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哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
哈三中2018—2019学年度上学期高一学年第一模块数学试卷第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】故选：A【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角的的三角函数值是解题的关键.2.（）A. 2B. -3C. 7D. 1【答案】B【解析】【分析】利用根式的性质及对数的运算性质直接化简求值即可.【详解】.故选：B【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了对数的运算性质，考查了计算能力.3.已知集合，，,则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】，借助余弦图像即可得到结果．【详解】∵，∴即故选：Ｃ【点睛】本题考查交集概念及运算，考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．4.函数的零点所在区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数f（x）＝0得到，转化为两个简单函数g（x）＝2x，h（x），最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．【详解】令0，可得，再令g（x）＝2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：Ｃ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．5.下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A. ①，②，③，④B. ①，②，③，④C. ①，②，③，④D. ①，②，③，④【答案】B【解析】【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项【详解】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．6.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求单调减区间．【详解】∵x2+2x﹣3＞0，∴x＞1或x＜﹣3；又∵y＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数；且y＝log2x在（0，+∞）上是增函数；∴函数y＝log2（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故选：A．【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．7.在中,角所对的边分别为，,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理，即可解得.【详解】∵∴，即，∴，又a＜b，A三角形的内角，∴故选:B【点睛】本题考查了正弦定理的应用，注意利用大边对大角进行角的限制，属于基础题.8.已知则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）．【详解】∵∴，∴。
2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷满分150分．考试时间为120分钟；（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．（3）考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若3-i1+iz =,i 为虚数单位，则z （）A ．2i -B ．12i -C ．12i+D ．2i+2．设集合1{1},12A xB x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知,B C 分别是上、下底面圆的圆心，6,2AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）图1图2A ．803πB ．703πC ．20πD ．563π4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos 2Bb Cc =，且||||CA CB CA CB +=- ，则A =（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ≠,甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定6．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若4863,,5a a a 成等差数列，则1056S a a =+（）A ．1219B ．114C ．314D ．211367．有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%，加工出来的零件混放在一起．己知第1,2,3台车床加工的零件数的比为4: 5: 11，现任取一个零件，记事件i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =,事件B =“零件为次品”，则()1P A B =（）A ．0.2B ．0.05C ．537D ．10378．设0a >且1a ≠，若函数()()32223722,0()2log ,0e a x x a a x x f x x x x ⎧-+-++≤⎪=⎨->⎪⎩有三个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,(2,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1(1,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1(1,2)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,1(1,2)3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，某学校举办了一场关于杭州亚运会相关知识问答竞赛，比赛采用计分制（满分100分），该校学生成绩绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A ．0.01a =B ．该校学生成绩的众数为80分C ．该校学生成绩的75%分位数是85分D ．该校学生成绩的平均分是76.510．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22154x y +=的右焦点重合，,A B 是抛物线C 上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A ．抛物线C 的标准方程为24y x=B ．若直线AB 经过点F ,则以线段AB 为直径的圆与y 轴相切C ．若点(1,1),Q P 为抛物线C 上的动点，则PQF 周长的最小值为3+D ．若0OA OB ⋅=,则||||32OA OB ⋅≥11．