【新教材选择性必修第一册】高二数学周计划高效训练第04周 直线的交点坐标与距离公式(解析版)

“直线的交点坐标与距离公式”的单元教学设计一、内容和内容解析（一）内容1.两条直线的交点坐标.2.距离公式.（二）内容解析内容本质：1.平面内两条不重合的直线位置关系有相交和平行，如果相交，可以借助直线方程，通过解方程组把交点位置精确入微地求解出来，并且反过来，可以通过直线方程联立的方程组的解的情况，反推出两条直线的位置关系，其本质就是在平面直角坐标系中，直线与方程方程的解建立了一一对应的关系：直线上点的坐标都是这条直线方程的解，以直线方程的解为坐标的点都在这条直线上，因此，两条直线的交点坐标是这两条直线方程的公共解，也就是这两条直线的方程组成的方程组的解，所以解两条直线的方程组成的方程组就可以得到是这两条直线的交点2.度量是几何的本质所在，而长度是度量的根本，两点之间线段最短是欧氏几何的本质所在，把两点所确定的线段定义为这两点之间的距离，以此为基础解决几何中的各种距离问题，两点间距离公式是解析几何的基本公式之一，点到直线的距离公式是知识的交汇点，承上启下.蕴含的思想与方法：通过求解两条直线的交点坐标，让学生体会几何直观与代数运算之间的对应关系，初步领悟方程与曲线的含义；通过距离公式的不同的推导及其运用，让学生体会向量在几何中的运用，体会图形的特征在代数计算中的简化作用；学生通过寻找求点到直线的距离的不同方法中，促进不同知识之间的联系，有效促进学生理解数学的整体性；本单元内容蕴含了对应的思想，数形结合的思想，等价转换，设而不求以及分类讨论的数学方法，在教学中要根据问题引领，让学生的理性思维得到提升.知识点上下位关系：初中学生已经具备求解二元一次方程组的知识，也定性地研究了相交直线与平行直线。

建立直线方程之后，可以用代数的方法判断直线之间的位置关系，如果相交，能够求出交点坐标，能找到交点在坐标系中的具体位置；如果平行，可以求出它们之间的距离；求交点坐标的思想方法是后续研究直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与曲线的交点的基础；前面学生学习的平面向量、空间向量与立体几何内容为学习两点之间的距离以及推导点到直线的距离公式提供了知识和思想方法的准备，两点间距离公式是解析几何的基本公式之一，圆锥曲线方程的建立是在此基础上展开的，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.育人价值：通过求两条直线的交点坐标及其相关内容，感悟解析几何的思想，体会平面几何的综合法与解析几何坐标法的差异，提升学生直观想象与数学抽象的核心素养；通过距离公式的推导，让学生体会如何将所求距离的几何定义和步骤一步步地翻译成代数表达，通过对“自然求法”的改进以及不同求法的探究，培养学生由特殊到一般、合理地解决问题，因为不同的解法的实质是知识的不同联系方式，学生能想到新的方法，就意味着对相关知识及其蕴含的思想方法具有较为深刻的理解，以距离问题为核心，将向量、三角、最值等相关知识联系起来，可以形成一个结构化的知识体系，从而提升学生的的逻辑推理以及数学运算的核心素养；通过距离公式的运用，体会解析几何解决问题的三部曲，能更好地用数学的知识解决所遇到的问题.教学重点：1.两条直线的交点坐标.2.点到直线的距离公式及距离公式的运用二、目标和目标分析（一）单元目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.学生能求出两条相交直线的交点坐标，并能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系.2.学生能提出求点到直线距离的思路，能改进算法或能说出不同求法的依据，能自觉运用距离公式求距离，以及解决相关问题.三、教学问题诊断分析1.学生虽然已经在函数内容的学习中已经非常熟悉，可以通过解方程求出两个函数图像交点的坐标，但是对于其在解析几何中的含义依然理解不清，这是第一个教学问题，要通过点拨，要学生加深理解方程与曲线对应关系的认识.2.学生虽然在平面几何中已经知道”点到直线的距离”的定义，但是按步骤将定义代数化，在求出距离公式的过程中其计算是困难的，这是第二个教学问题，这涉及到数学运算核心素养，因此需要老师在关键的节点处点拨，引导学生反思计算过程，改进计算方法，引进计算技巧，3.学生虽然在空间向量与立体几何里就知道距离的本质就是垂直，也知道可以通过向量来表达距离，但是具体如何运用投影向量的数量积来计算点到直线的距离（课本上给出的第二种推导）是非常困难的，这是第三个教学问题，需要设计一系列问题，引导学生数形结合，按照步骤，逐步展开.教学难点：点到直线距离公式的推导.四、教学支持条件分析1.学生虽然在初中已经具备初步的平面几何的知识以及解二元一次方程组的有关知识，也学习了三角函数、平面向量、立体几何中的相关距离定义及其向量表达的基础知识，了解向量是解决距离问题的有力工具，但是教学时也要评估学生原有的基础，进行必要复习与完善.2.利用网络平台（比如：Hp数学实验室、ipad等）在课堂检测、学生展示等环节中，让教师及时了解学生的反馈信息，适时作出评价和引导.五、课时教学设计本单元共4节课，具体分配如下：第1课时：2.3.1两条直线的交点坐标；第2课时2.3.2两点间的距离公式；第3课时2.3.3点到直线的距离公式；第4课时2.3.4两条平行直线间的距离；。

1．5 两条直线的交点坐标必备知识基础练知识点一两条直线的交点和过定点问题1.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )A．12 B．10C．－8 D．－62．不管m怎样变化，直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0恒过的定点是( )A．(1，2) B．(－1，－2)C．(2，1) D．(－2，－1)3．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________.4．三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为________.5．求经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程．知识点二与交点有关的证明问题6.已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点．7．已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2.当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上．知识点三与直线有关的对称问题8.直线l：x＋2y－1＝0关于点(1，－1)对称的直线l′的方程为( )A．2x－y－5＝0 B．x＋2y－3＝0C．x＋2y＋3＝0 D．2x－y－1＝09．若点P(1，3)关于直线x＋2y－2＝0的对称点为Q，则点Q的坐标为________.10．已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别是l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，求BC边所在直线的方程．关键能力综合练一、选择题1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝( ) A．{1，3} B．{(1，3)}C．{(3，1)} D．∅2．经过直线2x＋y－2＝0和x－y－1＝0的交点，且与直线3x＋2y－2＝0垂直的直线方程是( )A．3x－2y－1＝0 B．2x－3y－1＝0C．2x－3y－2＝0 D．3x－2y－2＝03．若直线l：y＝kx－3与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．(0°，60°) B．(30°，60°)C．(30°，90°) D．(60°，90°)4．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于点(3，3)对称，则直线l2一定过定点( ) A．(3，1) B．