下载文档原格式
数学人教B必修3第三章3.3 随机数的含义与应用1．理解几何概型的意义．2．掌握几何概型问题的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．3．了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括用计算机产生随机数来进行模拟)估计事件的概率．1．几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的____________成正比，而与A的__________无关，满足以上条件的试验称为几何概型．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．【做一做1】下列概率模型中，是几何概型的有()．①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率．A．1个B．2个C．3个D．4个2．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率定义为________，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．运用几何概型的概率公式P(A)＝μAμΩ需注意：(1)μΩ不为0.(2)其中“μΩ”的意义依Ω确定，当Ω分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的“μΩ”分别是长度、面积和体积．(3)区域为“开区域”．(4)区域Ω内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比，而与其形状、位置无关．【做一做2】如图，在正方形围栏内均匀散布着米粒，一小鸡在其中随意啄食，则小鸡正在正方形的内切圆中的概率为________．3．随机数随机数就是__________随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的______一样．它有很广阔的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复的试验．学习用随机模拟方法近似求事件的概率，条件不具备的可以用计算器等其他简便易行的方法，进行简单的模拟试验，统计试验结果，并计算频率估计概率，从中领会概率的意义和统计思想．【做一做3】将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )．A ．rand( )*8B ．rand( )*8＋2C ．rand( )*8－2D ．rand( )*61．古典概型与几何概型的异同剖析：古典概型与几何概型都是概率类型的一种，它们的区别在于：古典概型的基本事件数为有限个，而几何概型的基本事件数为无限个；共同点在于：两个概型都必须具备等可能性，即每个结果发生的可能性都相等．判断一次试验是否是古典概型，有两个标准来衡量：一是试验结果的有限性，二是试验结果的等可能性，如果这两个标准都符合，则这次试验是古典概型，否则不是古典概型；判断一次试验是否是几何概型有三个标准：一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形测度的问题．如果一次试验符合这三个标准，则这次试验是几何概型．这两种概率模型的本质区别是试验结果的种数是否有限．2．基本事件的选取对概率的影响 剖析：先比较以下两道题：(1)在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM ＜AC 的概率．(2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．这两道题虽然都是在等腰Rt △ABC 中求AM ＜AC 的概率，但题干明显不同，题目(1)是“在斜边AB 上任取一点M ”，而题目(2)是“在∠ACB 内部任作一条射线CM ”，其解答分别如下：(1)在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22. (2)在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的．在AB 上取AC ′＝AC ，则△ACC ′是等腰三角形，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°，故满足条件的概率为67.5°90°＝0.75.由此可见，背景相似的问题，当基本事件的选取不同，其概率是不一样的．题型一 与“长度”有关的几何概型【例1】某公共汽车站每隔15 min 有1辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求1个乘客到达车站后候车时间大于10 min 的概率．分析：把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用几何概型求解．反思：在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d .在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．题型二 与“面积”有关的几何概型【例2】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．分析：甲、乙两人中每人到达会面地点的时间都是6时到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间．用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x ，y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间，而能会面的时间由|x －y |≤15所对应的区域表示．由于每人到达的时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到的(即基本事件等可能发生)．所以两人能会面的概率只与|x －y |≤15所对应的区域的面积有关，这就转化为面积型几何概率问题．反思：(1)此题涉及两个变量，因而可以在直角坐标系下讨论此问题． (2)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.题型三 与“体积”有关的几何概型【例3】已知正三棱锥SABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．分析：首先作出到底面距离等于h2的截面，然后再求这个截面的面积，进而求出有关体积．反思：解与体积有关的几何概型时要注意：(1)寻求区域d 在区域D 中的分界面，但要明确是否含分界面不影响概率大小． (2)每个基本事件的发生是“等可能的”．(3)概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.题型四 与“角度”有关的几何概型 【例4】已知半圆O 的直径为AB ＝2R . (1)过A 作弦AM ，求使弦AM ＜R 的概率； (2)过A 作弦AM ，求使弦AM ＞R 的概率；(3)作平行于AB 的弦MN ，求使弦MN ＜R 的概率； (4)作平行于AB 的弦MN ，求使弦MN ≥R 的概率．