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高一下册数学第十章知识点第一节：复数1. 复数的定义复数是由实数和虚数部分组成的数，可以用a + bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
2. 虚数单位虚数单位i定义为 i^2 = -1。
在实数范围内，无法求解平方根的负数可以通过虚数单位i表示。
3. 复数的运算（1）复数的加减法：实部和虚部分别相加减即可。
（2）复数的乘法：利用i^2 = -1和分配律进行计算。
（3）复数的除法：先将分子分母乘以共轭复数，然后应用实数的除法规则。
4. 复数平面复数平面是将复数表示为平面上的点，实部对应x轴坐标，虚部对应y轴坐标。
复数的模表示点到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
第二节：指数函数与对数函数1. 指数函数指数函数的定义是y = a^x，其中a是常数且大于0且不等于1，x是自变量。
指数函数的图像可以分为以下情况：（1）a > 1时，函数递增且无上界。
（2）0 < a < 1时，函数递减且无下界。
（3）a = 1时，函数恒为1。
2. 自然指数函数自然指数函数的底数为常数e（约等于2.71828），可以简写为y = e^x。
自然指数函数有以下特点：（1）函数图像过点(0, 1)。
（2）函数递增且无上界。
3. 对数函数对数函数的定义是y = log_a(x)，其中a是常数且大于0且不等于1，x是自变量。
对数函数的图像可以分为以下情况：（1）a > 1时，函数递增且无下界。
（2）0 < a < 1时，函数递减且无上界。
4. 自然对数函数自然对数函数以e为底，可以简写为y = ln(x)。
自然对数函数有以下特点：（1）函数图像过点(1, 0)。
（2）函数递增且无下界。
第三节：三角函数1. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
它们的定义可以用单位圆上的点坐标来表达。
2. 正弦函数和余弦函数（1）单位圆上，一个角的对应弧长为x，其余边在x轴上的坐标为cos(x)，在y轴上的坐标为sin(x)。
第十章 曲线积分与曲面积分 复习要点§ 1 对弧长的曲线积分一、了解对弧长的曲线积分的概念与性质1. 定义：i i i ni L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中),(y x f 称为被积函数, L 称为积分路径.如果L 是闭曲线, 那么上述对弧长的曲线积分可记作ds y x f L ),(⎰.2. 性质:（1） 设1c 、2c 为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121⎰⎰⎰+=+（2）若积分路径21L L L += , 则ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(21⎰⎰⎰+= 二、掌握队弧长的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1. 将曲线L 方程代入被积函数f(x,y),使之转化为一元函数；2. 利用22)()(dy dx ds +=.将ds 化为曲线L 方程中自变量的微分；3. 曲线L 方程中自变量的取值范围为定积分的积分区间.应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β.例如，若曲线L 方程的方程为：)(x y ϕ=，b x a ≤≤ , 则dx x x x f ds y x f ba L ⎰⎰'+= 2)(1)](,[),(ϕϕ.若曲线L 方程的方程为：)(y x ψ=，d y c ≤≤ , 则dy y y y f ds y x f dc L ⎰⎰'+= 2)(1]),([),(ψψ.若曲线L 方程的方程为：)(t x ϕ=，)(t y ψ=，βα≤≤t , 则 dt t t t t f ds y x f L ⎰⎰⋅'+'=βαψϕψϕ 22)()()](),([),(§ 2 对坐标的曲线积分一、了解对坐标的曲线积分的概念与性质1. 定义： ∑⎰=→∆=n i i ii L x P dx y x P 10),(lim ),(ηξλ, 称为函数),(y x P 在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分.∑⎰=→∆=n i i ii L y Q dy y x Q 10),(lim ),(ηξλ,称为函数),(y x Q 在有向曲线L 上对坐标y 的曲线积分.对坐标的曲线积分的简写形式:dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L L L ),(),(),(),(+=+⎰⎰⎰2.对坐标的曲线积分的性质:(1) 若积分路径21L L L += , 则⎰⎰⎰+++=+21L L L Q d y P d x Q d y P d x Q d y P d x . (2) L 是有向曲线弧, 设L -是与L 方向相反的有向曲线弧, 则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.二、掌握对坐标的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1.将曲线L 方程代入被积函数P(x,y), Q(x,y)使之转化为一元函数；2. 利用曲线L 的方程将dy dx ,化为曲线L 方程中自变量的微分；3. 起点的坐标为定积分的下限，终点的坐标为定积分的上限（不论大小）若曲线L 方程的方程为：)(t x ϕ=，)(t y ψ=，被积函数P(x,y), Q(x,y) 在光滑有向曲线L 上的连续, 当参数t 单调地由α变到β时, 点),(y x M 从曲线L 的起点A 沿曲线L 运动到终点B , 则⎰⎰'=βαϕψϕdt t t t P dx y x P L )()](),([),(,⎰⎰'=βαψψϕdt t t t Q dy y x Q L )()](),([),(. 即 ⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),(.注意α不一定小于β .