2015陕西省高考压轴卷 数学(理)

n nn 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题1. 【答案】A【解析】由 M ={x | x 2 = x } ⇒ M ={0,1},N ={x | lg x ≤ 0}⇒ N ={x | 0 < x ≤1}所以 M N =[0,1] ．【提示】求解一元二次方程化简 M ，求解对数不等式化简 N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算2. 【答案】C【解析】初中部女教师的人数为110⨯ 70% = 77 ；高中部女教师的人数为40⨯150% = 60 ，∴该校女教师的 人数为77 + 60 =137 ，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数．【考点】收集数据的方法．3. 【答案】C【解析】解：由题意可得当sin⎛ π x + ϕ ⎫取最小值-1 时，函数取最小值 y= -3 + k = 2 ，解得 k = 5 ，∴ 6 ⎪ min ⎝ ⎭ y = 3sin ⎛ π x + ϕ ⎫ + 5 ，∴当sin ⎛ π x + ϕ ⎫取最大值1 时，函数取最大值 y = 3 + 5 = 8 ， 3 ⎪ 6 ⎪ max ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值． 【考点】 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象性质．4. 【答案】B【解析】二项式(x +1)n 的展开式的通项是T= C r x r，令 r = 2 得 x 2 的系数是C 2 ，因为 x 2 的系数为15 ，所以C 2 = 15 ，即 n 2 - n - 30 = 0 ，解得： n = 6 或n = -5 ， 因为n ∈ N + ，所以n = 6r +1n 几何体 2 2【提示】由题意可得C 2= 15 ，解关于 n 的方程可得．【考点】二项式定理的应用．5. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V = π 12 + π⨯1⨯2 + 2⨯ 2= 3π + 4【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积6. 【答案】A【解析】cos2α = 0 ⇒cos 2 α -sin 2 α = 0⇒(cos α -sin α)(cos α +sin α) = 0所以sin α = cos α或sin α = - cos α【提示】由cos2α = cos 2 α -sin 2 α ，即可判断出． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7. 【答案】B【解析】因为a b =| a || b | cos < a ,b >≤| a || b | ，所以选项A 正确； 当 a 与b 方向相反时，| a - b |≤ | a | - | b | 不成立，所以选项 B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；(a + b)(a - b) = a - b 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算8. 【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 x = 2006，x = 2004 满足条件 x ≥ 0，x = 2002 满足条件 x ≥ 0，x = 2000 ……满足条件 x ≥ 0，x = 0ab ⎨ ⎩ ⎩ ⎩ 满足条件 x ≥ 0不满足条件 x ≥ 0，y =10 输出 y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当 x = -2 时不满足条件 x ≥ 0 ，计算并输出 y 的值为10 . 【考点】程序框图9. 【答案】B【解析】 p = f ( ab ) = ln ab ，q = f ⎛ a + b ⎫= lna +b ，2 ⎪ 2 ⎝ ⎭r = 1 ( f (a ) + f (b )) = 1ln ab = ln 2 2函数 f (x ) = ln x 在(0, +∞) 上单调递增，因为 a + b > ，所以 f ⎛ a + b ⎫> f (ab ) ， 22 ⎪ ⎝ ⎭ 所以q > p = r【提示】由题意可得 p = 1 (ln a + ln b ) ， q = ln ⎛ a + b ⎫ ≥ ln( ab ) = p ， r = 1 (ln a + ln b ) ，可得大小关系． 2 2 ⎪ 2【考点】不等关系与不等式．10. 【答案】D⎝ ⎭⎧3x + 2 y ≤ 12【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，则⎪x + 2 y ≤ 8 ⎪x ≥ 0, y ≥ 0 ，目标函数为 z = 3x + 4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由 z = 3x + 4y 得 y = - 3 x + z ，平移直线 y = - 3 x + z 由图象可知当直线 y = - 3 x + z经过点 B 时，直线4 4 4 4 4 4y = - 3 x + z的截距最大，此时 z 最大，解方程组⎧3x + 2 y = 12 ，解得⎧ x = 2 ，即 B 的坐标为 x = 2，y = 3 ，4 4∴z max = 3x + 4y = 6 +12 =18 ⎨x + 2 y = 8 ⎨ y = 3即每天生产甲乙两种产品分别为 2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元ab【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值． 【考点】简单线性规划的应用11. 【答案】D【解析】∵复数 z = (x -1) + y i(x ，y ∈R ) 且| z |≤1，∴| z |= ≤ 1，即(x -1)2 + y 2≤ 1 ，∴点(x ，y ) 在(1，0) 为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y ≥ x 表示直线 y = x 左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率 P = 1 π 12 - 1 ⨯1⨯1 = 1 - 14 2 4 2π【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． 【考点】几何概型12. 【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确， f '(x ) = 2ax + b ，因为 1 是 f (x ) 的极值点，3 是 f (x ) 的极值， ⎧ f '(1) = 0 ⎧2a + b = 0 ⎧b = -2a 所以⎨ f (1) = 3 ， ⎨a + b + c = 3 ，解得⎨c = 3 + a ，⎩ ⎩ ⎩因为点(2,8) 在曲线 y = f (x ) 上，所以4a + 2b + c = 8，解得： a = 5 ，所以b = -10 ， c = 8 ， 所以 f (x ) = 5x 2 -10x + 8因为 f (-1) = 5⨯(-1)2 -10⨯(-1) + 8 = 23 ≠ 0 ， 所以-1不是 f (x ) 的零点，所以假设成立，选 A【提示】可采取排除法．分别考虑 A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得 a ，判断是否为非零整数，(x -1)2 + y 21即可得到结论．【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题13. 【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为 a ，由题意和等差数列的性质可得2015 + a =1010⨯ 2 解得 a = 5【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列14. 【答案】2 【解析】抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程是 x =- p，2 双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点 F (- 2, 0) ，因为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点，所以- p= - 22 ，解得 p = 2 【提示】先求出 x 2 - y 2 = 1 的左焦点，得到抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线，依据 p 的意义求出它的值．【考点】抛物线的简单性质 15.【答案】(1,1)【解析】∵ f '(x ) = e x ，∴ f '(0) = e 0= 1∵ y = e x在(0,1) 处的切线与 y = 1 (x > 0) 上点 P 的切线垂直x∴点 P 处的切线斜率为-1又 y ' = 1x 2 ，设点 P (x 0，y 0 )∴ - 1x 0= -1∴x 0 = ±1， x > 0，∴ x 0 =1∴y 0 = 1 223 ∴点 P (1,1)【提示】利用 y = e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程16. 【答案】1.2【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y = ax 2，因为抛物线经过(5，2) ，可得a = 2， 25所以抛物线方程： y =2x 2 ，横截面为等腰梯形的水渠， 25 泥沙沉积的横截面的面积为： 2⎛ 5 2 x 2 - 1 ⨯ 2 ⨯ 2⎫ = 2⎛ 2 x 3 |5 -2⎫ = 8， ⎰0 25 2 ⎪ 75 0 ⎪ 3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭10 + 6 ⨯ 2 = 16 ，当前最大流量的横截面的面积16 - 8，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：1618 - 82 3= 1.2【提示】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积， 即可推出结果．【考点】直线与圆锥曲线的关系． 三、解答题17. 【答案】（Ⅰ） A = π3（Ⅱ）3 32 【解析】（Ⅰ）因为向量m = (a , 3b ) 与n = (cos A ，sin B ) 平行，所以a sin B -3b cos A = 0 ，由正弦定理可知：sin A sin B - 3 sin B cos A = 0 ，因为sin B ≠ 0 ，所以tan A =3，可得 A = π ； 3（Ⅱ）由正弦定理得 7 = 2 ，从而sin B = 21，sin π sin B 73等腰梯形的面积为：3 ⎩ ⎨又由a > b ，知 A > B ，所以cos B =故 = ⎛π ⎫sin C = sin(A + B ) sin B + ⎪⎝⎭ = sin B cos π + cos B sin π = 3 213 314 所以∆ABC 的面积为 1 bc sin A = 3 32 2【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ；（Ⅱ）利用 A ，以及a = 7，b = 2 ，通过余弦定理求出 c ，然后求解∆ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示18. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 63【解析】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB = BC =1，AD = 2 ，E 是 AD 的中点，∠BAD = π， 2∴ BE ⊥ AC ，即在图 2 中， BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，则 BE ⊥ 平面A 1OC ；∵CD ∥BE ， ∴ CD ⊥ 平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥ 平面BCDE ，由（Ⅰ）知 BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，∴ ∠A 1OC 为二面角 A 1 - BE - C 的平面角，∴ ∠AOC = π，如图，建立空间坐标系，12∵A 1B = A 1E = BC = ED =1 ， BC ∥EDB ⎛ 2 ，0 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ∴ 2 ，0 ⎪，E - 2 ，0，0 ⎪，A 1 0，0, 2 ⎪，C 0, 2 ，0 ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭BC⎛ 2 2 ⎫ ⎛ 2 2 ⎫ = - 2 , 2 , 0 ⎪, A 1C = 0, 2 , - 2 ⎪，CD = BE (- 2, 0, 0)⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面A 1BC 的法向量为m = (x , y , z ) ，平面A 1CD 的法向量为n = (a ，b ，c ) ，则⎧⎪m B C ⎨ ⎪⎩m A C 1= 0 ⎧- x + y = 0 = 0 得⎨ y - z = 0 ，令 x =1 ，则y =1，z =1，即m ⎧⎪n A 1C = 0 = (1,1,1) ，由⎨ ⎪⎩n CD = 0⎧a = 0得 ⎩b - c = 0，取n = (0，1，1) ， 2 77m, n >=m n=2| m || n | 3 ⨯ 26则cos <=，3即平面A BC 与平面ACD 夹角的余弦值为6 ．