如图，已知正三棱台111ABC A B C -是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中12AA =,以点A 为球心，11BCC B 的交线为曲线,P Γ为Γ上一点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面11BCCB 的距离为B ．曲线Γ的长度为4πC ．CP 的最小值为2D ．所有线段AP 所形成的曲面的面积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则1a =_______．（用数字作答）13．已知圆221:3C x y +=,圆222:(1)(2)3C x y -+-=,直线:2l y x =+．若直线l 与圆1C 交于,A B 两点，与圆2C 交于,D E 两点，,M N 分别为,AB DE 的中点，则||MN =________．14．设*{1,2,,}m N m = 表示不超过()*m m N∈的正整数集合，kA 表示k 个元素的有限集，()S A 表示集合A中所有元素的和，集合(){}*,m k k k m T S A A =⊆N ，则3,2T =_________；若(),32024m S T ≤，则m 的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数21()sincos (0)2f x x x x ωωωω=->．（1）当1ω=时，求函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2,0,23A f a AD π⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC 的面积．16．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC 沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥,连接PB 得三棱锥P ABC -,如图2．图1图2（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ;（2）在线段PC 上是否存在点M ,使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．17．已知函数()e xf x ax =+．（1）若1a =-,求函数()f x 的单调区间；（2）当0x >时，2()1f x x >+恒成立，求实数a 的取值范围．18．这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ,求{}n a 的前n 项和n S ；（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为20x y ±=．（1）求双曲线H 的标准方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交双曲线H 左右两支于,A B 两点（异于顶点），点A 关于x 轴的对称点为E ，证明直线BE 过定点Q ；（3）过双曲线H 上任意不同的两点,C D 分别作双曲线H 的切线，若两条切线相交于点M ，且0MC MD ⋅=，在第（2）的条件下，求MPQ S 的最大值及此时点M 的坐标．2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案1-4CCDA5-8BADC9ACD10AD11ACD12．2401314．{3,4,5}；2215．（1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（2）216．（1）略（2）2317．（1）单调递减区间(,0)-∞单调递增区间(0,)+∞（2）2a e>-18．（1）2727(3)(4)6464P X P X ====91(5)(6)6464P X P X ====15()4E X =（2）34(4)4nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）12519．（1）2214x y -=（2）(1,0)Q （3）(0,MPQ S M =。
哈三中2018—2019学年度下学期高一学年第一学段历史考试试卷第一部分选择题（共70分）一、单项选择题（本大题共35小题，每题2分，共70分。
）[国际部和校本部共同作答]1．先秦时期，古代中国的农耕方式经历了从“刀耕火种”到“铁犁牛耕”的转变。
中国传统农业的主要耕作方式是A．石器锄耕B．刀耕火种 C．铁犁牛耕 D．机械化耕种2．据史书记载，“评进之则箭下，入土也深；退之则箭上，入土也浅……江东之田器尽于是”。
这一农具是指唐代发明的3．《史记·河渠书》载:“蜀守冰凿离碓(堆)，避沫水之害，穿二江成都之中。
此渠皆可行舟，有余则用灌浸，百姓享其利。
”该材料记载的水利工程是A．都江堰B．郑国渠 C．灵渠 D．坎儿井4．春秋战国时期，是我国原始农业向传统农业转型的重要时期。
下图是有关中国古代农业生产方式示意图，推断空缺方框①、②中最可能填写的是A．铁犁牛耕家庭农业 B．采集经济封建农业C．集体劳作自然经济 D．集体劳作铁犁牛耕5．下列关于中国古代土地制度的叙述，正确的是A．井田制是一种土地公有制，土地属于全体国民所有B．战国时期的变法确立了土地私有制C．自耕农土地所有制是封建土地私有制的主要形式D．均田制所体现的是一种土地国有，自唐代开始实行6．明末思想家顾炎武在《吴中纪事》中指出：“富民有田而贫者多佃之，秋收之后，所得各居其半。
”这反映了当时农村经济中的哪一经营方式A．村社式经营 B．田庄式经营 C．自耕农式经营 D．租佃式经营7．汉代董仲舒、王莽等人对商鞅“废井田，开阡陌”的土地变革极为不满；宋代王安石、朱熹等人主张“复古井田制，田尽归官”；近代孙中山曾多次给予井田制高度的评价。
这些主张的共同目的是A．保护田庄经济 B．发展商品经济 C．维护封建统治 D．限制土地兼并8．明末，某地出现了收蚕、烘煮、缫丝、制丝、织绸、浆染等家庭作坊几百家，并有“桑植满田日，户户皆养蚕；步步闻机声，家家织绸缎”的民谣。
哈三中2018-2019学年度下学期高二第一次阶段性测试数学(理)试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间90分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 若函数2()f x x x =+，则函数()f x 从1x =-到2x =的平均变化率为A. 0B. 2C. 3D. 6 2. 已知函数()f x 在0x x =处的导数为k ，则000(3)()limh f x h f x h→--=A. kB. k -C. 3kD. 3k -3. 已知一个物体的运动方程为22(1)1s t =+-，其中位移s 的单位是m ，时间t 的单位是s ，则物体的初速度0v 为A. 0/m sB. 1/m sC. 2/m sD. 4/m s 4. 函数2()ln f x x a x =-在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞5. 已知点P 在曲线35y x x =-+上移动，设曲线在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是A. 3(,]24ππB. 3[,)4ππ C. 3[0,)[,)24πππ D. [0,]2π 6. 函数()sin 2f x x x =-，[,]22x ππ∈-的最大值是A.2π B. 6π-6πD. 2π- 7. 如果函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是A. 13[,)22- B. 13(,)22- C. 3[1,)2 D. 3(1,)28. 如果函数)1ln()(2x m x x f ++=有两个极值点，则实数m 的取值范围是A ．)