(2，1)C．(5，5) D．(0，1)5．[探究题]设入射光线沿直线y＝2x＋1射向直线y＝x，则被y＝x反射后的反射光线所在直线的方程是( )A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y＋1＝0C．3x＋2y－1＝0 D．x－2y－1＝0二、填空题6．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是________.7．[易错题]已知直线(1＋k)x＋y－k－2＝0恒过点P，则点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是________．8．直线l被直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，则直线l的方程为________________.三、解答题9．(1)已知两点A(－2，1)，B(4，3)，两直线l1：2x－3y－1＝0，l2：x－y－1＝0，求过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程．(2)已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．学科素养升级练1.[多选题]若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为( )A．1 B．－1 C．－2 D．22．[学科素养——数学建模]已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4).(1)在l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(2)在l上求一点P′，使||P′B|－|P′A||最大．1．5 两条直线的交点坐标必备知识基础练1．解析：将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0可得n ＝5，所以m ＋n ＝10.答案：B2．解析：直线方程(m ＋2)x －(2m －1)y －(3m －4)＝0化为m (x －2y －3)＋(2x ＋y ＋4)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 因此不论实数m 取何值，直线(m ＋2)x －(2m －1)y－(3m －4)＝0都经过定点(－1，－2). 答案：B3．解析：在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3 ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3 代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案：±64．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14－4x ，2x －3y ＝14 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以这两条直线的交点坐标为(4，－2).由题意知点(4，－2)在直线mx ＋2y ＋7＝0上，将(4，－2)代入，得4m ＋2×(－2)＋7＝0，解得m ＝－34.答案：－345．解析：方法一：联立直线方程，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，5x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2. 由两点式得所求直线的方程为y －32－3 ＝x －2－2－2，即x －4y ＋10＝0.方法二：易知直线5x ＋2y ＋6＝0不符合所求方程．设所求直线方程为 x ＋3y －4＋λ(5x ＋2y ＋6)＝0(λ∈R ). 将点A (2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0， 解得λ＝－722，故所求直线方程为x ＋3y －4－722 (5x ＋2y ＋6)＝0，整理得x －4y ＋10＝0.6．证明：k AB ＝4－（－1）1－（－2） ＝53 ，k BC ＝1－（－1）4－（－2） ＝13 ，k AC ＝1－44－1 ＝－1，则AB ，BC ，AC 边上的高所在直线的斜率分别为－35，－3，1，则AB ，BC ，AC 边上的高所在直线的方程分别为y －1＝－35(x －4)，y －4＝－3(x －1)，y －(－1)＝x －(－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－35（x －4），y －4＝－3（x －1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝52，则AB ，BC 边上的高所在直线的交点坐标为(32 ，52 )，又AC 边上的高所在的直线方程为y ＝x ＋1， ∵点(32 ，52 )满足方程y ＝x ＋1，故△ABC 的三条高所在的直线交于一点．7．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝1，mx ＋8y ＝m －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2m ＋4，y ＝－1m ＋4，∴点A (m ＋2m ＋4 ，－1m ＋4)， ∵x ＝m ＋2m ＋4 ＝（m ＋4）－2m ＋4 ＝1－2m ＋4＝1＋2y ， 即x －2y －1＝0(y ≠0)，因此，点A 在直线x －2y －1＝0上．8．解析：由题意得l ′∥l ，故设l ′：x ＋2y ＋c ＝0(c ≠－1)，在l 上取点A (1，0)，则点A (1，0)关于点(1，－1)的对称点是A ′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c ＝0，即c ＝3，故直线l ′的方程为x ＋2y ＋3＝0.答案：C9．解析：设点Q (a ，b )，则线段PQ 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，b ＋32 ，又直线x ＋2y －2＝0的斜率为－12 ，所以P ，Q 连线的斜率为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2·b ＋32－2＝0，b －3a －1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，所以点Q 的坐标为(－1，－1). 答案：(－1，－1)10．解析：易知点A 关于直线l 1的对称点A ′的坐标为(－1，2)，设点A 关于直线l 2的对称点为A ″(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －（－4）m －（－1）＝1，m ＋（－1）2＋n ＋（－4）2＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝0，即A ″(3，0)，由于l 1，l 2分别是∠B ，∠C 的平分线所在直线，所以A 点关于l 1，l 2的对称点在直线BC 上，故所求直线的方程为y －20－2 ＝x －（－1）3－（－1），即x ＋2y －3＝0.关键能力综合练1．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，2x －y －5＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 故A ∩B ＝{(3，1)}．答案：C2．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0， 即交点坐标为(1，0).设与直线3x ＋2y －2＝0垂直的直线方程是2x －3y ＋m ＝0，把点(1，0)代入可得2－0＋m ＝0，解得m ＝－2，所以所求的直线方程为2x －3y －2＝0.故选C.答案：C3．