人教版高中数学B必修3练习随机数的含义与应用

随机数的含义与应用教学设计徐万山一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想：（一）、旧知反馈（二）、自学引导三、合作探究（四）、思路点拨（五）、随堂检测（六）、巩固强化（七）、小结（八）、课后作业（九）、教学反思教学实施程序（二）、自学引导：（三）．合作探究：2768m21632m21732m2868m 3m的概率有多大？0,1]的均匀随机数2运用：伸缩、平移变换3计算点数之比4得到概率近似值1．随机模拟方法产生的区间[0,1]上实数A．非等可能的 B．0出现的机会少 C．1出现的机会少 D．是均匀分布的0,1]内的均匀随机数转化为[-1,3]内的均匀随机数，需要实施的变换为3为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其色包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有2021点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．1用均匀随机数进行随机模拟，可以解决（）A 只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B 不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C 不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D 最适合估计古典概型的概率2．几何概型的随机模拟试验中，得到阴影内的样本点数为N1，试验次数为N下列说法正确的是A．N1与N的大小无关是试验中的频率是试验中的概率 D．N越大，错误!应越小何概率公式，引入新课。

随机数的含义与应用3．3.1 & 3.3.2几何概型随机数的含义与应用预习课本P109～114，思考并完成以下问题(1)什么是几何概型？(2)几何概型的概率计算公式是什么？(3)随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？[新知初探]1．几何概型(1)定义：事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．(2)计算公式：P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．2．随机数(1)含义随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．(2)产生①在函数型计算器上，每次按SHIFT Ran#键都会产生一个0～1之间的随机数．②Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数．如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand()*(b－a)＋a得到．[小试身手]1．用随机模拟方法得到的频率()A．大于概率B．小于概率C．等于概率D．是概率的近似值答案：D2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19B.18C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是( )A.π3B.4π3C.8π3D.16π3解析：选D 设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π3.故选D.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________． 解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－01－(－1)＝12.答案：12[典例] (1)．(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.答案：23(2)解：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.1．解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115. (3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.与面积和体积有关的几何概型[典例]B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14 C.38D.12(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.(2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.[答案] (1)B (2)231．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π解析：选D 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. 2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8解析：选B 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.[典例] 利用随机模拟法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积．[解] 设事件A ＝“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”． S1 用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足－1<x <1,0<y <2x (即点落在阴影部分)．首先置n ＝0，m ＝0；S2 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x 表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间均匀随机数y 表示所投的点的纵坐标；S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y <2x ，如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1，如果不是，m 的值保持不变；S4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．程序结束后事件A 发生的频率mn 作为事件A 的概率的近似值．设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P (A )＝S 4.所以m n ＝S4.所以S ＝4mn .即为阴影部分面积的近似值．利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P (A )＝N 1N ；(3)设阴影部分的面积是S ，规则图形的面积是S ′，则有S S ′＝N 1N ，解得S ＝N 1N S ′，则已知图形面积的近似值为N 1N S ′.[活学活用]取一根长度为3 cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 cm 的概率有多大？解：设事件A ＝“剪得两段的长都不小于1 cm ”．S1 用记数器n 记录做了多少次试验，用记数器m 记录其中有多少个数出现在1～2之间(即得两段的长都不小于1 cm)，首先置n ＝0，m ＝0；S2 用变换rand( )*3，产生0～3之间的均匀随机数x ；S3 判断剪得两段是否长度都大于1 cm ，即是否满足1≤x ≤2，若是，则记数器m 的值增加1，即m ＝m ＋1，若不是，m 的值不变；S4 表示随机试验次数的记数器n 的值加1，即n ＝n ＋1；如果还需试验，则返回S2，继续执行，否则程序结束．程序结束后事件A 发生的频率mn作为事件A 的概率的近似值．[层级一 学业水平达标]1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )A.19 B.16 C.23D.13解析：选C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23，故选C.2.如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12⎝⎛⎭⎫13a ＋12a b ＝512ab . 故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab＝512.3．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴x 0∈[1,2]， 从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. 答案：234．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <12V S -ABC的概率是________． 解析：由V P -ABC <12V S -ABC知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC＝1－18＝78.答案：78[层级二 应试能力达标]1．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.2.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A.2πB.1π C.12D ．1－2π解析：选D S 扇形＝14×π×22＝π，S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2，∴P ＝π－2π＝1－2π. 4．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2＜1”，则P (A )为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：选A 如图，集合S ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y )与圆x 2＋y 2＝1内的点一一对应，所以P (A )＝π4.5．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________． 解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根， ∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.答案：146．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 答案：0.0057．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 答案：16π8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.即“射中黄心”的概率是0.01.9．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解：(1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P＝60°360°＝1 6.。

