2020年江苏省扬州中学高二(下)期中数学试卷(理科)

江苏省扬州中学—第二学期期中考试 高二数学试卷（注意：若某题前括号内标明“理科”字样的为理科生做，而文科生不做的题。

同样若标明“文科”字样的为文科生做而理科生不做的题。

未标的为文科生理科生都做的题）一、填空题：（每题5分）1．已知集合11{|lg ||0},{|24}2x A x x B x +===<<，则A B =___________． 2．把sin y x =的图象向左平移3π个单位，所得函数图象的解析式为______________． 3．已知复数z 满足512z i=-（i 是虚数单位），则||z =____________． 4．观察式子222131151,1,22332+<++<222111712344+++<……，则可归纳出2112++213++21(1)n <+_____________． 5．（理科）若56n n C C =，则n =__________．（文科）函数sin |cos |tan |sin |cos |tan |x x xy x x x =++的值域是__________．6．若||1z i -=，则||z 最大值为__________．7．（理科）若423401234(21)x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=______．（文科）已知α是第二象限且4sin 5α=，则tan α的值是__________． 8．在面积为S 的三角形ABC 的边AB 上任取一点P ，使PBC ∆的面积大于14S 的概率是__________．9．已知2()3f x ax bx a b =+++是定义域为[1,2]a a -的偶函数，则a b +的值是_______．10．若函数()log (01)a f x x a =<<在[,2]a a 上的最大值是最小值3倍，则a =_______． 11．函数()2xf x x =+的零点所在区间为(,1),n n n z +∈，则n =_______．12．（理科）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_______． （文科）若()sin 2cos 2f x x a x =-图象关于直线8x π=-对称，则a =_______．13．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1)(0)()(1)(2)(0)x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2011)f 的值为_______．14．对于任意满足[0,]2πθ∈的θ，使得1|sin cos |2p q θθ--≤恒成立的所有实数对(,)p q 是_______．二、解答题（每题15分）15．当实数m 取何值时，复数22(32)(43)z m m m m i =-++-+．⑴是实数； ⑵是纯虚数； ⑶等于零．16．（理科）已知2(n x-的展开式中第3项与第5项的系数之比为314．⑴求n 的值；⑵求展开式中的常数项； ⑶求二项式系数最大的项． （文科）已知77(0,),(,),cos 2,sin()2299ππαβπβαβ∈∈=-+=． ⑴求cos β的值； ⑵求sin α的值．17. 已知a,b,c,d≥18．把一根长度为6的铁丝截成三段．⑴若三段的长度为整数，求能构成三角形的概率； ⑵若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．19．（理科）在数列{}n a 、{}n b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列()n N +∈．⑴求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{}n a 、{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明； ⑵证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++．（文科）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若,BC a ABC θ=∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的PQRS 面积为2S ．⑴用,a θ表示1S 和2S ； ⑵当a 固定，θ变化时，求12S S 的最小值．知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 2y x =-+2+．⑴求,a b 的值；⑵若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等实根，求实数m 的取值范围（其中e 为自然对数的底， 2.7e ≈）；⑶令()()g x f x nx =-，如果()g x 图象与x 轴交于1212(,0),(,0),()A x B x x x <，AB 中点为0(,0)C x ，求证：0'()0g x ≠．命题、校对：江金彪高二数学试卷期中试卷参考答案 .4一、填空题1．{1}-； 2．sin()3y x π=+； 3 4．211n n ++；5．（理）11、（文）{3,1}-； 6．2； 7．（理）1、（文）43-； 8．34； 9．13；10； 11．1-； 12．（理）336、（文）1； 13．1-； 14．(- 二、解答题15．⑴1m =或3；⑵2m =；⑶1m = 16．（理）⑴10n =；⑵45；⑶152252x - （文）⑴1cos 3β=-；⑵1sin 3α= 17．证明：要证原不等式成立，只要证222()()a c b d ≥+++，即证ac bd ≥+. (1) 若0ac bd +≤，上式已经成立，原不等式成立 （2）若0ac bd +>，只要证22222()()()a b c d ac bd ++≥+即证22222a d b c abcd +≥，而此式成立，原不等式成立。

江苏省邗江中学2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数（为虚数单位），则=______．【答案】5【解析】【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】因为复数，所以.故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的模.2.已知集合，则___________【答案】【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为_____ 【答案】＋＋＋＋<【解析】试题分析：不等式的规律是：，则第⑤个不等式为考点：归纳推理点评：归纳推理，关键在于观察事实，寻求规律，然后得到结论。

对此类题目，只要用心思考，都能做得很好。

4.已知，用数学归纳法证明时，__________．【答案】【解析】试题分析：因为假设时，，当时，，所以．考点：数学归纳法．【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法，由归纳法的性质，我们由对成立，则它对也成立，由此类推，对于的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题的关键，本题的解答中根据数学归纳法的思想，得出当和时，分别写出和的表达式，即可作差求解的表示形式，属于基础题．5.已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为___________【答案】-3【解析】【分析】由求得，则可得矩阵的特征多项式为，令求得结果.【详解】由题意得：，即可得：，解得：特征多项式为则或另一个特征值为：本题正确结果：【点睛】本题考查矩阵的特征向量问题，属于基础题.6.设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.【详解】由可知：本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.7.已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是______【答案】【解析】试题分析：是真命题，则为真命题，为真命题，命题为真命题，则，命题为真命题，，则，所以．考点：1、命题的真假性；2、一元二次不等式恒成立．【方法点睛】本题主要考察存在性问题，一元二次不等式恒成立问题，存在性问题等价于或，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式．8.已知，设……，则……___________【答案】1023【解析】【分析】根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果.【详解】即：代入可得：代入可得：本题正确结果：【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是,直线被曲线截得的线段长为_______【答案】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程；直线极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求得交点坐标，利用两点间距离公式求得线段长.【详解】由得的普通方程为：又的直角坐标方程为：联立，解得交点坐标为：，直线被曲线截得的线段长为：本题正确结果：【点睛】本题考查直线被曲线截得的弦长问题，关键是能够将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，进而在直角坐标系中来求解.10.下列命题错误的是__________（1）命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”；（2）若命题：，则：；（3）中，“”是“”的充要条件；（4）若向量满足，则的夹角为钝角。