解析：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ， 所以其交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k ，由交点在第一象限知⎩⎪⎨⎪⎧3＋31＋k >0，3k －31＋k >0， 解得k >33 ，设直线l 的倾斜角为α，即tan α>33 ，故30°<α<90°.答案：C4．解析：∵y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1， ∴直线l 1：y ＝kx －k ＋1过定点(1，1)，设定点(1，1)关于点(3，3)对称的点的坐标为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝3，1＋y 2＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5， 即直线l 2恒过定点(5，5).故选C.答案：C5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ， 可得反射点A (－1，－1)，在y ＝2x ＋1上任取一点B (0，1)，则点B (0，1)关于直线y ＝x 的对称点C (1，0)在反射光线所在的直线上，利用两点式求得反射光线所在直线的方程是y ＋10＋1 ＝x ＋11＋1，即x －2y －1＝0.故选D.答案：D6．解析：联立直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1，即直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，17．解析：由(1＋k )x ＋y －k －2＝0得k (x －1)＋(x ＋y －2)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故点P 的坐标为(1，1).设点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b ＋12－2＝0，b －1a －1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，所以点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(3，－1).答案：(3，－1)8．解析：设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，直线l 与l 2的交点为B .由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0，4－y 0).联立⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3（－2－x 0）－5（4－y 0）－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5， 即A (－2，5)，所以直线l 的方程为y －25－2＝x －（－1）－2－（－1），即3x ＋y ＋1＝0.答案：3x ＋y ＋1＝09．解析：(1)设线段AB 的中点为M ， ∵A (－2，1)，B (4，3)，∴M (1，2). 设直线l 1，l 2的交点为N ，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴N (2，1)， ∴k MN ＝2－11－2＝－1，∴所求直线的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得l 1与l 的交点为P (3，－2)，显然P 也在l 2上，在直线l 1上取一点A (2，0)，又设点A 关于直线l 的对称点为B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－2＝43，3·2＋x 02＋4·0＋y 02－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝45，y 0＝－85，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85 .故由两点式可求得直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.方法二：设直线l 2上一动点M (x ，y )关于直线l 的对称点为M ′(x ′，y ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y x ′－x ＝43，3·x ′＋x 2＋4·y ′＋y 2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝7x －24y ＋625，y ′＝－24x －7y ＋825， 显然M ′(x ′，y ′)在l 1上，故2·7x －24y ＋625＋－24x －7y ＋825－4＝0，即2x ＋11y ＋16＝0，这便是所求的直线l 2的方程．学科素养升级练1．解析：三条直线不能围成三角形，有可能三条直线互相平行或有其中两条平行，还可能有共同交点．若l 1和l 3平行，则a 1 ＝11，求得a ＝1，此时l 1，l 2，l 3重合；若l 2和l 3平行，则11 ＝a 1 ，求得a ＝1，此时l 1，l 2，l 3重合；若l 1和l 2平行，则a 1 ＝1a，求得a ＝±1.故当a ＝1时，l 1，l 2，l 3重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2，若三条直线交于一点，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，交点为(1，－1－a )，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0得，1－a (1＋a )＋1＝0，∴a ＝－2或1(舍去).综上可得，实数a 所有可能的值为－1，1，－2，故选ABC.答案：ABC2．解析：(1)如图所示，设A 关于l 的对称点为A ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n m －2＝－2，m ＋22－2·n 2＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8.则A ′(－2，8)，连接A ′B 交直线l 于点P ，点P 即为所求．直线A ′B 的方程是x ＝－2，A ′B 与l 的交点坐标是(－2，3)，故所求的点为P (－2，3).(2)如图所示，连接BA 并延长，交直线l 于点P ′，则P ′即为所求，AB 所在直线的方程为y －0＝0－（－4）2－（－2）×(x －2)，即y ＝x －2，联立直线AB 与l 的方程得AB 与l 的交点坐标为(12，10).故所求的点为P ′(12，10).。

