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n 2
1 n 2 lim i 1 3 n n i 1
n 1 n2n 1 1 lim .
n
6n 3
3
这里利用了连续函数的可积性. 因为可积, 所以 i 1 . 可取特殊的分割(等分)和特殊的介点 i n
注3.积分的几何意义:
曲边梯形面积
当 T max xi 时,必有
f ( )x
i 1 i
b a
n
i
J ,
则称 f 在 [a , b] 上可积， 并称 J 为 f 在 [a,b]上的
定积分, 记作 J f ( x )dx lim
T 0
f ( i )Δxi .
i 1
n
其中称 f 为被积函数, [a , b] 为积分区间, x 为积
T max Δxi i 1, 2, , n .
则当 T 0 时, 就能保证分割越来越细.
(2) 要刻画 f ( i )xi能无限逼近 S , 需要任意
i 1
n
给定的 0, 能够找到 0, 使得当
对任意 i [xi 1 , xi ], T max xi 时，
b
关于定积分定义，应注意以下几点：
注1 和式 f ( i )Δxi 不仅与 n 和 T 有关,还与
i 1
n
{1 , 2 , , n } 有关, 因此定积分的极限既不是数
列极限，也不是函数极限.
注2 并非每个函数在[a, b]上都可积. 在近似过程
中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时, 显然要求
一分为二
y
y f x
S ( A)
O
a
x1
b
x
一分为四
y
y f x
S ( A)
O
a
x1
x2
x3
b
x
一分为八
y
y f x
S ( A)
O
a x1
x3
x81 b
x
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形 的面积.
一分为 n
y
y f x
S ( A)
O
a x1
即
a
b
f ( x ) d x f ( t ) dt f ( u ) du
a
a
b
b
i [ xi 1 , xi ], 在 [ xi 1 , xi ] 上把 f ( x )近似看作常数
f ( i ). 此时Ai 的面积 Si 约为 f ( i )xi , 所以
S ( A) S i f ( i )Δxi .
i 1 i 1 n n
上述和式 f ( i )Δxi 称为积分和或黎曼和.
xi 1 xi
i
xn1 b
x
如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割： 把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形 A1 , A2 ,, An , 即在 [a , b] 上插入 n 1个分点 { x1 , x2 , , xn1 }, a x1 x2 xn1 b,
i 1
n
3. 逼近： 不管分割多么细，小曲边梯形终究不是 矩形, 因此黎曼和 f ( i )Δxi 与曲边梯形的面积
i 1 n n
S 总有差别. 当分割越来越细时, 和式
f ( )Δx
i 1 i
i
与 S 的差距 就会越来越小.
问题是：
(1) 如何刻画分割越来 越细？
(2) 如何刻画 f ( i )Δxi 越来越逼近于 S ?
数学分析 第九章 定积分
§1 定积分的概念
在很多数学和物理问题中，经常 需要求一类特殊和式的极限:
lim
T
0
f ( ) x ,
i 1 i i
n
这类特殊极限问题导出了定积分的概念.
三个典型问题
1. 设 y f ( x ) , x [a , b], 求曲边梯形 A 的面积 S (A), 其中
曲边梯形面积的负值
y
A1 a A3 A2 O
f ( x ) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
A5 A4
b x
a
b
注4.为了以后讨论方便，规定
a a
f ( x ) d x 0;
定积分作为和式的极限，它的值只与被积函数和
积分区间有关 ，与积分变量用什么字母表示无关 ,
分变量, a , b 分别为积分下限和上限. 由定义, 曲边为 f ( x ) 的曲边梯形的面积为
S f ( x )dx .
a
b
通过类似分析,速度 v( t ) 质点运动的路程为
s v ( t )dt ;
a
b
密度为 ( x ) 线状物体的质量为
m ( x )dx .
a
都有
f ( )Δx －S
i 1 i i
n
.
对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和 的极限.
总结以上分析，下面给出定积分定义.
定义1
设 f 是定义在 [a , b] 上的函数， J R. 若 0， 0, 对任意分割 T : a0 x0 x1 xn b, 及任意 i [xi 1 , xi ] , i 1,2,, n,
i 1 n
下面依次讨论这两个问题.
(1) 对于一般的T：a0 x0 x1 xn b, 不能
用 n 来表示分割 T 越来越细, 因为可能某些
区间 [ xi 1 , xi ] 的长度不趋于 0 . 要保证每个区间
[ xi 1 , xi ] 的长度趋于0, 需引入分割 T 的细度(模):
f (x)在每个小区间[xi–1, xi]上变化不大, 这相当于
要求 f (x) 有某种程度上的连续性.
以后将知道 f (x) 在[a, b] 上连续时, 利用 f (x) 在
[a, b] 上的一致连续性, 可证 f (x)在[a, b]上可积. 下面举例来加深理解用定义求定积分的方法. 例1 求 x 2dx .
0 1
1] 上连续，故 解 f ( x ) x 2 在 [0，
S x 2dx = lim
0 1 T 0 2 i Δxi i 1 n
存在.
为方便起见, 令 1 2 n1 Tn : 0 1, n 1,2,, n n n 则 1 Tn maxxi 0 n , 1 i n n
xn1 b 为方便起见，记 x0 a, xn b，
a x1 x 2
i [xi 1 , xi ], xi xi xi 1 , i 1, 2,, n,
用T x0 , x1 , , xn 或T = Δ0 , , Δ n 来记这个分割.
2. 近似: 把小曲边梯形 Ai 近似看作矩形，即任取
( x ) , x [a , b] , 求线状物体的质量 m .
显然, 当 f ( x ) c 为常值函数时， S ( A) c(b a );
当 v( t ) v0 为匀速运动时, s v0 (b a ); 当质量为
均匀分布时， 即 x 为常数时, m (b a ).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情
情况下，可以用简单的乘法进行计算.
而现在遇到的问题是“非常值” 、“不均匀”、 “有变化”的情形, 如何来解决这些问题呢？
以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合 理地归为一类特殊和式的极限. 中心思想：
每个 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和， 小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代, 虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的时候, 矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.
A ( x , y ) | x [a , b] , 0 y f ( x ) .
y
y f x
S ( A)
O
a
b
后退
x
前进
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退出
2. 已知质点运动的速度为 v ( t ) , t [a , b]. 求从时刻 a 到时刻 b,质点运动的路程 s. 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为
i 1 i 1 i 取 i , , i 1,2,, n, n n n
i 1 1 此时黎曼和的极限化为数列 S n i 1 n n
n
2
的极限.
于是
i 1 1 S lim n i 1 n n