期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“______ ”．2.若复数z满足：z•（1+i）=2，则|z|=______．3.若f（x）=x3，其导数满足f'（x0）=3，则x0的值为______4.命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的______条件．5.投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为______．6.若曲线在点P处的切线平行于直线，则点的坐标为 .7.有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种不同的排列方法．（用数字作答）8.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=k+1成立时，f（n）=1+++…+增加的项的个数是______（用k表示）9.若数列{a n}为等差数列，定义b n=，则数列{b n}也为等差数列．类比上述性质，若数列{a n}为等比数列，定义数列{b n}：b n=______，则数列{b n}也为等比数列．10.（1+ax）6的展开式中二项式系数的最大值为______．（用数字作答）11.若函数f（x）=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数，则实数m的最小值为______．12.已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈______．13.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，且对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集是______．14.设曲线f（x）=（ax-1）•e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，g（x）=（1-x）•e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．16.已知n•C+A=4•C（n≥3，n∈N）．（1）求n的值；（2）求（+）n展开式中的常数项．17.已知数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．（1）求a2、a3、a4；（2）猜想数列通项公式a n，并用数学归纳法给出证明．18.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，=λ．（1）若λ=，证明：PB⊥DQ；（2）试确定λ的值，使得二面角P-BD-Q的大小为45°．19.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．20.已知函数f（x）=mx-a ln x-m，g（x）=，其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜||恒成立，求a的最小值；（3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】∀x∈R，x2+x≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定“∀x∈R ，x2+x≤0”．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．2.【答案】【解析】解：因为z•（1+i）=2，故，故，故答案为：．根据复数的基本运算法则进行化简求解即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】±1【解析】解：根据题意，若f（x）=x3，其导数f'（x）=3x2，若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得x0=±1；故答案为：±1．根据题意，求出函数的导数，进而可得若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得答案．本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．4.【答案】必要不充分【解析】解：解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；所以“x2-x-2=0“推不出“x=-1“；“x=-1“推出“x2-x-2=0”．故命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．先解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；由集合{-1}⫋{-1，2}，再根据由集合观点理解充分必要条件的定义，判断即可．本题考查了充分必要条件的定义，一元二次方程的求解，属于基础题．5.【答案】【解析】解：投掷两个骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，∴向上的点数之和为12的概率为P=．故答案为：．基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，由此能求出向上的点数之和为12的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】（1，0）【解析】解：设切点坐标为（m，m4-m），则f（m）=4m3-1=3，解得：m=1，则点P的坐标为（1，0）.故答案为：（1，0）.先设切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，根据切线的斜率等于函数f（x）在x=m处的导数建立等式，解之即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及解方程等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．7.【答案】288【解析】解：由题意得总的排法有（种）．故答案为：288．相邻问题捆绑法．即先将男生、女生各自看成一个“元素”进行排列，然后女生与男生内部再各自全排列．本题是一道常规题，按照计数原理和排列组合的知识求解即可．难度不大．8.【答案】2k【解析】解：当n=k时，f（k）=1+++…+，当n=k+1时，f（k+1）=1+++…++++…+，由f（k+1）-f（k）=++…+，可得需增加的项的个数为2k+1-1-2k+1=2k，故答案为：2k．分别写出n=k时，n=k+1时，f（k），f（k+1）的式子，相减可得所求增加项的个数．本题考查数学归纳法的证明，注意由n=k，等式成立，推得n=k+1也成立，需增加的项的个数，考查运算能力、推理能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，一般的思路有：由加法类比为乘法，由减法类比为除法，由算术平均数类比为几何平均数等，故可以由数列{a n}是等差数列，定义b n=，则数列{b n}也为等差数列；类比推断：若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，定义，则数列{b n}也是等比数列．故答案为：．直接由等差数列连续三项的算术平均数类比为等比数列中连续三项的几何平均数得结论．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），本题是基础题．10.【答案】20【解析】解：展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，故C63=20，故答案为：20．展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，问题得以解决．本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题题．11.【答案】[）．【解析】解：函数的定义域（0，+∞），，由题意可得，≥0在（0，+∞）上恒成立，故-2m，故-2m≤-1，所以m．故答案为：[）．先对函数求导，结合导数与单调性的关系可把原问题转化为≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求解函数的范围，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用．12.【答案】（-2，）【解析】【分析】本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（-x）=（-x）3+3（-x）=-（x3+3x）=-f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，所以，解得-2＜x＜，即x的取值范围是（-2，），故答案为：（-2，）．13.【答案】（-1，0）∪（1，+∞）【解析】解：令g（x）=，因为f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，故f（-1）=0，所以g（-x）===g（x），即g（x）为定义域上的偶函数；又对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，所以当x＞0时，g′（x）=＞0，即g（x）=在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，又f（1）=0，故g（1）=g（-1）=0，于是，当x＞0时，x2•f（x）＞0⇔＞0，即g（x）＞g（1），解得x＞1；当x＜0时，x2•f（x）＞0⇔＜0，即g（x）＜g（-1），解得-1＜x＜0；综上所述，-1＜x＜0或x＞1；故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，依题意可得g（x）=为偶函数，在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，g（1）=g（-1）=0，分x＞0与x＜0两种情况，将不等式x2•f（x）＞0分别转化为x＞0时，g（x）＞g（1），x＜0时，g（x）＜g（-1），从而可解得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想、分类讨论思想及函数与方程思想的综合应用，考查运算能力与规范表达能力，属于难题．