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的交点坐标与距离公式【考点梳理】考点一：两条直线的交点坐标1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有A1a＋B1b＋C1＝0，A2a＋B2b＋C2＝0.2．两直线的位置关系方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行考点二：两点间的距离公式（1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.考点三：两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2【题型归纳】题型一：直线的交点坐标1．直线460x y -+=和8180x y +-=与两坐标轴围成的四边形的面积为（）A ．2716B ．154C ．3316D ．3382．三条直线2x =，10x y --=，0x ky +=相交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．2D ．123．直线l 经过直线240x y -+=和直线20x y +-=的交点，且与直线350x y ++=垂直，则直线l 的方程为（）A ．320x y -+=B ．320x y ++=C ．320x y -+=D ．320x y ++=题型二：由直线交点个数求参数4．已知直线1:10mx y l m -+-=与射线2:20(0)l x y x --=≥恒有公共点，则m 的取值范围是（）A ．(,1](1,)-∞-⋃+∞B ．(,1][1,)-∞-+∞C ．[1,1)-D ．[1,1]-5．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭6．设点()2,3A -,()3,2B ,若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是()A ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭题型三：两点间的距离公式应用7．直线0l ：440x y --=与1l ：220x y --=及2l ：43120x y +-=所得两交点间的距离为（）A ．3172B ．3172C ．91714D ．3178．已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．已知点(),1M m -，()5,N m ，且25MN =，则实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3题型四：点到直线的距离问题10．已知点()1,1P ，直线:1l y kx =+，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．11[0,)(,1)22⋃11．已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（）A ．52B ．102C ．8D ．21012．已知点()1,2P ，则当点P 到直线240ax y +-=的距离最大时，a =（）A ．1B ．14-C ．14D ．5题型五：点、直线的对称问题13．点()1,2关于直线20x y +-=的对称点是（）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()2,114．已知点()4,2M 与()2,4N 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．60x y ++=B ．60x y +-=C ．0x y +=D ．0x y -=15．已知()20A ，，()60B ，，()04C ，，一条光线从点A 发出，经直线BC 反射后，恰好过原点O ，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．83B ．125C ．269D ．3611题型六：两条平行直线间的距离16．已知直线1l ：()()()324220x y λλλ++++-+=（R λ∈），2l ：20x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 间的距离为（）A ．22B ．2C ．2D ．2217．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（）A ．52B ．54C ．102D ．10418．已知直线l 与直线1303l x y -+=：和2103l x y --=：的距离相等，则l 的方程是（）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．330x y --=D ．310x y -+=【双基达标】一、单选题19．已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（）A ．24B ．20C ．4D ．020．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭21．已知平面上两点(,2)A x x -，2(2B ，0)，则||AB 的最小值为（）A ．3B ．13C ．2D ．1222．已知m ，n 满足1m n +=，则点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．2223．和直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -+-=C ．20x y ++=D ．20x y +-=24．已知()()0120A B ABC ，，，，的面积为5，则点C 的轨迹方程为（）A ．2120x y ++=或280x y ++=B ．2120x y +-=或280x y +-=C ．2120x y ++=或280x y +-=D ．2120x y +-=或280x y ++=25．若两条平行直线1:20(0)l x y m m -+=>与2:30l x ny +-=之间的距离是5，则m n +=（）A ．0B ．1C ．2-D ．1-26．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和230x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（）A ．23B ．25C ．2D ．427．过定点A 的直线0()x my m R -=∈与过定点B 的直线30()mx y m m R +-+=∈交于点(,)P x y ，则22||||PA PB +的值为（）A ．10B ．10C ．25D ．2028．已知直线:10(00)l Ax By C A B ++-=>>，恒过定点()0m，，若点()22，到直线l 的最大距离为2，则112A C+的最小值为（）A ．14B ．34C ．4D ．92【高分突破】一：单选题29．已知ABC 的顶点为A （2，1），B (-2，3)，C (0，-1)，则AC 边上的中线长为（）A ．3B ．32C ．4D ．4230．一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（）A ．2130x y -+=B ．6220x y -+=C ．3150x y -+=D ．6270x y -+=31．已知直线1l 与2:230l x y --=平行，且1l 与2l 间的距离为5，则直线1l 的方程为（）A ．230x y +-=或290x y +-=B ．260x y --=或2120x y --=C ．220x y -+=或280x y --=D ．3.250x y -+=或3270x y --=32．已知直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则a 的值为（）A ．13-B ．13C ．3D ．3-33．已知点()1,2A ，()2,3B -，直线:l y x =，在直线l 上找一点P 使得PA PB +最小，则这个最小值为（）A ．34B ．25C ．10D ．234．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点(4,0),(0,4),(2,0)A B C -，则该三角形的欧拉线方程是（）A ．20x y +-=B ．210x y -+=C ．20x y -+=D ．220x y -+=35．已知直线1:240l kx y k +--=恒过点M ，直线2:1l y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为(4,6)，当||||PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为（）A ．27,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1712,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．127,55⎛⎫ ⎪⎝⎭36．