2018_2019学年高一数学12月月考试题实验班

2018-2019学年河南省洛阳市第一中学高一12月月考数学试题一、单选题1．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．D．【答案】B【解析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB＝2，所以OC＝3，则四边形OABC的长度为8．故选：B．【点睛】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．2．一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图，图中正四棱住的底面边长为，高为，棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为，底长的等腰三角形，其面积分别为：，所以三棱锥的表面积为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（）A．平行B．异面C．相交D．平行或异面【答案】D【解析】试题分析：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面．解：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面，故选：D．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．4．已知函数的定义域为(－1,0)，则函数的定义域为()A．(-1,1) B．(-1，-) C．(，1) D．(-1,0)【答案】C【解析】根据原函数的定义域为的范围，解不等式组即可得结果.【详解】原函数的定义域为，，即，解得，函数的定义域为，故选C.【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.5．已知定义域为的函数满足，当时单调递减且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴函数的图象关于直线对称，又当时单调递减，∴当时单调递增。

绝密★启用前山东省济宁实验中学2018-2019学年高一上学期12月月考数学试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合{}{}{}|33,2,0,1,1,0,1,2Z =∈-<<=-=-I x x A B ，则(C )=⋂I A B （ ）A.{}1-B.{}1,2-C.{}2D.{}1,0,1,2-2.设集合{{},lg ,1100A x y B y y x x ====≤≤,则 A B ⋂= ( ) A. []1,100 B. []1,2 C. []0,2 D. [)0,10) ()4(log )3(log 3. 32=⋅ 4 . D 2 C. 21 . B 41 . A 4.已知球的表面积为16π,则它的内接正方体的表面积S 的值是( )A. 4πB. 32C. 24D. 12π5.三个数e12⎛⎫ ⎪⎝⎭，12e ，1ln 2的大小关系为（ ） A.e 1211ln <<e 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. e 1211<ln <e 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. e1211ln <e <22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. e 1211<e <ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6.已知函数[]20,584)(2在--=kx x x f 上是单调函数,,则k 的取值范围值是( ) φ D )[160,,40](- C )[160, B ,40](- +∞∞+∞∞ A7.如图所示,正方形O A B C ''''′的边长为1cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )A. 6cmB. 8cmC. 2+D. 2+8.空间四边形ABCD 的四边相等,则它的两对角线AC 、BD 的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交9.若当R ∈x ，函数||()=x f x a 始终满足0()1<≤f x ，则函数1()log ||=a f x x的图象大致为（ ）10.已知方程23log kx x +=的实根0x 满足()01,2x ∈,则( )A. 3k <-B. 1k >-C. 31k -<<-D. 3k <-或1k >-11.如图所示,平面四边形ABCD 中, 1AB AD CD ===,BD BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD -,使CD AD ⊥,则下列说法中正确的是( )①平面ACD ⊥平面ABD ;②AB CD ⊥;③平面ABC ⊥平面ACD .A.①②B.②③C.①③D.①②③12) (5)1(log 22 ,522 21221=+=-+=+x x x x x x x x，则满足满足若4 D 27 C 3 B 25 A 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.()=+-+=>)0()2(,1)(02f f x x f x R x f 则时，上的奇函数，当是定义在设14. 已知幂函数y =f (x )的图像过点)22,21(,则f (x )= .。

山东省济宁实验中学2018—2019学年度上学期12月月考高一数学试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合{}{}{}|33,2,0,1,1,0,1,2Z =∈-<<=-=-I x x A B ，则（ ）A. B. C. D.2.设集合{{},lg ,1100A x y B y y x x ====≤≤,则( )A. B. C. D.) ()4(log )3(log 3. 32=⋅ 4 . D 2 C. 21. B 41. A4.已知球的表面积为,则它的内接正方体的表面积的值是( )A. B. C. D.5.三个数，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.6.已知函数[]20,584)(2在--=kx x x f 上是单调函数,,则k 的取值范围值是( )φ D )[160,,40](- C )[160, B ,40](- +∞∞+∞∞ A7.如图所示,正方形′的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是()A. B. C. D.8.空间四边形的四边相等,则它的两对角线、的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交9.若当，函数始终满足，则函数的图象大致为（ ）10.已知方程的实根满足,则( )A. B. C. D.或11.如图所示,平面四边形中, , , ,将其沿对角线折成四面体,使,则下列说法中正确的是( )①平面平面;②;③平面平面.A.①②B.②③C.①③D.①②③12) (5)1(log 22 ,522 21221=+=-+=+x x x x x x x x，则满足满足若4 D 27 C 3 B 25 A 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.()=+-+=>)0()2(,1)(02f f x x f x R x f 则时，上的奇函数，当是定义在设14. 已知幂函数y =f (x )的图像过点,则f (x )= .15.如下图所示,在直四棱柱中,当四边形满足条件__________时,有(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).16.设函数那么函数的零点的个数为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分) 化简、计算:（1）120.7510310.027()25636-----+-+; （2） 31log 22723log 164()lg 25lg 439log 4++++.18.（本小题满分12分) 设全集，集合，{}2450=--<B x x x .（1）求,；（2）设集合{}121=+<<-C x m x m ，若，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分12分）如图,在四边形中90,135DAB ADC ∠=︒∠=︒,5,2AB CD AD ===,求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.20.（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥中，为正方形， ，分别是线段的中点.求证：（1）//平面； （2）平面⊥平面.21. （本小题满分12分） 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形,AA 1=4。

2018-2019（含答案）高一（上）12月月考数学试卷 (7) 一．选择题：1. 已知U=R，集合A={x|x2−2x−3≥0}，B={x|−2≤x<2}，则∁U A∩B=()A . (−1, 2)B . [−2, 3)C . [−2, −1]D . [−1, 2]2. 有4个命题：(1)三点确定一个平面．(2)梯形一定是平面图形．(3)平行于同一条直线的两直线平行．(4)垂直于同一直线的两直线互相平行．其中正确命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 33. 函数y=3|log3x|的图象是（）A .B .C .D .4. 已知直线a与直线b垂直，a // 面α，则b与面α的位置关系是（）A . b // αB . b⊂αC . b与α相交D . 以上都有可能5. 如图的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A . 30∘B . 45∘C . 60∘D . 90∘6. 已知m、n为两条不同的直线α、β为两个不同的平面，给出下列四个命题①若m⊂α，n // α，则m // n；②若m⊥α，n // α，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥β，则α // β；④若m // α，n // α，则m // n．其中真命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①④D . ②③7. 若函数f(x)=，则函数f(x)的定义域为（）log(2x−1), +∞)A . (12, 1)B . (12, 1]C . (12, 0)D . (−128. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=log2x，则f(−2)的值等于（）A . 1B . −1C . 2D . −2<0， 9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0, +∞)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1则（）A . f(3)<f(2)<f(4)B . f(1)<f(2)<f(3)C . f(2)<f(1)<f(3)D . f(3)<f(1)<f(0)10. 一长方体的长，宽，高分别为32cm，42cm，52cm，则该长方体的外接球的体积是（）cm3A . 100π3cm3B . 208π3cm3C . 500π3D . 4163πcm33−log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）11. 已知函数f(x)=6xA . (0, 1)B . (1, 2)C . (2, 4)D . (4, +∞)(m>0)，l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交 12. 已知两条直线l1:y=m和l2:y=9m于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于C，D．记线段AC和BD在x轴上的投的最小值为（）影长度分别为a，b，当m变化时，baA . 32B . 164C . 64D . 164二．填空题：13. 函数y=(1)x2−x−14的值域是________．214. 一个圆锥的底面半径是4，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为________．15. 函数f(x)=x2−4,x≤0−x2+2x+ln x,x>0的零点个数是________．16. PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是________．三．解答题17. （1）log5125+lg11000+ln e3+2−log23(2)(8116)0.5+(−4)−1÷0.75−2−(21027)−2．18. 如图为一个几何体的三视图(1)画出该几何体的直观．(2)求该几何体的体积．(3)求该几何体的表面积．19. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中．(1)如图(1)求CD1与平面A1B1CD所成的角(2)如图(2)求证：A 1C // 平面AED 1．20. f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )=−x 2+1；当x >1时，f (x )=log 2x ．(1)当x ∈(−∞, −1)时，求满足方程f (x )+log 4(−x )=6的x 的值．(2)求y =f (x )在[0, t ](t >0)上的值域．21. 已知定义域为R 的函数f (x )=a−2xb +2x 是奇函数(1)求a ，b 的值．(2)判断f (x )的单调性，并用定义证明(3)若存在t ∈R ，使f (k +t 2)+f (4t −2t 2)<0成立，求k 的取值范围．22. 已知函数f (x )=(2x −a )2+(2−x +a )2，x ∈[−1, 1]．(1)求f (x )的最小值；(2)关于x 的方程f (x )=2a 2有解，求实数a 的取值范围．答案1. 【答案】A【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A ={x |x 2−2x −3≥0}={x |x ≥3或x ≤−1}，∴∁U A ={x |−1<x <3}，则∁U A ∩B ={x |−1<x <2}=(−1, 2)，故选：A2. 