1 1 3【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面A1OC ；（Ⅱ）若平面A1BE ⊥平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质【答案】（Ⅰ）T 的分布列为：T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1ET = 32 （分钟）（Ⅱ）0.91T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）（Ⅱ）设T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”b 2 +c 210(b 2- 2) 101 12 2P (A ) = P (T 1 + T 2 > 70) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35) + P (T 1 = 40，T 2 = 40)= 0.4⨯ 0.1+ 0.1⨯ 0.4 + 0.1⨯ 0.1 = 0.09 故 P ( A ) =1- P (A ) = 0.91【提示】（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量， 数学期望 ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）；（Ⅱ）设T 1，T 2 分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授共用时间不超过 70 分钟”，先求出P (A ) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35)+ P (T 1 = 40，T 2 = 40 )= 0 .09【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列20. 【答案】（Ⅰ） 32（Ⅱ） x 2 + y 2 =12 3【解析】（Ⅰ）经过点(0,b ) 和(c ,0) 的直线方程为bx + cy - bc = 0 ，则原点到直线的距离为d = bc = 1 c 2 ，即为a = 2b ，e = c = a = 3 ； 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2①，由题意可得圆心 M (-2，1) 是线段 AB 的中点，则| AB |= 10 ，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为 y = k (x + 2) +1，代入①可得(1+ 4k 2 )x 2 + 8k (1+ 2k ) x + 4(1+ 2k )2- 4b 2 = 0 ，设 A (x ，y )，B (x ，y ) ，x +-8k (1+ 2k )4(1 + 2k )2 - 4b 2x + x = -4 -8k (1+ 2k ) 1则 1 x 2 =1+ 4k2， x 1 x 2 =1 + 4k 2，由 1 2，得 1+ 4k 2 = -4 ，解得k = ， 2从而 x 1 x 2 = 8 - 2b ，于是| AB |= 2x 2 y 2= = ， 解得b 2= 3 ，则有椭圆 E 的方程为 + = 112 3【提示】（Ⅰ）求出经过点(0，b ) 和(c ，0) 的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2，①设出直线 AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2 = 3 ，即可得到椭圆方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程b 2 1 - a 2 1 + | x + x |= ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭⎪ 1 2 5 2(x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 1n 021. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当 x =1 时， f n (x ) = g n (x )当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x )【解析】证明：（Ⅰ）由 F n (x ) = f n (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，则 F (1) = n -1 > 0 ，⎛ 1 ⎫n +1⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎫n1- 2 ⎪ 1 F = 1+ + +⋯+- 2 = ⎝ ⎭ - 2 = - < 0 ，n 2 ⎪ 2 2 ⎪ 2 ⎪ 1 2n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1-2 ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫ 内至少存在一个零点，又 F '(x ) = 1+ 2x +⋯+ nx n -1> 0 ， n 2 ⎪ n ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内单调递增， n 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内有且仅有一个零点 x ， n 2 ⎪ n⎝ ⎭∵ x n 是 F n (x ) 的一个零点，1 - x n +1 ∴ F (x ) = 0 ，即 n -2 = 0 ，故 x = 1 + 1 x n +1 ； 1 - x nn 2 2 n(n + 1)(1 + x n ) （Ⅱ）由题设， g n (x ) =， 22n(n +1)(1 + x n )设 h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ．+⋯+ x -，x > 0 ． 2当 x ≠ 1 时， h '(x ) = 1 + 2x +⋯+ nxn -1 n (n + 1)x n -1-．2若0 < x < 1， h '(x ) > xn -1 + 2xn -1 + ... + nx n -1 -n (n + 1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2若 x >1 ， h '(x ) < xn -1+ 2xn -1+ ... + nxn -1-n (n +1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2∴h (x ) 在(0，1) 内递增，在(1，+ ∞) 内递减， ∴ h (x ) < h (1) = 0 ，即 f n (x ) < g n (x ) ．n n2 综上，当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ；当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x ) ．【提示】（Ⅰ）由 F (x ) = f (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，求得 F (1) > 0 ， F ⎛ 1 ⎫ < 0 ．再由导数判断出函 n n n n 2 ⎪ ⎝ ⎭ 数 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内单调递增， 得到 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内有且仅有一个零点 x ，由 F (x )= 0，得到 n 2 ⎪ n 2 ⎪ n n n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ x = 1 + 1 x n +1 ；n 2 2 n (n + 1)(1 + x n ) 2 n (n +1)(1 + x n ) （Ⅱ）先求出 g n (x ) = 2 ，构造函数h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x +⋯+ x - ，当 2x =1 时， f n (x ) = g n (x )； 当 x ≠ 1 时， 利用导数求得 h (x ) 在(0，1) 内递增， 在(1，+ ∞) 内递减，即得到f n (x ) <g n (x )．【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合22. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】证明：（Ⅰ）∵ DE 是 O 的直径，则∠BED + ∠EDB = 90︒ ，∵BC ⊥ DE ， ∴ ∠CBD + ∠EDB = 90︒ ，即∠CBD = ∠BED ，∵ AB 切 O 于点 B ，∴ ∠DBA = ∠BED ，即∠CBD = ∠DBA ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD 平分∠CBA ，则BA = AD = 3 ，∵ BC = ， ∴ AB = 3 2 ， A C = BC CD= 4 ，则 AD = 3 ， AB 2由切割线定理得 AB 2 = AD AE ，即 AE = = 6 ，AD 故 DE = AE - AD = 3 ，即 O 的直径为 3．【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明： ∠CBD = ∠DBA ；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求 O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系23.【答案】（Ⅰ）x 2 + ( y - 3)2 = 3 AB 2 - BC 2t 2 +12 3 3 at +12 bt -3t +12 3 4 - t 4 - t + t t ⎩ ⎨ ⎨ （Ⅱ） P (3,0)【解析】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．∴ ρ2 = 2 3ρ sin θ ，化为 x 2 + y 2 = 2 3y ，配方为 x 2 + ( y -3)2 = 3 ．⎛ 1 3 ⎫ （Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ． ⎝ ⎭ ∴|PC |== ≥ 2 ，因此当t = 0 时，| PC | 取得最小值2 ．此时 P (3,0) ．【提示】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．化为 ρ2 = 2 3ρ sin θ ，把⎧ρ 2 = x 2 ⎨ y = ρn+2y θ 代入即可得出． ⎛ 1 3 ⎫（Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ．利用两点之间的距离公式可得|PC |=，再利用二次函数的⎝ ⎭性质即可得出．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化⎧a = -3 24.【答案】（Ⅰ） ⎨⎩b = 1（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）关于 x 的不等式| x + a |< b 可化为-b - a < x < b - a ，又∵原不等式的解集为{x | 2 < x < 4}， ⎧-b - a = 2 ∴ ⎩b - a = 4 ⎧a = -3 ，解方程组可得 ； ⎩b = 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 + = += +≤= 2 = 4 ，当且仅当 = 即t =1时取等号， 1∴所求最大值为 4⎛ 1 ⎫2 3 + t ⎪ + t - 3 ⎪ ⎛ 3 ⎫ 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ t 2 +12 tt [( 3)2 +12 ][( 4 - t )2 + ( t )2 ]4 - t 3-3t +12 t 3 4 - t t 【提示】（Ⅰ）由不等式的解集可得 a 与 b 的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式= + = + ，由柯西不等式可得最大值．【考点】不等关系与不等式。