14.【答案】1≤a≤【解析】解：函数f（x）=（ax-1）e x的导数为f′（x）=（ax+a-1）e x，∴l1的斜率为，函数g（x）=（1-x）e-x的导数为g′（x）=（x-2）e-x，∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=-1，从而有（ax0+a-1）•（x0-2）=-1∴a（x02-x0-2）=x0-3．∵存在x0∈[0，]，得到x02-x0-2≠0，∴a=，又a′=，令导数大于0得1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，∴x0=0时取得最大值为．x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故答案为：1≤a≤．根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由存在x0∈[0，]，得到x02-x0-2≠0，从而a=，然后根据在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，求出其值域即可得到a的取值范围．本题考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系，是中档题．15.【答案】解：若方程x2+mx+1=0有实数根，则判别式△=m2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，即p：m≥2或m≤-2．若方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，则判别式△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．因为p、q中有且仅有一个为真命题，则①若p真，q假，则，解得m≥3或m≤-2．②若p假q真，则，解得1＜m＜2．综上实数m的取值范围是m≥3或m≤-2或1＜m＜2．【解析】分别求出命题p，q的等价条件，然后利用p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．本题主要考查复合命题的应用，以及一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，比较综合．16.【答案】解：（1）因为n•C+A=4•C（n≥3，n∈N）．所以+n（n-1）（n-2）=4×，整理可得，n=4；（2）由（1）可得（+）n=（+）4，则T r+1==，令=0可得r=1，即常数项为T2=8．【解析】（1）结合排列组合数公式展开即可求解；（2）结合二项展开式的通项即可求解．本题主要考查了排列组合数公式的应用及利用二项展开式的通项求解二项展开式的特点项，属于基础试题．17.【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．则a2=-=-=-，a3=-=-．（2）猜想数列通项公式a n=-．用数学归纳法证明：（i）n=1时，a1=-=-成立，（ii）假设n=k∈N*时成立，a k=-．则n=k+1时，a k+1=-=-=-=-．因此n=k+1时，猜想成立．综上可得：数列通项公式a n=-．n∈N*．【解析】（1）数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．可得a2=-，a3=-．（2）猜想数列通项公式a n=-．用数学归纳法证明即可．本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，=．∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），Q（0，，），=（1，1，-1），=（0，），∵=0，∴PB⊥DQ．（2）C（0，2，0），设Q（a，b，c），则（a，b，c-1）=（0，2λ，-λ），∴Q（0，2λ，1-λ），=（0，0，1），=（1，1，0），=（0，2λ，1-λ），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），设平面BDQ的法向量=（a，b，c），，取a=1，得=（1，-1，），∵二面角P-BD-Q的大小为45°．∴cos45°==，由0≤λ≤1，解得．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB⊥DQ．（2）C（0，2，0），设Q（a，b，c），则（a，b，c-1）=（0，2λ，-λ），从而Q（0，2λ，1-λ），求出平面BDP的法向量和平面BDQ的法向量，由此利用二面角P-BD-Q 的大小为45°．利用向量法能求出λ．本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，任取一球，取到红球的概率为=任取一球，取到白球的概率为=任取一球，取到蓝球的概率为=∵如果取出蓝色球则不再取球，∴最多取两次就结束的概率为++=（2）设A={整个过程中恰好取到2个白球}，B i={第i次取到白球}H i={第i次取到红球}L i={第i次取到蓝球}则P（A）=P（B1B2）+P（H1B2B2）+P（B1H2B3）=×++=（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==随机变量X的分布列如下X123P 从而E（X）=1×+2×+3×=【解析】（1）先分别求出任取一球，取到每种颜色的球的概率，因为取出蓝色球则不再取球，所以最多取两次就结束有两种情况，第一种，第一次取球，取到蓝球，第二种情况，第一次取球，取到红球或白球，第二次取球，取到蓝球，把两种情况的概率求出，再相加即可．（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率为，取到蓝球的概率为，取到红球的概率为，而恰好取到2个白球包括三个互斥事件，即（白，白，非白），（白，红，白），（红，白，白），分别计算它们的概率，最后相加即可（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3，X=1即第一次就抓到蓝球，X=2即第一次不是蓝球，第二次是蓝球，X=3即第一次不是蓝球，第二次不是蓝球；分别计算它们的概率，列出分布列，由期望公式计算X的期望本题考察了古典概型概率的求法，互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及其期望的求法20.【答案】解：（1）g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（-∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．（2）当m=1，a＜0时，f（x）=x-a ln x-1，所以在[3，4]上f′（x）=＞0，∴f（x）在[3，4]上是增函数．设h（x）==，∴在[3，4]上h′（x）=＞0，∴h（x）在[3，4]上为增函数．设x2＞x1，则|f（x2）-f（x1）|＜||恒成立，变成f（x2）-f（x1）＜-恒成立，即：f（x2）-f（x1）＜h（x2）-h（x1）恒成立，即：f（x2）-h（x2）＜f（x1）-h（x1）．设u（x）=f（x）-h（x）=x-a ln x-1-•，则u（x）在[3，4]上为减函数．∴u′（x）=1--•≤0在[3，4]上恒成立．∴a≥x-e x-1+恒成立．设v（x）=x-e x-1+，∴v′（x）=1-e x-1+=1-e x-1[（+）2+]，∵x∈[3，4]，∴e x-1[（+）2+]≥e2，∴v′（x）＜0，∴v（x）为减函数．∴v（x）在[3，4]上的最大值为v（3）=3-e2．∴a≥）=3-e2，∴a的最小值为：3-e2．（3）由（1）知g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g（0）=0，g（e）=，∴g（x）的值域是（0，1]．∵f（x）=mx-2ln x-m；∴当m=0时，f（x）=-2ln x，在（0，e]为减函数，由题意知，f（x）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；当m≠0时，f′（x）=，由于f（x）在（0，e]上不单调，∴0＜＜e，即m＞；①此时f（x）在（0，）递减，在（，e]递增；∴f（e）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥；②∴由①②，得m≥；∵1∈（0，e]，∴f（）≤f（1）=0满足条件．下证存在t∈（0，]使得f（t）≥1；取t=e-m，先证e-m＜证，即证2e m-m＞0；③设w（x）=2e x-x，则w′（x）=2e x-1＞0在[，+∞）时恒成立；∴w（x）在[，+∞）上递增，∴w（x）≥w（）＞0，∴③成立；再证f（e-m）≥1；∵f（e-m）=me-m+m≥m≥＞1，∴m≥时，命题成立．∴m的取值范围是：[，+∞）．【解析】（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x1，x2是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.