随机数的含义与应用.了解随机数的含义..掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法..会利用随机数模拟某一问题的试验来解决具体的有关概率的问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理随机数的含义与应用阅读教材～，完成下列问题..随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样..产生随机数的方法()用函数型计算器产生随机数的方法：每次按键都会产生～之间的随机数，而且出现～内任何一个数的可能性是相同.()用计算机软件产生随机数(这里介绍的是中产生随机数的方法)：①中用()函数来产生～的均匀随机数.每调用一次()函数，就产生一个随机数.②如果要产生～之间的随机数，可以使用变换()*(－)＋得到..计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法()建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关.()设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.按这样的思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法..判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()随机数只能用计算器或计算机产生.( )()计算机或计算器只能产生[]的均匀随机数，对于试验结果在[]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验.( )()是[]上的均匀随机数，则利用变量代换＝(－)＋可得[，]上的均匀随机数.( )【答案】()×()×()√.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为，其实际概率的大小为，则()> <＝是的近似值【解析】随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.【答案】.在区间(]内的所有实数中，随机取一个实数，则这个实数<的概率是( )【解析】∵∈()，∴(<)＝＝.【答案】.在边长为的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入粒豆子，恰有粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为.图--【解析】设阴影区域的面积为，则≈，≈.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：。

3.3随机数的含义与应用(人B 版必修3)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共25分）1.取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ） A.B. C.D.2.如图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是( ) A.B. C.D.3cm2cmaa ab1123第2题图 第3题图3.如图，在一个边长为，（＞＞0）的矩形内画 一个梯形，梯形上、下底分别为31与21，高为， 向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的 概率为( ) A.B. C.D.4.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是( ) A.B. C.D.5.如图，在直角坐标系内，射线落在60°角的终边上，任作一条射线，则射线落在∠内的概率 是( )A.B. C.D.xyOAT第5题图 第6题图二、填空题（每小题5分，共15分） 6.如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的 正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内 的概率为_________.7．三角形ABC 中，E F G ，，为三边的中点，若在三角形上投点且点不会落在三角形ABC 外，则落在三角形EFG 内的概率是 ．8.在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点作射线，则使得∠和∠都不小于30°的概率是 ． 三、解答题（每小题12分，共60分）9.在2 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种 子，从中随机取出10 mL ，含有麦锈病种子的概率 是多少？10. 在等腰Rt△中，在斜边上任取一点，求的长小于的长的概率. 11.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.12.平面上画了一些彼此相距2的平行线，把一枚半径＜的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率. 13．在区间(01)，上随机取两个数，求关于的一元二次方程有实根的概率．3.3随机数的含义与应用(人B版必修3)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6. 7. 8.三、解答题9.10.12.13.3.3随机数的含义与应用(人B 版必修3)答案一、选择题1. 解析：记“两段的长都不小于1 m”为事件A ，则只能在中间1 m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1 m ，所以事件发生的概率 P(A)=.2. 解析：由题意可得：此事件的概率符合几何概率模型．因为边长为3 cm 的正方形面积为9 cm 2，边长为 2 cm 的正方形面积为4 cm 2，所以由几何概型公式可得：所投的点落入小正方形内的概率P=.3. 解析：本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 即事件A 的概率P （A ）只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．4. 解析：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则灯只能在中间2 m 的绳子上挂，所以事件A 发生的概率P(A)=.5. 解析：∵ 周角等于360°，∴ 任作一条射线OA ，它的运动轨迹可以绕原点旋转一周，∴ 所有的基本事件对应的图形是360°角的整个平面区域．∵ 射线OT 落在60°角的终边上，∴ 若A 落在∠xOT 内，符合题意的事件对应的图形是所成角为60°角的两条射线之间的区域，记事件B=任作一条射线OA ，OA 落在∠xOT 内，可得所求的概率为（B ）=.二、填空题6. 解析：据题意可得此问题是几何概型.因为半圆的半径为1，所以其面积为.因为正方形的边长为，所以其面积为. 所以该点落在正方形内的概率为.7. 解析：由题意得 ∴ 所求概率=.8. 解析：选角度作为几何概型的测度，则使得∠与∠都不小于30°的概率P. 三、解答题９.解：记“从中随机取出10 mL 含有麦锈病种子”为事件，由题意可得，所求的概率属于几何概型， ∴ 由几何概型的计算公式可得=.10.解：在等腰中，设长为1，则长为，在上取一点，使=1，则若点在线段上，满足条件． ∵ =1，=，∴ 的长小于的长的概率为. 11.解：如图所示,长方形面积为20×30=600()， 小长方形面积为26×16=416()，所以海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率为=.第11题图 第12题图12.解：为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ；线段OM 长度的取值范围就是[0，a]，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平行线相碰， 所以所求事件A 的概率就是P=（a-r ）÷（a-0）=.13.解：在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，因为是(01)，中任意取的两个数，所以点()m n ，与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程有实根， 则事件所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为18．故由几何概型公式得1()8S P A S ==阴影正方形， 即关于x 的一元二次方程有实根的概率为18．第13题图。

