2019-2020年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2-2

【关键字】数学第三章导数及其应用1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即＝.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的．(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值及端点处的函数值f(a)，f(b)；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x0，则f(x0)是函数的最值.题型一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0),∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．跟踪演练1 点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．解因为点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，所以23＋＝0①4b＋c＝0②由①得a ＝－4.所以f(x)＝x3－4x. 又因为两条曲线在点P 处有相同的切线， 所以f ′(2)＝g ′(2)，而由f ′(x)＝3x2－4得到f ′(2)＝8， 由g ′(x)＝2bx 得到g ′(2)＝4b ，所以8＝4b ，即b ＝2，代入②得到c ＝－8. 综上所述，a ＝－4，b ＝2，c ＝－8. 题型二 应用导数求函数的单调区间在区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内单调递加；在区间(a ，b)内，如果f ′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内单调递减． 例2 已知函数f(x)＝x －＋a(2－lnx)，a ＞0.讨论f(x)的单调性． 解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.当在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．跟踪演练2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝(x －3)e x，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x， 令f ′(x )＞0，解得x ＞2，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数的单调增区间(2，＋∞)， 函数的单调减区间(0,2)，(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0， 得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，a .②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3.③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，a .a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 3.a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解 f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x ＋2x －2x，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，则a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，x ∈(0，＋∞)，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )．(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )＝x －12x 2＋x ＋1x ＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.跟踪演练3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2.(2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2得，f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x )－0 ＋f (x )2 ↘ －2↗t 3－3t 2＋2f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个．又f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.综上可知，在区间[0，t ](0<t <3)上f (x )max ＝2，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 3－3t 2＋2，0<t ≤2，－2，2<t <3.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 3≥0，解得－2<c ≤0.即c 的取值范围为(－2,0]． 题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )．令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当∴f (x )在(－∞，a )和(3a ，＋∞)上是减函数，在(a,3a )上是增函数． 当x ＝a 时，f (x )取得极小值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a . 因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，可知f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23上是减函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 2>0，f 3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪演练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163.证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x 3－4x ≤163成立．1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3
导数的几何意义导学案新人教B版选修
3、1、3 导数的几何意义
一、
【学习目标】
1理解导数的几何意义2学会通过求函数的导数来求函数在某点处的切线斜率与切线方程。

二、
【预习案】
预习教材83-84页并完成下列问题
1、导数的几何意义是
_________________________________________________________ _
2、曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率等于
_________________________________________总结：
1、导数的定义：
2、求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是：
三、
【课中案】
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程、小结：求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程（一定是以点P为切点）；（2）曲线过点P的切线方程（无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点，此时需设切点坐标）例4 求过点P(1,0)且与曲线f(x)=x3-x相切的直线方程四、
【课后案】
1、已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（）
A、4
B、16
C、8
D、
22、曲线在点处的切线方程为（）
A、
B、
C、
D、5、已知曲线C:y=x3(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程。

导数的实际应用（三）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（二）、新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：用函数表示的数学问题优化问题建立数学模型解决数学模型作答优化问题的答案用导数解决数学问题（三）、典例分析- 1 -例 1、磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和 扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。

磁道上 的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0或 1，这个基本单元通常 被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m ，每比特所占用的磁道长度不得小于 n 。

为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域．（1）是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的 磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