复数的共轭复数是______．2.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是______ ．3.已知，且，则x的值是______．4.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有______种．5.若直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，则m=______．6.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是_______.7.已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______．8.六个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种(用数字作答)9.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时，增加的项数是______10.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则=______11.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______．12.已知结论:“在三边长都相等的△ABC中,若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2．”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝____________”.13.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为______．14.观察下列等式：①cos2α=2cos2α-1；②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；⑤cos10α=m cos10α-1280cos8α+1120cos6α+n cos4α+p cos2α-1；可以推测，m-n+p=______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设为复数z的共轭复数，满足|z-|=2．（1）若z为纯虚数，求z；（2）若z-2为实数，求|z|．16.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男女相间．17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，F为BC的中点，．（1）若λ=2，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E-AF-C的余弦值．18.（1）已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：不可能是等差数列．（2）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．19.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，侧面AEB为等腰直角三角形，∠AEB=，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20.在数列{a n}中，．（1）求a2，a3的值；（2）证明：①0≤a n≤1；②．答案和解析1.【答案】-i【解析】解：复数===i的共轭复数是-i．故答案为：-i．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.【答案】正方形的对角线相等.【解析】解：由演绎推理三段论可得本例中的“平行四边形的对角线相等”为大前提；本例中的“正方形是平行四边形”为小前提；则结论为“正方形的对角线相等”故答案为：正方形的对角线相等三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．3.【答案】5【解析】解：∵，且，∴=-3+2x-5=2，解得x=5．故答案为：5．利用空间向量数量积公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】81【解析】解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34=81故答案为81每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m个物品放到n个不同的位置的方法有n m，属于基础试题5.【答案】-2【解析】解：∵l⊥α，又∵直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），∴向量（4，2，m）与向量（2，1，-1）平行，则存在实数λ使（4，2，m）=λ（2，1，-1）即故m=-2故答案为：-2由已知中直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，我们可得向量（4，2，m）与向量（2，1，-1）平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m的方程组，解方程组，即可得到答案．本题考查的知识点是向量语言表述线面垂直，其中正确理解线面垂直时，直线的方向向量和平面的法向量平行是解答本题的关键．6.【答案】18【解析】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共A52=20有种排法，因为=，=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是：20-2=18，故答案为：18．因为lg a-lg b=lg，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题．7.【答案】x＞-2且x≠-【解析】解：=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），则•=-3-2（x-1）-3=-4-2x，若∥，则=λ，即有-1=3λ，x-1=-2λ，1=-3λ，x=，由于与的夹角为钝角，则＜0，即为-4-2x＜0，解得，x＞-2．则有x＞-2且x≠-．故答案为：x＞-2且x≠-．运用数量积公式求出与的数量积，再求向量与的共线的情况，由于与的夹角为钝角，则•＜0，解不等式即可得到范围．本题考查平面向量的数量积的运用，考查向量的夹角为钝角的条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．8.【答案】480【解析】【分析】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题，属于简单题．排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．9.【答案】2k【解析】解：假设n=k时成立，即f（k）=1+++…+，则n=k+1成立时，有f（k+1）=1+++…+++…+，∴左边增加的项数是（2k+2k-1）-（2k-1）=2k．故答案为：2k．当n=k成立，写出f（k）的表达式，当n=k+1时，f（k+1）的表达式，观察计算即可．本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．10.【答案】++【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，∴==（）=（）+[++]=+（-+）++（）+=++．故答案为：++．==（）=（）+[++]，由此能求出结果．本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】96【解析】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．12.【答案】3【解析】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有四面体的体积V=4r=，∴r=，即OM=，所以AO=AM-OM=，所以=3，故答案为：3设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又因为O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，可得O到四面体各面的距离都相等，所以O也是四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而结果可求．本题考查类比推理知识，属于基础题.13.【答案】84【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故答案为：84．根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意“小明的父母至少有一人与小明相邻”的条件，由此分析其可能的情况．14.【答案】962【解析】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，-2×4，3×6，-4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=-400．所以m-n+p=962．故答案为：962．本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15.【答案】解：（1）设z=bi，b∈R，则=-bi，因为|z-|=2，则|2bi|=2，即|b|=，所以b=，所以z=.（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，因为|z-|=2，则|2bi|=2，即|b|=．