21,1(-B ．)21,0(C ．]21,1(-D ．]21,0(9. 若存在],1[e ex ∈，使得不等式03ln 22≥+-+mx x x x 成立，则实数m 的最大值为A.231-+e e B. 23++e eC. 4D. 12-e 10. 已知函数a x x a x f xln )(2-+=，对任意的]1,0[,21∈x x ，不等式2)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为A ． 2[,)e +∞ B ．[,)e +∞ C ．],2[e D ．],[2e e第Ⅱ卷 （非选择题, 共70分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）11. 函数162)(23+-=x x x f 的单调递增区间为________________. 12. 函数xe x xf 2)(=的极大值为________________. 13. 函数x x x x f ln 46)(2+-=的图象与直线m y =有三个交点，则实数m 的取值范围为________________.14. 已知偶函数)(x f 的导函数为)(x f '，且满足0)2(=f ，当0>x 时，)(2)(x f x f x >'，则使得0)(>x f 的x 的取值范围为__________.三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. (本题满分12分)已知曲线32()2f x x x x =-+.(Ⅰ) 求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； (Ⅱ) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程.16. (本题满分12分)已知函数212()ln xf x x ax -=+ ()0a ≠，讨论函数()f x 的单调区间.17. (本题满分12分) 已知函数2()kxf x x e =.(Ⅰ) 当0k >时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 求函数()f x 在区间[]2,1--上的最大值．18. (本题满分14分)已知,0a b >，且不等式ln (1)a x b x ≤-对任意的0x >恒成立.(Ⅰ) 求a 与b 的关系；(Ⅱ) 若数列{}n a 满足：1ln 2a =，1ln(2)n n n a a a +=+-，n S 为数列{}n a 的前n 项和.求证：n S n <；(Ⅲ) 若在数列{}n b 中，ln n b n =，n T 为数列{}n b 的前n 项和.求证：2n T n >-哈三中2018-2019学年度下学期高二第一次阶段性测试数学(理)试卷答案1-5 BDDDC 6-10 ACBAA 11. (,0),(2,)-∞+∞ 12.24e13. (4ln 28,5)-- 14. (,2)(2,)-∞-+∞15. (Ⅰ) 460x y --= (Ⅱ) ,0y x y == 16. 12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；102a -<<时，()f x 在)+∞上单调递增，在11(,a a-+-上单调递减；0a >时，()f x 在1(0,)a -+上单调递减，在1(,)a-++∞上单调递增.17. (Ⅰ) ()f x 的单调递增区间为2(,),(0,)k -∞-+∞，()f x 的单调递减区间为2(,0)k-. (Ⅱ) 1k ≤时，2max ()4kf x e -=； 12k <<时，22max ()4f x k e --=； 2k ≥时，max ()kf x e -=.18. (Ⅰ) a b =； (Ⅱ) 证明略； (Ⅲ) 证明略.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷上作答无效。
2.请将选择题答案填涂在机读卡上，非选择题答案填写在第II 卷答题纸上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共23题, 全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷（选择题，共70分）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足2025(1)1z i i +⋅=-，则z 的虚部为（ ） A.iB.1-C.i -D.12.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.系统抽样 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法3.平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ） A.255B.45 C. 55 D. 154.如图是一个由正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1和正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，BB 1为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P 到正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球表面的最小距离是（ ） A. 6243- B. 6(32)- C. 6(21)-D. 6(31)-5.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则sin cos cos a Ab A a B-的取值范围是（ ）A.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 6.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若αα⊥b a ,//，则b a ⊥ B. 若b a =⋂=⋂γβγαβα,,//，则b a //C. 若αβα⊥a ,//，则β⊥aD. 若γβγα⊥⊥,，则βα⊥a ,// 7.平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，060=∠BAD ，Q 为CD 中点，点Р在对角线BD1上，且BD BP λ=，若BQ AP ⊥，则=λ（ ） A.14B.12C.23D.348.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，60ABC =∠︒，12AA AB ==，1BC =，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为（ ）A.1010B.31020C.31010 D. 10209.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.1现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被1分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执1勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A.15B.25C.35 D. 4510.