2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。

2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后，先按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后，将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共12小题，每小题5分，共60分).1.(2015陕西，理1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案：A解析：解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0，1}.解lg x≤0，得0＜x≤1，故N＝(0，1].故M∪N＝[0，1]，选A．2.(2015陕西，理2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123 C．137 D．167答案：C解析：由题图知，初中部女教师有110×70%＝77人;高中部女教师有150×(1－60%)＝60人.故该校女教师共有77+60＝137(人).选C．x+3.(2015陕西，理3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6φ+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：C解析：因为sinπ6x+φ ∈[－1，1]，所以函数y＝3sinπ6x+φ +k的最小值为k－3，最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k－3＝2，解得k＝5.所以y的最大值为k+3＝5+3＝8，故选C．4.(2015陕西，理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝() A．7 B．6 C．5 D．4答案：B解析：(x+1)n的展开式通项为T r+1＝C n r x n－r.令n－r＝2，即r＝n－2.则x2的系数为C n n−2＝C n2＝15，解得n＝6，故选B．5.(2015陕西，理5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个半圆柱，圆柱的底面半径r＝1，高h＝2.所以几何体的侧面积S1＝C底·h＝(π×1+2)×2＝2π+4.几何体的底面积S2＝12π×12＝12π.故该几何体的表面积为S＝S1+2S2＝2π+4+2×π2＝3π+4.故选D．6.(2015陕西，理6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由cos 2α＝0，得cos2α－sin2α＝0，即cos α＝sin α或cos α＝－sin α.故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7.(2015陕西，理7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a+b)2＝|a+b|2D．(a+b)·(a－b)＝a2－b2答案：B解析：A项，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞≤|a||b|，所以不等式恒成立;B项，当a与b同向时，|a－b|＝||a|－|b||;当a与b非零且反向时，|a－b|＝|a|+|b|＞||a|－|b||.故不等式不恒成立;C项，(a+b)2＝|a+b|2恒成立;D项，(a+b)·(a－b)＝a2－a·b+b·a－b2＝a2－b2，故等式恒成立.综上，选B．8.(2015陕西，理8)根据下边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()A．2B．4C．10D．28答案：C解析：由算法框图可知，每运行一次，x的值减少2，当框图运行了1 004次时，x＝－2，此时x＜0，停止循环，由y＝3－x+1可知，y＝3－(－2)+1＝10，故输出y的值为10，故选C．9.(2015陕西，理9)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f(，q＝f a+b2，r＝12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜p B．p＝r＜qC．q＝r＞p D．p＝r＞q答案：B解析：因为0＜a＜b，所以a+b2＞ab.又因为f(x)＝ln x在(0，+∞)上单调递增，所以f a+b2＞f(ab)，即p＜q.而r＝12(f(a)+f(b))＝12(ln a+ln b)＝12ln(ab)＝ln，所以r＝p，故p＝r＜q.选B．10.(2015陕西，理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案：D解析：设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元.则由题意知3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，利润函数z＝3x+4y.画出可行域如图所示，当直线3x+4y－z＝0过点B时，目标函数取得最大值.由 3x +2y ＝12，x +2y ＝8，解得 x ＝2，y ＝3.故利润函数的最大值为z ＝3×2+4×3＝18(万元).故选D ．11.(2015陕西，理11)设复数z ＝(x －1)+y i(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y ≥x 的概率为( ) A ．34+12π B ．12+1π C ．12－1πD ．14－12π答案：D解析：由|z|≤1，得(x －1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1，0)为圆心，半径r ＝1的圆及其内部，y ≥x 表示直线y ＝x 左上方部分(如图所示).则阴影部分面积S ＝14π×12－S △OAC ＝14π－12×1×1＝π4－12.故所求事件的概率P ＝S 阴S 圆＝π4−12π×12＝14－12π.12.(2015陕西，理12)对二次函数f (x )＝ax 2+bx+c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 答案：A解析：f'(x )＝2ax+b.若A 正确，则f (－1)＝0，即a －b+c ＝0， ① 若B 正确，则f'(1)＝0，即2a+b ＝0， ②若C 正确，则f'(x 0)＝0，且f (x 0)＝3， 即f −b2a ＝3，即c －b 24a ＝3.③若D项正确，则f(2)＝8，即4a+2b+c＝8.④假设②③④正确，则由②得b＝－2a，代入④得c＝8，代入③得8－4a 24a＝3，解得a＝5，b＝－10，c＝8.此时f(x)＝5x2－10x+8，f(－1)＝5×(－1)2－10×(－1)+8＝5+10+8＝23≠0，即A不成立.故B，C，D可同时成立，而A不成立.故选A．第二部分(共90分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.(2015陕西，理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为.答案：5解析：由题意知，1 010为数列首项a1与2 015的等差中项，故a1+2 0152＝1 010，解得a1＝5.14.(2015陕西，理14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝.答案：2解析：双曲线x2－y2＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).抛物线的准线方程为x＝－p2.因p＞0，故－p2＝－2，解得p＝22.15.(2015陕西，理15)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.答案：(1，1)解析：曲线y＝e x在点(0，1)处的切线斜率k＝y'＝e x|x＝0＝1;由y＝1x ，可得y'＝－1x2，因为曲线y＝1 x (x＞0)在点P处的切线与曲线y＝e x在点(0，1)处的切线垂直，故－1x P2＝－1，解得x P＝1，由y＝1x，得y P＝1，故所求点P的坐标为(1，1).16.(2015陕西，理16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案：1.2解析：以梯形的下底为x轴，上、下底边的中点连线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2，则抛物线过点(5，2)，故2＝25a，得a＝225，故抛物线的方程为y＝225x2.最大流量的比，即截面的面积比，由图可知，梯形的下底长为6，故梯形的面积为(10+6)×22＝16，而当前的截面面积为2502−225x2d x＝22x−23×25x3|05＝403，故原始流量与当前流量的比为16403＝1.2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西，理17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m ＝(a，)与n＝(cos A，sin B)平行.(1)求A;(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.(1)解：因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0.由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0.又sin B≠0，从而tan A＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得a2＝b2+c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4+c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bc sin A＝332.解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B，从而sin B＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝277.故sin C＝sin(A+B)＝sin B+π3＝sin B cosπ3+cos B sinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12ab sin C＝332.18.(本小题满分12分)(2015陕西，理18)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB ＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②.图①图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ， 所以B22，0，0 ，E − 22，0，0 ，A 1 0，0， 22 ，C 0， 22，0 ，得BC ＝ − 22， 22，0 ，A 1C ＝ 0， 22，− 22，CD ＝BE ＝(－ ，0，0). 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则n 1·BC ＝0，n 1·A 1C ＝0，得 −x 1+y 1＝0，y 1−z 1＝0，取n 1＝(1，1，1);n 2·CD ＝0，n 2·A 1C ＝0，得 x 2＝0，y 2−z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos<n1，n2>|＝3×263，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.19.(本小题满分12分)(2015陕西，理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET＝25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1＝32(分钟).(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一：P(A)＝P(T1+T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)+P(T1＝30，T2≤40)+P(T1＝35，T2≤35)+P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5＝0.91.