【答案】C【解析】由公理三及其推论能判断(1)、(2)的正误，由平行公理能判断(3)的正误，垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，由此能判断(4)的正误．【解答】解：(1)不共线的三点确定一个平面，故(1)错误；(2)∵梯形中有一组对边互相平行，∴梯形一定是平面图形，故(2)正确；(3)由平行公理得平行于同一条直线的两直线平行，故(3)正确；(4)垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故(4)错误．故选：C ．3. 【答案】A【解析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解：y =3|log 3x |= 3log 3x x >13−log 3x 0<x <1，即y = xx >11x0<x <1 由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y =x 的一部分， 考察四个选项，只有A 选项符合题意，故选A ．4. 【答案】D【解析】以正方体为载体，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥A 1B 1，A 1D 1 // 平面ABCD ，A 1B 1 // 平面ABCD ；A 1D 1⊥AB ，A 1D 1 // 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ；A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1 // 平面ABCD ，AA 1与平面ABCD 相交．∴直线a 与直线b 垂直，a // 面α，则b 与面α的位置关系是b // α或b ⊂α或b 与α相交． 故选：D ．5. 【答案】C【解析】连接A 1D ，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA 1D 即为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角，连接BD 后，解三角形BA 1D 即可得到异面直线A 1B 与B 1C 所成的角．【解答】解：连接A 1D ，由正方体的几何特征可得：A 1D // B 1C ，则∠BA 1D 即为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角，连接BD ，易得：BD =A 1D =A 1B故∠BA 1D =60∘故选C6. 【答案】D【解析】m ⊂α，n // α，则m // n 或m 与n 是异面直线；若m ⊥α，则m 垂直于α中所有的直线，n // α，则n 平行于α中的一条直线l ，故m ⊥l ，m ⊥n ；若m ⊥α，m ⊥β，则α // β；m // α，n // α，则m // n ，或m ，n 相交，或m ，n 异面．【解答】解：m ⊂α，n // α，则m // n 或m 与n 是异面直线，故①不正确；若m ⊥α，则m 垂直于α中所有的直线，n // α，则n 平行于α中的一条直线l ，∴m ⊥l ，故m ⊥n ．故②正确；若m ⊥α，m ⊥β，则α // β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；m // α，n // α，则m // n ，或m ，n 相交，或m ，n 异面．故④不正确，综上可知②③正确，故答案为：②③．7. 【答案】B【解析】要使函数f (x )=log0.2(2x−1)有意义，则有 2x −1>0,log 0.2(2x −1)>0,解不等式组即可得到答案．【解答】解：要使函数f (x )=log (2x−1)有意义，则2x−1>0,log0.2(2x−1)>0,解得12<x<1．∴函数f(x)的定义域为(12, 1)．故选B．8. 【答案】B【解析】先根据f(x)是定义在R上的奇函数，把自变量转化到所给的区间内，即可求出函数值．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−2)=−f(2)，又∵当x>0时，f(x)=log2x，∴f(2)=log22=1，∴f(−2)=−1．故答案是B．9. 【答案】D【解析】根据函数单调性的等价条件，即可到底结论．【解答】解：若对任意的x1，x2∈[0, +∞)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则函数f(x)满足在[0, +∞)上单调递减，则f(3)<f(1)<f(0)，故选：D．10. 【答案】C【解析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，外接球的体积可求．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径．长方体的对角线长为：18+32+50=10，外接球的半径为：5外接球的体积V=4π3×53=500π3cm3．故选：C．11. 【答案】C【解析】可得f(2)=2>0，f(4)=−12<0，由零点的判定定理可得．【解答】∵f(x)=6x−log2x，∴f(2)=2>0，f(4)=−12<0，满足f(2)f(4)<0，∴f(x)在区间(2, 4)内必有零点，12. 【答案】C【解析】由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，x C，x D的值，a=|x A−x C|，b=|x B−x D|，下面利用基本不等式可求最小值【解答】解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，则−log2x A=m，log2x B=m；−log2x C=9m ，log2x D=9m；∴x A=2−m，x B=2m，xC=2−9m，x D=29m．∴a=|x A−x C|，b=|x B−x D|，∴b a =2m−29m2−m−2−9m=2m⋅=29m=2m+9m又m>0，∴m+9m ≥2 m⋅9m=6，当且仅当m=3时取“=”号，∴ba≥26=64，∴ba的最小值为64．故选：C．13. 【答案】(0, 2]【解析】根据复合函数单调性之间的性质进行求解即可．【解答】解：x2−x−14=(x−12)2−12≥−12，∴y=(12)x2−x−14≤(12)−12=212=2，∵y=(12)x2−x−14>0，∴0<y≤2，即函数的值域为(0, ．故答案为：(0, 2]．14. 【答案】162【解析】根据已知，求出圆锥的母线长，进而根据小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，可得答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r=4，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个四分之一圆面，∴2πr=12πl，∴l=4r=16，又∵小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，如下图所示：故最小距离为：16，故答案为：162．15. 【答案】3【解析】分段讨论，当x≤0时，解得x=−2，即f(x)在(−∞, 0]上有1个零点，当x>0时，在同一坐标系中，作出y=ln x与y=x2−2x，根据图象，易知有2个交点，即可求出零点的个数．【解答】解：当x≤0时，f(x)=x2−4=0，解得x=−2，即f(x)在(−∞, 0]上有1个零点，当x>0时，f(x)=−x2+2x+ln x=0，即ln x=x2−2x，分别画出y=ln x与y=x2−2x(x>0)的图象，如图所示：由图象可知道函数y=ln x，与函y=x2−2x有2个交点，函数f(x)=−x2+2x+ln x(x>0)的零点有2个，综上所述，f(x)的零点有3个，故答案为：3．16. 【答案】①②③【解析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF // AE，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A∴BC⊥面PAC，又∵AF⊂面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C∴AF⊥面PCB，而BC⊂面PCB，∴AF⊥BC，故③正确；而PB⊂面PCB，∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥面AEF，而EF⊂面AEF，AF⊂面AEF∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正确，∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC∴AF // AE，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．17. 【答案】（本题满分10分）解：(1)原式=3−3+13+13=23．; (2)原式=94−14×916−916=94−916×54=11×964=9964．【解析】(1)直接利用对数运算法则化简求解即可．; (2)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】（本题满分10分）解：(1)原式=3−3+13+13=23．; (2)原式=94−14×916−916=94−916×54=11×964=9964．18. 【答案】（本题满分12分）解：(1)由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎A−BCD，如右图，其中AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BD=CD=4，AB=3．; (2)由(1)知S△BCD=12×42=8，∴该几何体的体积V=13×S△BCD×AB=13×8×3=8．; (3)该几何体的表面积：S=S△ABC+S△ABD+S△ACD=1×3×42+1×3×4+1×4×4+1×4×5=62+24．【解析】(1)由几何体的三视图能作出几何体的直观图为一个三棱椎．; (2)先求出S△BCD，由此能求出该几何体的体积．; (3)该几何体的表面积S=S△ABC+S△ABD+S△ACD，由此能求出结果．【解答】（本题满分12分）解：(1)由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎A−BCD，如右图，其中AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BD=CD=4，AB=3．; (2)由(1)知S△BCD=12×42=8，∴该几何体的体积V=13×S△BCD×AB=13×8×3=8．; (3)该几何体的表面积：S=S△ABC+S△ABD+S△ACD=1×3×42+1×3×4+1×4×4+1×4×5=62+24．19. 【答案】（本题满分12分）．解：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1，连接D1A交A1D于点O，连接OC，如图①，则AD1⊥A1D又∵A1B1⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1又∵A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，∴∠D1CO是CD1与平面所成的角，D1C，∴∠D1OC=30∘，在Rt△D1OC中，OD1=12∴CD1与平面A1B1CD所成的角为30∘．证明：; (2)连接A1D交AD1于点O，连结OE，如图②则OD=OA1，又DE=CE，∴OE // A1C∵A1C平面AED1，OE⊂平面AED1，∴A1C // 平面AED1．【解析】(1)连接D1A交A1D于点O，连接OC，则AD1⊥A1D，A1B1⊥AD1，从而AD1⊥平面A1B1CD，∠D1CO是CD1与平面所成的角，由此能求出CD1与平面A1B1CD所成的角．; (2)连接A1D交AD1于点O，连结OE，则OE // A1C，由此能证明A1C // 平面AED1．【解答】（本题满分12分）．解：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1，连接D1A交A1D于点O，连接OC，如图①，则AD1⊥A1D又∵A1B1⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1又∵A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，∴∠D1CO是CD1与平面所成的角，D1C，∴∠D1OC=30∘，在Rt△D1OC中，OD1=12∴CD1与平面A1B1CD所成的角为30∘．证明：; (2)连接A1D交AD1于点O，连结OE，如图②则OD=OA1，又DE=CE，∴OE // A1C∵A1C平面AED1，OE⊂平面AED1，∴A1C // 平面AED1．20. 【答案】解：(1)当x∈(−∞, −1)时，则−x∈(1, +∞)，此时f(−x)=log2(−x)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(−x)=log2(−x)=f(x)，即f(x)=log2(−x)，x∈(−∞, −1)当x∈(−∞, −1)时，由f(x)+log4(−x)=6得log2(−x)+log4(−x)=6，log2(−x)=6，即log2(−x)+12log2(−x)=6，即32则log2(−x)=4，即−x=24=16，解得x=−16．即方程的根x=−16．; (2)∵0≤x≤1时，f(x)=−x2+1≤1，∴当x>1时，由f(x)=log2x=1得x=2，若0<t≤1，则函数y=f(x)在[0, t](t>0)上单调递减，则函数的值域为[1−t2, 1]．若1≤t≤2，此时函数在[0, t]上的最大值为1，最小值为0，则函数的值域为[0, 1]．若t>2，则此时f(2)>1，此时函数在在[0, t]上的最大值为f(t)=log2t，最小值为0，函数的值域为[0, log2t]．【解析】(1)当x∈(−∞, −1)时，利用函数奇偶性的对称性求出函数f(x)的表达式，解对数方程即可求满足方程f(x)+log4(−x)=6的x的值．; (2)讨论t的取值范围，结合对数函数和一元二次函数的性质即可求y=f(x)在[0, t](t>0)上的值域．