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年~公1元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，D 为线段AC 的中点， 再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围成 的图形为月牙形，在图形ABCE 内任取一点，则该点在月牙形内的概率为（ ）A.112+πB.3+π C. 2+πD. 11+π11.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为80︒，P 为α，β外一定点，过点P 的一条直线与α和β所1成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，11则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 13.6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A.23B. 2C. －2D. 23-14.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点(－1,0)的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A. 80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 110,8⎛⎫⎪⎝⎭C. 80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共80分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.15.若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.16.6(12)(2x -的展开式中2x 的系数为________.（用数字作答）17.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______.18.已知函数()||||1x x f x e =+，()()2,02,0f x xg x x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，且()10g =，则关于x 的方程()()10g g x t --=实根个数的判断正确的是_________.①当2t <-时，方程()()10g g x t --=没有相异实根②当110t e-+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相异实根 ③当111t e <<+时，方程()()10g g x t --=有2个相异实根④当111t e -<<-+或01t ≤＜或11t e=+时，方程()()10g g x t --=有4个相异实根三、解答题：共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（本题满分12分）在①cos 13sin b B a A+=，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积. 20.（本题满分12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业 加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障 抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管 理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,， [)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口1罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个1口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为2的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加1A 、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n ()*2,n n N ≥∈个该型号口罩构成.假1定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为2nπ，2cosn nπ，记甲、乙两人抢购1成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y .①求X 的分布列及数学期望()E X ；②求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.21.（本题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角 形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点. （1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 22.（本题满分12分）（1）已知()2112n x +-的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4，求n 的值.（2）记()212210122112n n n x a a x a x a x +++-=+++⋅⋅⋅+，*n N ∈，①求0121n a a a +++⋅⋅⋅+；②设()2kk k a b =-，求和：()()01221123122k n b b b k b n b +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅.23.（本题满分12分）设,a b ∈R ，b 为常数，*,2n N n ∈≥，函数(),n f x x ax b x R =-+∈， （1）设3n =，①已知2,1a b ==，求函数f (x )的所有极值的和；②已知0a >，02b <<，函数f (x )在区间[0,1]上恒为非负数，求实数a 的最大值；并判断a 取最大值时函数()f x 在R 上的零点的个数；（2）求证：无论,a n 如何变化，只要函数()f x 同时存在极大值和极小值，那么所有这些极值的和1就是与,a n无关的常数.绝密★启用前 试卷类型A哈尔滨市第三中学2020—2021学年度第二学期期末考试 高一数学试卷参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