若动点,A B 分别在直线1:60l x y +-=和2:20l x y +-=上，则AB 的中点M 到坐标原点的距离的最小值为（）A ．2B ．22C ．32D ．42二、多选题37．下列说法正确的是（）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x xy y x x--=--D ．经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或10x y -+=38．已知(4,3)A -，(2,1)B -和直线l ：4320x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使||||PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为（）A ．21(,)33-B ．(1,4)-C ．6(1,)5D ．278(,)77-39．已知直线1:2310l x y +-=和2:4690l x y +-=，若直线l 到直线1l 的距离与到直线2l 的距离之比为1:2，则直线的方程为（）A ．2380x y +-=B ．4650x y ++=C ．69100x y +-=D ．1218130x y +-=40．（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（）A ．23180x y +-=B ．220x y --=C ．220x y ++=D ．2360x y -+=41．已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（）A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是2342．下列结论错误的是（）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30°B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则32a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是52D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5三、填空题43．已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为______．44．设10x y -+=，求222261034430229d x y x y x y x y =++-+++--+的最小值是___________.45．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________.46．已知()1,12A ，()3,4B ，过点()1,0-C 且斜率为k 的直线1l 与线段AB 相交，点()0,1D 到直线2:340l x y k ++=的距离为d ，则实数d 的取值范围是________________________.47．直线l 经过点()1,23P ，且分别与直线1:310l x y -+=和2:330l x y --=相交于A ，B 两点，若AB 4=，则直线l 的方程为________．四、解答题48．已知直线l 经过点()2,3P --．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和10x y +-=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．49．已知ABC 的三个顶点分别为()20A -，，()20B ，，()02C ，．（1）若过()12P ，的直线y ax b =+将ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从()10E ，点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．50．已知两定点()3,8A --，()10,4B 及两平行直线1:34100l x y ++=，2:34150l x y +-=，（1）求点()3,8A --关于点()10,4B 的对称点1A 的坐标；（2）求点()3,8A --关于直线1:34100l x y ++=的对称点2A 的坐标；（3）若点P ，Q 分别在直线1l ，2l 上，且1PQ l ⊥，求折线段APQB 的长度最短时直线PQ 的一般式方程．第11页共32页51．已知()3,4P 为正方形ABCD 的中心(A ，B ，C ，D 逆时针排列)，AB 边所在直线方程为380x y +-=．（1）求对角线AC ，BD 所在直线的方程；（2）已知()6,4Q 是一个定点，(),0M t 是x 轴上一个动点，过点M 作直线MN ，满足MN 与MQ 斜率之和为零，且直线MN 与正方形ABCD 有公共点．①求出直线MN 分别过正方形各顶点时，M 点的坐标；②写出实数t 的最大值与最小值(不需要过程，直接写出答案即可)．2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的交点坐标与距离公式【答案详解】1．B 【详解】直线8180x y +-=与x 轴的交点为904M ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线460x y -+=与y 轴的交点为302N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则229331300424MN ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．如图所示：则由两点式可得直线MN 的方程为323924y x -=-，即4690x y +-=，由4608180x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得22x y =⎧⎨=⎩，此为两直线的交点()22P ，，根据点到直线的距离公式可得P 点到直线MN 的距离为2242629111113265246d ⨯+⨯-===+，故OMN PMN OMPN S S S =+ 四边形193131311131524224264=⨯⨯+⨯⨯=．故选：B 2．A解：设三条直线交于一点P ，则直线2x =，10x y --=，交于点P ，联立210x x y =⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)P ，∴直线0x ky +=过点P ，即20k +=，2k ∴=-故选:A ．3．A 【详解】联立24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得(0,2)P ，直线l 与直线350x y ++=垂直，则直线直线l 的斜率为3l k =，所以直线l 的方程为()230y x -=-，整理可得320x y -+=.故选：A.4．C 【详解】联立1020mx y m x y -+-=⎧⎨--=⎩，得11m x m --=-，∵直线1:10mx y l m -+-=与射线2:20(0)l x y x --=≥恒有公共点，∴101m x m --=≥-，解得11m -≤<.∴m 的取值范围是[)1,1-.5．C 【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意.当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C6．C 【详解】直线20ax y -++=与线段AB 没有交点即直线2y ax =-与线段AB 没有交点对于直线2y ax =-,令0x =,则2y =-,则直线恒过点()0,2C -根据题意,作出如下图像:(0,2)C -,()2,3A -∴根据两点求斜率公式可得:直线AC 的斜率为32522AC k +==-- (0,2)C -,()3,2B ∴根据两点求斜率公式可得:直线BC 的斜率为224303BC k +==-直线20ax y -++=的斜率为a若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点则5423a -<<故选:C.7．