解法二：P(＝P(T1+T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)+P(T1＝40，T2＝35)+P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西，理20)已知椭圆E：x2a +y2b＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图，AB 是圆M ：(x+2)2+(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程. (1)解：过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx+cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝b 2+c 2bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2−c 2， 解得离心率ca ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝ 10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x+2)+1，代入①得，(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1+x 2＝－8k (2k +1)1+4k ，x 1x 2＝4(2k +1)2−4b 21+4k .由x 1+x 2＝－4，得－8k (2k +1)1+4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2|＝52(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB|＝ 10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12+4y 12＝4b 2，x 22+4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1+x 2＝－4，y 1+y 2＝2， 得－4(x 1－x 2)+8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1−y 2x 1−x 2＝12.因此，直线AB 的方程为y ＝12(x+2)+1，代入②得，x 2+4x+8－2b 2＝0.所以x 1+x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2| ＝ 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.21.(本小题满分12分)(2015陕西，理21)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在 12，1 内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12+12x n n +1; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明.(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1+x+x 2+…+x n －2，则F n (1)＝n －1＞0，F n 12 ＝1+12+ 12 2+…+ 12n －2 ＝1− 12 n +11−1－2＝－12＜0，所以F n (x )在 12，1 内至少存在一个零点.又F n '(x )＝1+2x+…+nx n －1＞0， 故F n (x )在 12，1 内单调递增，所以F n (x )在 12，1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1−x nn +11−x n －2＝0，故x n ＝12+12x n n +1. (2)解法一：由假设，g n (x )＝(n +1)(1+x n )2.设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1+x+x 2+…+x n －(n +1)(1+x n )2，x ＞0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x ).当x ≠1时，h'(x )＝1+2x+…+nxn －1－n (n +1)x n −12. 若0＜x ＜1，h'(x )＞x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 若x ＞1，h'(x )＜x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1 ＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，所以h(x)＜h(1)＝0，即f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).解法二：由题设，f n(x)＝1+x+x2+…+x n，g n(x)＝(n+1)(x n+1)2，x＞0.当x＝1时，f n(x)＝g n(x).当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)＜g n(x).①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－12(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立.②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)＜g k(x).那么，当n＝k+1时，f k+1(x)＝f k(x)+x k+1＜g k(x)+x k+1＝(k+1)(1+x k)2+x k+1＝2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)－2x k+1+(k+1)x k+k+12＝kx k+1−(k+1)x k+12，令h k(x)＝kx k+1－(k+1)x k+1(x＞0)，则h k'(x)＝k(k+1)x k－k(k+1)x k－1＝k(k+1)x k－1(x－1).所以，当0＜x＜1时，h k'(x)＜0，h k(x)在(0，1)上递减;当x＞1时，h k'(x)＞0，h k(x)在(1，+∞)上递增.所以h k(x)＞h k(1)＝0，从而g k+1(x)＞2x k+1+(k+1)x k+k+12.故f k+1(x)＜g k+1(x)，即n＝k+1时不等式也成立.由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)＜g n(x).解法三：由已知，记等差数列为{a k}，等比数列为{b k}，k＝1，2，…，n+1.则a1＝b1＝1，a n+1＝b n+1＝x n，所以a k＝1+(k－1)·x n−1n(2≤k≤n)，b k＝x k－1(2≤k≤n)，令m k(x)＝a k－b k＝1+(k−1)(x n−1)n－x k－1，x＞0(2≤k≤n)，当x＝1时，a k＝b k，所以f n(x)＝g n(x).当x≠1时，m k'(x)＝k−1n·nx n－1－(k－1)x k－2＝(k－1)x k－2(x n－k+1－1).而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k+1≥1.若0＜x＜1，x n－k+1＜1，m k'(x)＜0;若x＞1，x n－k+1＞1，m k'(x)＞0，从而m k(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以m k(x)＞m k(1)＝0.所以当m＞0且m≠1时，a k＞b k(2≤k≤n)，又a1＝b1，a n+1＝b n+1，故f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，AB切☉O于点B，直线AO交☉O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．(1)证明：∠CBD＝∠DBA;(2)若AD＝3DC，BC＝2，求☉O的直径.(1)证明：因为DE为☉O直径，则∠BED+∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED．又AB切☉O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA．(2)解：由(1)知BD平分∠CBA，则BABC ＝ADCD＝3，又BC＝，从而AB＝3.所以AC＝ AB2−BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB 2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即☉O直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西，理23)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3+12t，y＝32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，☉C的极坐标方程为ρ＝2θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2+y2＝2，所以x2+(y－2＝3.(2)设P3+12t，32t ，又C(0，3)，则|PC|＝3+12t2+32t−32＝2+12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0).24.(本小题满分10分)(2015陕西，理24)选修4—5：不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解：(1)由|x+a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则−b−a＝2，b−a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)−3t+12+t＝34−t+t ≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]＝24−t+t＝4，当且仅当4−t3t1，即t＝1时等号成立.故(+t)max＝4.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中u 恒成立的是A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 8.根据右边框图，当输入x 为2005时，输出的y =A28 B10 C4 D29.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率 A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数．．），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上 二、填空（本大题共4小题，每小题5分）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= 15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则P 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17、（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若a =2b =求C ∆AB 的面积．18、（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21、（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ； ()II 若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．()I 求实数a ，b 的值； ()II 的最大值．参考答案： 一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.A7. B8.C9. B 10.D 11.D 12.A 二、填空题13. 5 14. 15.（1,1） 16. 1.2 三．解答题17. （满分12分）（I ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A由于0A π<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =.故∆ABC 的面积为1bcsinA 22=.2sin sin 3=B ，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos B .故()sinC sin A B sin sin cos cos sin 333B B πππ⎛⎫=+=B +=+= ⎪⎝⎭所以∆ABC 的面积为1bcsinA 2.18.