哈三中2018—2019学年度下学期高一学年第一模块数学考试试卷第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量()3,1a =，则||a =（ ）A. 1 23 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由向量的模长公式求模长即可. 【详解】因为()3,1a =，所以()22||312a =+=.故选D.【点睛】本题考查向量的模长.向量(,)a x y =的模长22||a x y =+2.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2223b c a bc +-=，则A =（ ） A.6π B.5π6C.π3D.2π3【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可求出cos A ，再求A .详解】由余弦定理可得22233cos 2b c bc A bc a +===-， 又()0,πA ∈，所以π6A =. 故选A. 【点睛】本题考查余弦定理.222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，对于余弦定理，一定要记清公式的形式.3.在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得3752a a a +=，则答案易求.【详解】在等差数列{}n a 中，因为37=52+⨯，所以3752a a a +=. 所以511262a =⨯=.故选B. 【点睛】本题考查等差数列性质的应用.在等差数列{}n a 中，若p q s t +=+，则p q s t a a a a +=+.特别地，若2p q s +=，则2p q s a a a +=.4.已知12,e e 是单位向量，若12|4|13e e -=则1e 与2e 的夹角为（ ） A. 30° B. 60︒C. 90︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】先由12|4|13e e -=12e e ，再求1e 与2e 夹角的余弦值，进而可得夹角. 【详解】因为12|4|13e e -=()212413e e -=，则22112281613e e e e -+=.由12,e e 是单位向量，可得12||=||=1e e ，2212==1e e ， 所以121=2e e .所以1212121cos ,=2||||e e e e e e =. 所以12,=60e e ︒.故选B.【点睛】本题考查平面向量的数量积、模、夹角的综合问题.利用22||a a =可以把模长转化为数量积运算.5.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o s c o s 0a A b B -=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式结合正弦定理，可得sin 2sin 2A B =，再结合三角形中角的范围分析角,A B 的关系，进而判断三角形的形状.【详解】由cos cos 0a A b B -=结合正弦定理， 可得sin cos sin cos 0A A B B -=，则sin 2sin 2A B =. 所以22A B =或22πA B +=.所以A B =或π2A B +=. 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D.【点睛】本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化. 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.6.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ，34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+（ ） A. 9 B. 6C. 3D. 1【答案】A 【解析】 【分析】易得2220191817181718217a a a q a q a a a a q ++==++，于是根据已知条件求等比数列的公比即可. 【详解】设公比为q .由132a ，34a ，2a 成等差数列，可得312322a a a +=， 所以2111322a a q a q +=，则2230q q --=，解1q =-(舍去)或3q =. 所以22201918171817181279a a a q a q a a a a q ++===++.故选A. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.7.在等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，23S =，49S =，则6S =（ ） A. 12 B. 18C. 21D. 27【答案】C 【解析】 【分析】24264,,S S S S S --也成等比数列，则6S 易求.【详解】在等比数列中，可得24264,,S S S S S --也成等比数列，所以()()242264S S S S S -=-，则()()269339S -=-，解得621S =.故选C.【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质,也可以由1,a q 进行基本量计算来求解.若等比数列的前n 项和是n S ，则232,,,m m m m m S S S S S --(0m S ≠)也成等比数列.8.在数列{}n a 中，已知14a =，25a =，且满足21(3)n n n a a a n --=≥，则2019a =（ ）A.14B.54C.15 D.45【答案】B 【解析】 【分析】由已知的递推公式计算数列的前几项的值，发现周期规律，然后求2019a . 【详解】由21(3)n n n a a a n --=≥，可得12(3)n n n a a n a --=≥. 又14a =，25a =，所以32341251,44a a a a a a ====， 同理可得567814,,4,555a a a a ====. 于是可得数列{}n a 是周期数列且周期是6. 因为201963363=⨯+，所以2019354a a ==.故选B.【点睛】本题考查数列的表示法，递推公式和周期数列.由递推公式判断周期数列时，若递推公式是由前面两项推出后一项，则需要得到连续两项重复才能判定是周期数列.9.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,AB a AD b ==，E 为BF 的中点，则AE =u u u r（ ）A.4255a b + B.2455a b + C.4233a b + D. 2433a b +【答案】A 【解析】 【分析】把向量AE 分解到,AB AD 方向，求出分解向量的长度即可得答案.【详解】设BE m =，则22AE BF BE m ===，在Rt ABE △中，可得5AB m =.过点E 作EH AB ⊥于点H ,则22555EH m m ==，EH AD ∥，()22254525AH m m m ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以42,55AH AB HE AD ==.所以42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+.故选A.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，用基向量表示目标向量.平面内的任意一个向量都可以用一对基向量(不共线的两个向量)来线性表示.10.在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为*()n S n ∈N ．有下列命题：①若315S S =，则180S =；②若315S S =，则9S 是n S 中的最大项；③若315S S =，则9100a a +=；④若910S S >，则1011S S >．其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】方法一：由前n 项和公式()112n n n S na d -=+代入各命题判断是否正确. 方法二：由等差数列前n 项和的性质判断各命题是否正确. 