画变化率问题，最优解问题越来越成为高考命题的一个热点，其中利 用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利
用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题
的方法能使复杂的问题简单化． 利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值
2． 若函数 y＝a(x3－x)的递减区间为－
3 3 ， 则 a 的取值范围是 3，3
(
) A．a>0 C．a>1 B．－1<a<0 D．0<a<1
解析：y′＝a(3x2－1)，当 a>0 时，y′<0 的解集为－ 选 A.
答案：A
3 3 ，故 3，3
3．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2＋ x)x 万 元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记 余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
(k
－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解析] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x f′(x) f(x)
(－∞，k－1) －
k－1 0 －ek－1
(k－1，＋∞) ＋
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是
3 2 0 极小
3 ，＋ ∞ 2
f′(x)
＋
f(x)
值
值
3 1 所以 x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f′(x)在 R 上不变号，结合①与条 件 a＞0， 知 1＋ax2－2ax≥0 在 R 上恒成立， 即 Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合 a＞0，知 0＜a≤1.
a＋b φ′a＋φ′b 2ab φ′ ≤ ≤φ′a＋b. 2 2
解析：(1)由条件知 h(x)＝ x－aln x(x>0)， x－2a a ∴h′(x)＝ － ＝ 2x . 2 x x 1
①当 a>0 时，令 h′(x)＝0，解得 x＝4a2， ∴当 0<x<4a2 时，h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上递减； 当 x>4a2 时，h′(x)>0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增． ∴x＝4a2 是 h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而 也是 h(x)的最小值点． ∴最小值 φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln 4a2＝2a(1－ln 2a)． ②当 a≤0 时，h′(x)＝ 值． 故 h(x)的最小值 φ(a)的解析式为 φ(a)＝2a(1－ln 2a)(a>0)． x－2a 2x ＞0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小
)
解析： 设 F(x) ＝ f(x)·g(x) ，则当 x<0 时， F′(x)>0 ，即在 ( － ∞ ， 0) 上
F(x)是递增的．
又∵g(x)是偶函数，∴g(－3)＝g(3)＝0. ∴F(－3)＝0. ∴在x∈(－∞，－3)上F(x)<0，
即f(x)g(x)<0.可证得F(x)是奇函数，
∴在(0,3)上，f(x)g(x)<0.故选D. 答案：D
f(x)在区间(64,640)内为增函数， 所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值． m 640 此时 n＝ x －1＝ 64 －1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
4．已知函数 f(x)＝ x，g(x)＝aln x，a∈R. (1)设函数 h(x)＝f(x)－g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其最小值 φ(a) 的解析式； (2)对(1)中的 φ(a)和任意的 a>0，b>0，求证：
利用导数研究函数的单调性
对函数单调性的讨论，往往先确定定义域，然后在定义域内由f′(x) 的符号处理问题．应用导数求函数单调区间的基本步骤：①求导数f′(x)；
②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；③确定并指出单调区间．
[例1] 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；
名师点睛
本小题根据实际问题建立数学模型，运 用导数知识求最值，要注意函数的定义域应 使实际问题有意义.
1 ．设 f(x) ，g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(
A．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(0,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
利用导数求函数的极值与最值
用导数求函数的极值、最值是高中学习的重点，也是高考的热
点．最值可根据函数的单调性、基本不等式的性质等知识来求．而用 导数求最值，是一种重要而又简单的方法，利用导数作工具，判断函
数的单调性，进而求出极值和区间端点的函数值，最后比较大小，得
到函数的最值．
ex [例 2] 设 f(x)＝ ，其中 a 为正实数． 1＋ax2 4 (1)当 a＝3时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围．
解析：(1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m， m 即 n＝ x －1. 所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x m m ＝256 x －1 ＋ x (2＋ x)x 256m ＝ x ＋m x＋2m－256(0<x≤m)．
(2)由(1)知， 256 m 1 1 f′(x)＝－ x2 ＋2mx－2 m 3 ＝2x2(x2－512)． 3 令 f′(x)＝0，得 x2＝512， 所以 x＝64. 当 0<x<64 时，f′(x)<0， f(x)在区间(0,64)内为减函数， 当 64<x<640 时，f′(x)>0，
所以 a 的取值范围为 a|0＜a≤1.
不论求极值还是最值都要充分利用导数 名师点睛 先判断函数的单调性，然后求解．若有参数 要注意分类讨论.
导数在实际问题中的应用
解决实际应用问题是数学学习和研究的最终归宿，利用导数来研
究实际问题在某点处的变化特征更是简洁明了．因而，利用导数来刻
2 1 ＋ ax －2ax x [解析] 对 f(x)求导得 f′(x)＝e .① 1＋ax22
4 (1)当 a＝3时，若 f′(x)＝0，则 4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得 x1＝2，x2＝2.结合①，可知
x
1 －∞，2 ＋
1 2 0 极大 Nhomakorabea1 3 ， 2 2 －
或最小值的变量 y与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函
数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．
(3)比较在导函数各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际
问题的意义确定函数的最大值或最小值．
[例 3] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本为 6 万元． 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位： 万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ k (0≤x≤10)，若 3x＋5
(2)f′(x)＝6－ 即
2 400 .令 f′(x)＝0， 3x＋52
2 400 25 ＝ 6 ，解得 x ＝ 5 或 x ＝－ 3 (舍去)． 3x＋52
当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0.故 x＝5 是 f(x)的 800 最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
利用导数研究函数的单调性是导数的一
个重要的作用．在中间穿插参数，用分类讨
名师点睛 论的思想解题是这一类型题目的难点，在分 类讨论时要做到“不增不漏”，即讨论哪几 种情况必须要搞清楚.
本小节结束
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不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
[解析]
(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为
k 40 C(x)＝ ，再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝ . 3x＋5 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x) 40 800 ＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5