（本小题满分12分） （I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC .(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为11B=E=BC=ED=1A A , BCED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,)22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x yz =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =， 从而12cos |cos ,|3n n θ=〈〉== 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为319.（本小题满分12分）0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯= 故(A)1P(A)0.91P =-=. 20.（本小题满分12分） 解：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O到直线的距离bcd a ==，由12d c =，得2a b ==c a =.(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2)依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==- 因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-=所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.21.（本小题满分12分）解：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x xx ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <.当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x x g x x x +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k kkh x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立.所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x-+<,()0k m x '<, 当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分） 解：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA.（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD =,又BC AB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.23. （本小题满分10分）解：（I ）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(3t,t),22P +又,则|PC |==故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.24. （本小题满分10分）解：（I）由||x a b+<，得b a x b a--<<-则2,4,b ab a--=⎧⎨-=⎩解得3a=-,1b=（II=≤4==，即1t=时等号成立，故max4=.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题解析1．解析 依题意{0,1}M =，{|01}N x x =<…，所以{|01}M N x x =剟.故选A ．评注 考查集合的意义及其运算． 2．解析 ()1100.715010.67760137+⨯+⨯-=+=.故选B ． 评注 考查饼状图的意义.3．解析 根据图像可知，函数最低点为2，即π3sin()6y x k ϕ=++的最小值为2， 所以min 32y k =-+=，解得5k =，π3sin()56y x ϕ=++，所以max 358y =+=.故选C. 评注 考查三角函数的图像以及从图像中获取相关信息的能力.4．解析 根据二项式定理，2x 的系数应该为22C C 15n n n -==，得()1152n n -=，所以6n =. 故选C.评注 考查二项式定理中最基本的内容. 5．解析 还原三视图为立体图如图所示，所以S S S S S =+++下表面上前后22111π1π122π22222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯3π4=+.故选D. 评注 考查三视图还原立体图. 6. 解析 当sin cos αα=时，()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=+-=，即sin cos cos 20ααα=⇒=；当cos 20α=时，有()()cos sin cos sin 0αααα+-=， 所以cos sin 0αα+=或cos sin 0αα-=. 即cos 20α=不能推出sin cos αα=.故选A. 评注 考查三角函数恒等变形以及命题相关. 227．解析 解法一： cos θ⋅=⋅⋅⋅…a b a b a b ，A 正确；()22+=+a b a b ，B 正确；()()22+-=-a b a b a b ，D 正确；()22222222--⇔--⇔-⋅+-⋅+…剟a b a b a b a b a a b ba ab b⇔⋅⋅…a b a b ，矛盾，B 不正确.故选B.解法二： 从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，-<-a b a b ，B 不正确.故选B.评注 考查向量运算的多方面知识.8．解析 该程序在循环体内不断自减2，跳出这个循环的标准是当该数小于0. 因为20062100420-⨯=-<，此时()23110y --=+=.故选B.评注 读懂程序框图的含义并能解决简单的算法问题. 9．解析 解法一 ：依题意,()()()()111ln ln ln 222p ab a b f a f b r ===+=+=, ln2a bq p +=>=,所以p r q =<.故选C. 解法二：令1,9a b ==,ln3p ==,19ln ln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=， 所以p r q =<.故选C.评注 对数函数基本性质的考查，并结合基本不等式.10．解析 设每天生产甲x 吨，生产乙y 吨，则32122800x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩…………，目标函数34z x y =+.画出可行域如图所示，目标函数的最大值在端点()2,3A 处取得， 所以max 324318z =⨯+⨯=.故选D. 11．解析 由||1z …()22111x y ⇒-+.所以y x …表示如图所示的阴影部分， 所以2211π1111142π142πS P S ⨯-⨯⨯===-⨯阴总.故选B.评注 考查复数的基本概念与知识，并与几何概型 相结合，具备一定的新颖性.12．解析 观察四个选项会发现B,C 这两个选项是“配套”的，所以以此为切入点，假设B,C 正确，即(1,3)为2y ax bx c =++的顶点.由于抛物线开口向下时，D 肯定错；抛物线开口向上时，A 肯定错. 由此说明A 与D 中必有一个错误.假设A 正确，则有20333,240a b a b c b a a b c +=⎧⎪++=⇒==-⎨⎪-+=⎩=，与条件a 为整数矛盾，说明A 错误. 故选A.8评注 考查学生的逻辑推理能力、观察能力.若直接假设，会有验算4次的可能，这在高考中时间上是不允许的.13．解析 当项数2n k =时，中位数11101022k k na a a a +++===， 所以121010202020155n a a =⨯-=-=； 当项数21n k =-时，中位数110102nk a a a +===， 所以121010202020155n a a =⨯-=-=. 综上所述，首项为5.14.解析 221x y -=的焦点坐标为()，抛物线22(0)y px p =>准线方程为2p x =-，所以2pp -==. 评注 考查双曲线、抛物线的基本概念.15．解析 因为()0,1在e x y =上，所以在()0,1处切线的斜率()10e '1xx k ===.设001,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1y x =在P 处的切线斜率022011'x x k x x =⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为121k k =-，所以020111x x -=-⇒=±. 又因为0x >，所以01x =，P 的坐标为()1,1. 评注 考查曲线的切线方程的求法. 16．解析 ()11062162S =+⨯=总. 建立平面直角坐标系如右图，设抛物线()22022y a x ax =--=-.因为过点()5,0，所以2205225a a =⋅-⇒=， 所以抛物线为22225y x =-. 所以52355522402d 225753S x x x x --⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰阴，所以16486404053S S ===总阴. 17.解析 （1）由//m n 可知，cos a A由正弦定理，得sin cos sin A BA B==tan A ⇒π3A ⇒=（2）由余弦定理，得2222147cos 2222b c a c A bc c+-+-=? ´3c =.所以ABC S =△11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯=. 评注 综合考查三角恒等变形、正余弦定理和向量知识.18. 解析 （1）因为1AB AE ==,所以ABE △为等腰三角形，所以1AO BE ^. 同理可证CO BE ⊥.因为1AO CO O =，所以BE ⊥平面1AOC . 因为//ED BC 且=ED BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以//EB CD . 所以CD ⊥平面1AOC . （2）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时， 以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，1OA 为z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.则1((B C A E D则12(),22A B =-(22BC =- 设平面1A BC 的法向量为1(,,1)x y n =，则()1111201,1,120BCx y A B x ⎧⋅=-=⎪⎪⇒=⎨⎪⋅=-=⎪⎩n n n .同理，1(22A D =-,(CD = 设平面1ACD 的法向量2(,,1)w z n =，所以 221200120CD w z A D ⎧⋅=-==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⋅=-=⎪⎩n n ，得2(0,1,1)=n ， 从而平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值为1212cos α⋅===⋅n n n n . 评注 考查立体几何的基本位置关系与数量关系.将折叠放入题目中，体现出生活化的气息.19．解析 （1）以频率估计概率得T 的分布列为所以250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.（2）设12,T T 分别表示往返所需时间，设事件A 表示“从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，则()()1212()(25)45(30)40P A P T P T P T P T ==+=剟()()1212(35)35(40)30P T P T P T P T +=+=剟 0.210.310.40.90.10.50.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.20．解析（1）解法一： 如图所示，由面积法可知1112222△MNP S bc a c a b ==⋅⇒=，所以c e a ===.