随机数的含义与应用素材1必修3

随机数的含义与应用1．随机数的含义与应用【知识点的知识】1、概念：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，随机数应用很广泛，利用它可以帮助我们进行随机抽样，还可以利用它在某一个范围得到每一个数机会是均等的这一特征来模拟试验，这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们顺利地求出有关事件的概率．2、均匀随机数的产生：随机数的产生可以人工产生，例如抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时、费力，而且有时很难确保抽到每一个数的机会是均等的．因此，我们现在主要是通过计算器和计算机来产生随机数的．【典型例题分析】典例 1：随机摸拟法产生的区间[0，1]上的实数（）A．不是等可能的B．0 出现的机会少C．1 出现的机会少D．是均匀分布的解析：用随机模拟法产生的区间[0，1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．故选D典例 2：利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分（y＝2﹣2x﹣x2 与x 轴围成的图形）的面积．解：（1）利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）进行平移和伸缩变换，a＝a1*4﹣3，b＝b1*3，得到一组[﹣3，1]上的均匀随机数和一组[0，3]上的均匀随机数；（3）统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N1（满足条件b＜2﹣2a﹣a2 的点（a，b）的个数）；푁1（4）计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；푁푆（5）设阴影部分面积为S，由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为．12푆∴12=푁1푁．∴S ≈12푁1，푁1/ 2即为阴影部分的面积的近似值．典例 2：两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为 1h 与 2h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是．解析：用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y 分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意 0≤x≤24，0≤y≤24，y﹣x≤1，x﹣y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率P =242―12―122×222×23242―12―12242=1391152【解题方法点拨】“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性．2/ 2。

3.3随机数的含义与应用1.某人睡午觉醒来后,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待小于10min的概率为()A. B. C. D.解析:由题意μΩ=60,μA=10,∴P(A)=.答案:A2.在长为10cm的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π~64π cm2的概率是()A. B. C. D.解析:如图,以AG为半径作圆,圆面积介于36π~64πcm2,则AG的长度应介于6~8cm之间.所以所求概率P(A)=.答案:D3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为()A. B. C. D.无法计算解析:利用几何概型的概率计算公式知,∴S阴=S正方形=.答案:B4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是()A. B. C. D.解析:如图,在AB边取点P',使,则P只能在AP'上(不包括P'点)运动,则概率为.答案:C5.在区间[-1,1]上任取两数x和y,组成有序实数对(x,y),记事件A为“x2+y2≤1”,则P(A)为()A. B.C.πD.2π解析:如图,集合S={(x,y)|x≥-1,y≤1},则S中每个元素与随机事件的结果一一对应,而事件A所对应的事件(x,y)与圆面x2+y2≤1内的点一一对应,∴P(A)=.答案:A6.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上取一点M,则AM的长小于AC的概率为.解析:在AB上截取AC'=AC,于是P(AM<AC)=P(AM<AC')=.即AM的长小于AC的长的概率为.答案:7.设有一个正方形网格,其中每个小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上,则硬币落下后与格线有公共点的概率是.解析:硬币的直径为2,所以半径为1.硬币的圆心距正方形各边的距离都大于1cm时,硬币与格线没有公共交点,也就是硬币的圆心落在一个边长为4cm的正方形内,硬币与格线没有公共点的概率为:1-.答案:8.在边长为2的正△ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是.解析:以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求.∴P=.答案:9.向图中所示正方形内随机地投掷飞镖,求飞镖落在阴影部分的概率.解:由于随机地投掷飞镖,飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的,则符合几何概型的条件.S阴影=,S正方形=22=4,则P=.10.