人教版高一年级第三章第三节《随机数的含义与应用》教学设计二、教学分析三、教学设计例1．随机模拟投硬币的试验，估计掷得正面的概率。

因为课堂时间有限，已留为作业，各小组的展示在刚才课前引入已经提及。

例 2 利用随机数和几何概型求π的近似值。

要区间是不一样的，我们要是根据问题而定。

问如何理解机会一样？老师总结机会是自然语言它的数学语言叫概率，即发生的概率一样。

教师展开模拟实验，用计算器产生一个0~1之间的随机数，如果这个数在0~0.5之间，则认为硬币正面向上，如果这个随机数在0.5~1之间，则认为硬币正面向下。

并用超链接展示实验的全部过程产生数据，整理数据，分析数据，画统计图的全部过程。

整个过程用时一分半，这比同学们课前经过小组合作完成的实验结果缩短了很多时间，充分体现了计算机模拟法的优势。

需要建立数学模型求，什么样的模型和π有关？教师总结，圆的面积和π有关，建立数学模型，设计一个算法用计算机模拟这个撒豆的试验，程序结束后可以求π的近似值。

超链接一个撒豆试验计算机演示图，连接一个微课具体说明此题建立一个概率模型，它与我们感兴趣的量有关。

然后设计适当的试验，并通过这个试验结果来确定学生回答学生讨论完成，引导学生说出边长为2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率π的值．如果我们把“在正方形中撒豆子”看成试验，把“豆子落在圆中”看成随机事件A．则落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数的比值就是引导学生体会频率的随机性与相对稳定性，一般地，试验的次数越多，估计值的精确度就越高。

让学生经历用计算机产生数据，整理数据，分析数据，画统计图的全过程，使学生相信统计结果的真实性、随机性及规律性通过问题的思考和解决，使学生理解模拟方法的优点，并充分利用信息技术的优势。

245分9分D n m 22.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B.π4C.π6 D.π83.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（ ）的整个过程中，教师做好课堂巡视，加强对个别学生的指导学生回答进行评价助于保持学生学习的热情和信心，这3道题都是高考题，让学生体会这节课在考试中的题型课堂小结2.1利用几何概型的概率公 式，结合随机模拟试验， 可以解决求概率、面积、 参数值等一系列问题，体 现了数学知识的应用价值学生归纳总结学生自主回顾本节内容，在自我反思的基础上，学会梳理知识，培养归纳总结能力。