解法二： 直线经过 ()(),0,0,c b 两点， 由截距式得直线方程为1x yc b+=，由点到直线的距离12d c ==⇒e =解法三： 过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O到直线的距离bc d a==， 由12d c =，得2a b ==e = （2）由题意知，()2,1-是弦AB的中点，且||AB =设1122(,),(,),A x y B x y 则2211224144x y b b +=，① 2222224144x y b b+=，② ①-②得，12121111242422AB AB AB y y k k k +⋅=-⇒⋅=-⇒=-. 因此AB 方程为111(2)222y x y x -=+⇒=+.222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.所以12|||AB x x =-==. 23b ⇒=.所以椭圆方程为221123x y +=.21．解析（1）证明：2111111()()2120222222n nn n F f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1(1)11...1210n n F n +=+++-=->个，所以由零点定理知，()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.又1()120n n F x x nx -'=++>，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上只能有一个零点n x .又n x 是()n F x 的零点，则 2120nn n n x x x +++-=11121n n nx x +-⇒⋅=⇒-11122n n n x x +=+. 综上所述，命题成立.（2）解法一：由题设，()()11().2nn n x g x ++=设()()211()()()1,0.2n n n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'>+++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<+++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-=所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <.解法二： 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <.①当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. ②假设(2)n k k =…时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111111()()()2kk k k k k k k x f x f x xg x xx++++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11+121111()22k k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(0)k k k h x kxk x x +=-++>，则()()11()(1)11(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1+1211()2k k k x k x k g x +++++>即11()()k k f x g x ++<.即+1n k =时，不等式也成立.所以，对于一切2n …的整数，都有()()n n f x g x <. 解法三：由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,, 1.k n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2)n k x a k k n n-=-⋅剟,1(2),k k b x k n -=剟 令()()111()1,0(2).n k k k k k x m x a b x x k n n---=-=+->剟当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(1)11n k k n k k k m x nx k x k x x n----+-'=--=--. 而2k n 剟，所以10k ->，11n k -+…. 若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,若1x >,11n k x -+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当,01(2),k k x x a b k n >≠>剟且时又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x <. 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <. 解法四 ： ()21nn f x x x x =++++，()()()112nnx n g x +?=. 考虑不等式()()()1100,1,2,,k n kx xk n --⋅-=…10k n k n x x x -⇔--+…1kn k nx x x …-?+. 所以 0110111n n n n n n x x x x x x x x x -⎧++⎪++⎪⎨⎪⎪++⎩………，将其全部累加得，()()()22111n n x x x n x …++++++()()21112nnn x x x x …++?+++， 即()()n n f x g x ….解法五： 考虑指数函数()1xy a a =>，则0121122...n n n a a a a OD AC A C A C ++++=++++.而()()011221 (2)nnna a n OD A B A B A B ++=++++.由图易知，()()001212nn a a n aa a a ++>++++； 当1a <时，同理可证明()()01212nn a a n aa a a ++>++++；当1a =时，有()()001212nn a a n aa a a ++=++++.综上所述，()()001212n n a a n a a a a …++++++，将a 换成x 即为()()n n f x g x ….22．解析 （1）因为90CBD BDE ∠+∠=︒,E EDB ∠+∠=90，所以E CBD ∠=∠又AB 切O 于点B ，得DBA E ∠=∠ ，所以CBD E DBA ∠=∠=∠.（2）因为CBD DBA ∠=∠，由角平分线定理， 1=3BC CD BA DA =,所以3BA BC =在Rt △ABC中，4AC =， 所以1==14CD CA . 由射影定理22221BC BC EC CD EC CD =⋅⇒===， 所以213ED EC CD =+=+=，即O 的直径为3.23．解析 （1）由2sin ρθρθ=⇒=，从而有(2222+,+3x y x y ==所以. （2）设132P t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，又(C ，PC = 所以当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0.24．解析 （1）由||x a b +<⇒b a x b a --<<-E A所以2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得31a b =-⎧⎨=⎩.（2）[]22211233t t ⎡⎤++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…412163⨯=,44，当1t =时取等号.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(理科)知识点检索号新课标11.(2015·陕西高考理科·T1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]【解题指南】根据题意先求出集合M和集合N,再求M∪N即可.【解析】选A.集合M=,集合N=,M∪N=,所以M∪N=[0,1].502.(2015·陕西高考理科·T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.167B.137C.123D.93【解题指南】根据扇形统计图可得初中部女教师所占比例为70%,高中部女教师所占比例为40%,再用各自的总人数乘以所占的比例即可求得答案.【解析】选B.初中部女教师人数为110×70%=77,高中部女教师人数为150×40%=60,则该校女教师的人数为77+60=137,故B正确.173.(2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10【解题指南】本题考查由y=A sin(ωx+φ)+k的部分图像确定函数的最大值,可得y max=3+k y min=k-3,整理可求最大值.【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ①k-3=2②解之得M=8.534.(2015·陕西高考理科·T4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7【解题指南】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,从而求得n的值.【解析】选C.二项式(x+1)n(n∈N +)展开式的通项公式为T r+1=x n-r,令n-r=2,则=15,解之得r=4,n=6,故C正确.365.(2015·陕西高考理科·T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4【解题指南】将三视图复原,此几何体为半个圆柱体,根据三视图所给的数据,求出表面积.【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+·2πr·2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.26.(2015·陕西高考理科·T6)“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】由题意看命题sinα=cosα与命题cos 2α=0是否能互推,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.【解析】选A.方法一:由cos2α=0得cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,得sinα=cosα或sinα=-cosα.所以sinα=cosα⇒cos 2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.方法二:由sinα=cosα,得sin(α-)=0,即α-=kπ,α=kπ+,k∈Z.而cos 2α=0,得2α=kπ+,α=+,k∈Z.所以sinα=cosα⇒cos2α=0,即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.227.(2015·陕西高考理科·T7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2【解题指南】由向量的线性运算性质及几何意义对各个选择项作出判断.【解析】选B.由|a·b|=||a|·|b|·cosθ|,因为-1≤cosθ≤1,所以|a·b|≤|a||b|恒成立;由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a-b|≥||a|-|b||,故B选项不成立;根据向量数量积的运算律C,D选项恒成立.498.(2015·陕西高考理科·T8)根据下边的图,当输入x为2006时,输出的y=()A.28B.10C.4D.2【解题指南】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=-2时不满足条件x≥0,计算并输出y 的值为10.【解析】选B.模拟执行程序框图,可得x=2006,x=2004满足条件x≥0,x=2002满足条件x≥0,x=2000…满足条件x≥0,x=0满足条件x≥0,x=-2不满足条件x≥0,y=10输出y的值为10.329.(2015·陕西高考理科·T9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可.【解析】选C.由条件可得p=f()=ln(ab=ln（ab）=(ln a+ln b),r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=p,由不等式的性质:在0<a<b的条件下,>,且函数f(x)=ln x是增函数,。