2019-2020年高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂探究新人教B 版选修探究一 与几何有关的最值问题解决与面积、体积等与几何有关的最值问题，关键是正确引入变量，将面积或体积表示为该变量的函数，结合具体问题确定其定义域，然后利用导数求其最值．【典型例题1】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．思路分析：设出容器底面一边长为x m ，表示出容器的另一边及高，利用长方体的体积公式，将其表示为x 的函数，利用导数求解．解：设容器底面一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x . 由解得0＜x ＜1.6.设容器的容积为y m 3，则y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，则15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)． 在定义域(0,1.6)内只有x ＝1使y ′＝0，即x ＝1是函数y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．因此，当x ＝1时y 取得最大值y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2. 故容器的高为1.2 m 时容积最大，最大值为1.8 m 3.探究二 利润最大(成本最低)问题经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减快慢，通常以产量或单价为自变量建立函数关系，从而利用导数来分析、研究．【典型例题2】 某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？思路分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．解：设利润为L (p )，由题意可得 L (p )＝(p －20)·Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ＞0)，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则L (30)＝23 000.因为0＜p ＜30时，L ′(p )＞0；p ＞30时，L ′(p )＜0，所以p ＝30时，L (p )取得极大值．根据实际问题的意义知，L (30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23 000元．2019-2020年高中数学第三章导数及其应用单元检测新人教B 版选修一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )在x ＝x 0处可导，则000lim 2x f x x f x x∆→(+∆)-()=∆( ) A ．f ′(x 0) B ．f ′(x 0)C ．2f ′(x 0)D ．4f ′(x 0)2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知P 点在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点P 处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，则点P 的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,0)C ．(－1,0)或(1,0)D ．(1,0)或(1,1)4．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，0]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥3 B．a ≤1C ．a ＜5D ．a ≥15．设a ∈R ，若函数f (x )＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a ＞－1B ．a ＜－1C ．D ．6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不正确7．曲线y ＝x 3＋x 在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A．1 B． C． D．8．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．(－2,2) B．[－2,2]C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)9．设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有( )A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)D．f(x)g(x)＞f(b)g(a)10．设函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的大致图象为( )二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．函数f(x)＝x2＋x在点(2，f(2))处的切线方程为__________．12．函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调递减区间为__________．13．函数f(x)＝x＋在(0，＋∞)上的最小值为__________，此时x＝__________.14．已知函数f(x)＝a ln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．15．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是__________．(把你认为不是的序号都填上)①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝x e x.三、解答题(本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值．(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．17．(15分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x ＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)．(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？参考答案1.答案：A2.答案：A 从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增、减、增、减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点．3.答案：C4.答案：B f′(x)＝2x＋2a－2，因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f′(0)≤0，即2a－2≤0，a≤1.5.答案：B 因为f(x)＝e x＋ax，所以f′(x)＝e x＋a.若函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝e x＋a＝0有正根．当f′(x)＝a＋e x＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln(－a)，由x＞0，得参数a的范围为a＜－1.6.答案：A f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)最大＝m，∴m＝3.从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.7.答案：B8.答案：A f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．∵当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，∴当x＝－1时，f(x)有极大值，当x＝1时，f(x)有极小值．要使f(x)有3个不同的零点，只需解得－2＜a＜2.9.答案：C 令y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，所以y在R上单调递减，又x＜b，故f(x)g(x)＞f(b)g(b)．10.答案：D 由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故f′(x)＜0；当x＞0时，f(x)先增，再减，然后再增，故f′(x)先正，再负，然后再正．故选D.11.答案：5x－y－4＝012.答案：(0,2)13.答案：4 214.答案：[－2，＋∞)∵f(x)＝a ln x＋x，∴f′(x)＝＋1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．15.答案：④对于①，f″(x)＝－(sin x＋cos x)，时，f″(x)＜0恒成立；对于②，，在时，f″(x)＜0恒成立；对于③，f″(x)＝－6x，在时，f″(x)＜0恒成立；对于④，f″(x)＝(2＋x)e x在时，f″(x)＞0恒成立，所以f(x)＝x e x不是凸函数．16.答案：分析：(1)极值点是f′(x)＝0的根，利用根与系数的关系解决即可．(2)f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数方程f′(x)＝0的判别式Δ≤0.解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.(1)∵x1，x2是函数f(x)的两个极值点，∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，即x1，x2是18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两个根，从而x1x2＝＝1，∴a＝9.(2)∵Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，∴不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．17.答案：分析：(1)将R(x)与C(x)的关系式代入P(x)＝R(x)－C(x)即可；然后将P(x)关系式代入边际利润函数MP(x)即可．(2)利用用导数求其定义域上最值的方法求最大值．(3)利用用导数求单调区间的方法求单调区间．解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5(x∈N*且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N*且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，∵x＞0，∴P′(x)＝0时，x＝12，∴当0＜x＜12时，P′(x)＞0，当x＞12时，P′(x)＜0，∴x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305.所以，当x≥1时，MP(x)是减函数，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润比较，利润在减少．。