分析：过A 作弦应理解为过A 作射线AM 交半圆于M ，作AB 的平行弦MN ，可以理解为过垂直于AB 的半径上的点作平行于AB 的弦．反思：(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率计算公式为P (A )＝事件A 构成区域的角度试验的全部结果构成区域的角度.(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的． 题型五 利用随机模拟实验估计图形的面积【例5】利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积．分析：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计．反思：在解答本题的过程中，易出现将点(a ，b )满足的条件误写为b ＞2－2a －a 2，导致该种错误的原因是没有验证阴影部分的点(a ，b )应满足的条件．题型六 易错辨析【例6】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成三条，试求这三条线段能构成三角形的概率．错解：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞12，x ＋y ＜1，所以12＜x ＋y ＜1.所以P ＝(12，1)(0，1)＝121＝12.错因分析：本题误把长度作为几何度量当成本题的模型．1小明往下面的靶子上投石子，最容易投中黑色区的是( )．2一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在阴影部分方砖上的概率是( )．A ．18B ．79C ．29D ．7163在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为( )．A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π84如图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．5一条均匀的绳子长为20 m ，在一次拔河比赛中(假设每点受力均匀)被拔断，断点离中点不到2 m 的概率为________．答案： 基础知识·梳理1．几何度量(长度、面积或体积) 位置和形状【做一做1】 B 第一个概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]内有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；第二个概率模型是几何模型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]内都有无数多个数，且在这两个区间内的每个数被取到的可能性相等；第三个概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，是有限的；第四个概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数个点，且点P 落在任何一点处都是等可能的．2．P (A )＝μAμΩ【做一做2】 π43．在一定范围内 机会 【做一做3】 C 典型例题·领悟【例1】 解：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T =5，T 2T =10.如图所示．记候车时间大于10 min 为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，设区域D 的测度为15，则区域d 的测度为5.所以()51=153d P A D ==的测度的测度.答：候车时间大于10 min 的概率是13. 【例2】 解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，如图，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝716.答：两人能会面的概率是716.【例3】 解：如图所示，在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于2h.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 的面积为4S . 由题意，区域D 的体积为13Sh ，区域d 的体积为1117334238S h Sh Sh -⋅⋅=⋅. ∴78P =.∴点M 到底面的距离小于2h 的概率为78.【例4】 解：(1)如图①所示，过点A 作⊙O 的切线AE ，作弦AM ′＝R .由平面几何知识，∠M′AB ＝60°，∠M ′AE ＝30°，∴P (AM ＜R )＝P (AM ＜AM ′)＝P (∠EAM ＜∠EAM ′)＝∠EAM′的大小∠EAB 的大小＝30°90°＝13.(2)类似于(1)可求P (AM ＞R )＝60°90°＝23.①②(3)如图②所示，过点O 作半径OE ⊥AB ，作弦M′N′∥AB ，交OE 于点E ′，且M′N′＝R .连接OM′，则OE′＝32R ，EE′＝R －32R ＝2－32R .∴P (MN ＜R )＝P (MN ＜M′N′)＝EE′OE ＝2－32.(4)类似于(3)可求P (MN ≥R )＝OE′OE ＝32.【例5】 解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1，b 1.(2)经过平移和伸缩变换，a ＝4a 1－3，b ＝3b 1，得到一组[－3,1]，一组[0,3]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1(满足条件b ＜2－2a －a 2的点(a ，b )数)．(4)计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S ，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S12，∴S 12≈N 1N . ∴S ≈12N 1N 即为阴影部分面积的近似值．【例6】 正解：设三条线段的长度分别为x ，y ,1－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1，0＜1－x －y ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜－x ＋1.在平面上建立如图所示的直角坐标系，围成三角形区域G ，每对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．记事件A ＝{三条线段能构成三角形}，则事件A 发生当且仅当 >11>1>x y x y x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－－，－，－，即1,21,21.2y x x y ⎧>-+⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”，即事件A 发生．容易求得g 的面积为18，G 的面积为12，则P (A )＝g 的面积G 的面积＝14.随堂练习·巩固1．B 2．C 3．A4．49“随机”才具有“等可能性”，属于几何概型；由几何概型的计算公式得P ＝小正方形的面积大正方形的面积＝2232＝49.5．15。
