高等数学——不定积分课件

cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
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(6) f (tan x)sec2 xdx
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m

诚毅高数不定积分课件
目录
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的性质和定理 • 不定积分的综合应用 • 习题解答与解析
01
不定积分的概念
不定积分的定义
积分上限函数
不定积分定义为积分上限函数，即一 个函数的不定积分是其原函数在某个 区间上的最大值和最小值之间的差值 。
原函数
不定积分的结果称为原函数，它表示 被积函数的一个可导函数。
要点二
详细描述
积分中值定理的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连 续，则至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = ∫(a→b) f(x) dx 。这个定理在解决一些积分问题时非常有用，因为它可以 将一个复杂的积分问题转化为一个简单的求值问题。
牛顿-莱布尼茨定理
总结词
牛顿-莱布尼茨定理是微积分学中一个重要 的基本定理，它给出了定积分的计算方法。
详细描述
积分第二中值定理的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，且同号，那么 存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a→b) f(x)g(x) dx = f(ξ)∫(a→b) g(x) dx = g(ξ)∫(a→b)
f(x) dx。这个定理在解决一些涉及两个函数的积分的复杂问题时非常有用。
不定积分在物理学中的应用
总结词
阐述不定积分在物理学中的重要性和实际效果
详细描述
不定积分在物理学中扮演着关键的角色，特别是在解决 与速度和加速度相关的问题时。通过不定积分，我们可 以找到物体的速度和加速度的表达式，进而解决物理问 题。此外，不定积分在电磁学、光学和量子力学等领域 也有广泛的应用。
不定积分在经济学中的应用
04
不定积分的综合应用

(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C; (11) csc x cot xdx csc x C; (12) e xdx e x C; (13) a xdx a x C;
6. x xdx ______________________；
7.
dx
x2 x
_______________________；
8. ( x2 3x 2)dx _________________；
9. ( x 1)( x3 1)dx _____________；
10.
(1
x)2 x
dx
或 f ( x)dx在区间 I 内原函数(.primitive function )
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理 原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.

2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−

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例求co2s2xdx.
解
cos2
x 2
dx
1c2osxdx
12(dxcoxsdx)
1(xsinx)C 2
例求tan2xd.x
解 tan2xdx(se2xc1)dx
se2x cdx dx ta x x n C
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例 求不定积分
1 d x. x3 x
证明：
[ k f ( x ) d x ] k [ f ( x ) d x ] k f ( x ) [ k f ( x ) d x ] .
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五、积分的应用模型实例
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由于经济函数的边际就是经济函数的导数，所以， 由经济函数的边际通过计算不定积分，即可求出经济函数。 步骤如下：
证明： f(x )d x F (x ) C , ( F (x ) C ) f(x ) 结论性质：2 F (x )d x F (x ) C , d(F x)F (x)C .
注：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.两个运算在一起时，
d 完全抵消， d 抵消后相差一常数。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即

dx.
6x 1
3(2x 1) 4
(2x 1)10 dx (2x 1)10 dx
3
4
( (2x
1)9
(2x
1)10
)dx
1
2
3d(2 (2x
x
1) 1)9
1 2
4d(2x 1) (2 x 1)10
3 ( 1) (2x 1)8 2 ( 1) (2x 1)9 C
例8
计算（5）
2x 1 x2 4 x 5 dx.
例8
计算（6）
6x 1 (2 x 1)10
dx.
例8
计算（7）
1
x
x
dx.
例8
计算（8）
(1
x x)3
dx.
例8
计算（1）
1 x2 a2 dx;
x2
1
a2 dx
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x a) x a
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
f
(arctan
x)d(arctan
x)
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1
原式
1 x2 dx d(arctan x)
(2
arctan
x)2
tan
x
1
sec
d(tan x
x
sec

如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx

证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x)， x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).

不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。

幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。

考察不定积分 cos 3xdx.
显然cos 3x的原函数不能由基本积分公式直接求出,
但cos3x是基本初等函数f (u) = cosu与 u=3x的复合函数.
sin 3x' 3cos3x,1 sin 3x就是cos3x的一个原函数.
3
cos 3x的原函数与cos u的原函数关系密切,前者可通过后者求得.
表达式.
定义2 若F(x)是函数f (x) 在区间I上的一个原函数,
则f (x)的原函数的一般表达式F(x)+C称为f (x)的不定积
分，记作 f (x)dx,即
f (x)dx F(x) C,
其中 称为积分号，f (x)称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式,
x称为积分变量, C称为积分常数.
(3)如果f (x)有多个原函数，那么这些原函数之 间有什么关系？
对此有如下三个定理:
定理1(原函数存在定理)
如果f (x)在某一区间连续，那么它在该区 间的原函数一定存在. 注 (1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故 初等函数在其定义域内都有原函数.
(2)一个函数的原函数不是唯一的.
定理2
证明 G 'x F 'x f x, x I, G x F x ' G '(x) F '(x) f (x) f (x) 0, x I.
由Lagrange中值定理，知
Gx F x C0, xI，
其中 C0是常数.
证毕
由定理2和3知,若F(x) 是f (x)的一个原函数,则 f (x) 的所有原函数全体就是形如F(x)+C的函数构成的集, 其中C为任意常数. 因此,F(x)+C是f (x)的原函数的一般

启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 本 积 分 表
(1) kdx kx C (k是常数); (2) xdx x1 C ( 1);
1
(3)

dx x

ln
x

C;
说明： x
x


0,

2 )dx
1 x2

3
1
1 x
2
dx

2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
求积分
1 x x2 x(1 x2 )dx.
解

1 x x2 x(1 x2 )
dx


x (1 x2 x(1 x2 )
)dx



1
x2 1
三、一曲线通过点( e 2 , 3 )，且在任一点处的切线的 斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
6、
2
x
5 2
C；
7、

2
x
3 2
C；
5
3
8、 x3 3 x2 2x C ； 32
(7) sin xdx cos x C;
(8)

dx cos2
x

sec2 xdx tan x C;
(9)

dx sin 2
x

1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1

性质3可以推广到有限个函数的情形． 不定积分的性质以及基本积分公式是求不定积分的
基础，记忆常见函数的积分公式，便能熟练计算可化为 几个基本初等函数线性组合的积分．在应用这些公式时, 有时需要对被积函数作适当变形,化成能直接套用基本积 分公式的情况，一般称这种不定积分计算方法为直接积 分法.
现将常见的一些基本积分公式列表如下：
就简，略去设中间变量和换元的步骤，而直接凑成
基本积分公式的形式．
例4.2.5
求
x
1 ln
dx x
分析 将 1 作为 x ，将其凑成微分部分.
x
解：
x
1 ln
dx x
1 dln
ln x
x
lnlnxC
例4.2.6
求
1 a2 x2 dx
分析
凑微分，利用积分公式
1
1 x
2
dx
arc
tan
x
C
计算.
sin
udu
1cosu C 3
1 cos3x C 3
例4.2.3
求
1 dx. 2 x +7
解
被积函数
1 2x+7
可看成
1 u与
u 2x+7
构成的复合
函数，虽没有 u 2 这个因子，但我们可以凑出这个
因子： 1 1 1 2 1 1 (2x 7) 2x+7 2 2x+7 2 2x 7
xC，
例4.1.3 求
x 1 x 1 dx x
分析 首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分.
解
x 1 x 1 dx x
x
x x 1
1 x
dx

1)
dx


1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t

f (t)
1
2
t3


f
(t )dt


1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.

v0t

x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx


f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2

2
x
ln
ex 2
1

5 ln 2

C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达