【解答】解：(1)当x ∈(−∞, −1)时， 则−x ∈(1, +∞)，此时f (−x )=log 2(−x )，∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (−x )=log 2(−x )=f (x )，即f (x )=log 2(−x )，x ∈(−∞, −1) 当x ∈(−∞, −1)时，由f (x )+log 4(−x )=6得log 2(−x )+log 4(−x )=6， 即log 2(−x )+12log 2(−x )=6， 即32log 2(−x )=6，则log 2(−x )=4，即−x =24=16，解得x =−16．即方程的根x =−16．; (2)∵0≤x ≤1时，f (x )=−x 2+1≤1， ∴当x >1时，由f (x )=log 2x =1得x =2， 若0<t ≤1，则函数y =f (x )在[0, t ](t >0)上单调递减， 则函数的值域为[1−t 2, 1]．若1≤t ≤2，此时函数在[0, t ]上的最大值为1，最小值为0， 则函数的值域为[0, 1]． 若t >2，则此时f (2)>1，此时函数在在[0, t ]上的最大值为f (t )=log 2t ，最小值为0， 函数的值域为[0, log 2t ]．21. 【答案】解：(1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)=0 即a−1b +1=0∴a =1 f (−1)=−f (1)∴a−12b +12=−a−2b +2即12b +12=1b +2∴2b +1=b +2∴b =1经验证符合题意．∴a =1，b =1; （2）f (x )=1−2x 1+2x=−(2x +1)+21+2x=−1+21+2xf (x )在R 上是减函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2f (x 1)−f (x 2)=1−2x 11+2x 1−1−2x 21+2x 2=2(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)， ∵x 1<x 2∴2x 1<2x 2∴f (x 1)−f (x 2)>0即f (x 1)>f (x 2)∴f (x )在R 上是减函数．; (3)∵f (k +t 2)+f (4t −2t 2)<0，f (x )是奇函数． ∴f (k +t 2)<f (2t 2−4t )又∵f (x )是减函数，∴k +t 2>2t 2−4t∴k >t 2−4t 设g (t )=t 2−4t ，∴问题转化为k >g (t )min g (t )min =g (2)=−4， ∴k >−4【解析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．; (2)利用函数单调性的定义进行证明即可．; (3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可． 【解答】解：(1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)=0 即a−1b +1=0∴a =1 f (−1)=−f (1)∴a−12b +12=−a−2b +2即12b +12=1b +2∴2b +1=b +2∴b =1经验证符合题意．∴a =1，b =1; （2）f (x )=1−2x 1+2x=−(2x +1)+21+2x=−1+21+2xf (x )在R 上是减函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2f (x 1)−f (x 2)=1−2x 11+2x 1−1−2x 21+2x 2=2(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)，∵x 1<x 2∴2x 1<2x 2∴f (x 1)−f (x 2)>0即f (x 1)>f (x 2)∴f (x )在R 上是减函数．; (3)∵f (k +t 2)+f (4t −2t 2)<0，f (x )是奇函数． ∴f (k +t 2)<f (2t 2−4t )又∵f (x )是减函数，∴k +t 2>2t 2−4t∴k >t 2−4t 设g (t )=t 2−4t ，∴问题转化为k >g (t )min g (t )min =g (2)=−4， ∴k >−422. 【答案】解：（1）f (x )=(2x −a )2+(2−x +a )2=22x +2−2x −2a (2x −2−x )+2a 2=(2x −2−x )2−2a (2x −2−x )+2a 2+2令t =2x −2−x ，则当x ∈[−1, 1]时，t 关于x 的函数是单调递增 ∴t ∈[−32,32]，此时f (x )=t 2−2at +2a 2+2=(t −a )2+a 2+2 当a <−32时，f (x )min =f (−32)=2a 2+3a +174当−32≤a ≤32时，f (x )min =a 2+2 当a >32时，f (x )min =f (32)=2a 2−3a +174．; (2)方程f (x )=2a 2有解，即方程t 2−2at +2=0在[−32,32]上有解，而t ≠0∴2a=t+2t ，可证明t+2t在(0,2)上单调递减，(32)上单调递增t+2t≥22t+2t为奇函数，∴当t∈(−32,0)时t+2t≤−22∴a的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)．【解析】(1)先把函数f(x)化简为f(x)=(2x−2−x)2−2a(2x−2−x)+2a2+2的形式，令t=2x−2−x，则f(x)可看作关于t的二次函数，并根据x的范围求出t的范围，再利用二次函数求最值的方法求出f(x)的最小值．; (2)关于x的方程f(x)=2a2有解，即方程t2−2at+2=0在[−32,32]上有解，而t≠0把t与a分离，得到2a=t+2t，则只需求出t+2t的范围，即可求出a的范围，再借助t+2t型的函数的单调性求范围即可．【解答】解：（1）f(x)=(2x−a)2+(2−x+a)2=22x+2−2x−2a(2x−2−x)+2a2= (2x−2−x)2−2a(2x−2−x)+2a2+2令t=2x−2−x，则当x∈[−1, 1]时，t关于x的函数是单调递增∴t∈[−32,32]，此时f(x)=t2−2at+2a2+2=(t−a)2+a2+2当a<−32时，f(x)min=f(−32)=2a2+3a+174当−32≤a≤32时，f(x)min=a2+2当a>32时，f(x)min=f(32)=2a2−3a+174．; (2)方程f(x)=2a2有解，即方程t2−2at+2=0在[−32,32]上有解，而t≠0∴2a=t+2t ，可证明t+2t在(0,上单调递减，(2,32)上单调递增t+2t≥22t+2t为奇函数，∴当t∈(−32,0)时t+2t≤−22∴a的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)．。

2018-2019学年江苏省扬州中学高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，计50分．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|﹣3＜2x＜6}，则A∩B＝（）A．B．（﹣2，2）C．D．（﹣2，3）2．（5分）化简的值得（）A．8B．10C．﹣8D．﹣103．（5分）若α为第二象限角，且，则tanα＝（）A．B．C．D．4．（5分）函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数m满足f（log3m）+≤2f（1），则m的取值范围是（）A．（0，3]B．[，3]C．[，3）D．[，+∞）8．（5分）设角α的终边上一点P的坐标是（﹣sin4，﹣cos4），则α的可能值为（）A．4﹣B．4+C．﹣4+D．﹣4﹣9．（5分）已知函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象，当时，方程g （x）﹣k＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．B．C．[1，2]D．[1，2）10．（5分）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在开区间上有唯一的波峰（即函数图象上的最高点），则实数ω的取值范围是（）A．（1，3）∪（5，9]B．（1，3）∪[9，12]C．（3，12]D．（1，3）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，计30分．11．（5分）化简：＝．12．（5分）若tanα＝2，则＝．13．（5分）若函数y＝log a（x﹣1）+4的图象恒过定点P，且点P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝．14．（5分）下列四式中能化简为的是．①（）+②（）+（）③（）﹣④（）+ 15．（5分）将y＝sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤对任意x∈R 恒成立，且＞f（π），则f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间是．三、解答题：本大题共6小题，计70分．17．（10分）已知，且α是第三象限角．（1）求cosα的值；（2）求的值．18．（10分）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，（1）求集合A、B，并求A∩B；（2）若集合C＝{y|2a≤y≤a+1}，且C⊆B，求实数a的取值范围．19．（10分）已知定义在R上的函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）试确定f（x）的解析式；（2）求f（x）在上的函数值的取值范围．20．（10分）如图，一个半径为4米的水轮逆时针转动，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P与水面的有向距离h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；【注：当P在水面上方时，有向距离为正；当P在水面下方时，有向距离为负】（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？21．（15分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（4m﹣5）+f（m2﹣2m+2）＞0的解集；（3）若关于x的方程f（2t﹣sin x）+f（﹣2t cos2x﹣3）＝0有解，求实数t的取值范围．22．（15分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（b≥0）在x∈[1，2]时有最大值为1和最小值为0．设．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式在x∈[2，4]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围．2018-2019学年江苏省扬州中学高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，计50分．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|﹣3＜2x＜6}，则A∩B＝（）A．B．（﹣2，2）C．D．（﹣2，3）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵，∴．故选：A．【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）化简的值得（）A．8B．10C．﹣8D．﹣10【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式＝+＝9﹣1＝8．故选：A．【点评】本题考查了对数的运算性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）若α为第二象限角，且，则tanα＝（）A．B．C．D．【分析】由已知求得cosα，再由同角三角函数基本关系式求解．【解答】解：由，得cosα＝，∵α为第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．4．（5分）函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数y＝sin（x+），令x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z，可得函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程是x＝，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据x＞0时的f（x）解析式，即可求出，再根据f（x）是奇函数，即可求出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，；∴．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，对数的运算．6．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．【分析】作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解．【解答】解：如图，∵，，∴＝＝，故选：A．【点评】此题考查了向量的加法法则，属容易题．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数m满足f（log3m）+≤2f（1），则m的取值范围是（）A．（0，3]B．[，3]C．[，3）D．[，+∞）【分析】根据对数的运算性质结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log3m）+≤2f（1），等价为f（log3m）+f（﹣log3m）+≤2f（1），即2f（log3m）≤2f（1），则f（|log3m|）≤f（1），∵在[0，+∞）上单调递增，∴|log3m|≤1，即﹣1≤log3m≤1，≤m≤3．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．8．（5分）设角α的终边上一点P的坐标是（﹣sin4，﹣cos4），则α的可能值为（）A．4﹣B．4+C．﹣4+D．﹣4﹣【分析】由已知求得α为第一象限角，再由任意角的三角函数的定义及三角函数的诱导公式得答案．【解答】解：∵π＜4＜，∴﹣sin4＞0，﹣cos4＞0，∴角α的终边在第一象限，则tanα＝＝cot4＝tan（﹣4﹣）．