C 【详解】由440220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得6747x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即直线0l 与1l 的交点坐标64,77A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由44043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即直线0l 与2l 的交点坐标3,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22634917||272714AB ⎛⎫⎛⎫=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 8．B 【详解】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =- ，∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥，∴ABC 是直角三角形.故选：B.9．C 【详解】因为22||(5)(1)MN m m =-+--22826m m =-+，所以2282625m m -+=，即2430m m -+=，解得1m =或3m =，故选：C 10．C 【详解】点()1,1P 到直线:10l kx y -+=的距离2||1k d k =+，当0k =时，0d =，当0k ≠时，2111d k =+，恒有2111k +>，于是得01d <<，综合得01d ≤<，所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[0,1).故选：C 11．C 【详解】直线BC 的方程为()1415y x -=--，即5210x y +-=.由521010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得811,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设()8,1,3A a a a +≠，直线,AB AC 的方程分别为()()3241,3616a a y x y x a a ---=--=---，即()()3131a x a y a ---+-，()()26360a x a y a -----=.根据角平分线的性质可知，D 到直线,AB AC 的距离相等，所以()()()()()()()()22228118113131263633333126a a a a a a a a a a -⨯--⨯+--⨯--⨯--=-+--+-，22161622233281021640a a a a a a -⋅-=-+-+，由于83a ≠，所以上式可化为222281021640a a a a ⋅-+=-+，两边平方并化简得2803a a -=，解得0a =（83a ≠），所以()0,1A .所以()0,1A 到直线BC 的距离为22521162615-=+，而()()22613426BC =-+-=，所以116268226ABCS ∆=⨯⨯=.故选：C12．B 【详解】因为直线恒过定点4)0,A（，则当PA 与直线垂直时﹐点P 到直线的距离达到最大值，此时过P A 、的直线的斜率为2,-所以直线240ax y +-=的斜率为12，即122a -=，所以14a =-.故选：B ．13．B 【详解】解：设点()1,2A 关于直线20x y +-=的对称点是(),B a b ，则有211122022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0a =，1b =，故点()1,2关于直线20x y +-=的对称点是()0,1.故选：B.14．D 【详解】()4,2M ,()2,4N∴MN 的中点为(3,3)，42124MN k -==--， ()4,2M 与()2,4N 关于直线l 对称，∴l 过点(3,3)，且斜率为1，∴直线l 的方程为33y x -=-，即0x y -=，故选：D15．D 【详解】()60B ，，()04，C ，∴直线BC 的方程是164x y+=，即23120x y +-=， 光线经直线BC 反射后，恰好经过原点O ，∴原点O 关于直线BC 的对称点在入射光线上，设原点O 关于直线BC 的对称点是()00x y ，，则0000322312022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得04813x =，07213y =，入射光线经过点()20A ，，∴入射光线所在的直线的斜率为7236134811213k ==-，故选：D 16．B 【详解】由12//l l 得32422112λλλ++-+=≠-，解得1λ=，所以直线1l ：550x y +=，即0x y +=，所以1l 与2l 间的距离为222d -==，故选B ．17．D【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离14104364d +==+．故选：D 18．D设所求直线l 方程为：30x y c -+=，因为直线l 与1:330l x y -+=；2:310l x y --=距离相等，所以311010c c ---=，解得1c =，所以所求直线方程为：310x y -+=，故选：D.19．D 【详解】由两直线垂直得24(5)0m ⋅+⨯-=，解得10m =，所以原直线一可写为10420x y +-=，又因为垂足为()1,p 同时满足两直线方程，所以代入得1014202150p p n ⨯+-=⎧⎨⨯-+=⎩，解得212p n =-⎧⎨=-⎩，所以-10-1220m n p +=+=，故选:D 20．D联立方程组330y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得3333,11k x y k k +-==++，因为两直线的交点位于第二象限，可得3301k +<+且3301k k ->+，解得1k <-，设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<，即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.故选：D.21．D 【详解】根据题意，平面上两点(,2)A x x -，2(2B ，0)，则222223211||()(2)2()2444AB x x x =-+-=-+，则有1||2AB ，则||AB 的最小值为12，故选：D.22．C 【详解】将1n m =-代入直线方程，得(2)20x m y --+=，所以直线20mx y n -+=必过定点(2,2)，故点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为22(21)(21)2-+-=.故选:C 23．C 【详解】直线20x y -+=交x 轴于点()2,0-，且直线20x y -+=的斜率为1，故所求直线的方程为()2y x =-+，即20x y ++=.故选：C.24．D 【详解】()()0120A B ，，，，则22215AB =+=，设C 到AB 边所在直线的距离为d ，由ABC 的面积为5，得1552d ⨯⨯=，即25d =；∴顶点C 的轨迹是与AB 所在直线平行且与直线AB 距离为25的两条直线；直线AB 的方程为121x y+=即220x y +-=，设点C 所在直线方程为20x y c ++=，2255c +∴=，解得12c =-或8c =，∴点C 的轨迹方程为2120x y +-=或280x y ++=；故选：D 25．A 【详解】由题意两直线平行，则112n=-，2n =-，又355m d +==，而0m >，所以2m =．所以0m n +=．故选：A ．26．