底剪掉之后，就更是变成一块硬邦邦的石头。
当然，人为制造的难度是能够人为的解决的，为了强撑这样场面，他们会做各种各样的辅助工作。
前苏联就搞了一套吉米多维奇的习题集，至今依然是死而不僵，被一些老派的教授推崇。
各大数学系都把最大的师资力量都放在数学分析上，习题课辅导课之类的上了一大堆，能够让自学者入地无门，也算是体现数学系价值的一座丰碑了。
中国人还特别喜欢磨练人的钢铁意志，吃得苦中苦，方为人上人，学懂了数学分析，剩下来都是小菜一碟，大不了就像当年应付高考一样，大学四年就死磕数学分析了，实在是一副非常讽刺的画卷啊！我想，如果你是致力于自学的话，那就不要跟着大陆的数学系一起犯傻了。
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家（Strongart）你只要在google上搜索一下“自学数学”，就能够一篇非常感人的文章，它讲述了一位网名为Strongart的年轻数学家自学成才的故事，当年华罗庚、陈景润之类的感人事迹，又一次在我们身边出现了。
Strongart，真名不详，江苏苏州人，曾在一所比较破旧的学校上小学，得到了全国奥数竞赛二等奖，初中时他自学完高中数学，开始自学数学系的分析课程，但迫于升学压力，高中时只是断断续续学了点数分高代。
正如很多天才都不能适应机械化的考试那样，他第一次高考也没考上如意的大学，此后一年他主要还是自学数学，最后带着一点泛函分析与抽象代数的基础进入了一所二流大学。
大学时他学得是哲学专业，这是他的另一个兴趣所在，但很快就发现课堂上教授的东西太落后了，根本就不是他所希望的，因此基本上都是自己借图书馆的书学习。
四年下来他已经能够阅读一些英文原版文献，可是现实又一次对他开了个玩笑，最终他因为学分不够，就这样默默的离开了学校。
对于这一段经历，或许他在某个视频中的一段话颇能说明问题：当同学们还处在惊讶之中，还没来得及以崇拜的目光注视我的时候，我便已经离开了他们的视线。
离开学校后，他靠网购一些图书学习，逐渐也有了一些自己的成就。
他把自己的研学心得写进自己的新浪博客，目前点击已经超过两百万，同时还制作成PDF电子书供学友们下载，深受一些专业人士的好评。
在他小结的那些数学笔记中，抽象代数、微分几何、泛函分析只能算是基础部分，此外还包括调和分析、Banach空间结构、多复变函数论、纤维丛几何、环与模的Morita理论、代数K理论等高端内容。
一般的数学系研究生只要能够掌握其中的一部分，就已经算是比较优秀的了。
从2010年起，他开始录制数学视频讲座，目前第一期交换代数视频1-30已经完成，现在又开始教授泛函分析新课，其不看讲稿的脱口秀风格颇具大家风范。
他的视频不仅思路清晰内容丰富，还非常具有自己的个性特征，在讲述投射模时联系了代数K理论，在讲述内射模时联系了一般环论中的半单环，讲述张量积的时候则是对比了微分流形上的张量场，几乎每一讲都有这样的亮点出现。
Strongart自学数学的非常故事（附Strongart数学视频公开课简介）女士们先生们，我是Strongart。
记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。
现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。
其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。
到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。
在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。
此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。
记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。
那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。
后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。
幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。
刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。