∴α的可能值为﹣4﹣．故选：D．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．9．（5分）已知函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象，当时，方程g （x）﹣k＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．B．C．[1，2]D．[1，2）【分析】首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出g（x）的关系式，进一步利用正弦型函数的定义域求出函数的值域，最后求出参数k的取值范围．【解答】解：函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到f（x）＝2sin（）＝2sin（x﹣），再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，当，，故，所以﹣1≤g（x）≤2，当时，方程g（x）﹣k＝0有两个不同的实根，即在1≤g（x）＜2，即1≤k＜2时，有两个实根．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的定义域和值域的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在开区间上有唯一的波峰（即函数图象上的最高点），则实数ω的取值范围是（）A．（1，3）∪（5，9]B．（1，3）∪[9，12]C．（3，12]D．（1，3）【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质可得0＜ω•＜，且≥ω•＞；或者≤ω•＜，且≥ω•＞，由此求得实数ω的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在开区间上有唯一的波峰（即函数图象上的最高点），故0＜ω•＜，且≥ω•＞，求得1＜ω＜3．或者≤ω•＜，且≥ω•＞，求得5＜ω≤9．综合可得，1＜ω＜3 或5＜ω≤9，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，计30分．11．（5分）化简：＝．【分析】进行向量的数乘运算即可．【解答】解：原式＝．故答案为：．【点评】考查向量的数乘运算．12．（5分）若tanα＝2，则＝﹣6．【分析】由已知直接化弦为切求解．【解答】解：∵tanα＝2，∴＝．故答案为：﹣6．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13．（5分）若函数y＝log a（x﹣1）+4的图象恒过定点P，且点P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝9．【分析】令对数的真数等于1，求得x，y的值，可得它的图象恒过定点P的坐标．再用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，可得f（3）的值．【解答】解：对于函数y＝log a（x﹣1）+4，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝4，可得它的图象恒过定点P（2，4），∵点P在幂函数f（x）的图象上，设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，即f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，幂函数的定义，属于基础题．14．（5分）下列四式中能化简为的是①②④．①（）+②（）+（）③（）﹣④（）+【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：根据平面向量的线性运算，①（）+＝．②（）+（）．③（）﹣≠错误．④（）+＝．故答案为：①②④【点评】本题考查的知识要点：平面向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．（5分）将y＝sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．【分析】利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．【解答】解：因为y＝sin2×＝sin＝，所以函数y＝sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤对任意x∈R 恒成立，且＞f（π），则f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间是和．【分析】由f（x）≤对x∈R恒成立，可知f（）为函数的最大值或最小值，结合＞f（π），求出具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，求出单调增区间即可．【解答】解：f（x）≤对x∈R恒成立，则f（）为函数的最大值或最小值，∴，∴，又＞f（π），∴sinφ＜0，令k＝﹣1，此时，满足条件，由（k∈Z），得x∈（k∈Z），∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为和．故答案为：和．【点评】本题考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象与性质和函数恒成立问题，其中根据已知条件求出φ的值是解答本题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，计70分．17．（10分）已知，且α是第三象限角．（1）求cosα的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）直接利用诱导公式的应用和同角三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知，且α是第三象限角．所以，所以＝﹣．（2）＝tanα•（﹣cosα）﹣cosα＝﹣sinα﹣cosα＝．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．（10分）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，（1）求集合A、B，并求A∩B；（2）若集合C＝{y|2a≤y≤a+1}，且C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）容易求出A＝[2，+∞），B＝[1，2]，然后进行交集的运算即可；（2）根据C⊆B可讨论C是否为空集：C＝∅时，2a＞a+1；C≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A＝[2，+∞），B＝[1，2]，∴A∩B＝{2}；（2）∵C＝{y|2a≤y≤a+1}，且C⊆B，∴①C＝∅时，2a＞a+1，∴a＞1；②C≠∅时，，解得，综上得，实数a的取值范围为．【点评】考查函数定义域值域的定义及求法，描述法的定义，指数函数和对数函数的单调性，以及交集的运算，子集的定义．19．（10分）已知定义在R上的函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）试确定f（x）的解析式；（2）求f（x）在上的函数值的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在上的函数值的取值范围．【解答】解：（1）根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象，可得A＝2，•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图可得π•+φ＝，∴φ＝，∴函数f（x）＝2sin（πx+）．（2）在上，πx+∈[﹣，]，sin（πx+）∈[﹣，1]，2sin （πx+）∈[﹣，2]，即f（x）＝2sin（πx+）在上的值域为[﹣，2]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．20．（10分）如图，一个半径为4米的水轮逆时针转动，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P与水面的有向距离h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；【注：当P在水面上方时，有向距离为正；当P在水面下方时，有向距离为负】（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x＝0时，h＝0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即h＝f（t）＝4sin（）+2＝6，得sin（）＝1，再由相位为求解t值．【解答】解：（1）依题意可知h的最大值为6，最小为﹣2，∴A+B＝6，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4，B＝2．由，解得ω＝．∴h＝f（t）＝4sin（+φ）+2，当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ＝﹣，则φ＝﹣，故所求的函数关系式为h＝f（t）＝4sin（）+2；（2）由h＝f（t）＝4sin（）+2＝6，得sin（）＝1，则，解得t＝4（s）．【点评】本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．21．（15分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（4m﹣5）+f（m2﹣2m+2）＞0的解集；（3）若关于x的方程f（2t﹣sin x）+f（﹣2t cos2x﹣3）＝0有解，求实数t的取值范围．【分析】（1）由f（0）＝0，即可求得a，注意需要检验；（2）可知函数f（x）为增函数，进而原不等式转化为4m﹣5＞﹣m2+2m﹣2，由此得解；（3）问题转化为2t sin2x﹣sin x﹣3＝0有解，通过换元即可得解．【解答】解：（1）∵是定义在R上的奇函数．∴f（0）＝0，则f（0）＝a﹣＝a﹣1＝0，得a＝1，经检验，当a＝1时满足题意，故a＝1；（2）由（1）知，，由复合函数的单调性可知，函数f（x）为R上的增函数，不等式f（4m﹣5）+f（m2﹣2m+2）＞0等价为f（4m﹣5）＞﹣f（m2﹣2m+2）＝f（﹣m2+2m ﹣2），∴4m﹣5＞﹣m2+2m﹣2，即m2+2m﹣3＞0，解得m＜﹣3或m＞1，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；（3）由（1）（2）可得函数f（x）为R上的增函数和奇函数，∴由f（2t﹣sin x）+f（﹣2t cos2x﹣3）＝0得2t﹣sin x＝2t cos2x+3，即2t sin2x﹣sin x﹣3＝0有解，设m＝sin x∈[﹣1，1]，则2tm2﹣m﹣3＝0在[﹣1，1]上有解，∵m＝0不成立，∴，令，则2t＝3n2+n，∵y＝3n2+n在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的值域为[2，+∞），∴2t≥2，即t≥1．∴实数t的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，考查二次函数的图象及性质，不等式的求解，三角函数的有界性，考查转化思想，换元思想以及逻辑推理能力，属于中档题．22．（15分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（b≥0）在x∈[1，2]时有最大值为1和最小值为0．设．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式在x∈[2，4]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数g（x）的对称轴，结合函数最大值和最小值建立方程组即可求出a，b的值；（2）利用换元法以及参数分离法进行转化，结合函数最值进行求解；（3）将方程等价转化，利用换元法转化为一元二次方程，结合一元二次方程根的分布进行求解即可．【解答】解：（1）当a＞0时，对称轴为x＝1，g（x）max＝g（2）＝1+b，g（x）min＝g （1）＝﹣a+1+b，∴，解得；当a＜0时，对称轴为x＝1，g（x）min＝g（2）＝1+b＝0，解得b＝﹣1，不合题意，舍去；当a＝0时，g（x）为常函数，不合题意，舍去；综上，a＝1，b＝0；（2）由（1）知，，令t＝log2x∈[log22，log24]＝[1，2]，∴f（t）﹣2kt2≤0对t∈[1，2]恒成立，∴对t∈[1，2]恒成立，即t2﹣2t+1﹣2kt3≤0对t∈[1，2]恒成立，∴对t∈[1，2]恒成立，设，则2k≥μ3﹣2μ2+μ对恒成立，设，则h′（μ）＝3μ2﹣4μ+1＝（μ﹣1）（3μ﹣1），易知，当时，h′（μ）≤0恒成立，即函数h（μ）在区间上单调递减，∴，∴，解得，故实数k的取值范围为；（3）方程可化为|2x﹣1|2﹣（3+3m）|2x﹣1|+（1+2m）＝0，|2x﹣1|≠0，令t＝|2x﹣1|，则方程化为t2﹣（3+3m）t+（1+2m）＝0（t≠0），∵方程有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象可知，t2﹣（3+3m）t+（1+2m）＝0（t≠0）有两个根t1，t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1＝t2，记h（t）＝t2﹣（3+3m）t+（1+2m），则，即，此时；或，此时无解；综上，实数m的取值范围为．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，以及二次函数根的分布，考查函数恒成立问题，考查数形结合与等价转化，函数与方程思想的综合运用，综合性强，运算量较大，有一定的难度．。