B 【详解】设直线210x y ++=与直线2340x y c -+=的交点为A ，则2210340x y x y c ++=⎧⎨-+=⎩，解得2225310c x c y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故2223,510c c A +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理设直线210x y ++=与直线1340x y c -+=的交点为B ，则1123,510c c B +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线230x y ++=与直线1340x y c -+=的交点为C ，则1169,510c c C +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线230x y ++=与直线2340x y c -+=的交点为D ，则2269,510c c D +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，由菱形的性质可知BD AC ⊥,且,BD AC 的斜率均存在，所以1BD AC k k ⋅=-，则22222112393910101010126265555c c c c c c c c ------⋅=-++++-+--+-，即()()221221361416c c c c --=-⎡⎤--⎣⎦，解得1225c c -=故选：B.27．B 【详解】解：动直线0x my -=过定点()0,0A ，动直线30mx y m +-+=化为()130m x y -++=，令1030x y -=⎧⎨+=⎩，解得1x =，3y =-，故定点()1,3B -.当0m =时，直线方程为0x =，30y +=，此时两直线垂直；当0m ≠时，由两直线的斜率之积为()1211k k m m=⨯-=-可知两直线垂直，∴PA PB ⊥，222||||10PA PB AB ∴+==，故答案选：B.28．C 【详解】由题可知()22222m =-+，所以2m =，所以21A C +=．()11112·224222C A A C A C A C A C⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2C A =，即14A =，12C =时，取等号．故选：C ．29．B 【详解】设AC 的中点为D ，因为A （2，1），C (0，-1)，所以()1,0D ,所以AC 边上的中线长()()22213032BD =--+-=.故选：B 30．D解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '，所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=.故选：D.31．C 【详解】解：设1:20l x y c -+=，1l 与2l 间的距离为5．|3||3|5145c cd ++∴===+，即|3|5c +=，得35c +=或35c +=-，即2c =或8c =-，即线1l 的方程为220x y -+=或280x y --=，故选：C ．32．B 【详解】解：直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则231l l k k ⨯=-，即23l k =，∵直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，∵由3010ax y x y -+=⎧⎨+-=⎩得2131x a a y a ⎧=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩得交点坐标43,11a a a -⎛⎫- ⎪++⎝⎭，在直线1l 上取点()0,3，设该点关于l 对称的点为()P m n ,，则()31022311m n n m+⎧+-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪⎩，得2,1m n =-=，故23113221l aa k a +-+==-++，解得13a =，故选：B.33．B 【详解】解：设A 关于直线y x =的对称点的坐标为,A a b '（），则212112122b a a b b a -⎧=-⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=++⎩⎪=⎪⎩，∴PA PB +最小22(22)(31)25BA '=--+-=．故选：B34．C 【详解】解：因为ABC 的顶点(4,0),(0,4),(2,0)A B C -，所以三角形的重心坐标为24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，AC 的中垂线方程为1x =-，1AB k =，AB 的中点坐标为()2,2-，所以AB 的中垂线方程为()212y x -=-+，即y x =-，所以三角形的外心为直线1x =-与y x =-的交点()1,1-，所以三角形的欧拉线方程为()()41311213y x --=+---，整理得20x y -+=故选：C 35．B 【详解】直线1l ：240kx y k +--=，即()1240k x y -+-=，令10x -=，求得1x =，2y =，可得该直线恒过点()1,2M .直线2l ：1y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为()4,6，故M 、N 都在直线2l ：1y x =-的上方．点()1,2M 关于直线2l ：1y x =-的对称点为()'3,0M ，则'M N 直线方程为036043y x --=--，即618y x =-.把'M N 直线方程和直线2l ：1y x =-联立方程组，求得175125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得当PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为1712,55⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B36．B 【详解】根据题意，可得M 的集合为与直线1l 和2l 距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为:0l x y m ++=，由|6||2|22m m ++=，可得|6||2|m m +=+，解得4m =-，可得:40l x y +-=，所以M 到原点的距离的最小值为|4|222=.故选：B.37．AB 【详解】解：对于A ，当0x =时，2y =-，当0y =时，2x =，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，所以A 正确，对于B ，设点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(,)m n ，则2122210n mn m +⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式求直线方程，所以C 错误，对于D ，当直线的截距为零时，设直线方程为y kx =，则2k =，所以直线方程为20x y -=，当当直线的截距不为零时，设直线方程为1x y a a +=，则121a a+=，解得3a =，所以直线方程为30x y +-=，所以经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或20x y -=，所以D 错误，故选：AB 38．BD 【详解】设点P 的坐标为(,)a b ，线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-，31142AB k -+==--，∴AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=，∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=，又点(,)P a b 到直线l ：4320x y +-=的距离为2，∴22432243a b +-=+，即43210a b +-=±，联立可得1a =-、4b =-或277a =、87b =-，∴所求点P 的坐标为(1,4)-或278(,)77-，故选：BD.39．BD 【详解】设直线:460l x y m ++=，2m ≠-且9m ¹-，直线l 到直线1l 和2l 的距离分别为12,d d ，由题知：121636m d +=+，291636m d +=+，因为1212d d =，所以22916361636m m ++=++，即229m m +=+，解得5m =或133m =-，即直线l 为4650x y ++=或1218130x y +-=。