【详解】方法一：若315S S =，则1132151431522a d a d ⨯⨯+=+，可得12170a d +=， ()1811181718921702S a d a d ⨯=+=+=，①正确； ()()21111128192171717n n n a S na a n a -⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，则9S 是n S 中的最大项，②正确； 910111892170a a a d a d a d +=+++=+=，③正确.若910S S >，则109100S S a -=<，又10a >，故0d <， 所以111011100S S a a d -==+<，即1011S S >，④正确. 故选D.方法二：若315S S =，则4591014150a a a a a a +++++++=，而415514910a a a a a a +=+=+，则9100a a +=，③正确；()()1811891018902S a a a a =+=+=，①正确； 若0d >，由10a >可得n S 单调递增，不合题意，故0d <， 等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数， 由对称性可得当31592n +==时，n S 取得最大值，②正确. 若910S S >，则109100S S a -=<，又10a >，故0d <， 所以111011100S S a a d -==+<，即1011S S >，④正确. 故选D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的有关问题.有关等差数列、等比数列的问题一般都能够使用两种方法求解，一是用首项和公差(公比)进行基本量运算，二是利用有关性质进行解题.11.已知锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2c a a b =+，则2c o s c o s ()AC A -的取值范围是（ ）A. 22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B. 13,22⎛ ⎝⎭C. 2232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由()2c a a b =+结合余弦定理得2cos b a C a -=，再由正弦定理并恒等变形得()sin sin C A A -=，故2C A =，于是2cos =cos cos()AA C A -且可由锐角三角形求得角A 的取值范围，进而可得答案. 【详解】因为()2222cos c a a b a b ab C =+=+-,所以22cos b ab C ab -=，则2cos b a C a -=. 所以sin 2sin cos sin B A C A -=. 所以()sin 2sin cos sin A C A C A +-=. 所以cos sin sin cos sin A C A C A -=.所以()sin sin C A A -=.又ABC △是锐角三角形，π,,0,2A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以C A A -=，即2C A =.所以2cos =cos cos()AA C A -. 由锐角三角形，可得πππ0,02,2222A A A A <<<<+>， 则ππ64A <<，所以23cos 2A ⎛∈ ⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形问题中的运用，需要综合运用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换进行解题.12.已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A. 1 B.12C.13D.16【答案】C 【解析】 【分析】先由n S 与n a 的关系式求{}n a 的通项公式，于是可得{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求出n T ，于是答案易得.【详解】因为20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N , 所以当1n =时，2111122a S a a ==+，解得11a =； 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+.所以()()221112=22n n n n n n n a S S a a a a ----=+-+. 于是()()22110n n n n a a a a ---+=-.由10n n a a -+≠，可得11n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即n a n =.所以1111212111(2)(2)(2)(21)221n n n n n n n n n n n b a a n n n n ++++++===-++++++++.所以121223111112122211221223n n n n T b b n n b +=+++=-+-++++++-+++ 11311213n n +=<++-. 因为对任意的111,321n n n k T n +∈>=-++*N 恒成立， 所以13k ≥，即k 的最小值是13.故选C.【点睛】本题考查数列的综合问题，考查n a 与n S 的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和、与数列有关的不等式恒成立问题，综合性较强.第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.已知向量(2,1),(1,3),(3,2)a b c =-==，若()a b c λ+∥，则λ=_______． 【答案】1- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标条件求解即可.【详解】由(2,1),(1,3),a b =-=可得()2,13a b λλλ+=-++. 又(3,2)c =，()a b c λ+∥，所以()()313=22λλ+-+，解得=1λ-.【点睛】本题考查向量平行的条件.若向量()()1122,,,a x y b x y ==且a b ∥，则1221x y x y =，可记为“交叉相乘相等”.14.已知等比数列{}n a 满足14652,21a a a a ==-，则9a =________．【答案】12【解析】 【分析】由等比数列的下标性质先求5a 再求9a .【详解】由等比数列的性质可得2465a a a =，于是25521a a =-，解得51a =.又2195a a a=，所以259112a a a ==.【点睛】本题考查等比数列的基本性质. 在等比数列{}n a 中，若p q s t +=+，则p q s t a a a a =.特别地，若2p q s +=，则2p q s a a a =.15.已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S ．若*1(,n n n a S S n -=∈N 2)n ≥，则数列11{}n n a a +的前15项和为_______． 【答案】1531【解析】 【分析】 先由1n n n a S S -={}n S 是等差数列，进而求得数列{}n a 的通项公式，再由裂项相消法求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前15项和．【详解】因为*1(,n n n a S S n -=∈N 2)n ≥，所以11111n n n n n n n nn n S S S S a S S ------===+1n n S S -.11a ==，所以是首项为1，公差为1n =.所以*121(,n a n n n n ==+-=-∈N 2)n ≥.