特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。
直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。
记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。
第一年没考上大学，又买不到合适的数学书，就这样看了大半年像什么概率统计、数学物理方法、离散数学之类的东西，然后就是给工科研究生看的近现代数学基础，结果就完全不知所云了（所以又买了一本类似的，还是不行）。
最后的一本这样的东西是在上大学之前的暑假里看的，是给工科用的《模糊数学及其应用》（实在很烦最后这四个字），就前几章还有点意思；同时还看了一本《天才引导的历程》，是讲数学家故事的，深受感动！在那段日子里，我有了一些收获，至少给我后面学习专业的理论打下了一定的基础。
可是直到我在图书馆里找到了正规的书籍，自学的生涯才算是真正开始。
最早是一拿到书，先看前面是不是数学专业的，如果不是一般就不看；然后就去翻后面，看有没有习题解答。
就这样看了不少土著的书：大多是八十年代的自学丛书，现在看来是叙述罗嗦观点陈旧，实在不是什么好东西。
下面我就按照学科的顺序来具体谈谈那时的情况，可能专业的东西要多一些了。
先从分析谈起，虽然看了两本《数学分析》，但当时有许多地方都不是太明白。
进大学之前有幸买到一本相关习题集（只有单变量的情形），把它完成之后果然收获不少。
而多变量的情形，我后来看了弗列明的《多元函数》，不过到反函数定理部分没看明白，而切映射和外微分形式知道后来看《微分流形初步》的时候才算弄清楚。
而实变函数则是用的那本蓝色的自学书，后来当时没什么感觉，在《多元函数》里也有一点Lebesgue积分，才算是稍微明白一些。
后来还看了H-S的《实分析与抽象分析》，可能稍微早了一点，只看了前四大段，却用了一个学期。
复变函数因为高中时浏览过那本自学丛书（放暑假的时候赖在手里没还给图书馆），所以就换了一本叫解析函数什么的，接着又看了本选论，但到讲亚纯函数的时候就完全糊涂了。
此后，翻过Ahlfors的那本，是为了练习看原版书，不过后来还是直接看中文的了；又看了一点李忠的《复分析导引》，原来是准备作为黎曼曲面的参考书的，没想到被吸引过去了。
看泛函分析则最有意思，先看的是《巴拿赫空间引论》（因为后面有详细的习题解答），计划在一个暑假看完的，结果只看了两章。
后来看了一本初级的导论（应用的部分略过），虽然是给工科的，但前言中说也可以作为数学专业的入门书。
看完它之后，再看剩下的内容，除了像次加泛函这样过于专门的内容外，其他的都大体能看明白，接着又看了这个作者的另一本讲拓扑线性空间的入门书。
而在最后的日子里，则看了一点Rudin的《泛函分析》，结果又受到了挫折。
同样的挫折也发生在看周民强的《调和分析讲义》上，原来有答案的书也不是太容易读的，可能是之间跳过了Fourier分析。
后来就补上一本讲Fourier series的，处理的方式比较现代，到第三章就介绍群代数了，不过看起来不是太困难。
后来到家里看的第一本就是Rudin的《实分析与复分析》，特别是实分析部分看得很有收获，还解决了几个比较困难的习题。
然后看了张恭庆的《泛函分析讲义》，主要是前六章的内容，没想到Hilbert空间中还有很多的算子理论，便顺水推舟的看了本讲Banach代数和算子理论的书。
如果再下去的话，恐怕是该看算子代数了。
不过后来总觉得多复分析比较神秘，恰好买了本Lars Hormander的《多复分析导引》，正在为其中的L^2理论苦恼，感觉和偏微分方程是有点像的，可惜我的理解还不是太深刻。
同时也觉得该看调和分析了，主要用Stein的书，尽管有的地方还看不大懂，但能看懂的部分就是一种享受。
再来谈代数，以前高等代数只是在一本大学数学里看了一章，非常想念Jordan标准型。
后来看北大的简明教程（只找到下册），算是有一个初步的印象。
所以，现在这方面仍然比较薄弱，不过好象也没什么太大影响，感觉高等代数似乎没什么后续的东西，矩阵论仿佛是给工科看的，还是抽象代数要有趣得多。
以前看过一本带“及其应用”的近世代数，所以这次选的是武大的（有点深度，也带答案，呵呵！），只可惜没讲模。
后来有幸找到一本专门的模论，是内部的翻译的讲义，看的很用心。
也就是从那本书开始，我发现只要有提示就可以顺利看完一本书了，好在很多书里的难题大多有提示。