设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.分析:两问中的基本事件都是“取出一对实数a,b的值”,但第(1)问中的基本事件总数有限并且各基本事件之间是等可能的,属于古典概型;第(2)问中的基本事件总数无穷并且各基本事件之间是等可能的,属于几何概型.解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a>0,b>0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的等价条件为Δ=4a2-4b2=4(a2-b2)≥0,即a≥b.(1)基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为P(A)=.(2)试验的所有基本事件所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},其中构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为.11.小明一家订阅的晚报会在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?解:建立如图所示的坐标系.图中直线x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G,该试验的所有结果都与区域G内的点(x,y)一一对应.由题意知,每次结果出现的可能性是相同的,是几何概型.(1)作射线y=x(x>0).晚报在晚餐前送达即y<x,因此图中阴影部分表示事件A:“晚报在晚餐前送达”.而G中空白部分则表示事件B:“晚报在晚餐开始后送到”.由图知事件A发生的可能性大.(2)易求G的面积为1,而g的面积为,由几何概型的概率公式可得P(A)=.。

3.3 随机数的含义与应用【入门向导】数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的知识还能积极探索！现举一例：我们每天都与公交车打交道！每个人都可能会有这种想法，刚到车站，公交车就来了，不用等待，这是多么好的事件．那么，不用等待的概率是多少呢？这是一个概率问题，但是用古典概型无法解决．本节，我们共同研究几何概型就可以解决这个问题．几何概型有两个主要特点，即基本事件的无限性和发生的等可能性，由它们可判断一个概型是不是几何概型．几何概型的概率计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域的几何度量(长度、面积或体积)试验的全部结果所构成区域的几何度量(长度、面积或体积)求几何概型概率的关键有二：(1)明确类型，即要明确是长度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内；(2)准确求出相应的几何度量．例1如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作圆弧DE 交AB 于点E .(1)向矩形内随机投掷一点，求该点落在扇形DAE 内的概率；(2)在圆弧DE 上任取一点P ，求直线AP 与线段BC 有公共点的概率．解 (1)∵S 扇形＝14π×12＝π4，S 矩形＝1×3＝3，∴该点落在扇形DAE 内(设为事件A )的概率P (A )＝π43＝3π12.(2)如题干图，若使直线AP 与线段BC 有公共点，须使点P 在直线AC 的下方，∵tan ∠BAC ＝13＝33，∴∠BAC ＝30°，所以直线AP 与线段BC 有公共点(设为事件B )的概率P (B )＝QEDE ＝30°90°＝13.几何概型问题中，所有可能出现的基本事件有无限个． 几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长度、面积或体积，许多相关或类似问题其性质与长度、面积或体积相似，也可归结为几何概型问题．如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与时间相关的概率问题也可以看作几何概型问题．计算几何概型问题的重点是怎样把具体问题(如时间问题)转化为相应类型的几何概型问题；难点是基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的区域的长度、面积、体积的运算．例2 从甲地到乙地有一班车在9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？解到达乙地的时间是9∶30到10∶00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9∶45到10∶15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x 轴表示班车到达乙地的时间，y 轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0.5的正方形．设“他能赶上车”为事件A ，则事件A 的条件是x ≤y ，构成事件A 的区域为图中的阴影部分．由几何概型公式，得P (A )＝0.52－0.252×120.52＝0.875， 即他能赶上车的概率为0.875.利用随机模拟试验，可以估计几何概型的概率，也可以估算不规则图形的面积．例3 甲、乙两辆班车都要停在同一停车位，它们可能在一天中的任意时刻到达．如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．分析 甲、乙两辆班车停在同一停车位的时刻都是一天24小时中的任何时刻，可以分别用两组[0,24]区间上的均匀随机数x ，y 表示，两辆车在同一个小时内到达停车场的条件为|x －y |≤1，可以用随机模拟方法求概率．解 记事件A ＝{有一辆班车停车时必须等待一段时间}．S1 用计数器N 记录所做试验的次数，用计数器N 1统计满足|x －y |≤1的点的个数首先置N ＝0，N 1＝0.S2 用变换rand( )*24产生两个0～24之间的随机数x 和y ，用它们来表示班车的横坐标和纵坐标．