2018-2019（含答案）高一（上）12月月考数学试卷 (8) 一．选择题（本题共12题，每个题目只有一个正确选项，每题4分，共48分）．1. 下列说法不正确的是（）A . 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B . 同一平面的两条垂线一定共面C . 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D . 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直2. 点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成90∘，则四边形EFGH是（）A . 菱形B . 梯形C . 正方形D . 空间四边形3. 有下列四个命题：(1)过三点确定一个平面(2)矩形是平面图形(3)三条直线两两相交则确定一个平面(4)两个相交平面把空间分成四个区域，其中错误命题的序号是（）A . (1)和(2)B . (1)和(3)C . (2)和(4)D . (2)和(3)4. 下列命题正确的是（）A . 空间中两直线所成角的取值范围是：0∘<θ≤90∘B . 直线与平面所成角的取值范围是：0∘≤θ≤90∘C . 直线倾斜角的取值范围是：0∘<θ≤180∘D . 两异面直线所成的角的取值范围是：0∘<θ<90∘5. 若直线x=1的倾斜角为α，则α等于（）A . 0∘B . 45∘C . 90∘D . 不存在6. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 2B . 1C . 23D . 137. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A . π3B . π4C . π2D . π8. 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A . 平行B . 相交且垂直C . 异面D . 相交成60∘9. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n // α，则m⊥n②若α // β，β // γ，m⊥α，则m⊥γ③若m // α，n // α，则m // n④若α⊥γ，β⊥γ，则α // β其中正确命题的序号是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和④10. 在长方体ABCD−A′B′C′D′中，BB′=3，B′C′=1，则AA′与BC′所成的角是（）A . 90∘B . 45∘C . 60∘D . 30∘11. 图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A . (1)(2)B . (1)(3)C . (1)(4)D . (1)(5)12. 已知直角三角形ABC，其三边分为a、b、c(a>b>c)．分别以三角形的a边，b边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3．则它们的关系为（）A . S1>S2>S3，V1>V2>V3B . S1>S2>S3，V1=V2=V3C . S1<S2<S3，V1<V2<V3D . S1<S2<S3，V1=V2=V3二．填空题（本题共4道题，每题4分，共16分）．13. 一个三角形在其直观图中对应一个边长为2的正三角形，原三角形的面积为________．14. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．15. 在正三棱锥P−ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为________．16. 若a∈N，又三点A(a, 0)，B(0, a+4)，C(1, 3)共线，则a=________．三．解答题（本题共6道小题，共56分）．17. 分别用文字语言、图形语言和符号语言书写面面平行的判定定理．18. (1)当且仅当m为何值时，经过两点A(−m, 6)和B(1, 3m)的直线的斜率为12？(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m, 2)和B(−m, 23m−1)的直线的倾斜角为60？19. 如图所示，已知PD垂直以AB为直径的圆O所在平面，点D在线段AB上，点C为圆O上一点，且BD=3PD=3，AC=2AD=2．(1)求证：PA⊥CD；(2)求点B到平面PAC的距离．20. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90∘，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1，点M是棱PD的中点(1)求证：CM // 平面PAB；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．21. 如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA // 平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE．22. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求异面直线AC与BD1所成的角的大小；(2)求直线AE与平面ABB1A1所成的角的大小．答案1. 【答案】D【解析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 符合题意．故选D．2. 【答案】C【解析】先根据三角形的中位线定理整出两队对边平行且相等，是一个平行四边形，再证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=90∘，得到四边形是一个正方形．【解答】解：因为EH是△ABD的中位线，所以EH // BD，且EH=12BD同理FG // BD，EF // AC，且FG=12BD，EF=12AC．所以EH // FG，且EH=FG∵AC=BD，所以四边形EFGH为菱形．∵AC与BD成900∴菱形是一个正方形，故选C．3. 【答案】B【解析】由题意，前三个命题公理2，研究的是确定一个平面的条件，由公理及它的推论作出判断，(4)的判断可根据实际情况作出判断【解答】解：由于过不共面的三点才能确定一个平面，故(1)不对；矩形的两对边平行可以确定一个平面，故矩形是平面图形，正(2)确；由于三条直线两两相交包括三线过一点，故三条直线两两相交则确定一个平面不正确，(3)不对；两个相交平面把空间分为四个区域是正确的命题，故(4)正确综上，错误命题的序号是(1)(3)故选B4. 【答案】B【解析】利用直线与平面所成角的范围以及直线的倾斜角的范围，异面直线所成角的范围判断选项即可．【解答】解：因为空间直线与平面所成角的范围是：0∘≤θ≤90∘，所以A 不正确；B 正确； 直线的倾斜角为：0∘≤θ<180∘，所以C 不正确；异面直线所成角的范围：：0∘<θ≤90∘，所以D 不正确．故选：B ．5. 【答案】C【解析】由直线方程判断直线和x 轴的位置关系，从而得出直线倾斜角的大小．【解答】解：直线x =1与x 轴垂直，故直线的倾斜角是90∘，故选C ．6. 【答案】B【解析】由题意可知图形的形状，求解即可．【解答】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为12×1× 2× 2=1．7. 【答案】C【解析】球的内接正方体的对角线的长，就是球的直径，设出正方体的棱长，求出球的半径，求出两个表面积即可确定比值．【解答】解：设：正方体边长设为：a则：球的半径为 3a 2 所以球的表面积S 1=4⋅π⋅R 2=4π34a 2=3πa 2而正方体表面积为：S 2=6a 2所以比值为：S 1S 2=π2 故选C8. 【答案】D【解析】将无盖正方体纸盒还原后，点B 与点D 重合，由此能求出结果．【解答】解：如图，将无盖正方体纸盒还原后，点B 与点D 重合，此时AB 与CD 相交，且AB 与CD 的夹角为60∘．故选：D ．9. 【答案】A【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于①，因为n // α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n // l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n // l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α // β且β // γ，所以α // γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m // α且n // α成立，但不能推出m // n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α // β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②.故选：A.10. 【答案】D【解析】由AA′ // BB′，得AA′与BC′所成的角为∠B′BC′，由此能求出AA′与BC′所成的角的大小．【解答】解：∵长方体ABCD−A′B′C′D′中，AA′ // BB′，∴AA′与BC′所成的角为∠B′BC′，∵BB′=3，B′C′=1，∴tan∠B′BC′=B′C′BB′=3=33．∴∠B′BC=30∘．∴AA′与BC′所成的角是30∘．故选为：D．11. 【答案】D【解析】根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时(1)符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时(5)符合条件；故截面图形可能是(1)(5)，故选：D12. 【答案】C【解析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令c=3、b=4、a=5，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案．【解答】解：当绕a=5边旋转时，其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为S1=12×2π×125×(3+4)=845π；体积V1=13×π×(125)2×5=485π；当绕b=4边旋转时，S2=π×32+π×3×5=24π，体积V2=13π×32×4=12π；当绕c=3边旋转时，S3=π×42+π×4×5=36π，体积V3=13π×42×3=16π．∴S1<S2<S3；V1<V2<V3．故选C．13. 【答案】26【解析】求出边长为2的正三角形的面积，再利用原图与直观图的面积比求出对应的体积即可．【解答】解：∵三角形的直观图是一个边长为2正三角形，∴S直观图=12×22×sin60∘=3，又S原图=S直观图⋅22=3×22=26．故答案为：26．14. 【答案】23【解析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为2+22+22=23．15. 【答案】33a【解析】要求点P 到平面ABC 的距离，可根据等体积求解，即V A−PBC =V P−ABC ，根据正三棱锥P −ABC 中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a ，即可求得．【解答】解：设点P 到平面ABC 的距离为ℎ，则∵三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a ，∴AB =BC =AC = 2a∴S △ABC = 32a 2 根据V A−PBC =V P−ABC ，可得13×12×a 3=13× 32a 2×ℎ ∴ℎ= 33a 即点P 到平面ABC 的距离为 33a 故答案为： 33a 16. 【答案】2【解析】利用三点共线，结合向量平行，求解即可．【解答】解：三点A (a , 0)，B (0, a +4)，C (1, 3)共线，可得AC → // BC →，AC →=(1−a , 3)，BC →=(1, −a −1)，可得3=(1−a )(−a −1)，a ∈N ，解得a =2．故答案为：2．17. 【答案】解：面面平行的判定定理；(1)文字语言是“如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”；(2)图形语言表示：如图所示：(3)用符号语言表示： a ⊂α,b ⊂αa ∩b =P a // β,b // β⇒α // β． 【解析】面面平行判定定理的内容用文字叙述、图形语言以及几何符号表示，分别写出即可．【解答】解：面面平行的判定定理；(1)文字语言是“如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”；(2)图形语言表示：如图所示：(3)用符号语言表示：a⊂α,b⊂αa∩b=Pa // β,b // β⇒α // β．18. 【答案】解：(1)∵经过两点A(−m, 6)，B(1, 3m)的直线的斜率为12，∴3m−61+m=12，∴m=−2，; (2)经过两点A(m, 2)和B(−m, 23m−1)的直线的倾斜角为60∘，∴23m−1−2−m−m=tan60∘=3，∴m=34．【解析】(1)利用过两点的直线的斜率公式，可建立方程，从而可求m的值；; (2)利用过两点的直线的斜率公式，结合倾斜角与斜率的关系，可建立方程，从而可求m的值【解答】解：(1)∵经过两点A(−m, 6)，B(1, 3m)的直线的斜率为12，∴3m−61+m=12，∴m=−2，; (2)经过两点A(m, 2)和B(−m, 23m−1)的直线的倾斜角为60∘，∴23m−1−2−m−m=tan60∘=3，∴m=34．19. 【答案】证明：(1)由BD=3PD=3，AC=2AD=2．知AB=4，A0=2，则点D为AO的中点，连OC，∵AO=AC=OC=2A，∴△AOC为等边三角形，∵D为AO的中点，∴CD⊥AO，∵PD⊥平面ABC，CD⊂面ABC，∴PD⊥CD，∵PD∩AO=D，PD⊂面PAB，AO⊂面PAB，∴CD⊥平面PAB，∵PA⊂面PAB，∴PA⊥CD；解：; (2)由(1)知CD⊥AB，CD=3，S△ABC=12×4×3=23，∵PD⊥平面ABC，V P−ABC=13S△ABC×PD=13×23×3=2，则直角三角形PCD中，PC= PD2+CD2=6，在直角三角形PAD中，PA=2+AD2=2，在等腰三角形PAC中，PC边上的高为(62)=102，S△APC=12×6×102=152，设B到平面PAC的距离为d，由V P−ABC=V B−PAC，∴1 3×152×d=2，解得d=4155，即点B到平面PAC的距离4155【解析】(1)根据线面垂直的性质证明CD⊥平面PAB即可．; (2)根据体积相等，建立体积关系即可得到结论．【解答】证明：(1)由BD=PD=3，AC=2AD=2．知AB=4，A0=2，则点D为AO 的中点，连OC，∵AO=AC=OC=2A，∴△AOC为等边三角形，∵D为AO的中点，∴CD⊥AO，∵PD⊥平面ABC，CD⊂面ABC，∴PD⊥CD，∵PD∩AO=D，PD⊂面PAB，AO⊂面PAB，∴CD⊥平面PAB，∵PA⊂面PAB，∴PA⊥CD；解：; (2)由(1)知CD⊥AB，CD=，S△ABC=12×4×3=23，∵PD⊥平面ABC，V P−ABC=13S△ABC×PD=13×23×3=2，则直角三角形PCD中，PC=2+CD2=6，在直角三角形PAD中，PA=2+AD2=2，在等腰三角形PAC中，PC边上的高为(62)=102，S△APC=12×6×102=152，设B到平面PAC的距离为d，由V P−ABC=V B−PAC，∴1 3×152×d=2，解得d=4155，即点B到平面PAC的距离4155 20. 