2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．解答：解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167考点：收集数据的方法．专题：计算题；概率与统计．分析：利用百分比，可得该校女教师的人数．解答：解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解答：解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min=﹣3+k=2，解得k=5，∴y=3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max=3+5=8，故选：C．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A．7B．6C．5D．4考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意可得==15，解关于n的方程可得．解答：解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，∴=15，即=15，解得n=6，故选：B．点评：本题考查二项式定理，属基础题．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．解答：解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．解答：解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题．8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（）A．2B．4C．10 D．28考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．解答：解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．解答：解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P==故选：D．点评：本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上考点：二次函数的性质．专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．解答：解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．考点：等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项的方程，解方程可得．解答：解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px中p的意义．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：利用y=e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．解答：解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=，所以抛物线方程：y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为：1.2．点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E 是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD 夹角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），=（﹣，，0），=（0，，﹣），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），由得，取=（0，1，1），则cos＜＞===，∵平面A1BC与平面A1CD为钝二面角，∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P （A）=1﹣P（）=0.91．解答：解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91点评：本题考查了频率=频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（12分）（2015•陕西）设f n（x）是等比数列1，x，x2，…，x n的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）证明：函数F n（x）=f n（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n），且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n（x），比较f n （x）和g n（x）的大小，并加以证明．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2，求得F n（1）＞0，F n（）＜0．再由导数判断出函数F n（x）在（，1）内单调递增，得到F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，由F n（x n）=0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n ﹣，当x=1时，f n（x）=g n（x）．当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f n（x）＜g n（x）．解答：证明：（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2，则F n（1）=n﹣1＞0，F n（）=1+．∴F n（x）在（，1）内至少存在一个零点，又，∴F n（x）在（，1）内单调递增，∴F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，∵x n是F n（x）的一个零点，∴F n（x n）=0，即，故；（Ⅱ）由题设，，设h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n﹣，x＞0．当x=1时，f n（x）=g n（x）．当x≠1时，．若0＜x＜1，h′（x）＞=．若x＞1，h′（x）＜=．∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，∴h（x）＜h（1）=0，即f n（x）＜g n（x）．综上，当x=1时，f n（x）=g n（x）；当x≠1时，f n（x）＜g n（x）．点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．解答：证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．解答：解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。

2015年高考冲刺压轴卷数学（理卷一）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、（2015·广东省汕头市二模·1）已知集合{}21,2z ,,{2,4}A zi B ==，i 为虚数单位，若{2}A B =，则纯虚数z 为（ ）A ．iB ．-iC ．2iD ．-2i2．（2015·广东省佛山市二模·2）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2015·广东省肇庆市三模·3）在∆ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC =（ ） A ．65πB ．32π C ．3π D ．6π 4．（2015·广东省广州市二模·4）函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为（ ）A ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+⎪24⎝⎭5．（2015·广东省惠州市二模·4）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11图16. （2015·广东省揭阳市二模·5）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为（ ）A ．43B ．413C ．49-D ．47．（2015·广东省茂名市二模·4） 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A ．23B ．43C ．83D ．48．（2015·广东省深圳市二模·6）如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入3a ，2a ，1a ，0a 的值依次是1，3-，3，1-，则输出v 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．8-D ．8二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9．（2015·广东省湛江市二模·9）曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是图2________________．10．（2015·广东省汕头市二模·10）11．（2015·广东省佛山市二模·11）将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 ．12．（2015·广东省肇庆市三模·11）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ．13．（2015·广东省茂名市二模·13）已知抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若0)(=∙+AF OB OA ，则双曲线的实轴长为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（2015·广东省深圳市二模·14）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x sy s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________．15．（2015·广东省湛江市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//D E A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （2015·广东省汕头市二模·16）17．（2015·广东省佛山市二模·17）（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期 2月14日 2月15日 2月16日2月17日 2月18日 天气 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销售量（件）白天 39 33 43 41 54 晚上4246505161已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．（1）画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为51，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？（3）若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？18．（2015·广东省肇庆市三模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：AC⊥DF；（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值．19．（2015·广东省广州市二模·19）（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（2015·广东省惠州市二模·20）（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（1）求曲线1C 的方程；（2）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值．21．（2015·广东省揭阳市二模·21）(本小题满分14分) 已知函数()1,()f x a R =∈（1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．数学（理卷一）参考答案与解析1．D【命题立意】本题考查的知识点是集合的包含关系判断，复数的定义及运算． 【解析】∵A={1，2z 2，zi}，B={2，4}，且A ∩B={2}， ∴2z 2=2或zi=2，解得：z=±1（不合题意，舍去）或z=-2i ， 则纯虚数z 为-2i ． 故选D 2．B【命题立意】本题旨在考查复数除法的运算法则． 【解析】∵()()()()()()()2211121111112i i i i i z i i iii i ++++====+=-+--+∴与第二象限的点（－1,1）对应．故选:B 3．B【命题立意】此题考查了余弦定理．