z-2=a+bi-（a-bi）2=a-a2+b2+（b+2ab）i．因为z-2为实数，所以b+2ab=0.因为|b|=，所以a=，所以|z|==【解析】（1）设z=bi，b∈R，则=-bi，利用|z-|=2，求出b，然后求解复数z．（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，利用|z-|=2，求出|b|=，化简z-2，通过z-2为实数，求出a，然后求解|z|．本题考查复数代数形式的混合运算，复数的模的求法，共轭复数的应用，考查计算能力．16.【答案】解：（1）先排甲有6种，其余有A88种，∴共有6•A88=241920种排法．（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有A22•A77=10080种排法．（3）先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A55种方法，故共有A44•A55=2880种排法．【解析】（1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有A88种，根据分步计数原理得到结果．（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．（3）先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A55种方法，根据分步计数原理得到结果．本题主要考查考查排列组合问题，排列问题常见的解题思路：元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．17.【答案】解：（1）四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，F为BC的中点，．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，当λ=2时，P（0，0，2），D（0，2，0），C（1，2，0），E（，，），F（1，1，0），=（0，2，-2），=（，-，-），设异面直线PD与EF所成角为θ，则异面直线PD与EF所成角的余弦值为：cosθ===．（2）当，E（，），A（0，0，0），F（1，1，0），C（1，2，0），=（），=（1，1，0），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），平面AFC的法向量=（0，0，1），设二面角E-AF-C的平面角为θ，则二面角E-AF-C的余弦值为：cosθ===．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PD与EF所成角的余弦值．（2）当时，求出平面AEF的法向量和平面AFC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】证明：（1）假设是等差数列，则，即，∴，∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0，∴a-b=b-c≠0，∴，∴a=c，此时公差d=0，这与题设矛盾，∴假设不成立，即不可能是等差数列．（2）①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立；②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，不等式（1+x）k＞1+kx成立，当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴当p=k+1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．【解析】（1）利用反证法求证即可；（2）利用数学归纳法求证即可．本题考查反证法及数学归纳法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）因为平面ABE⊥底面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=，所以CE=，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为；（2）存在点F，且时，有EC∥平面FBD，证明如下：解：连接AC、BD交于点M，面ACE∩面FBD=FM．因为EC∥平面FBD，所以EC∥FM．在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，即点F满足时，有EC∥平面FBD．【解析】（1）可知∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=，得CE=，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=；（2）连接AC、BD交于点，推出EC∥FM．通过△DMC与△BMA相似，然后求解EF即可．本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用、线面角的求解，考查空间想象能力以及逻辑推理能力、转化思想的应用．20.【答案】解：（1）a2=0，a3=-1，（2）设f（x）=-1，则a n+1=f（a n），①（i）当n=1时，命题成立，（ii）假设n=k时，命题成立，即0≤a k≤1，则当n=k+1时，易知f（x）在（-∞，1]上为减函数，从而0=f（1）≤f（a k）≤f（0）=-1＜1，即0≤a k≤1，所以当n=k+1时结论成立，由（i），（ii）可知命题成立，②先证a2n＜a2n+1，（n∈N*），（i）当n=1时，0=a2＜a3=-1，即n=1时命题成立，（ii）假设n=k时，命题成立，即a2k＜a2k+1，（k∈N*），则当n=k+1时，由①f（x）在（-∞，1]上为减函数，得a2k+1=f（a2k）＞f（a2k+1）=a2k+2，故a2k+2=f（a2k+1）＞f（a2k+2）=a2k+3，所以当n=k+1时结论成立，由（i），（ii）a2n＜a2n+1，（n∈N*），再证a2n＜＜a2n+1，由上可知，a2n＜-1，即（a2n+1）2＜a2n2-2a2n+2，因此a2n＜，由f（x）在（-∞，1]上为减函数，得f（a2n）＞f（a2n+1），即a2n+1＞a2n+2，所以a2n+1＞-1，即a2n+1＞，所以a2n＜＜a2n+1．【解析】（1）代值计算即可，（2）①由数学归纳法和数列与函数的性质，即可证明，②先证a2n＜a2n+1，（n∈N*），由数学归纳法即可证明，再证a2n＜＜a2n+1，利用函数的性质即可证明．本题考查了数列和函数关系，以及数学归纳法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）.1．已知复数z满足z（1+2i）＝3+i，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．在的展开式中，x2的系数是（）A．60B．﹣60C．60D．﹣603．将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为（）A．360B．312C．264D．2884．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CC1＝，若点M为A1B1的中点，则直线AM与直线CB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．5．曲线y＝x•e x+x2在x＝0处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝2x C．y＝x D．y＝3x+16．今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是（）A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六7．函数的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝x+a cos x，对于任意x1、x2∈R（x1≠x2），都有恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．[1﹣，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1﹣]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0B．i+i2+i3+i4＝0C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则|z﹣1+i|的最小值为110．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为729B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为240x311．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A．平面BCM⊥平面A1AB1B．三棱锥B﹣MB1C体积最大值为C．当M为AB1中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为D．直线CM与A1D所成的角不可能是12．对于定义域为R的函数f（x），f′（x）为f（x）的导函数，若同时满足：①f（0）＝0；②当x∈R且x≠0时，都有xf′（x）＞0；③当x1＜0＜x2且|x1|＝|x2|时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”．下列函数是“偏对称函数”的是（）A．f1（x）＝e2x﹣e x﹣xB．f2（x）＝e x+x﹣1C．