【答案】证明：(1)取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN // AD，且MN=12AD；又BC // AD，且BC=12AD=1，所以MN // BC，MN=BC即四边形BCMN为平行四边形，CM // BN．又CM平面PAB，BN⊂平面PAB，故CM // 平面PAB．解：; (2)取AB中点E，连接PE∵PA=PB，E为AB中点∴PE⊥AB又∵面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PE⊂面PAB ∴PE⊥面ABCD，∴四棱锥P−ABCD的体积V=13⋅S ABCD⋅PE=13×12×(1+2)×2×3=3即四棱锥P−ABCD的体积为3【解析】（1）M为PD的中点，要证CM // 平面PAB，取PA的中点N，只需证明直线CM平行平面PAB内的直线BN即可；; (2)取AB中点E，连接PE，利用等腰三角形三线合一，可得PE⊥AB，再由PAB⊥面ABCD结合面面垂直的性质，可得PE⊥面ABCD，即PE为四棱锥P−ABCD的高，代入棱锥体积公式可得答案．【解答】证明：(1)取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN // AD，且MN=12AD；又BC // AD，且BC=12AD=1，所以MN // BC ，MN =BC即四边形BCMN 为平行四边形，CM // BN ．又CM 平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，故CM // 平面PAB ．解：; (2)取AB 中点E ，连接PE∵PA =PB ，E 为AB 中点∴PE ⊥AB又∵面 PAB ⊥面ABCD ，面 PAB ∩面ABCD =AB ，PE ⊂面 PAB∴PE ⊥面ABCD ，∴四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅S ABCD ⋅PE =13×12×(1+2)×2× 3= 3即四棱锥P −ABCD 的体积为 321. 【答案】证明：(1)∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE // AP ，又∵OE ⊂平面BDE ，PA平面BDE ．∴PA // 平面BDE ．; (2)∵PO ⊥底面ABCD ，PO ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，且AC ∩PO =O∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE【解析】(1)根据线面平行的判定定理证出即可；; (2)根据面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：(1)∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE // AP ，又∵OE ⊂平面BDE ，PA平面BDE ．∴PA // 平面BDE ．; (2)∵PO ⊥底面ABCD ，PO ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，且AC ∩PO =O∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE22. 【答案】解：(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A (2, 0, 0)，C (0, 2, 0)，B (2, 2, 0)，D 1(0, 0, 2)，AC →=(−2, 2, 0)，BD 1→=(−2, −2, 2)，AC →⋅BD 1→=4−4+0=0，∴AC ⊥BD 1→，∴异面直线AC 与BD 1所成的角的大小为90．; （2）E (0, 0, 1)，AE →=(−2, 0, 1)， 平面ABB 1A 1的法向量n →=(1, 0, 0)，设直线AE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，sin θ=|AE →|⋅|n →|= 5=2 55， ∴θ=arcsin 2 55．∴直线AE 与平面ABB 1A 1所成的角的大小为arcsin 2 55．【解析】(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与BD 1所成的角的大小．; (2)求出平面ABB 1A 1的法向量，利用向量法能求出直线AE 与平面ABB 1A 1所成的角的大小．【解答】解：(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A (2, 0, 0)，C (0, 2, 0)，B (2, 2, 0)，D 1(0, 0, 2)， AC →=(−2, 2, 0)，BD 1→=(−2, −2, 2)，AC →⋅BD 1→=4−4+0=0，∴AC ⊥BD 1→，∴异面直线AC 与BD 1所成的角的大小为90．; （2）E (0, 0, 1)，AE →=(−2, 0, 1)， 平面ABB 1A 1的法向量n →=(1, 0, 0)，设直线AE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，sin θ=|AE →|⋅|n →|= 5=2 55，∴θ=arcsin25．5∴直线AE与平面ABB1A1所成的角的大小为arcsin25．5。

2018-2019标准试卷（含答案）高一（上）12月调考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知集合，，，则________．2. 计算________．3. 已知函数，则（）________．4. 函数且的图象经过的定点坐标是________．5. 已知向量，，，与平行，则实数________．6. 幂函数的图象过点，则的解析式为________．7. 函数的定义域是________．8. 如图，中，，，设，，则________．9. 若方程的解所在的区间是，则整数________．10. 如图，过原点的直线与函数的图象交于，两点，过作轴的垂线交函数的图象于，若轴，则点的坐标为________．11. 已知函数，则如下结论：①函数的最小正周期为；②函数在上的值域为；③函数在上是减函数；④函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，其中正确的是________（写出所有正确的序号）12. 已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则________．13. 如图，已知、是函数的图象与轴两相邻交点，是图象上，之间的最低点，则________．14. 关于的方程有个不相等的实根，则实数的范围为________．二、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知集合，，，．求；；如果，求实数的范围．16. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两锐角，，它们终边分别与单位圆交于，两点，且，横坐标分别为．求求的值．17. 已知，，．若，求；若，且，求，夹角的大小．18. 城市内环高架能改善整个城市的交通状况，在一般情况下，高架上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当高架上的车流密度达到辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆/千米时，车流速度为千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．当时，求车流速度关于车流密度的函数解析式；若车流速度不低于千米/小时，求车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过高架桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，车流量车流密度车流速度）可以达到最大，并求出最大值．19. 已知函数在区间上有最大值和最小值，设．求，的值；判断函数在上的单调性，并证明你的结论；若不等式在上有解，求实数的取值范围．20. 已知函数．若函数在上有意义，求实数的取值范围；若函数在上单调递减，求实数的取值范围；若对于区间内任意两个相异实数，，总有成立，求实数的取值范围．答案1. 【答案】{5}【解析】由题意集合U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，B={3, 4}，根据并集的定义得A∪B={1, 2, 3, 4}，然后由补集的定义计算∁U(A∪B)．【解答】解：∵集合U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，B={3, 4}，∴A∪B={1, 2, 3, 4}∴∁U(A∪B)={5}，故答案为：{5}．2. 【答案】−32【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−32，故答案为：−323. 【答案】12【解析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f(x)=3x,x≥0 x2,x<0，∴f(−2)=(−2)2=4，∴f（f(−2)）=f(4)=3×4=12．故答案为：12．4. 【答案】(−2, 4)【解析】根据函数y=a x，(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0, 1)，利用平移可得答案．【解答】解：∵函数y=a x，(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0, 1)，∴函数y=a x的图象经过向左平移2个单位，向上平移3个单位，∴函数y=a x+2+3(a>0且a≠1)的图象经过(−2, 4)，故答案为：(−2, 4)，5. 【答案】2【解析】利用已知条件表示出2a →−b →与c →，通过两个向量的平行充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：向量a →=( 3, 1)，b →=(0, −1)，c →=(k , 3)， ∴2a →−b →=(2 3, 3)． ∵2a →−b →与c →平行， ∴3k =2 3⋅ 3． ∴k =2．故答案为：2． 6. 【答案】y =x −3【解析】设幂函数解析式为y =x α，代入点(−2, −18)求参数α即可．【解答】解：函数f (x )为幂函数，设为y =x α，又点(−2, −18)在函数图象上，有(−2)α=−18，解得α=−3，则函数解析式为y =x −3． 故答案为：y =x −3． 7. 【答案】(32, 2]【解析】根据函数的解析式知，二次根式的被开方数大于或等于0，对数的真数大于0，列出不等式（组），求出x 的取值范围． 【解答】解：∵f (x )= log 12(2x −3)，∴log 12(2x −3)≥0， ∴0<2x −3≤1； ∴3<2x ≤4， ∴32<x ≤2；∴f (x )的定义域为(32, 2]． 故答案为：(32, 2]． 8. 【答案】13a →+23b →【解析】由∵△ABC 中，AE →=2EB →，BD →=2DC →，利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，可得DE →=DB →+BE →=23CB →+13BA →=23(AB →−AC →)−13AB →=13AB →+23AC →，进而得到答案．【解答】解：∵△ABC 中，AE →=2EB →，BD →=2DC →，AB →=a →，AC →=b →，∴DE →=DB →+BE →=23CB →+13BA →=23(AB →−AC →)−13AB →=13AB →+23AC →=13a →+23b →．故答案为：13a →+23b →9. 【答案】−2【解析】令f (x )=(12)x −2x −6在区间是(k , k +1)上有唯一零点，可得f (k )f (k +1)<0，从而求得k 的值．【解答】解：令f (x )=(12)x −2x −6，根据方程(12)x −2x =6的解所在的区间是(k , k +1)，f (x )在(k , k +1)上单调第减，可得f (x )=(12)x −2x −6在区间是(k , k +1)上有唯一零点，故有f (k )f (k +1)<0． 再根据f (−2)=2>0，f (−1)=−2<0，可得k =−2，故答案为：−2． 10. 【答案】(−1, 2)【解析】先设A (n , 2−n )，B (m , 2−m )，则由过B 作y 轴的垂线交函数y =(14)x 的图象于点C 写出点C 的坐标，再依据AC 平行于y 轴得出m ，n 之间的关系：n =m2，最后根据A ，B ，O 三点共线．利用斜率相等即可求得点A 的坐标． 【解答】解：设A (n , 2−n )，B (m , 2−m )， 由4−x =2−m =2−2x ，即m =2x ， 解得x =m 2，即C (m2, 2−m )． ∵AC 平行于y 轴， ∴n =m2，m =2n ， ∴A (m2, 2−n )，B (m , 2−m )， 又A ，B ，O 三点共线． ∴k OA =k OB ， ∴2−nm 2=2−m m，∴n =m +1． ∴m2=m +1，解得m=−2，∴n=−1，∴故点A的坐标是(−1, 2)故答案为：(−1, 2)11. 【答案】①③【解析】①根据三角函数的周期公式进行判断②根据三角函数的单调性和最值进行判断③根据函数的单调性进行判断④根据函数关系进行判断．．【解答】解：①函数的周期T=2π2=π，故①正确．②当π6<x<5π12时，π6<2x−π6<2π3，则sinπ6<sin(2x−π6)≤sinπ2，即12<sin(2x−π6)≤1，故f(x)在[π6, 5π12]上的值域为(12, 1]，故②错误；③当π3<x<7π12时，π2<2x−π6<π，此时函数f(x)=2sin(2x−π6)单调递减，故③正确；④y=f(x)的图象向左平移π6个单位可以得到y=2sin[2(x+π6)−π6]=2sin(2x+π6)，则不能得到y=2sin2x的图象，故④错误．故正确的是①③，故答案为：①③12. 【答案】−2【解析】先由图象关于直线x=−2对称得f(−4−x)=f(x)，再与奇函数条件结合起来，有f(x+8)=f(x)，得f(x)是以8为周期的周期函数，从而f(−9)=−f(1)，从而求出所求．