【解析】∵在△ABC 中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，∴由余弦定理得：cos ∠BAC=222b +c -a 9+25-491==-2bc 302，∵∠BAC 为△ABC 的内角，∴∠BAC=2π3．故选B 4．A【命题立意】函数()sin y A x ωϕ=+的图象性质，容易题. 【解析】由图知，3=A ，周期8)15(2=-=T ，当3251=+=x 时0=y ，逐个验证知函数3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭满足条件.5．C【命题立意】本题考查线性规划求最值问题．【解析】平面区域如图所示，所以24210z =⨯+=，故选C ． 6．A【命题立意】考查平面向量的坐标运算，共线向量，容易题.【解析】由已知得λ-a b =)32,21(λλ--， 向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，∴632521--=--λλ，解得34=λ. 7．B【命题立意】考查三视图，空间几何体的体积，容易题．【解析】由三视图知，原几何体是一个三棱锥，底面是一个等腰三角形，面积为42421=⨯⨯=S ，三棱锥的高为1，体积为341431=⨯⨯=V ． 8．D【命题立意】本题考查了程序框图,进行模拟运算即可． 【解析】当i=3，31a =，v=1, 当i=2时，23a =-，v=0 当i=1时，13a =，v=3， 当i=0时，01a =-，v=8， 当i=-1时，输出8．故选D ． 9．02=-y x【命题立意】本题考查利用导数求切线的斜率及切线方程．【解析】所求切线的斜率2|)cos 1(|00=+='===x x x y k ,所以由点斜式方程得所求切线方程yx为02=-y x ． 10．4030【命题立意】本题旨等差数列的性质及等差数列前n 项和公式． 【解析】()24201220141201528a a a a a a +++=+=，()120154a a ∴+=，()120152015201520154403022a a S +⨯∴===故答案为4030． 11．20【命题立意】本题旨在考查排列组合的实际意义．【解析】5个球中2个编号与盒子编号一样共有2510C =种放法，余下的3个球与盒子的编号都不同，只有2种放法，由分步乘法可知投放方法共10×2＝20种． 故答案为：20 12．{x| x ＞43或x<-6} 【命题立意】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查转化思想与运算能力． 【解析】∵|2x+1|-|5-x|＞0， ∴|2x+1|＞|5-x|≥0， ∴()()222x+1>5-x ，∴x ＞43或x<-6, ∴不等式|2x+1|-|5-x|＞0的解集为{x| x ＞43或x<-6}． 故答案为：{x| x ＞43或x<-6} 13．222-【命题立意】考查抛物线、双曲线的性质，平面向量的数量积，中等题．【解析】 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F F ∴点的坐标为（1，0） 0)(=∙+，∴AF ⊥x 轴．设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1,2）设左焦点为'F ,则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=,由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a ．14【命题立意】本题考查参数方程的化简和应用，将参数方程转化为普通方程即可． 【解析】直线l 的普通方程为y 30x +-=,曲线C 的方程为2=(3)y x -，由230(3)x y y x +-=⎧⎨=-⎩得21x y =⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩，即A(2，1),B(3，0),则=15．723 【命题立意】本题考查相似三角形对应边成比例问题．【解析】过点A 作CD 的平行线交EF ．BC 分别为M ．N ，由题意可知AEM ∆与ABN ∆相似，所以723,2,79)2(7373,73=∴==-==∴==EF NF BC BN EM AB AE BN EM 又． 16．（1）3；（2）[1,5]；（3）725-． 【命题立意】本题考查了正弦型函数的图像及性质，两角和差的公式,同角三角函数基本关系．【解析】，17．（1）,中位数为44.5；（2）480件；（3）值的投资．【命题立意】本题旨在考查茎叶图，离散型随机变量的期望以及概率的求法．【解析】18．（1）略；（2）略；（3【命题立意】本题考查的是线面平行的判定，线线垂直的证明以及利用法向量求二面角的大小．【解析】证明：（1）连接AC 交BD 于点G ，连接EG ． （1分）因为四边形ABCD 是正方形，所以点G 是AC 的中点，（2分） 又因为E 为PC 的中点，，因此EG //PA ． （3分） 而EG ⊂平面EDB ，所以PA //平面EDB ． （4分）（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ． （5分）因为PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，所以AC ⊥PD ． （6分） 而PD ∩BD =D ，所以AC ⊥平面PBD ． （7分） 又DF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DF ． （8分）（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有)0,0,0(D ，)1,0,0(P ，)0,0,1(A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，所以)21,21,0(E ． （9分）设)0)(,,(≠kl l k k F ，则)21,21,(--=l k k ，)1,1,1(-=PB ．由EF ⊥PB ，得0=⋅，即0)21(21=---+l k k ，即k l 2=，故)2,,(k k k F ． （10分） 设平面DEF 的一个法向量),,(z y x =，)21,21,0(=DE ，)2,,(k k k =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++02021210kz ky kx z y ，解得⎩⎨⎧-=-=z y z x ，取)1,1,1(--=． （11分） 又)1,0,0(=DP 是底面ABCD 的一个法向量， （12分） 所以3313100||||,cos =⨯++=>=<DP n ， （13分）故平面ABCD 和平面DEF 所成二面角的余弦值为33． （14分） 19．（1）1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ；（2）详见解析.【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，裂项相消发求数列的前n 项和，放缩法证明不等式，中等题.【解析】（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=． 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭． 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-， 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭16<．又当1n =时，212111106PP =<． 所以22212131+111116n PP PP PP +++<． 20．（Ⅰ）220y x =（Ⅱ）6400 【命题立意】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=…1分易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>5x =+. 化简得曲线1C 的方程为220y x =. …………………4分 解法2 ：曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，所以曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，…………… 2分故其方程为220y x =. …………………4分 （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，040kx y yk -++= 3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ① …………………6分 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根， 故001218.724y yk k +=-=- ② …………………7分 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③…………………8分 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④…………………9分同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤…………………10分于是由②，④，⑤三式得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=[]640016400212122=+-=k k k k y y .…………………13分 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400. …14分21．（1）{|020}x x x <<<或；（2）单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a ；（3）2m a m -<<+.【命题立意】考查不等式的解法，导数法求函数的单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，较难题.【解析】（1）当1a =时，不等式()1f x x <-即|1|x x x -<，显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|1|1111x x -<⇒-<-<02x ⇒<<，当0x <时，原不等式可化为：|1|111x x ->⇒->或11x -<-2x ⇒>或0x <，∴0x <综上得：当1a =时，原不等式的解集为{|020}x x x <<<或.（2）∵221,()() 1.()x ax x a f x x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，若x a ≥时，∵0a >，由'()2f x x a =-知，在(,)a +∞上，'()0f x ≥， 若x a <，由'()2f x x a =-+知，当2ax <时，'()0f x >， 当2ax a <<时，'()0f x <， ∴当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a .(其它解法请参照给分)（3）在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方， 即对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，⇔对(0,1]x ∀∈都有||1x x a m -<+， 显然1m >-，即1()1m x x a m --<-<+⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x++-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+， 设1(),(0,1]m g x x x x+=-∈，1()m p x x x +=+，(0,1]x ∈，则对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈， ∵21'()1,m g x x+=+当(0,1]x ∈时'()0g x >∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()g x m =-，又∵21'()1m p x x +=-1即0m ≥时，对于(0,1]x ∈，有'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数 ∴min ()(1)2p x p m ==+，1，即10m -<<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，min ()p x p ==（或当10m -<<时，在(0,1]上，1()m p x x x +=+≥=，当x =又∵当10m -<<时，要max min ()()g x a p x <<即m a -<<第21页m >-2440m m ⇒--<，解得22m -<<+∴当20m -<<时，m a -<< 当0m ≥时，2m a m -<<+．。