f3（x）＝D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．化简：A 52=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 2．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =- C ．(3)'3x x = D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ）A ．20B ．10C ．5D ．1 4．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ） A ．950 B ．12 C ．910D ．14 5．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ）A ．11113213C C C CB ．2343C A C ．122342C C AD ．18 11．已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x →A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=c k+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值； （2）设2012()(1)(1)(1)n n f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >.（1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧。

江苏省扬州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）曲线在点处的切线方程为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数（）的最大值是（）A .B .C .D .3. （2分）已知复数，则（）A .B . z的实部为1C . z的虚部为﹣1D . z的共轭复数为1+i4. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A . 120B . 240C . 360D . 4806. （2分） (2017高三上·漳州开学考) 若n= 2xdx，则（x﹣）n的展开式中常数项为（）A .B . ﹣C .D . ﹣7. （2分）复数在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限D . 第四象限8. （2分）下列说法错误的是（）A . 一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶路程是时间的函数B . 汽车加油站常用圆柱体储油罐储存汽油，储油量是油面宽度的函数C . 某十字路口，通过汽车的数量是时间的函数D . 在一定量的水中加入蔗糖（非饱和溶液），所加蔗糖的质量是糖水的质量浓度的函数9. （2分） (2016高二上·临泉期中) 已知数列，那么9是此数列的第项．（）A . 12B . 13C . 14D . 1510. （2分）函数y=xe﹣x ，x∈[0，4]的最小值为（）A . 0B .C .D .11. （2分）由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）A . 归纳推理D . 以上都不是12. （2分）(2017·常德模拟) 如图所示，在△ABC内随机选取一点P，则△PBC的面积不超过△ABC面积一半的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=4﹣2t+t2 ，则该物体在3秒末的瞬时速度是________．14. （1分） (2016高三上·南通期中) 已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁AB=________15. （1分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1 ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2 ，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3 ，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是________16. （1分） (2016高二下·丰城期中) 若复数z满足（l+2i）z=|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2018高二下·长春期末)（1）求的展开式中的常数项；（2）用，，，，组成一个无重复数字的五位数，求满足条件的五位数中偶数的个数.18. （5分） (2018高一上·安吉期中) 已知函数f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=-1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（Ⅱ）当b=1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2 ，求a的取值范围；②若a≥2，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．19. （10分）(2018·滨海模拟) 某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有张印有“一等奖”的卡片，张印有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖元，抽中“二等奖”获奖元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖次停止活动”，求的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取张卡片.① 记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.20. （5分） (2015高二下·盐城期中) 已知x，y∈R+ ，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．21. （10分） (2018高一上·武邑月考) 环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈。

江苏省扬州市2020年（春秋版）高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数，则的值为（）A . 3B .C . 5D .2. （2分） (2015高一下·枣阳开学考) 函数y=cosx在图象上一点（）处的切线斜率为（）A . ﹣B .C . ﹣D . ﹣3. （2分） (2020高二下·林州月考) 设M＝＋＋＋…＋，则（）A . M＝1B . M＜1C . M ＞1D . M与1大小关系不定4. （2分） (2016高二下·漯河期末) 定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）= ，f′（x2），则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A . （，）B . （0，1）C . （，1）D . （，1）5. （2分） (2016高二下·新余期末) 若（x﹣a）dx= cosxdx，则a等于（）A . ﹣1B . 1C . 2D . 46. （2分）(2014·广东理) 设集合A={（x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A . 60B . 90C . 120D . 1307. （2分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A . 50种B . 49种C . 48种D . 47种8. （2分）用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加（）A . k2+1B . （k+1）2C .D . （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）29. （2分） 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A . 90种B . 180种C . 270种D . 540种10. （2分） (2019高二下·江西期中) 若，则的值是（）A . -128B . -5C . -4D . 12311. （2分）的展开式中常数项为（）A .B .C .D .12. （2分）设函数f(x)＝－aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为（）A . 4B . －4C . 2D . －2二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知曲线，，所围成的图形的面积为，则 =________14. （1分）函数f（x）=x3﹣3x2+m在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则常数m=________．15. （1分） (2019高三上·临沂期中) 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为________.16. （2分）(2017·荆州模拟) “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，则（Ⅰ）S7=________；（Ⅱ）若a2017=m，则S2015=________．