【解答】解；∵图象关于直线x=−2对称∴f(−4−x)=f(x)∵f(x)是奇函数∴f(−x)=−f(x)f(4+x)=−f(x+4)=f(x)∴f(x+8)=f(x)∴f(x)是以8为周期的周期函数．f(−9)=−f(1)=−2故答案为：−213. 【答案】π28【解析】由条件求出|AB|、|AC|的值，再求出cos∠CAB=|AB|2|AC|，再根据两个向量的数量积的定义求出AB→⋅AC→=|AB|⋅|AC|⋅cos∠CAB的值．【解答】解：由题意可得|AB|=12⋅2π2=π2，点C的纵坐标为−3，故|AC|=(π4)2+(−3)2=π216+9，且cos∠CAB=|AB|2|AC|=|AB|2|AC|，∴AB→⋅AC→=|AB|⋅|AC|⋅cos∠CAB=|AB|22=π28，故答案为π28．14. 【答案】(14, +∞)【解析】由题意易知x=0是方程|x|x+4=kx2的一个根，化方程|x|x+4=kx2为k=1(x+4)|x|；作函数f(x)=1(x+4)|x|的图象，由图象可知关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不相等的实根转化为k大于f(x)在(−4, 0)上的最小值，从而利用基本不等式求解．【解答】解：易知x=0是方程|x|x+4=kx2的一个根，当x≠0时，方程|x|x+4=kx2可化为k=1(x+4)|x|；作函数f(x)=1(x+4)|x|的图象如下，则由图象可知，关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不相等的实根转化为k大于f(x)在(−4, 0)上的最小值；当x∈(−4, 0)时，f(x)=1(4+x)(−x)，∵(4+x)(−x)≤(42)2=4；故1(4+x)(−x)≥14，（当且仅当x=−2时，等号成立）故k>14；故答案为：(14, +∞)．15. 【答案】解：（1）A={x|(x+1)(x−2)≤0}={x|−1≤x≤2}，B={x|1<(12)x< 16}={x|−4<x<0}，则A∩B={x|−1≤x<0}，(∁U A)={x|x>2或x<−1}，(∁U A)∪B={x|x>2或x< 0}．; （2）C={x|x2+(2a−5)x+a(a−5)≤0}={x|−a≤x≤5−a}，若A∩C=A，则A⊆C，则−a≤−15−a≥2，解得1≤a≤3．【解析】(1)根据集合的基本运算即可求A∩B，(∁U A)∪B；; (2)根据集合关系即可得到结论．【解答】解：（1）A={x|(x+1)(x−2)≤0}={x|−1≤x≤2}，B={x|1<(12)x< 16}={x|−4<x<0}，则A∩B={x|−1≤x<0}，(∁U A)={x|x>2或x<−1}，(∁U A)∪B={x|x>2或x< 0}．; （2）C={x|x2+(2a−5)x+a(a−5)≤0}={x|−a≤x≤5−a}，若A∩C=A，则A⊆C，则−a≤−15−a≥2，解得1≤a≤3．16. 【答案】解：(1)∵单位圆上的点A，B横坐标分别为7210，31010，∴A，B纵坐标分别为210，1010，即A(7210, 210)，B(31010, 1010)，∴tanα=17，tanβ=13，∴tan∠AOB=tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=13−171+1×1=211；; (2)由A与B的坐标，得到sinα=210，cosα=7210，sinβ=1010，cosβ=31010，∴sin2β=2sinβcosβ=35，cos2β=cos2β−sin2β=910−110=45，∴cos(α+2β)=cosαcos2β−sinαsin2β=7210×45−210×35=22，∵tanα=17<1，tan2β=2tanβ1−tan2β=34<1，∴0<α<π4，0<2β<π4，即0<α+2β<π2， 则α+2β=π4．【解析】(1)由单位圆上点A 与B 的横坐标，求出各自的纵坐标，确定出A 与B 坐标，进而求出tan α与tan β的值，所求式子中的角度变形为β−α，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值；; (2)根据A 与B 的坐标，求出sin α，cos α，sin β，cos β的值，确定出cos2β与sin2β的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(α+2β)，将各自值代入求出cos(α+2β)的值，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的度数． 【解答】解：(1)∵单位圆上的点A ，B 横坐标分别为7 210，3 1010，∴A ，B 纵坐标分别为 210， 1010，即A (7 210, 210)，B (3 1010, 1010)， ∴tan α=17，tan β=13，∴tan ∠AOB =tan(β−α)=tan β−tan α1+tan αtan β=13−171+13×17=211；; (2)由A 与B 的坐标，得到sin α= 210，cos α=7 210，sin β= 1010，cos β=3 1010，∴sin2β=2sin βcos β=35，cos2β=cos 2β−sin 2β=910−110=45， ∴cos(α+2β)=cos αcos2β−sin αsin2β=7 210×45− 210×35=22， ∵tan α=17<1，tan2β=2tan β1−tan 2β=34<1， ∴0<α<π4，0<2β<π4，即0<α+2β<π2， 则α+2β=π4．17. 【答案】解：(1)∵(2OA →−OB →)⊥OC →，∴(2OA →−OB →)⋅OC →=0，∴2OA →⋅OC →=OB →⋅OC →， ∴6cos α=3sin α，∴tan α=2， cos2α=cos 2α−sin 2α=1−tan 2α1+tan α=−35．（2）∵|OA →+OC →|= 13，∴(OA →+OC →)2=10+6cos α=13， ∴cos α=12,又α∈(0,π)，∴α=π3．OB →⋅OC →=3sin α=32 3,|OB →|=3,|OC →|=1． ∴cos α= 32，α∈[0, π]，∴α=π6．;【解析】(1)利用向量垂直与数量积的关系可得2OA →⋅OC →=OB →⋅OC →，再利用向量的坐标运算、三角函数基本关系式、倍角公式即可得出；; (2)利用向量模的计算公式、向量夹角公式即可得出．【解答】解：(1)∵(2OA →−OB →)⊥OC →，∴(2OA →−OB →)⋅OC →=0，∴2OA →⋅OC →=OB →⋅OC →， ∴6cos α=3sin α，∴tan α=2，cos2α=cos 2α−sin 2α=1−tan 2α1+tan α=−35．（2）∵|OA →+OC →|= 13，∴(OA →+OC →)2=10+6cos α=13， ∴cos α=12,又α∈(0,π)，∴α=π3．OB →⋅OC →=3sin α=32 3,|OB →|=3,|OC →|=1．∴cos α= 32，α∈[0, π]，∴α=π6．;18. 【答案】当x =88时，车流量f (x )可以达到最大，最大值为4400辆．;【解析】(1)当0≤x ≤28时，v =80；当28≤x ≤188时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，利用待定系数法，即可求得函数表达式．; (2)由(1)得：f (x )=v (x )⋅x = 80x ,0≤x ≤28−12x 2+94x ,28≤x ≤188，结合一次函数和二次函数的单调性，求出f (x )的最大值，可得答案．【解答】解：(1)由题意：当0≤x ≤28时，车流速度为80千米/小时，所以v (x )=80； 当28≤x ≤188时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，设v (x )=ax +b ． ∵当桥上的车流密度达到188辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0； 当车流密度不超过28辆/千米时，车流速度为80千米/小时， ∴ 188k +b =028k +b =80， ∴a =−12，b =94，故函数v (x )的表达式为v (x )= 80,0≤x ≤28−12x +94,28≤x ≤188；; (2)由(1)得：f (x )=v (x )⋅x = 80x ,0≤x ≤28−12x 2+94x ,28≤x ≤188，当0≤x ≤28时，f (x )为增函数，此时当x =28时，f (x )取最大值2240；当28≤x ≤188时，f (x )的图象为开口朝下，且以直线x =94为对称轴的抛物线， 由−12x +94≥50，故x ≤88，则由28≤x ≤88时，函数为增函数，此时当x =88时，f (x )取最大值4400； 故当x =88时，f (x )取最大值4400；答：当x =88时，车流量f (x )可以达到最大，最大值为4400辆． 19. 【答案】解：（1）g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)的图象是开口朝上，且以直线x =2为对称轴的抛物线，故函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上为减函数，∵函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上有最大值1和最小值−2，∴ g (0)=1g (1)=−2解得a =1，b =1；; (2)由(1)得：g (x )=x 2−4x +1，f (x )=g (x )x=x +1x −4，∴f′(x )=1−1x 2， ∵x ∈(1, +∞)， ∴f′(x )>0，∴f (x )在区间(1, +∞)上的单调递增．; (3)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0可化为：2x +12−4−k ⋅2x ≥0，即k ≤1+(12x )2−4⋅(12x )， 令t =12， ∵x ∈[−2, 2]， ∴t ∈[14, 4]，令 (t )=t 2−4t +1，t ∈[14, 4]，∴ (t )∈[−3, 1]， ∴k ≤1．故所以k 的取值范围是k ≤1【解析】(1)根据函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上为减函数，且有最大值1和最小值−2，故可建立方程组，从而可求a 、b 的值；; (2)利用导数判断并证明f (x )在区间(1, +∞)上的单调递增．; (3)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0可化为：2x +12−4−k ⋅2x ≥0，即k ≤1+(12)2−4⋅(12)，利用换元法，结合二次函数的图象和性质，求出1+(12)2−4⋅(12x )的最小值，可得答案．【解答】解：（1）g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)的图象是开口朝上，且以直线x =2为对称轴的抛物线，故函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上为减函数，∵函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上有最大值1和最小值−2， ∴ g (0)=1g (1)=−2解得a =1，b =1；; (2)由(1)得：g (x )=x 2−4x +1，f (x )=g (x )x=x +1x−4，∴f′(x )=1−1x 2， ∵x ∈(1, +∞)， ∴f′(x )>0，∴f (x )在区间(1, +∞)上的单调递增．; (3)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0可化为：2x +12x −4−k⋅2x≥0，即k≤1+(12x )2−4⋅(12x)，令t=12，∵x∈[−2, 2]，∴t∈[14, 4]，令 (t)=t2−4t+1，t∈[14, 4]，∴ (t)∈[−3, 1]，∴k≤1．故所以k的取值范围是k≤120. 【答案】解：(1)若函数y=lg f(x)在[2, 4]上有意义，则x2−mx+m−1>0，对任意的x∈[2, 4]恒成立，即m(x−1)<x2−1对任意的x∈[2, 4]恒成立，即m<x+1对任意的x∈[2, 4]恒成立，∴m<3故实数m的取值范围(−∞, 3)…; (2)令x2−mx+m−1=0，解得x=1或x=m−1当m−1≥1，即m≥2时，函数f(x)在[−1, 0]上恒非负且减，满足条件；当m−1<1，即m<2时，若函数y=|f(x)|在[−1, 0]上单调递减，则m−1≥0或m2≤−1解得m≤−2综上所述：m≤−2或m≥1故实数m的取值范围(−∞, −2]∪[1, +∞)…; (3)若对于区间[2,52]内任意两个相异实数x1，x2，且f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1+x2−m)|(x1−x2)(x1+x2−m)|≤|x1−x2|(x1≠x2)恒成立，…12分则|m−(x1+x2)|≤1对任意的x1，x2在[2,52]上恒成立．则(x1+x2)−1≤m≤(x1+x2)+1恒成立…∴4≤m≤5故实数m的取值范围为[4, 5]…【解析】(1)若函数y=lg f(x)在[2, 4]上有意义，则x2−mx+m−1>0，对任意的x∈[2, 4]恒成立，即m(x−1)<x2−1对任意的x∈[2, 4]恒成立，即m<x+1对任意的x∈[2, 4]恒成立，进而可得实数m的取值范围；; (2)结合函数y=|f(x)|的图象和性质，由[−1, 0]上单调递减，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；; (3)若对于区间[2,52]内任意两个相异实数x1，x2，且f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1+x2−m)|(x1−x2)(x1+x2−m)|≤|x1−x2|(x1≠x2)恒成立，|m−(x1+x2)|≤1对任意的x1，x2在[2,52]上恒成立，则(x1+x2)−1≤m≤(x1+x2)+1恒成立，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：(1)若函数y=lg f(x)在[2, 4]上有意义，则x2−mx+m−1>0，对任意的x∈[2, 4]恒成立，即m(x−1)<x2−1对任意的x∈[2, 4]恒成立，即m<x+1对任意的x∈[2, 4]恒成立，∴m<3故实数m的取值范围(−∞, 3)…; (2)令x2−mx+m−1=0，解得x=1或x=m−1当m−1≥1，即m≥2时，函数f(x)在[−1, 0]上恒非负且减，满足条件；当m−1<1，即m<2时，若函数y=|f(x)|在[−1, 0]上单调递减，≤−1则m−1≥0或m2解得m≤−2综上所述：m≤−2或m≥1]内任意两个相异实数x1，x2，故实数m的取值范围(−∞, −2]∪[1, +∞)…; (3)若对于区间[2,52且f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1+x2−m)|(x1−x2)(x1+x2−m)|≤|x1−x2|(x1≠x2)恒成立，…12分]上恒成立．则|m−(x1+x2)|≤1对任意的x1，x2在[2,52则(x1+x2)−1≤m≤(x1+x2)+1恒成立…∴4≤m≤5故实数m的取值范围为[4, 5]…。