3.3随机数的含义与应用(人B 版必修3)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共25分） 1.取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ） A.B. C.D.2.如图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是( ) A.B. C.D.3cm2cmaaa b1123第2题图 第3题图 3.如图，在一个边长为，（＞＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31与21，高为，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.B. C.D.4.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是( )A.B. C.D.5.如图，在直角坐标系内，射线落在60°角的终边上，任作一条射线，则射线落在∠内的概率 是( )A.B. C.D.xyOAT第5题图 第6题图二、填空题（每小题5分，共15分） 6.如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.7．三角形ABC 中，E F G ，，为三边的中点，若在三角形上投点且点不会落在三角形ABC 外，则落在三角形EFG 内的概率是 ．8.在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点作射线，则使得∠和∠都不小于30°的概率是 ．三、解答题（每小题12分，共60分）9.在2 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种 子，从中随机取出10 mL ，含有麦锈病种子的概率 是多少？10. 在等腰Rt△中，在斜边上任取一点，求的长小于的长的概率.11.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.12.平面上画了一些彼此相距2的平行线，把一枚半径＜的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率. 13．在区间(01)，上随机取两个数，求关于的一元二次方程有实根的概率．3.3随机数的含义与应用(人B版必修3)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6. 7. 8.三、解答题9.10.11.12.13.3.3随机数的含义与应用(人B版必修3)答案一、选择题1. 解析：记“两段的长都不小于1 m”为事件A，则只能在中间1 m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1 m，所以事件发生的概率 P(A)=.2. 解析：由题意可得：此事件的概率符合几何概率模型．因为边长为3 cm的正方形面积为9 cm2，边长为2 cm的正方形面积为4 cm2，所以由几何概型公式可得：所投的点落入小正方形内的概率P=.3. 解析：本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．即事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．4. 解析：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则灯只能在中间2 m的绳子上挂，所以事件A发生的概率P(A)=.5. 解析：∵周角等于360°，∴任作一条射线OA，它的运动轨迹可以绕原点旋转一周，∴所有的基本事件对应的图形是360°角的整个平面区域．∵射线OT落在60°角的终边上，∴若A落在∠xOT内，符合题意的事件对应的图形是所成角为60°角的两条射线之间的区域，记事件B=任作一条射线OA，OA落在∠xOT内，可得所求的概率为（B）=.二、填空题6. 解析：据题意可得此问题是几何概型.因为半圆的半径为1，所以其面积为.因为正方形的边长为，所以其面积为. 所以该点落在正方形内的概率为.7. 解析：由题意得∴所求概率=.8. 解析：选角度作为几何概型的测度，则使得∠与∠都不小于30°的概率P.三、解答题９.解：记“从中随机取出10 mL含有麦锈病种子”为事件，由题意可得，所求的概率属于几何概型，∴由几何概型的计算公式可得=.10.解：在等腰中，设长为1，则长为，在上取一点，使=1，则若点在线段上，满足条件．∵=1，=，∴的长小于的长的概率为.11.解：如图所示,长方形面积为20×30=600()，小长方形面积为26×16=416()，所以海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率为=.第11题图第12题图12.解：为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M；线段OM长度的取值范围就是[0，a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P=（a-r）÷（a-0）=.13.解：在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m n，的值，因为是(01)，中任意取的两个数，所以点()，与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全m n部试验结果的区域．设事件A表示方程有实根，则事件所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为18．故由几何概型公式得1 ()8SP AS==阴影正方形，即关于x的一元二次方程有实根的概率为18．第13题图。

1．在单词Probability(概率)中任意选择一个字母，则该字母为b 的概率为( )A.311B.211C.15D.25解析：选B.单词Probability 中共11个字母，其中含有2个b ，故所求概率为211. 2．用1,2,3,4四个数字编四位密码(不重复)，则密码恰为连号(1234或4321)的概率为( ) A.18 B.112C.116D.124答案：B3．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8答案：C4．在5名学生(3名男生，2名女生)中安排2名学生值日，其中至少有1名女生的概率是________．答案：0.75．如图所示，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是________．解析：设正方形边长为2a ，则内切圆的半径为a ，所以所求概率为P ＝S 圆S 正方形＝πa 24a 2＝π4. 答案：π4一、选择题1．将区间[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( )A ．a ＝a 1]B.a ＝a 1]D.a ＝a 1]解析：选C.根据伸缩平移变换a ＝a 1]2．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )A ．rand()*8B ．rand()*8＋2C ．rand()*8－2D ．rand()*6答案：C3．若x 可以在－4≤x ≤2的条件下任意取值，则x 是负数的概率是( )A.14B.34C.13D.23答案：D4．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( )A.12B.13C.14D ．1 解析：选B.因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意三点，任何一个数在中间的概率相等且都为13. 5．某人下午欲外出办事，我们将12∶00～18∶00这个时间段称为下午时间段，则此人在14∶00～15∶00之间出发的概率为( )A.13B.14C.16D.18解析：选C.所有可能结果对应的时间段为18－12＝6.事件发生的时间段为15－14＝1，∴P ＝16. 6．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( )A.613B.713C.413D.1013答案：B二、填空题7．b 1是[0,1]上的均匀随机数，b ＝(b 1－2)*3，则b 是区间________上的均匀随机数． 解析：设b 为区间[m ，n ]内的随机数，则b ＝b 1]答案：[－6，－3]8．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是________．解析：①A 的中奖概率为38最大． 答案：①9．在区间[－2,2]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2＜1的概率等于________．答案：π16三、解答题10．试用随机数把五名同学排成一列．解：S1 n ＝1；S2 用int(rand()*4)＋1产生一个[1,5]内的整数随机数x 表示学生的座号；S3 执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n ＝n ＋1；S4 如果n ≤5，则重复执行S3，否则执行S5；S5 按座号的大小排列，程序结束．11.如图所示，曲线y ＝x 2与y 轴、直线y ＝1围成一个区域A (图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积．解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据落在区域A 内的豆子数落在正方形内的豆子数≈区域A 的面积正方形的面积，即可求区域A 面积的近似值．例如，假设撒1000粒豆子，落在区域A 内的豆子数为700，则区域A 的面积S ≈7001000＝0.7.法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：第一步，产生两组0～1内的随机数，它们表示随机点(x ，y )的坐标．如果一个点的坐标满足y ≥x 2，就表示这个点落在区域A 内．第二步，统计出落在区域A 内的随机点的个数M 与落在正方形内的随机点的个数N ，可求得区域A 的面积S ≈M N .12．如图，在长为4、宽为2的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆面积，并估计π值．解：设事件A 表示：“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆内”．(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x 1＝rand()，y 1＝rand()．(2)经过伸缩平移变换x ＝x 1]N 1,N )，即为概率P (A )的近似值．半圆的面积为S 1＝2π，矩形的面积为S ＝8.由几何概型概率公式得P (A )＝π4.所以N 1N ≈π4， 所以4N 1N 即为π的近似值，半圆的面积即为8N 1N.。