（用m表示）三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）已知函数f（x）= x3﹣ x2+1，x∈R．（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）求函数图象经过点（，1）的切线的方程；（3）求函数f（x）= x3﹣ x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．18. （10分） (2016高二下·张家港期中) 设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1） z是纯虚数；（2） z对应的点位于复平面的第二象限．19. （10分）用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？（1）比21034大的偶数；（2）左起第二、四位是奇数的偶数．20. （10分）(2019·通州模拟) 设．（1）若，求的值；（2）若，求的值．21. （10分）设是在点处的切线．（1）求证：；（2）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．22. （10分） (2019高三上·长治月考) 如图，在中，已知，M为BC中点，E，F分别为线段AB，AC上动点（不包括端点），记 .（1）当时，求证：；（2）当时，求四边形AEMF面积S关于的表达式，并求出S的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：（ ）A ．B ．C ．30D ．402．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x= D ．1(ln )x '=x 3．的展开式中的系数为（ ）A ．20B ．C ．5D ．14．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ）A ．950 B ．12C ．910D ．145．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ） A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A ．-3是()f x 的一个极小值点； B ．-2和-1都是()f x 的极大值点； C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞； D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．1811．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin xf x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数当时，,则= __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++，①求012n a a a a ++++；②若在012,,,,n a a a a 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；（2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.（1）求实数a 的值； （2）若直线与函数图象交于两点,,,且12x x <，两点的中点的横坐标为证明：.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >. （1）若，证明：；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln xf x x =，则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14． 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法. 18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表)又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率.答：甲答对1题乙答对2题的概率为（2）m 的所有取值有1，2，3，，，，1 2 3故或.由题意可知，，，，1 2 3故或.答：甲、乙两位同学答对题目数的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)n nnf x x a a x a x a x=+++++=，①令1x=，则0123nna a a a+++=+；②因为二项式(2)nx+展开式的通项为：12r n r rr nT C x-+=，又在012,,,,na a a a中，唯一的最大的数是4a，所以445544332222n nn nn nn nC CC C----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n nn nA AA AA AA A⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411nn<⎧⎨>⎩，即1114n<<，又*n N∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nn nnf x x x b b x b x b x=+++=++++++=+，根据二项展开式的通项公式，可得，rr nb C=，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!1 11nrr rnn nC Cr r r n r n r n r nbr+++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++，则()11231111112(1)12112111n nnn n nnrrn nbrC C Cn n n+++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x xx x-+'=-+=（0x>）.因为0a <，所以180a ->，令得11184a x --=，21184ax +-=， 且10x <，20x >，在118,4a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上；在1180,4a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上；所以函数()f x 在1184a x +-=时，取最小值0，又()10f =，所以11814a +-=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--， 设（），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤），则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即22．【解析】（1）,增；减；.（2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=.令()00f x '=可得04a x +=（负值舍去）. 在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增. 又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =.结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点.综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =；当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。

江苏省扬州中学2020—2021学年高二第二学期期中考试数学试卷2021．04一、单选题(共8题，每题5分)1. 甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示()A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局或甲、乙平局三次2．把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A．12种B．18种C．24种D．36种3．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以sm/3的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为（）A．24π2/m s B．36π2/m s C．72π2/m s D．144π2/m s 4.某种心脏手术成功率为7.0，现釆用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是7.0，故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.55．已知复数13izi-=则(1)i z-=（）A ．42i -+B ．42i --C ．42i +D ．42i -6．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成大小为60︒的二面角A BD C --，点P 为线段AC 上的一动点，下列结论正确的是（ ）．A ．异面直线AC 与BD 所成的角为60︒B ．ACD △是等边三角形C ．BDP ∆面积的最小值为3 D ．四面体ABCD 的外接球的体积为34π7．