2020秋九年级数学上册第22章相似形22.1第3课时比例的性质与黄金分割同步练习2(无答案)(新版)沪科版

22.1第3课时 比例的性质知|识|目|标1．经历问题的计算、观察、探究过程，归纳总结比例的基本性质、合比性质、等比性质，会应用比例的性质进行相关计算．2．通过对实际问题的分析，了解黄金分割和黄金数的概念，会根据概念进行相关计算．目标一 会根据比例的性质计算例 1 ［教材补充例题］(1)已知a b ＝34，求分式a ＋b a －b的值时，先根据已知条件把该分式转化为同一个字母，然后化简．方法一：用字母b 表示字母a ，得a ＝________．将关于a 的表达式代入a ＋b a －b 中，得a ＋ba －b＝________，化简，得a ＋ba －b＝________． 方法二：运用参数字母k 表示字母a 和b .由a b ＝34，可设a ＝3k ，则b ＝________．将关于a ，b 的表达式代入a ＋b a －b 中，得a ＋b a －b ＝________，化简，得a ＋ba －b＝________． (2)已知x a ＝y b ＝z c ＝2，求分式2x －3y ＋z 2a －3b ＋c 的值时，可根据分式的性质将xa 中分子、分母同乘以2，y b 中分子、分母同乘以－3，得2x 2a ＝－3y －3b ＝z c ＝2，根据________的性质，得2x －3y ＋z2a －3b ＋c＝________．【归纳总结】利用比例的性质计算时常用的两种方法：(1)用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后运用代入法求值； (2)设参数法，即根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应字母，再代入求值，这也是运用比例的性质求解时的一种常用方法．例2 ［教材例1变式］如图22－1－5，AD BD ＝AE EC ＝23，求AB BD 和2BD ＋3CE2AB ＋3AC的值．图22－1－5【归纳总结】利用等比性质解题时要注意分母中字母的取值范围．目标二 能根据黄金分割的定义判断黄金分割点例3 [教材例3针对训练] 如图22－1－6，在矩形ABCD 中，AB ＝5－1，AD ＝2，且四边形ABEF 是正方形，则点E 是BC 的黄金分割点吗？如果是，请说明理由．图22－1－6【归纳总结】判断黄金分割点的方法： (1)借助黄金比：判断由此点截得的较长的线段与原线段的比是不是黄金比，若是黄金比，则此点为黄金分割点，否则不是；(2)借助比例式：判断由此点截得的较长线段、较短线段与原线段是不是符合定义中的比例式：较长线段原线段＝较短线段较长线段，若符合，则此点为黄金分割点，否则不是．知识点一 比例的基本性质及合比、等比性质(1)基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc (b ，d ≠0)．反之也成立，即如果ad ＝bc ，那么a b＝cd(b ，d ≠0)． (2)合比性质：如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)． (3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1b 1．[点拨] (1)比例的基本性质可记为“分子、分母交叉乘，积相等”． (2)合比性质推广：如果a b ＝c d ，那么a －b b ＝c －dd(b ，d ≠0)． (3)运用等比性质时注意各分母的和不为零，否则无意义．知识点二 黄金分割把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值________叫做黄金数．[点拨] “黄金分割”的对称性：一条线段的黄金分割点应该有两个，一个靠近一个端点，而另一个靠近另一个端点，这两个黄金分割点关于线段的中点对称．若a ＋bc ＝b ＋c a ＝a ＋cb＝k ，求k 的值． 解：根据比例的等比性质得到2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c ＝2，所以k 的值是2.上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由．教师详解详析【目标突破】例1 (1) 34b 34b ＋b 34b －b －7 4k 3k ＋4k3k －4k－7 (2) 等比 2例2 解：由AD BD ＝23，得AD BD ＋1＝23＋1，即AD ＋BD BD ＝2＋33，∴AB BD ＝53.从而BD AB ＝35，则2BD 2AB ＝35.同理可得3CE 3AC ＝35.由等比的性质，得2BD ＋3CE 2AB ＋3AC ＝35.例3 [解析] 由于题中给出了AB ，AD 的长，可以结合四边形ABEF 是正方形求出BE 及CE 的长，再结合黄金分割的定义求出CE BE 及BEBC的值做出判断．解：是．理由：∵四边形ABEF 为正方形， ∴BE ＝AB ＝5－1，CE ＝BC －BE ＝3－ 5. ∵CE BE ＝3－55－1＝5－12，BE BC ＝5－12， ∴CE BE ＝BE BC ＝5－12， ∴点E 是BC 的黄金分割点． 【总结反思】[小结] 知识点二5－12[反思] 不正确．当a ＋b ＋c≠0时，根据比例的等比性质得到2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c ＝2.当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，k ＝a ＋b c ＝－cc ＝－1.所以k 的值是2或－1.。

是 ．【分析】分PM ＞PN 和PM ＜PN 两种情况，根据黄金比值计算． 【解答】解：当PM ＞PN 时，PM =√5−12MN =√5−12，当PM ＜PN 时，PM ＝MN −√5−12MN =3−√52， 故答案为：√5−12或3−√52．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键． 【变式2-1】（2020秋•静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．ACBCB ．BCACC ．BCABD ．ABBC【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（√5−12）叫做黄金比作出判断． 【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC 2＝AB •BC （AC ＞BC ），则AC AB=BC AC=√5−12； 或BC 2＝AB •AC （AC ＜BC ），则ACBC=BC AB=√5−12．故只有AB BC 的值不可能是√5−12．故选：D ． 【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．【变式2-2】（2020春•相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ） A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ，进行计算即可．【解答】解：如图，设AB ＝1，∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴AE ＝GF =√5−12，∴BE ＝FH ＝AB ﹣AE =3−√52， ∴S 3：S 2＝（GF •FH ）：（BC •BE ）＝（√5−12×3−√52）：（1×3−√52） =√5−12．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．【变式2-3】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN =GNMG =√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ） A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据等腰三角形的性质得到BH ＝CH =12BC ＝2，则根据勾股定理可计算出AH =√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE =√5−12BC ＝2√5−2，则计算出HE ＝2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2， 在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．三、成比例线段、比例的基本性质（1）①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .（a,b,c,d,都不为0）；（2）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇔=； （3）等比性质：ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇔≠+++=== )0(例3.已知非零实数a,b,c,满足,34,13125=+==b a cb a 且求c 的值。

初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构第22章《相似三角形》知识点整理教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。

本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。

本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项----黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a,b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果线段a,b的比等于线段c,d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项:如果a：b=b:c,那么b叫做a,c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段------平行线分线段成比例--------平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例------（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似------相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换----2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

比例线段及平行截相似定理：1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcda b c d a d b c a c==()b 、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：abcdad bc=⇔=②合比性质：±±abcda bbc dd=⇒=③等比性质：……≠……abcdmnb d na c mb d nab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF===②平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③平行的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 平行截相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

基本图形有：“A”型和“X”型1、比例线段：例1如图，一个矩形ABCD截去一个边长与宽CD相等的正方形后，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（）A． B. C. D.AB CD EE DCBA例2 已知（ ）A.B. 2C. -1或D. -1或2 例3已知a 、b 、c 满足⑴求的值；⑵若a+3b-2c=10，求a 、b 、c 的值。

2、平行线分线段成比例： 知识要点：1、平行线分线段成比例的基本图形；2、构造基本图形来解题。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

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数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。