接着，有幸找到vander Waerden《代数学I》的习题解答（也是内部讲义哦），因为当时手头借书名额有限（只能借7本书），就先藏在书架中间，等放假前再借回去看。
后来，看那本薄薄的《交换代数与同调代数》，前言里说是起点低、坡度大，对后者我是深有体会，看了五节就放弃了。
类似的遭遇还在于看一本《有限群导引》，序言里说抽象代数训练不够的人千万别看，硬着头皮看完了上册，下册是不敢再碰的了。
记得最后看的是一本GTM的往代数几何方向的交换代数（见下图），第一章居然介绍历史，很是不习惯，囫囵吞枣般看了十章，就离开学校了。
早知道就老老实实看McDonald的那本了，可那时觉得前面模讲得太多，不像是交换代数，呵呵！到家之后准备找本厚的代数书加强一下，正好看到Rotman的《抽象代数基础教程》，后来发现还有本叫《抽象代数》的要便宜一点，就买了后者（原以为是一样的呢）。
没想到买对了，前者只是本first course，后者就是那本Advanced Modern Algebra，弄懂了很多以前没弄懂的东西。
接着因为看完一本代数拓扑，自然想到去看同调代数，选了Charles A.weibel的《同调代数导论》，前面遇到了范畴的阻碍，后来买了本中文的《范畴论》算是平息了，可后面看到谱序列就彻底晕了。
同时因为后来讲李代数的同调，而李群论也老引用李代数的结论，就又找了Humphreys的小薄书《李代数与表示论导论》，可到后面就晕头转向了，好在是已经基本够用了。
此外，就是还想找本交换代数的书看看，可惜一直没有找到合适的。
接着回忆几何吧，高等几何和微分几何都用的那套蓝色的自学丛书，特别是微分几何，处理得太陈旧了，习题更是垃圾的计算，强烈建议有兴趣的朋友不要看那本！后来发现几本日本人写的小册子，习题都有提示解答，就看了本黎曼几何和配套的习题集，结果陷到了张量运算的迷宫里，到最后也没分清李导数和协变微分。
后来想重温一下微分几何，也是看了本日本人的精致的小书，感觉外微分标架很有意思。
同时，补充了一点doCarmo的内容，特别是很向往整体微分几何的部分，可惜后来有的东西没看明白（现在知道是从黎曼几何里下载的了）。
然后看的是《微分流形初步》，感觉比较详细，也可以说是有点罗嗦。
不过最后李群那章看得马虎了，因为快放假了，想换一本看看，反正李群是以后专门要看的，结果一直没腾出手来（我一般是三本书一起看的）。
最后的那本是AMS的书，也是一个日本人写的，被翻译成英文了，后几章没能真正理解，特别是讲丛的示性类那部分。
到家之后先看了两本黄色的《黎曼几何引论》，里面有不少地方都需要计算（发现自己越来越懒了），而后面的习题解答又太详细。
第一本还好，第二本就感觉费力了，对称空间要李群基础，总算腾出手来看李群了，却发现还有李代数的基础，等到李代数的书到手之后，原来激情已经没了：还是就事论事的李代数吧。
此外就是代数几何了，Hartshorne的名著到第二章之后带着答案都看不懂,这该算是我到家之后自学数学的最大挫折了。
受此影响，Griffiths的《代数几何原理》一直都没敢看，还是先找本讲椭圆曲线的入入门吧。
此外，发现AMS里有代数几何书还不错，可惜既买不到也买不起啊！回过头我们来看拓扑吧，最早对拓扑有感觉是看《多元函数》的第二章，还有H-S里的一大章，后来看北大的《基础拓扑学讲义》，也是因为后面有习题解答（提醒一下：千万别学我，这个习惯很不好！）。
后面的单纯同调论就没看明白多少，后来想看专门的代数拓扑，找了W.F.写的GTM教材，对低维处理的非常详细，也很强调群的作用和M-V列（国内的代数拓扑书好象几乎不介绍M-V列），可一样没介绍多少单纯同调。
同时，准备看两个日本人写的《拓扑空间论》，记得序言里说习题大都有提示，自学不会有太大困难，结果看到仿紧空间就不之所云了。
或许，其中缺了一环专门的点集拓扑，就找了本反例的习题集，看了点网和滤子之类东西，理解也不是在深入。
后来，又一直对微分拓扑有兴趣，在图书证注销之后，溜进图书馆看了Minlor 的小书《从微分观点看拓扑》，觉得很有意思，可惜天太热，也没时间细读了。
到家之后买了两个日本人写的《拓扑空间论》继续钻研，可看了几段之后是头晕脑胀的，看来太深奥点集拓扑理论就只能是放弃了，还是看代数拓扑吧。
看完了Munkres的《代数拓扑基础》是一个很大的收获，发现原来还有这么有意思的同调理论，然后休息了大约半年，到现在开始看Robert M.Switzer的《代数拓扑》，好像是一本Advarced book哦！微分拓扑先看了张筑生的《微分拓扑新讲》，感觉不是太扎实，就又找了本GTM33,结果就不说了吧。