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第三章导数及其应用3-3导数在研究函数的应用3-3-3三次函数的性质：单调区间和极值同步练习湘教版选修1_1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________1．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到．其中正确命题的序号是( )．A．①④ B．②④ C．①② D．③④2．函数f(x)＝x3＋x在区间[－1,1]上( )．A．最小值为－1，最大值为2B．最小值为－2，最大值为2C．最小值为－1，最大值为1D．最小值为0，最大值为13．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是( )．A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值，也无极小值D．既有极大值又有极小值4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )．A．－2 B．0 C．2 D．45．若f(x)＝x3＋mx2＋5x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．6．函数f(x)＝9＋3x－x3的极小值为__________．7．函数f(x)＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最大值和最小值分别为__________，__________.8．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.(1)设a＝1，求函数f (x)的极值；(2)若a＞，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a 的取值范围．9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．参考答案1．B2．B ∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴f(x)为增函数．∴f(x)的最小值为f(－1)＝－2，f(x)的最大值为f(1)＝2. 3．D f′(x)＝－3x2－2x＝－3x(x＋)．令f′(x)＝0，则x＝0或－.当x∈(－∞，－)时，f′(x)＜0；当x∈(－，0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.∴f(x)在x＝－处取得极小值，f(x)在x＝0处取得极大值．4．C f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或2(舍去)．∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2，∴f(x)最大值＝2.5．[－，] f′(x)＝3x2＋2mx＋5.由题意，知(2m)2－4×3×5≤0，得－≤m≤.6．7 f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝－1处取得极小值，f(－1)＝9－3＋1＝7. 7．0 －64 令f′(x)＝12x2－16x＝0，∴x＝0或x＝.当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，)时，f′(x)＜0；当x∈(，2)时，f′(x)＞0.故f(x)在x＝0时取得极大值，在x＝时取得极小值．又∵f(0)＝0，f(－2)＝－64，f(2)＝0，f()＝－，∴函数的最大值为0，最小值为－64.8．解：(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝a对称．若＜a≤1，则f′(x)在[1,4a]上是增函数，从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2.由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1，由f′(4a)≤12a，得0≤a≤.所以a∈(，1]∩[－，1]∩[0，]，即a∈(，]．若a＞1，则|f′(a)|＝12a2＞12a.故当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立．所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(，]．9．解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)．当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12＞0，即a＞或a＜－时，函数f′(x)存在零解，此时，当x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．综上，若－≤a≤，则函数f(x)在x∈R时，单调递增；若a＞或a ＜－，当x＜或x＞时，函数f(x)单调递增；当＜x＜时，函数f(x)单调递减．(2)若函数在区间(－，－)内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋2ax ＋1＝0的两根在区间(－，－)外，因此f′(－)≤0，且f′(－)≤0，由此可以解得a≥2.因此a的取值范围是[2，＋∞)．。

2019-2020年高三数学《第03课导数及其应用》基础教案一、考纲要求：1.了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义；2.能根据导数的定义求函数等的导数、能求简单复合函数的导数；3.了解导数在研究函数单调性、极值、最值中的应用，会利用导数解决某些实际问题。

二、课前检测1．若函数在区间内可导，且，，则时的值=2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是3．已知函数)20)(sin (cos 21)(π≤≤+=x x x e x f x ，则f （x ）的值域为 4．曲线在点处的切线的斜率是___，切线的方程为__ ____5．函数的单调递增区间是_________ _______6．函数的最大值为7．函数在区间上的最大值是8．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在上是增函数，则的关系式为是9. 函数的导数为10. 过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 ；切线的斜率为 ．三、经典考题例题1、已知函数，当时，有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小值；（3）若有3个解，求的取值范围。

例题2、如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？例题3、已知是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中， （1）求与的关系式； （2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.例题4、已知函数在上是增函数。

（1）求的取值范围；（2）在（1）的结论下，设2()||,[0ln 3]x x g x e e a x =+-∈，求函数的最小值。

例题5、（选讲）设a ≥0，f (x)=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x>0）.（1）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（2）求证：当x>1时，恒有x>ln 2x －2a ln x ＋1.四、课后检测班级 姓名 学号 等第1．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 ▲2．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在上是单调函数,则实数 的取值范围是 ▲3.对于上可导的任意函数，若满足，则必有 ▲A ． B.C. D.4．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 ▲5．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点的个6．若函数在处有极大值，则常数的值为 ▲7．函数的单调增区间为 ▲8．设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 ▲9．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 ▲10．函数的导数 ▲1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.11．已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。

