小五奥数第13讲 最大公约数与最小公倍数(二)

最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。

例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

（运用性质2）练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。

例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。

[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

习题四1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

最大公约数与最小公倍数的计算最大公约数与最小公倍数是数学中常见的概念，用于计算两个或多个数之间的关系。

在本文中，我们将详细介绍最大公约数和最小公倍数的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

一、最大公约数的计算最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是两个或多个数中能够同时整除的最大正整数。

计算最大公约数有多种方法，包括质因数分解法、辗转相除法等。

1. 质因数分解法质因数分解法是一种常用的计算最大公约数的方法。

具体步骤如下：（1）将两个数分别进行质因数分解；（2）找出两个数中共有的质因数，并将这些质因数相乘得到最大公约数。

举个例子，计算24和36的最大公约数：首先，将24和36分别进行质因数分解：24 = 2 * 2 * 2 * 336 = 2 * 2 * 3 * 3然后，找出两个数中共有的质因数，即2和3，并将它们相乘得到最大公约数：最大公约数 = 2 * 2 * 3 = 12因此，24和36的最大公约数是12。

2. 辗转相除法辗转相除法是另一种常用的计算最大公约数的方法。

具体步骤如下：（1）用较大的数除以较小的数，得到余数；（2）将较小的数除以余数，再得到余数；（3）重复以上步骤，直到余数为0。

此时，除数即为最大公约数。

举个例子，计算30和45的最大公约数：首先，用较大的数45除以较小的数30，得到余数15；然后，用30除以15，得到余数0。

因此，30和45的最大公约数是15。

二、最小公倍数的计算最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）指的是两个或多个数中能够整除所有数的最小正整数。

计算最小公倍数同样有多种方法，包括质因数分解法、公式法等。

1. 质因数分解法质因数分解法同样适用于计算最小公倍数。

具体步骤如下：（1）将两个数分别进行质因数分解；（2）将两个数分解后的质因数相乘，得到最小公倍数。

继续以24和36为例，计算它们的最小公倍数：首先，将24和36进行质因数分解：24 = 2 * 2 * 2 * 336 = 2 * 2 * 3 * 3然后，将两个数分解后的质因数相乘，得到最小公倍数：最小公倍数 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72因此，24和36的最小公倍数是72。

最大公约数与最小公倍数（二）最大公约数与最小公倍数（二）这一讲我们主要介绍最大公约数、最小公倍数的性质以及两者之间的关系。

1．最大公约数的性质：（1）两个数的公约数一定是两个数的最大公约数的因数。

（2）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。

2．最小公倍数的性质：（1）两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

（2）如果一个数c 能同时被两个自然数a 、b 整除，那么c 一定能被这两个数的最小公倍数整除。

或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。

3．最小公倍数和最大公约数之间的关系：)(b a ab ，×］，［b a 或］，［b a =)(b a ab ，学习例题：例1. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？例2. 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77，求这两个数。

例3. 两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。

例4.两个数的最大公约数为21，最小公倍数为126，求这两个数。

例5.两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个自然数。

例6.已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和为84，求这两个数。

例7.三个三位数，它们的最大公约数是26，最小公倍数是10010，满足条件的三位数有几组？思考与练习：1.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

已知其中一个数为24，求另一个自然数。

2.两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。

3.两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数是多少？4.两个自然数的最小公倍数是144，它们的最大公约数是24，求这两个数。

5.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，其中一个数是42，那么另一个数是多少？6.两个整数的最小公倍数是140，最大公约数是4，这两个数的和为48，这两个数分别是多少？7.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，这两个数的和是多少？8.两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

课题：最大公因数和最小公倍数专题简析1：（最大公因数）几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a、b互质。

求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。

例1 求下面每组数的最大公因数。

45和18 51和17 28和96 24、38和1860和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个？例3 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？例4 有三根小棒，长分别是12厘米，14厘米，16厘米，要把它们都裁成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？举一反三1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形。

问：小正方形的面积最大是多少？2、一个长方体木块，长2.7米，宽18分米、高15分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。

、，正方体的棱长最大是多少分米？3、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？4、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米、36米、24米。

现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。

问：一共栽多少株菊花？5、一块三角形地，要在三条边上按等距离插红旗（三个顶点必须各插一面），要使插的面数最少，应该准备多少面红旗？甲48米 72米乙 54米丙专题简析2：（最小公倍数）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。