S3 统计N 和N 1的值．S4 计算频率N 1N，即有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．例4 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1所围成的部分)的面积．分析 在坐标系中画出正方形，可以用随机模拟的方法求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而求得阴影部分的面积．解 S1 用计数器N 记录所做试验的次数，用计数器N 1统计满足b <2a 的点的个数，首先置N ＝0，N 1＝0.S2 用变换rand( )*2－1产生两个－1～1之间的随机数a 和b ，用它们表示点的横坐标和纵坐标．S3 统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b <2a 的点(a ，b )的个数)；S4 计算频率N 1N，即落在阴影部分的概率的近似值；S5 设阴影面积为S ，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4.所以N 1N ≈S 4，所以S ≈4N 1N即为阴影部分面积的近似值．注 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式求得几何概率，然后通过解方程求阴影部分面积的近似值．选错几何度量例 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解 设“AM <AC ”为事件A .在AB 边上取AC ′＝AC ，在∠ACB 内任作射线CM 可看作是在线段AC ′上任取一点M ，过C ，M 作射线CM ，则概率为P (A )＝AC ′AB ＝AC AB ＝22.正解 设“AM <AC ”为事件A ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的， 所以射线CM 在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为P (A )＝67.590＝0.75.1．数形结合思想例1 小王在公共汽车站等车上班，可乘坐6路车和4路车，6路车10分钟一班，4路车15分钟一班，求小王等车不超过8分钟的概率．解 如图，设x 轴表示4路车的到站时间，y 轴表示6路车的到站时间．记“8分钟内乘坐6路或4路车”为事件A ，则构成事件A 的区域为图中阴影部分，面积为8×10＋7×8＝136， 整个区域的面积为10×15＝150，那么P (A )＝136150＝6875.故小王等车不超过8分钟的概率为6875.点评 本题中两路公共汽车到站时间恰好是两个变量，抓住两车到站时间的间隔，即可化为“约会型”概率问题．几何概型是最典型的应用数形结合思想解决问题的数学模型．求解符合几何概型事件的概率时，关键是正确构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的测度之比求随机事件的概率．2．转化思想例2 在[－1,1]上任取两个实数a 、b ，求二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个非负实数根的概率．分析 方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根时，应有4a 2－4b 2≥0即|a |≥|b |，且事件A 应使方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个非负实根，所以－1≤a ≤0.所以a 、b 满足⎩⎪⎨⎪⎧|a |≥|b |，－1≤a ≤0，还需满足－1≤b ≤1，因此事件A 要同时受到a 、b 的制约，所以构成事件A 的区域应为二维空间，所求概率应为在平面直角坐标系中，满足⎩⎪⎨⎪⎧|a |≥|b |－1≤a ≤0－1≤b ≤1的区域面积和a ＝±1，b ＝±1四条直线围成的区域面积的比值．解 在平面直角坐标系中，点(a ，b )所在的区域为如右图所示的正方形及其内部．若使方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个非负实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧|a |≥|b |，x 1＋x 2＝－2a ≥0，x 1x 2＝b 2≥0.设x 2＋2ax＋b 2＝0有两个非负实根为事件A ，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ |a |≥|b |，－1≤a ≤0，所在的区域为图中阴影部分(包括边界)，阴影部分的面积为1，所以事件A 发生的概率为P (A )＝S 阴影S 正方形＝12×2＝14.点评 在了解几何概型的基础上，解决实际几何概型问题与古典概型一样，都属于比例型解法，本题图中的a 、b 也可以交换位置，得出的结果将会是相同的；几何概型有长度型、面积型、体积型等类型．1．(2009·辽宁)四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 解析如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4.答案 B 2．(2011·福州模拟)为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其色包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．解析 由题意得正方形面积为S 正＝36. 点落在阴影部分的概率为P ＝200800＝14∴阴影部分的面积为S 阴＝36×14＝9.答案 9 3．(2011·湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析 由题意可得， 事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.答案 2。