第三章导数应用[对应学生用书P36]一、导数与函数的单调性1．若f′(x)>0，则f(x)是增加的；若f′(x)<0，则f(x)是减少的；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减少的，则f′(x)≤0.3．利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．二、导数与函数的极值和最值1．极值当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；若左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．3．最值对于函数y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使得f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则f(x0)为函数在区间[a，b]上的最大(小)值．4．利用导数求函数最值的一般步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数最值与极值的区别与联系(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )A ．－135°B ．45°C ．－45°D.135°解析：∵y ′＝x －2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为－1，倾斜角为135°. 答案：D2．下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝sin x B ．(ln 2x )′＝1xC ．(3x)′＝3xlog 3eD.(x 2e x)′＝2x e x解析：(cos x )′＝－sin x ，(3x)′＝3xln 3，(x 2e x)′＝2x e x ＋x 2e x. 答案：B3．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减少的B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减少的D ．在x ＝2处取极大值解析：在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．答案：C4．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D.2解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 故选B. 答案：B5．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时的x 值为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：由f ′(x )＝1－2·sin x ＝0，得sin x ＝12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，故x ＝π6时取得最大值． 答案：B6．函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D.a ≤0解析：f ′(x )＝3ax 2＋1，由题意得f ′(x )＝0有实数根，即a ＝－13x 2(x ≠0)，所以a <0.答案：C7．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2时有极值，其图像在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D.(－∞，＋∞)解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2. 答案：B8．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1) B ．(0,1)C ．(－1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：f ′(x )＝3x 2－3a ，由于f (x )在(0,1)内有最小值，故a >0，且f ′(x )＝0的解为x 1＝a ，x 2＝－a ，则答案：B9．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．15件B ．20件C ．25件D.30件解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000， 则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．答案：C10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：设h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，所以h (x )是R 上的奇函数，且h (－3)＝h (3)＝0，当x <0时，h ′(x )>0，所以h (x )在(－∞，0)上是增加的，根据奇函数的对称性可知，h (x )在(0，＋∞)上也是增加的，因此h (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上) 11．函数y ＝2x 3－6x 2＋11的单调递减区间为________． 解析：y ′＝6x 2－12x ，令6x 2－12x <0，得0<x <2. 答案：(0,2)12．已知函数f (x )＝12x －sin x ，x ∈(0，π)，则f (x )的最小值为________．解析：令f ′(x )＝12－cos x ＝0，得x ＝π3.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π时，f ′(x )>0，f (x )在x ＝π3处取得极小值．又f (x )在(0，π)答案：π－33613．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f (x )min＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1.答案：(－∞，e －1)14．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )． 由g ′(x )＝0得x ＝e 12，0(舍去)， 且0<x <e 12时，g ′(x )>0； 当x >e 12时g ′(x )<0，∴x ＝e 12时g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e. 答案：[e ，＋∞)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ex ＋m在x ＝1处有极值，求m 的值及f (x )的单调区间．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－e x ＋m，由题意f ′(1)＝0，解得m ＝－1， ∴f ′(x )＝1x－e x －1，利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f ′(x )是减少的，且f ′(1)＝0， 所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的， 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴f (x )的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)． 16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且当x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，则方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， 由Δ>0得1－12b >0即b <112.所以b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0， ∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2.则f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，又f (－1)＝12＋c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3827＋c ，f (1)＝－32＋c ，f (2)＝2＋c .∴[f (x )]max ＝2＋c <c 2， 解得c >2或c <－1.∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．17．(本小题满分12分)某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9，∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4.由y ′>0得1≤x <4，由y ′<0得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上递增，在(4,9]上递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6.即厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．18．(本小题满分14分)(安徽高考)设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)f ′(x )＝a e x－1a e x， 当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)． 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.。