最大公约数和最小公倍数求法1. 引言大家好呀！今天我们来聊聊数学里两个非常重要的概念——最大公约数和最小公倍数。

这听起来可能有点儿枯燥，但别担心，我们会用轻松幽默的方式来探讨这些概念，让大家在笑声中学到东西。

毕竟，数学不一定是冷冰冰的，我们可以把它变得生动有趣！2. 最大公约数（GCD）2.1 什么是最大公约数？好吧，首先我们得搞明白，最大公约数到底是什么。

简单来说，最大公约数就是能同时整除几个数的最大整数。

比如说，咱们有两个数，12和16，最大公约数就是4，因为4是能同时把12和16整除的最大数。

嘿，这就像找一个能跟你和你朋友都玩得来的地方，既不太大也不太小，刚刚好！2.2 怎么求最大公约数？那么，怎么求最大公约数呢？其实有几种方法，咱们来看看。

最简单的就是列举法，慢慢来找。

先把两个数的所有公因数列出来，比如说12的因数有1、2、3、4、6、12，16的因数有1、2、4、8、16。

你看，1、2、4都是共同的，最大的是4！是不是很简单？不过，若你觉得这样太慢，那就可以用辗转相除法了。

这个听起来很高大上，但其实就是用较大的数去除较小的数，余数再去除，直到余数为0。

最后的除数就是最大公约数，简单吧！3. 最小公倍数（LCM）3.1 什么是最小公倍数？说完最大公约数，咱们再来看看最小公倍数。

这个就更简单了，最小公倍数是能被几个数同时整除的最小正整数。

举个例子，假如有两个数，4和5，最小公倍数就是20，因为20是4和5的第一个公共倍数。

想象一下，这就像是找一个能同时满足你和你朋友的需求的餐厅，菜品丰富，又不会太贵，嘿嘿，真是完美！3.2 怎么求最小公倍数？那么，如何求最小公倍数呢？这里有一个小技巧，就是用最大公约数来帮忙。

具体的公式是：最小公倍数= (a × b) / 最大公约数。

就以刚刚的4和5为例，先求最大公约数，显然是1。

然后用公式算一下，(4 × 5) / 1 = 20，完美！这就是最小公倍数，简单又高效，是不是？4. 实际应用4.1 为什么要知道这些？那么，大家可能会问，学这些有什么用呢？其实，最大公约数和最小公倍数在生活中无处不在，比如在安排活动时，确定时间表，或者在分蛋糕时，大家都想要公平的份额。

1. 五年级奥数约数与倍数（二）学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨 教学目标5-4-2.约数与倍数（二）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

最大公约数与最小公倍数的计算两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是能够同时整除这两个数的最大正整数。

而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则指的是能够同时被这两个数整除的最小正整数。

在数学和计算中，求解最大公约数和最小公倍数是一项基础且常用的运算。

1. 最大公约数的计算最大公约数可以通过辗转相除法来求解。

该方法基于以下定理：两个正整数a和b（a>b）的最大公约数等于a除以b的余数r和较小数b 之间的最大公约数。

具体求解步骤如下：（1）将a除以b，得到商q和余数r。

（2）若r等于0，则最大公约数为b。

（3）若r不等于0，则用b替换a，用r替换b，然后返回步骤（1）。

以下是一个求解最大公约数的例子：假设要求解45和75的最大公约数。

45 ÷ 75 = 0 (45)75 ÷ 45 = 1 (30)45 ÷ 30 = 1 (15)30 ÷ 15 = 2 0因此，45和75的最大公约数为15。

2. 最小公倍数的计算最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公约数来求解。

即最小公倍数等于（a*b）/GCD(a,b)。

以下是一个求解最小公倍数的例子：假设要求解6和9的最小公倍数。

首先，计算出它们的最大公约数：6 ÷ 9 = 0 (6)9 ÷ 6 = 1 (3)6 ÷ 3 = 2 0因此，6和9的最大公约数为3。

接下来，计算最小公倍数：LCM(6, 9) = (6 * 9) / GCD(6, 9) = 54 / 3 = 18因此，6和9的最小公倍数为18。

除了使用辗转相除法和相乘相除法，还可以使用质因数分解法求解最大公约数和最小公倍数。

质因数分解法通过将两个数分解为质数的乘积，然后求取它们的公共质数，并将这些公共质数相乘，得到最大公约数或最小公倍数。

综上所述，最大公约数和最小公倍数的计算可以通过辗转相除法、相乘相除法或质因数分解法等多种方法进行。

最大公约数与最小公倍数一、最大公约数定义如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。

几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。

一般地我们用（a，b）表示a，b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）＝6，如果（a，b）＝1，则称a，b两数互质。

二、求最大公约数一般有以下几种方法：1、短除法：求两个（或几个）数的最大公约数一般采用短除法。

例1：有三根铁丝，长度分别120厘米、180厘米和300厘米，现在要把他们截成相等地小段，每根无剩余。

问每段最长多少厘米？一共可截得多少段？解：因为所以（120，180，300）＝30×2＝60120÷60＝2 180÷60＝3 300÷60＝5因此，每段最长60厘米，一共有2＋3＋5＝10（段）答：每小段最长60厘米，一共可截成10段。

2、分解质因数法：分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。

例2：将693311555化成最简分数。

解：因为6933＝3×2311 11555＝5×2311所以69333 1155553、将较小数缩小倍数法：当所求两数（或几个数）较小时经常用例3：（1）求12，36和48的最大公约数。

较小数是12，12是36的约数，12也是48的约数，（12，36，48）＝12（2）求18，24和36的最大公约数。

较小数是18，可是18不是24和36的公约数，把18缩小2倍是9也不是24和36的公约数；再将18缩小3倍是6，6是24和36的公约数，所以（18，24，36）＝6三、最小公倍数定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；几个自然数的公倍数（除0以外）中，最小的一个叫做这几个自然数的最小公倍数。

一般地，我们用[a，b]表示自然数a，b的最小公倍数，如[12，18] ＝36。

四、最小公倍数的求法：1、分解质因数：例1：在总站1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆和5路车每隔20分钟发一辆。