湖北省沙市中学2018-2019学年高一数学12月月考试题一、选择题（每题5分，共60分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}P =，{1,2,4}Q =，则()Q U P ð等于A ．B ．{3,5}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,5}2．函数13x y a -=+(0a >,且1a ≠恒过定点,那么点的坐标为 A ．(3,1)B ．(4,1)C ．(1,4)D ．(1,3)3．函数y =A ．{|0x x ≤}和{|01y y <≤}B ．{|0x x <}和{|01y y <<}C ．{|0x x ≥}和{|1y y ≤}D ．{|0x x >}和{|1y y <} 4．设1,01,x y a >><<则下列关系正确的是A ．a a y x -->B ．ay ax <C ．yxa a <D ．y x a a log log >5．已知函数31(),0()2log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，设12log a =[()]f f a =A ．B ．12C ．2D ．3 6．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan()πα+的值等于 A ．43-B ．34-C ．34D ．437．已知函数2()3(5)f x ax bx b a =++-是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b += A ．17B ．C ．1D ．7 8．计算2355log 9log 42log 10log 0.25⨯++=A ．0B ．2C ．4D ．6 9．已知表示不超过实数的最大整数，是函数2()ln f x x x=-的零点，则0[]x 等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．已知正角的终边上一点的坐标为22(sin,cos )33ππ，则角的最小值为A ．56πB ．23πC ．53πD ．116π11．已知sin cos αα+cos tan sin ααα+的值为 A ．B ．C ．12D ．2 12．已知函数()|21|x f x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是 A ．0,0,0a b c <<<B ．0a <，0b ≥，0c >C ．22a c -<D ．222a c +<二、填空题（每题5分，共20分） 13．tan 480︒=．14．设角是第三象限角，且|sin|sin22αα=-，则角2α是第象限角．15．已知函数()sin(2)4f x x π=--（[0,]2x π∈）的最大值为，最小值为，则M m -=．16．下列说法正确的是___________．①任意x R ∈，都有32x x >；②函数()22xf x x =-有三个零点；③12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为；④函数y =为偶函数；三、解答题（70分）17．（10分）已知2tan =x ，求222cos sin cos sin x x x x -+的值．18．（12分）已知扇形AOB 的圆心角为，周长为14． （1）若这个扇形面积为10，且为锐角，求的大小； （2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．19．（12分）已知关于的不等式2222log 5log 20x x -+≥的解集为．（1）求集合；（2）若x B ∈，求22()log log (2)8xf x x =⋅的最小值．20．（12分）光线通过一块玻璃，强度要损失10%，设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为． （1）写出关于的函数解析式（2）通过20块这样的玻璃后，光线强度约为多少？ （3）至少通过多少块这样的玻璃，光线的强度能减弱到原来的14以下？ （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈，200.90.12≈）21．（12分）已知函数2()2,f x x ax a R =++∈．（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式2()1f x x ≥-的解集；（2）已知2()(2)1g x ax a x =+++,若方程()()f x g x =在1(,3]2有解．．，求实数的取值范围．22．（12分）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)3f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数31(log ),[,3]3y f x m x =+∈的最小值为，且0m <，求实数的值； （3）若对任意互不相同的12,(2,4)x x ∈，都有1212|()()|||f x f x k x x -<-成立，求实数的取值范围.。

2018-2019（含答案）高一（上）12月月考数学试卷 (10)一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题有且只有一个正确答案）1. 满足，且的集合的个数是（）A .B .C .D .2. 如果那么（）A .B .C .D .3. 函数的定义域是（）A .B .C .D .4. 设，则的值为（）A .B .C .D .5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. 已知函数若实数，满足，则A .B .C .D .7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（）A .B .C .D .8. 函数的零点所在区间为（）A .B .C .D .9. 若实数，满足，则是的函数的图象大致是（）A .B .C .D .10. 已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．）11. 若函数是函数且的反函数，且的图象过点，则________．12. 函数的单调递增区间为________．13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若实数满足：，则的取值范围是________．14. 若正数，满足，则的值为________．15. 已知函数，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 计算下列各式：（1）；17. 已知，．求的解析式；若关于的方程有正实数根，求实数的取值范围．18. 已知函数．判断的奇偶性；判断在上的单调性，并用定义证明；是否存在实数，使不等式对一切恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．19. 已知定义在区间上的函数，其中常函数若函数分别在区间，上单调，试求的取值范围；当时，方程有四个不等实根，，，①证明：；②是否存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．答案1. 【答案】B【解析】根据，得到为的子集，由，得到元素，属于，不属于，确定出的个数即可．【解答】解：∵ ，且，∴ ，，即满足题意的个数是．故选：．2. 【答案】D【解析】本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数故函数为减函数∴故选3. 【答案】A【解析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则解得：则函数的定义域是．故选：．4. 【答案】A【解析】直接利用分段函数，化简求解函数值即可．【解答】解：，则（）．故选：．5. 【答案】B【解析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【解答】解；∵函数的值域为，∴当时，或，验证时不成立；当时，，解得；综上，，∴实数的取值范围是．故选：．6. 【答案】D【解析】通过观察和运算可知，得出，即可求出结果．【解答】解：∵ ，即为，由，可得单调递增，则，∴故选．7. 【答案】B【解析】求出时，函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：因为时，，所以时，，即，所以，故选：．8. 【答案】C【解析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵，，，，∴只有，∴函数的零点在区间上．故选．9. 【答案】B【解析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．【解答】解：∵，∴其定义域为，当时，，因为，故在上为减函数，又因为的图象关于轴对称，对照选项，只有正确．故选．10. 【答案】D【解析】对函数判断时，一定成立，可排除与，再对特殊值时，若对于任一实数，与至少有一个为正数，可得答案．【解答】解：对于函数，当时，即，显然成立，排除与当，，时，显然成立，排除；故选．11. 【答案】【解析】直接利用反函数图象与原函数图象的对称点，求出的值，然后求出反函数的表达式即可．【解答】解：因为函数是函数且的反函数，且的图象过点，所以函数经过，所以，所以函数．故答案为：．12. 【答案】或【解析】设，根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：由解得，即函数的定义域为，设，则函数为减函数，根据复合函数单调性之间的关系知要求函数的单调递增区间，即求函数的递减区间，∵ 的对称轴为，递减区间为，则函数的递增区间为，故答案为：或．13. 【答案】【解析】由于函数是定义在上的偶函数，则，即有，，即为，再由在区间上单调递增，得到，即有，解出即可【解答】解：由于函数是定义在上的偶函数，则，即有，由实数满足，则有，即即，即有，由于在区间上单调递增，则，即有，解得，．故答案为：．14. 【答案】【解析】令，变形后化对数式为指数式，代入求得答案．【解答】解：由，∴设，则，，，∴．故答案为：．15. 【答案】【解析】函数有且只有个零点可化为方程有且只有个根，然后分类求解可得实数的取值范围．【解答】解：函数有且只有个零点，即方程有且只有个根．①若，则当时，，，不合题意；当时，，，不合题意．故函数没有零点；②若，则当时，，，由，得，由，解得：；当时，，，由，得，，不合题意；当时，，，由，得，由，解得：．综上，实数的取值范围是．16. 【答案】解：原式．; 原式．【解析】利用指数幂的运算性质即可算出；; 利用对数的换底公式即可得出．【解答】解：原式．; 原式．17. 【答案】解：令即，则 •即，; 由得：，化简得，，设，当时，则，∴ ，∵方程有正实数根，∴方程有大于的实数根，设，∴对称轴，∴ ，解得，故的取值范围为．【解析】由解析式令即，代入解析式化简求出，将化为可得的解析式；; 由化简，设，当时，则，方程有正实数根转化为方程有大于的实数根，解得即可．【解答】解：令即，则 •即，; 由得：，化简得，，设，当时，则，∴ ，∵方程有正实数根，∴方程有大于的实数根，设，∴对称轴，∴ ，解得，故的取值范围为．18. 【答案】解：函数的定义域为，则，则为奇函数．; （2），则在上的单调性递增，证明：设，则，∵ ，∴ ，∴ ，即，即，即函数为增函数．; 若存在实数，使不等式对一切恒成立，则．即．即恒成立，设，∵ ，∴ ，即，即．解得，即存在实数，当时使不等式对一切恒成立．【解析】根据函数奇偶性的定义即可判断的奇偶性；; 根据函数单调性的定义即可判断在上的单调性，并用定义证明；; 结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为，则，则为奇函数．; （2），则在上的单调性递增，证明：设，则，∵ ，∴ ，∴ ，即，即，即函数为增函数．; 若存在实数，使不等式对一切恒成立，则．即．即恒成立，设，∵ ，∴ ，即，即．解得，即存在实数，当时使不等式对一切恒成立．19. 【答案】解：∵ ，∴，当时取最小值，且在上单调递减，在上单调递增，要使函数分别在区间，上单调，则，即，∴ ；; ①证明：当时，，其图象如图，要使有个根，则，令，则，∴ ，令，则，∴ ．∴ ；②解：令，解得：或．当时，，∴，由，得，即，∵ ，，∴上式不成立，即实数，不存在；当时，，由，得，整理得：，即．∵ ，，∴，与矛盾，即实数，不存在；当时，，由，可得，∵ ，，矛盾，即实数，不存在；当时，，由，可得，再由，得，把代入得，，∵ ，∴．综上，存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为，此时的范围为．【解析】根据函数的单调性和最值，得到要使函数分别在区间，上单调，则，求其最小值后由其最小值大于等于得答案；; ①画出时函数的图象，由和得两个方程，利用根与系数关系得到；②令，解得：或．然后分，，，求得函数的解析式，增区间由得到矛盾的式子，说明不存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为．减区间容易说明不存在实数，．时可求得存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为．【解答】解：∵ ，∴，当时取最小值，且在上单调递减，在上单调递增，要使函数分别在区间，上单调，则，即，∴ ；; ①证明：当时，，其图象如图，要使有个根，则，令，则，∴ ，令，则，∴ ．∴ ；②解：令，解得：或．当时，，∴，由，得，即，∵ ，，∴上式不成立，即实数，不存在；当时，，由，得，整理得：，即．∵ ，，∴，与矛盾，即实数，不存在；当时，，由，可得，∵ ，，矛盾，即实数，不存在；当时，，由，可得，再由，得，把代入得，，∵ ，∴．综上，存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为，此时的范围为．。