2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用章末小结新人教A版选修1-1高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算，导数的几何意义，导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．专题一利用导数研究函数的图象通过导数研究函数图象的变化规律，是考试的热点题型．导数绝对值的大小，反映了函数变化的快慢，在图象上表现为陡缓；导数的正负，反映了函数的增减性，在图象上表现为升降．y＝f(x)的导数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )分析：解答本题可以从导函数递增，即切线斜率越来越大入手分析．解析：因为函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，即在区间[a ，b ]上各点处函数的变化率是递增的，故图象应越来越陡峭．由图易知选A.答案：A专题二 导数几何意义的应用导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中，此时关键是抓住切点，它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中若题中没有给出切点，往往需要设出切点．特别提醒：审题时注意两种说法：“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∵直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16整理得：x 30＝－8，∴x 0＝－2.∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标(x 0、y 0)、则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.专题三 利用导数研究函数单调性导数与函数的单调性相结合的常见问题：(1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能“∪”连接．(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．函数f (x )＝ln x －a （x －1）x(x >0，a ∈R )． (1)试求f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求证：函数f (x )的图象存在唯一零点的充要条件是a ＝1.分析：解答(1)可以利用解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0得函数的单调区间；(2)可以从充分性与必要性两方面来证明．(1)解析：f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)，单调递增；当a >0时，x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上单调递减；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)证明：充分性：a ＝1时，由(1)知，在x ＝1处有极小值也是最小值，即f (x )min ＝f (1)＝0.而f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴在(0，＋∞)上有唯一的零点x ＝1.必要性：f (x )＝0在(0, ＋∞)上有唯一解，且a >0，由(1)知，在x ＝a 处有极小值也是最小值f (a )，f (a )＝0，即ln a －a ＋1＝0.令g (a )＝ln a －a ＋1，g ′(a )＝1a －1＝1－a a. 当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0，1)上单调递增；当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴在(0，＋∞) 上有唯一解a ＝1，使得g (a )＝0.专题四 利用导数研究函数的极值与最值利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一，在主客观题中均有体现．(1)应用导数求函数极值的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②解方程f ′(x )＝0的根；③检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号，若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值，若左负右正，则f (x )在此根外取得极小值，否则，此处不是f (x )极值点．(2)求函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 特别地：①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以判定f (x )在该点处取得最大(最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间 [0，2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在 [－3，3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3，3]上的单调性；(3)求出f (x )在[－3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值．解析：(1)f (－1)＝kf (－1＋2)＝kf (1)＝k ×1×(1－2)＝－k .∵f (0.5)＝kf (2.5)，∴f (2.5)＝1k f (0.5)＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－34k. (2)∵f (x )＝x (x －2)，x ∈[0，2]，设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)(x ＋2－2)＝kx (x ＋2)．设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋2)(x ＋4)．设2<x ≤3，则0<x －2≤1.又∵f (x －2)＝kf (x )，∴f (x )＝1kf (x －2)＝1k (x －2)(x －4)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2（x ＋2）（x ＋4），－3≤x <－2，kx （x ＋2），－2≤x <0，x （x －2），0≤x ≤2，1k （x －2）（x －4），2<x ≤3.k <0，由二次函数知识得f (x )在[－3，－2]上是增函数，在[－2，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，在(2，3]上是增函数．(3)由函数f (x )在[－3，3]上的单调性可知，f (x )在x ＝－3或x ＝1处取得最小值f (－3)＝－k 2或f (1)＝－1，而在x ＝－1或x ＝3处取得最大值f (－1)＝－k 或f (3)＝－1k. 故有：①k <－1时，f (x )在x ＝－3处取得取小值f (－3)＝－k 2，在x ＝－1处取得最大值f (－1)＝－k .②k ＝－1时，f (x )在x ＝－3与x ＝1处取得最小值f (－3)＝f (1)＝－1，在x ＝－1与x ＝3处取得最大值f (－1)＝f (3)＝1.③－1<k <0时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝－1，在x ＝3处取得最大值f (3)＝－1k. 专题五 导数的综合应用导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系．(1)解决恒成立问题．(2)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值点且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明a >0；(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围．分析：已知函数的极值点，即知f ′(x )＝0的根及不等式f ′(x )>0的端点，从而可证明(1)：解答(2)可以把问题转化为线性规划，利用图解法．解析：f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）>0，f ′（1）<0，f ′（2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.由不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的ΔABC 的内部(如图所示)，其三个顶点分别为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，67，B (2，2)，C (4，2)．z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫167，8. 专题六 生活中的导数导数在生活中的应用主要有：(1)利用导数的意义，可以解决瞬时变化率问题；(2)利用导数可以解决实际生活，生产中的优化问题．设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，T (t )＝at 3＋bt 2＋ct ＋d (a ≠0)，其中温度的单位是 ℃，时间的单位是小时．中午12：00相应的t ＝0，中午以后相应的t 取正数，中午12：00以前相应的t 取负数(如早上8：00相应的t ＝－4下午16：00相应的t ＝4)．若测得该物体在早上8：00的温度为8 ℃，中午12：00的温度为60 ℃，下午13：00的温度为58 ℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00具有相同的变化率．(1)求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；(2)该物体在上午10：00到下午14：00这段时间(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？分析：本题函数关系式已经给出，只需确定其中的系数即可；解答(2)时可以利用导数求该函数的最值．解析：(1)因为T ′＝3at 2＋2bt ＋c ，而T ′(－4)＝T ′(4)，故48a －8b ＋c ＝48c ＋8b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧T （0）＝d ＝60，T （－4）＝－64a ＋16b －4c ＋d ＝8，T （1）＝a ＋b ＋c ＋d ＝58，48a ＋8b ＋c ＝48a －8b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，d ＝60.∴T (t )＝t 3－3t ＋60(－12≤t ≤12)．(2)在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62 ℃.。