§ 3 格林公式及其应用一、格林公式设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P(x,y), Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数, 则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(, 其中L 是D 的取正向的边界曲线.曲线L 的正向规定如下: 当观察者沿曲线L 的这个方向行走时, 区域D 总在他的左边.应注意的问题:定理要求, 函数),(y x P 、),(y x Q 具有一阶连续偏导数，曲线L 是区域D 的取正向的边界曲线， 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立.要求: 会用格林公式计算对坐标的曲线积分.二、掌握平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的概念:设G 是一个开区域, 函数),(y x P 、),(y x Q 在区域G 内具有一阶连续偏导数. 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线1L 、2L ， 恒有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 则称 曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关, 否则称该积分与路径有关. 曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线L 的曲线积分0=+⎰LQdy Pdx . 曲线积分⎰+L Qdy Pdx 路径无关⇔xQ y P ∂∂=∂∂ 三、二元函数的全微分求积),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+⇔xQ y P ∂∂=∂∂ 求函数),(y x u 的公式:⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ,注： 上述积分与积分路径无关。
第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。
�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。
�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。
2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。
�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。
高数第十章知识点总结
高数第十章主要涉及以下几个知识点：
1.平面曲线的切线和法线：
- 给定曲线的方程，求某点处的切线和法线的方程
- 求切线和法线的交点
- 利用切线和法线求解相关的几何问题
2.曲率与曲率半径：
- 计算曲线在某一点的曲率
- 求曲线的曲率半径
- 利用曲率和曲率半径解决问题，如判断曲线的凹凸性、确定曲线的渐近线等
3.参数方程与极坐标：
- 利用参数方程描述平面上的曲线
- 求参数方程的切线和法线
- 利用极坐标描述平面上的曲线
- 求极坐标曲线的切线和法线
4.空间曲线：
- 求空间曲线的切线和法平面
- 求空间曲线在某点的曲率和曲率半径
- 利用曲率和曲率半径解决空间曲线的运动问题
5.空间曲面：
- 利用方程求解空间曲面的切平面和法线方程
- 求曲面上某点的法向量、法线方程和曲率
- 利用曲率解决曲面上的问题，如判断曲面的性质、求曲面的渐近线等
以上是高数第十章的主要知识点，学习这些知识点可以帮助我们了解平面和空间曲线的性质及其相关应用。
希望对你有所帮助！。
《高等数学A 》期末辅导材料( 下册 第10,11,12章)第十章 曲线积分与曲面积分本章重点内容：两类曲线积分的概念及其计算法，格林公式，平面上曲线积分与路径无关的条件，两类曲面积分的概念及其计算法，高斯公式，斯托克斯公式。
本章难点内容：对坐标的曲面积分的概念及其计算法，斯托克斯公式。
复习指导：本部分将直线上的一个区间换为曲线弧段，从而将定积分的概念推广为曲线积分；将平面区域换为曲面，从而将二重积分的概念推广为曲面积分。
曲线积分有两类：对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分；曲面积分有两类：对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分； 在学习中，要注意：（1）两类曲线积分都是化为定积分来计算，两类曲面积分都是化为二重积分来计算，关键是：怎样化？要注意各自的化法。
（2）对坐标的曲线积分与曲线的方向有关，对坐标的曲面积分与曲面的侧有关。
（3）计算对坐标曲线积分时，若积分路径是封闭的，可以考虑利用格林公式来求；（但要注意满足格林公式的条件）计算对坐标曲面积分时，若积分曲面是封闭的，可以考虑利用高斯公式来求；（但要注意满足格林公式的条件）（4）计算对坐标的曲线积分时，可以考虑利用积分与路径无关的条件来求。
（5）计算对坐标曲线积分时，若积分曲线是空间闭曲线（一般题目给的是两个曲面的交线），可以考虑利用斯托克斯公式来求；（6）怎样判断是否),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+？怎样求出原函数。
求出的方法有多种，用公式),(y x u ),(y x u ∫∫+=yy x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0 来求是最基本的一种，必须掌握。
本部分常考的题型有：两类曲线积分的计算，两类曲面积分的计算；用格林公式计算平面闭曲线上的第二类曲线积分。
用曲线积分与路径无关的条件计算沿平面曲线的第二类曲线积分;用高斯公式计算封闭曲面上的第二类曲面积分；用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的第二类曲线积分。
第十章 多重积分
一、二重积分的概念及计算（理解二重积分的定义及性质，计算.）
1. 有界闭区域D 上以曲面S ：),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积V 就是),(y x f 的二重积分
⎰⎰D
d y x f σ),(.