又11a =也满足，所以*21()n a n n =-∈N .所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭. 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前15项和为12231516111111111111111512132352293123131a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的综合问题，考查n a 与n S 的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强.已知n a 与n S 的关系式，有两种思路：一是由1n n n S S a --=消掉S 得到关于通项的关系式；二是把n a 代换成1n n S S --得到关于求和的关系式.16.已知,A B 是单位圆O 上的两点，120AOB ∠=︒，点C 是平面内异于,A B 的动点，MN 是圆O 的直径．若0AC BC ⋅=，则CM CN ⋅的取值范围是________．【答案】330,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】 【分析】由MN 是单位圆O 的直径，可得2=1CM CN OC ⋅-，于是需求OC 的取值范围. 由0AC BC ⋅=可得点C 在以AB 为直径的圆上，于是可求出定点O 到圆上的动点的距离OC 的取值范围. 【详解】因为MN 是单位圆O 的直径， 所以()()()()2221CM CN OM OCON OC OM OCOM OC OC OM OC =--=---=-=-.在AOB 中，=1OA OB =，120AOB ∠=︒， 所以30OAB OBA ==︒∠∠，3AB =因为0AC BC ⋅=，所以点C 在以AB 为直径的圆上， 其圆心为AB 的中点H易得12OH =，又点C 异于,A B ， 313122OC ≤≤且1OC ≠. 所以222313111122OC ⎫⎫--≤-≤-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭且210OC -≠，即3CM CN ≤⋅≤0CM CN ⋅≠. 所以CM CN ⋅的取值范围是330022⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，. 【点睛】本题考查平面向量数量积的综合问题，考查数量积的取值范围、圆、动点等问题.通过几何意义求取值范围是一种常见的方法.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在等差数列{}n a 中，已知567,24a S ==． （1）求n a ；（2）若(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前10项和10T ．【答案】（1）23n a n =-；（2）1010T =. 【解析】 【分析】(1)设出公差，由567,24a S ==列方程解出1,a d 即可.(2)(1)nn n b a =-表示{}n b 的项负正相间，可把相邻两项结合起来再求和.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得516147,61524,a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得11,2,a d =-⎧⎨=⎩所以()12123n a n n =-+-=-.(2)因为(1)nn n b a =-，所以123491010T b b b b b b =++++++()()()1234910a a a a a a =-++-+++-+d d d =+++55210d ==⨯=.【点睛】本题考查等差数列的基本问题，数列的求和.对于通项中含有()1n-，即正负相间的数列，可把相邻两项结合起来再求和.18.已知A ,B ,C 是ABC △的三个内角，向量(cos ,sin 2sin ),m B B C =-(2cos cos ,sin )n C B B =+，且m n ⊥．（1）求A ；（2）若3BC =，求+AB AC 的取值范围． 【答案】（1）π3A =；（2）3,3]. 【解析】 【分析】(1)由m n ⊥，得=0m n ，逐步化简可得()1cos =2B C +-，可得答案. (2)由正弦定理、三角形内角和把+AB AC 表示为一个角的函数，再求其取值范围. 【详解】(1)由m n ⊥，得=0m n ，则()()cos 2cos cos sin 2sin sin 0B C B B C B ++-=， 则()()222cos cos sin sin cos sin 0B C B C B B -++=，即()2cos 10B C ++=，故()1cos =2B C +-.又()0,πB C +∈，所以2π=3B C +. 所以π3A =.（2）因为π3A =，BC =， 所以由正弦定理得2sin sin sin AB AC BCC B A===. 所以2π2sin ,2sin 2sin 3AB C AC B C ⎛⎫===-⎪⎝⎭. 所以2π2sin 2sin 3AB AC C C ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭31=2sin 2cos sin 22C C C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭=3sin 3C C31cos 22C C ⎫+⎪⎪⎭π6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.其中2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以π1sin ,162C ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，π233236C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，.所以+AB AC 的取值范围是323，.【点睛】本题考查三角形中综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等.三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，解题时也经常综合在一起应用.19.已知ABC △中，2545,10,cos B AC C =︒==． （1）求边BC 的长；（2）若边AB 的中点为D ，求中线CD 的长．【答案】（1）（2【解析】 【分析】(1)先由,B C 求A ，再由余弦定理求BC .(2)方法一：先在△ABC 中由正弦定理(余弦定理也可)求AB ，再在△BCD (或△ACD )中由余弦定理求CD . 方法二：由()12CD CA CB =+求向量CD 的模长. 【详解】(1)因为25cos 5C =，()0,πC ∈, 所以25sin 1cos C C =-=. 又45B =︒，所以255310sin sin()4545A B C =+=︒+︒=. 由正弦定理得sin sin BC ACA B=， 所以310101032sin 45BC ==︒(2)方法一： 在ABC △中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=， 所以51052sin 45AB ==︒，则112BD AB ==. 在△BCD 中，由余弦定理，得2222cos 181624513CD BC BD BC BD B =+-=+-︒=，所以13CD =方法二：因为边AB 的中点为D ，所以()12CD CA CB =+. 