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数1)(,2ln )(,12)(3-=+=+=x x x x h xe x g x ϕ的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>8.已知e 为自然对数的底数，设函数xb ax x x f ln 21)(2+-=存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值0)(0<x f ,则下列结论中正确的是（ ）A ．存在0x =使得ex f 21)(0-<B ．存在0x =20)(e x f ->C ．b 的最大值为3eD ．b 的最大值为22e二、多选题（共5题，每题至少两个正确答案，每题5分） 9．下列命题中错误的有（ ） A ．若复数z 满足20z <，则z 是虚数； B ．若复数z R ∈，则其虚部不存在；C ．“2=z ”是“11=-⋅z z ”的充分不必要条件；D ．若复数1z ､2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =.10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：mn mn nC C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn n n n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051=11．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F –AE –C 的正切值为25C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为10 D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 12．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于()0)(,,0<∈∀x f x π恒成立C ．若π<<<210x x ，则2121sin sin x x x x >D ．若sin x a b x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1三、填空题（共4题，每题5分） 13. 若复数z 满足21=-z ，则iz +的最大值为________.14.二项式2nx ⎫-⎪⎪⎝⎭的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值,项的系数是________.15.已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的表面上，ABC PA 平面⊥,,4,2,32,6====BC AC AB PA 则（1）球O 的表面积为________；（2）若D 是BC的中点，过点D 作球O 的截面，则截面的面积的最小值是________.（第一空2分，第二 空3分）16.设实数0m >，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式ln 0mxxe m-≥成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（共6题，第17题10分，其余每题各12分） 17．已知z 是复数，i z 2-和1zi-都是实数.（1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .18．从C B A ,,等6人中选出4人排成一排. （1）若A 必须被选中，有多少种排法？（2）若C B A ,,三人不全被选中，有多少种排法？19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =. （1）求证：PA ⊥平面PCD ；（2）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值； （3）求四棱锥P ABCD -的体积.20.已知函数()R a x ax x x f ∈-+-=231)(23 B（1）当23=a 时，求()x f 的单调区间； （2）若过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-310，可作函数()x f y =图像的三条不同切线，求实数a 的取值范围.21．设整数4n >，记f (x ，y )=()1nx +. （1）若令n n x a x a x a a x f ++++= 2210)1,(.求：⊥0a ；⊥()na n a a a 132210+++++ .（2）若f (x ，y )的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，求n 的值.22．已知函数()sin xf x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，对[)+∞∈∀,0x ，⊥证明：1)(≥x f ；⊥若bx x x f ≥-+2cos 2)('恒成立，求实数b 的范围；（2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围.江苏省扬州中学2020—2021学年高二第二学期期中考试数学试卷答案一、单选题1. D 2．D 3．B 4.C 5．A 6．C 7．B 8.C 二、多选题：9.BD 10.ABC 11．BCD 12．BD 三、填空题13. 22+ 14.4273- 15.ππ452； 16.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e 四、解答题：17．（1）i 22-；（2）i 127- 18．（1）240；（2）28819. （1）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（2）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角. 因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点， 所以3DN =，又DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，3sin DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3. （3）2220.（1）单调区间：()()()+∞∞-,2,2,1,1, （2）1>a21．（1）① 01a =； ②()122-⋅+n n .（2）因为()()2121nnrrn rnr x y C x y -=+-=-∑，其中4n x -项仅出现在4r =时的展开式()44421n nC xy --中，4n x -项系数为()441nC -；而xy 项仅出现在1=-r n 时的展开式()1121n n nCx y ---中，xy 项系数为()3122121n n n n C C ----，因此有()()4341221121n n n n n C C C ----=-，注意到4n >，化简得()33148n n --=-⋅，故只能是n 为奇数且348n -=.解得51n =.22．（1）①当1a =时，()sin x f x e x =-，于是，()cos xf x e x '=-.又因为，当()0,x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤. 故当()0,x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>.所以，函数()sin xf x e x =-为()0,+∞上的增函数，于是，()()01f x f ≥=.因此，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥； ②（2）方法一：由题意()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 所以00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点； ②当1a ≥时，()cos cos 0x xf x ae x e x ≥-'=->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值； ③当0a ≤时，()cos 0xf x ae x =-<'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有极值， 综上所述，使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1. 方法二：由题意，函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点.即cos x x a e =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点. 设()cos xx g x e =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数. 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值. 事实上，当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 即00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点. 综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值.。