2. 二重积分性质.
（1）线性性 若),(),,(21y x f y x f 在有界闭区域D 上可积, 则对任何常数21,k k , 有
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+D
D
D
d y x f k d y x f k d y x f k y x f k σσσ),(),()],(),([22112211.
（2）区域可加性 若),(y x f 在有界闭区域1D 和2D 上均可积, 其中1D 和2D 除边界外没有公共部分, 则),(y x f 在21D D D ⋃=上也可积, 且有
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2
1
),(),(),(D D D
d y x f d y x f d y x f σσσ.
（3）单调性 若f 和g 在有界闭区域D 上均可积, 且在D 上恒有
),(),(y x g y x f ≤, 则 ⎰⎰⎰⎰≤D
D
d y x g d y x f σσ),(),(.
（4）积分中值定理 设),(y x f 在有界闭区域D 上连续, 则存在点D ∈),(ηξ,使
)(),(),(D A f d y x f D
ηξσ=⎰⎰
例1 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
⎰⎰
+D
d y x σ2)(与⎰⎰+D
d y x σ3)(，D 是由x 轴， y 轴与直线1=+y x 围成的闭区域
例2 根据二重积分性质估计⎰⎰=
D
yd x I σ22sin sin 的积分值其中 {(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤
二、二重积分化计算（选择恰当的坐标系，将二重积分化为二次积分计算）
1. 矩形区域：},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=.
⎰⎰⎰⎰=b a d
c D
dx dy y x f dxdy y x f )),((),(，或⎰⎰⎰⎰=d b a D
dy dx y x f dxdy y x f c )),((),( 2. y 型区域：}),()(|),{(21b x a x g y x g y x D ≤≤≤≤=，
21 ()
()
(,)(,)b
g x a
g x D
f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰
⎰
3. x 型区域：}),()(|),{(21d y c y h x y h y x D ≤≤≤≤=,
⎰⎰⎰⎰=d c x h x h D
dx y x f dy dxdy y x f )
( )( 2
1
),(),(
4.区域关于坐标r 为正规的：} ),()(|),{(21βθαθθθ≤≤≤≤=r r r r D ，
⎰⎰⎰⎰=βαθθθθθσ )
( )( 21)sin ,cos (),(r r D
rdr r r f d d y x f . 例3：化二重积分
⎰⎰
D
d y x f σ),(为两种不同次序下的二次积分，其中积分区域D 为：由直线)0(1,2,>=
==x x
y x x y 所围成的闭区域
例4：交换二次积分次序⎰⎰2
0 2
),(x dy y x f dx .
例5：设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成，其面密度为
22),(y x y x +=ρ，求薄片的质量.
例6：设)(x f 为连续函数，⎰
⎰=t y
t dx x f dy t F )()(1
，求)2(F '
例7：设⎰
-π=x 0
dt t
t
sin )x (f ，计算⎰
π=0
x d )x (f I .
例8：计算积分
,)(22
⎰⎰+D
dxdy y x
其中D 为第一象限中由圆y y x 222=+，y y x 422=+
及直线x y y x 3,3==所围成的区域. 三、三重积分的计算 1. 先单后重法，（穿针法）
设Ω在xOy 平面上的投影是xy D ，过xy D 内的任一点作平行于z 轴的直线去穿透Ω时，与
Ω的边界有两个交点，下界面的方程是),(1y x z z =，上界面的方程是),(2y x z z =，
}),( ),,(),(|),,{(21xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω， 21
(,)
(,)(,,)(,,)xy
z x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，
2. 先重后单法，（截面法）.
由平行于xOy 平面截Ω得截面z D （21c z c ≤≤），},),(|),,{(21c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，
2
1
(,,)(,,).z
c c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω
=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
3. 三重积分在球面坐标系下的计算
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
=θϕρϕρϕρθϕρθϕρd d d f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2
. 例9．计算三重积分：
⎰⎰⎰
Ω
+++3
)1(z y x dxdydz
，其中Ω由平面0,0,0===y x z ，
1=++z y x 所围成的四面体.
例10．利用球面坐标计算⎰⎰⎰
Ω
zdv ，
其中Ω由曲面2222)(a a z y x =-++,222z y x =+所围成的区域.
例
11. 计算
⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x R
h
z +=
与平面)0,0(>>=h R h z 所围成的闭区域.
例12. 计算dv )z y x (2
2
⎰⎰⎰Ω
++，其中Ω为曲线⎩⎨⎧==0x z
2y 2绕z 轴旋转一周而成曲面与平面
4z =所围成的区域.。