所以()()222211=244CD CA CB CA CB CA CB =+++1=101821345⎛++= ⎝⎭.所以CD =【点睛】本题考查运用正弦定理、余弦定理解三角形.20.已知数列{}n a 满足112(1),2n n na a n a +=+=，设nn a b n=． （1）证明数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见详解；（2）1(1)22n n S n +=-+.【解析】 【分析】(1)由1n n b qb +=(q 为非零常数)且10b ≠可证得{}n b 为等比数列.(2)可得2nn a n =，则可由错位相减法求和.【详解】(1)证明：由12(1),n n na a n +=+可得12+1n n a an n+=. 而nn a b n=，所以12n n b b +=. 又1121a b ==，所以数列{}n b 为等比数列. (2)由(1)得{}n b 为首项是2，公比是2的等比数列，所以1222n nn b -==.由n n a b n=可得2nn n a nb n ==. 所以1231222322n n S n =++++， 则234121222322n n S n +=++++.以上两式相减得()23111121222222222212n n n n n n n S n n n ++++--=++++-=-=---，所以()111222122n n n n S n n +++=-++=-+.【点睛】本题考查等比数列的证明和错位相减法求和.若数列{}n c 满足n n n c a b =，其中{},{}n n a b 分别是等差数列和等比数列，则可由错位相减法求数列{}n c 的前n 项和.21.数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2112,32 2.n n n a S a ++==-+（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明121111118n a a a +++<． 【答案】（1）42n nn a =- ；（2）证明见详解.【解析】 【分析】(1)由已知结合1n n n a S S -=-可得1142n n n a a ++-=，变形得1111442n n n n n a a +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用叠加法可求n a .(2)由42n nn a =-可得11114n na a +<，用放缩法证明不等式. 【详解】(1)由21322n n n S a ++=-+,得11322n n n S a +-=-+， 以上两式相减得211133322n n n n n n n a S S a a ++-+=-=--+，则1142n n n a a ++-=.两边同除以14n +，可得1111442n n n n n a a +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭.22121442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 332321442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …，111442nn n nn a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 以上1n -个式子相加得23111144222nn n a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又12a =，则23111111422222nnn na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以42n nn a =-.(2)证明：因为42n nn a =-，所以()11114244224n n n n n n n a a ++++=-=-+>.所以11114n na a +<. 记12111n nT a a a +++=， 则1222112111111111711,4221842421218T T a a a ===<=+=+=<---， 当3n ≥时，12231111111171114124n n n n T T a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫<+++++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得()13711711114124412824442n n n n T a a <--=--<-， 所以1118n T <. 所以121111118n a a a +++<. 【点睛】本题考查求数列的通项公式，不等式的证明.求数列通项公式时一般需要构造等差数列或等比数列.放缩法是证明数列不等式的一种常用方法，有时需要保留前面的若干项，只把后面的各项放缩.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2111,2n n a S S n n p +=+=++．（1）若=0p ，求234,,a a a ；（2）若数列{}n a 为递增数列，求实数p 的取值范围． 【答案】（1）2341,4,3a a a ===；（2）13,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 分析】(1)令1,2,3n =，求出234,,S S S ，然后可求出234,,a a a .(2)同(1)的方法求出234,,a a a ，由1234a a a a <<<解得p 的取值范围，由212n n S S n n p ++=++可推出112n n a a +--=(3n ≥)，进而可推证数列{}n a 为递增数列.【详解】(1)0p =时，212n n S S n n ++=+，所以2132433,8,15S S S S S S +=+=+=. 又111a S ==，所以2342,6,9S S S ===.所以2213324431,4,3a S S a S S a S S =-==-==-=， 即2341,4,3a a a ===.(2)212n n S S n n p ++=++,所以213S S p +=+，328S S p +=+，4315S S p +=+. 又111a S ==，所以2342,6,9S p S S p =+==+. 所以2341,4,3a p a p a p =+=-=+.若数列{}n a 为递增数列，则1143p p p <+<-<+， 解得1322p <<. 由212n n S S n n p ++=++，①可得()()21121n n S S n n p -+=-+-+(2n ≥),② ①-②，得121n n a a n ++=+(2n ≥)，③ 所以121n n a a n -+=-(3n ≥).④ ③-④，得112n n a a +--=(3n ≥). 于是由23a a <，可得4567,,,a a a a <<由34a a <，可得5678,,,a a a a <<即12345678n a a a a a a a a a <<<<<<<<<，即数列{}n a 为递增数列.综上所述，p 的取值范围为13,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的综合问题，考查n a 与n S 的关系式的应用，递增数列的性质.要使数列{}n a 为递增数列，则一定要保证1n n a a +<(*n N ∈)恒成立，推理过程一定要严谨，不可用特殊性代替一般性.。