3.3随机数的含义与应用1.某人睡午觉醒来后,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待小于10min的概率为()A. B. C. D.解析:由题意μΩ=60,μA=10,∴P(A)=.答案:A2.在长为10cm的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π~64π cm2的概率是()A. B. C. D.解析:如图,以AG为半径作圆,圆面积介于36π~64πcm2,则AG的长度应介于6~8cm之间.所以所求概率P(A)=.答案:D3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为()A. B. C. D.无法计算解析:利用几何概型的概率计算公式知,∴S阴=S正方形=.答案:B4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是()A. B. C. D.解析:如图,在AB边取点P',使,则P只能在AP'上(不包括P'点)运动,则概率为.答案:C5.在区间[-1,1]上任取两数x和y,组成有序实数对(x,y),记事件A为“x2+y2≤1”,则P(A)为()A. B.C.πD.2π解析:如图,集合S={(x,y)|x≥-1,y≤1},则S中每个元素与随机事件的结果一一对应,而事件A所对应的事件(x,y)与圆面x2+y2≤1内的点一一对应,∴P(A)=.答案:A6.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上取一点M,则AM的长小于AC的概率为.解析:在AB上截取AC'=AC,于是P(AM<AC)=P(AM<AC')=.即AM的长小于AC的长的概率为.答案:7.设有一个正方形网格,其中每个小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上,则硬币落下后与格线有公共点的概率是.解析:硬币的直径为2,所以半径为1.硬币的圆心距正方形各边的距离都大于1cm时,硬币与格线没有公共交点,也就是硬币的圆心落在一个边长为4cm的正方形内,硬币与格线没有公共点的概率为:1-.答案:8.在边长为2的正△ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是.解析:以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求.∴P=.答案:9.向图中所示正方形内随机地投掷飞镖,求飞镖落在阴影部分的概率.解:由于随机地投掷飞镖,飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的,则符合几何概型的条件.S阴影=,S正方形=22=4,则P=.10.设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.分析:两问中的基本事件都是“取出一对实数a,b的值”,但第(1)问中的基本事件总数有限并且各基本事件之间是等可能的,属于古典概型;第(2)问中的基本事件总数无穷并且各基本事件之间是等可能的,属于几何概型.解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a>0,b>0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的等价条件为Δ=4a2-4b2=4(a2-b2)≥0,即a≥b.(1)基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为P(A)=.(2)试验的所有基本事件所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},其中构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为.11.小明一家订阅的晚报会在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?解:建立如图所示的坐标系.图中直线x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G,该试验的所有结果都与区域G内的点(x,y)一一对应.由题意知,每次结果出现的可能性是相同的,是几何概型.(1)作射线y=x(x>0).晚报在晚餐前送达即y<x,因此图中阴影部分表示事件A:“晚报在晚餐前送达”.而G中空白部分则表示事件B:“晚报在晚餐开始后送到”.由图知事件A发生的可能性大.(2)易求G的面积为1,而g的面积为,由几何概型的概率公式可得P(A)=.。