2.3直线的交点坐标与距高公式一、单选题1．三条直线2x =，10x y --=，0x ky +=相交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．2D ．122．已知矩形ABCD ，P 为矩形外的一点，7,1,4,PA PB PC ===则PD =（）A ．8B ．7C ．6D ．53．已知点()1,1P ，直线:1l y kx =+，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．11[0,(,1)22⋃4．和直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -+-=C ．20x y ++=D ．20x y +-=二、多选题5．(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（）A ．－163B ．－1C ．1D ．1636．下列说法正确的是（）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或10x y -+=7．若动点()11A x y ，，()22B x y ，分别在直线1:3410l x y -+=与2:6850l x y -+=上移动，则AB 的中点M 到原点的距离可能为（）A ．310B ．710C ．25D ．12三、填空题8．已知直线1l 与直线2:230l x y --=，12l l //，且1l 与2l 1l 的方程为__________．9．到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹是______．10．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______.四、解答题11．已知直线1:320l x y ++=与直线2:210l x y +-=的交点为M ，求经过点M 且满足下列条件的直线l 的方程：（1）与直线250x y ++=平行；（2）与直线3240x y +-=垂直．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且ABC 的面积等于7，求点A 的坐标.13．已知ABC 的面积为10，点()()1024A B -，，，，求动点C 的轨迹方程．14．已知ABC 的三个顶点分别为()20A -，，()20B ，，()02C ，．（1）若过()12P ，的直线y ax b =+将ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从()10E ，点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．参考答案1．A 【分析】先求出直线2x =，10x y --=，的交点P ，再把交点坐标代入直线0x ky +=中，求得k 的值．【详解】解：设三条直线交于一点P ，则直线2x =，10x y --=，交于点P ，联立210x x y =⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)P ，∴直线0x ky +=过点P ，即20k +=，2k ∴=-故选:A ．2．A 【分析】建立平面直角坐标系，设出P 点坐标，利用两点间的距离公式列方程，化简求得PD .【详解】设,BC a BA b ==，建立如图所示平面直角坐标系，则()()()0,,,0,,A b C a D a b ，设(),P x y .则2221PB x y =+=，()22216PC x a y =-+=，()22249PA x y b =+-=，化简得()()2264x a y b -+-=，所以8PD ==.故选：A3．C 【分析】利用点到直线距离公式列式，再借助函数求其值域即得.【详解】点()1,1P 到直线:10l kx y -+=的距离d =当0k =时，0d =，当0k ≠时，d =，恒有2111k +>，于是得01d <<，综合得01d ≤<，所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[0,1).故选：C 4．C 【分析】求出直线20x y -+=与x 轴的交点，并求出直线20x y -+=的斜率，由此可得出所求直线的方程.【详解】直线20x y -+=交x 轴于点()2,0-，且直线20x y -+=的斜率为1，故所求直线的方程为()2y x =-+，即20x y ++=.故选：C.5．AC 【分析】由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值【详解】解：由2123x y x ky -=⎧⎨+=⎩，得6414k x ky k +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以三条直线的交点为61,44k k k +⎛⎫⎪++⎝⎭，所以6134544k k k k+⋅+⋅=++，化简得2313160k k +-=，解得1k =或163k =-，故选：AC 6．AB 【分析】对于A ，由直线方程求直线在坐标轴上的截距，从而可求出直线与坐标轴围成的三角形的面积，对于B ，直接求解点(0,2)关于直线1y x =+的对称点进行判断，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式方程，对于D ，分截距为零和截距不为零两种情况求解即可【详解】解：对于A ，当0x =时，2y =-，当0y =时，2x =，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，所以A 正确，对于B ，设点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(,)m n ，则2122210n mn m +⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式求直线方程，所以C 错误，对于D ，当直线的截距为零时，设直线方程为y kx =，则2k =，所以直线方程为20x y -=，当当直线的截距不为零时，设直线方程为1x ya a +=，则121a a+=，解得3a =，所以直线方程为30x y +-=，所以经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或20x y -=，所以D 错误，故选：AB 7．BCD 【分析】本题考查平行直线间的距离，点到直线的距离，考查计算和转化能力，由题意可知，点M 在平行直线1l 与l 之间且在到两条直线距离相等的直线上，求出点M 所在的直线方程，以及原点到该直线的距离，即点M 到原点的距离的最小值即可得解．【详解】由题意可知，直线1:3410l x y -+=即6820x y -+=与2:6850l x y -+=平行，点M 在直线1l 与2l 之间且在到两条直线距离相等的直线上，设该条直线方程为680x y c -+==72c =，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线76802x y -+=的距离，即77220d =，即AB 的中点M 到原点的距离的最小值为720，故选:BCD ．8．220x y -+=或280x y --=【分析】设所求直线的方程为20x y C -+=，利用两平行线间的距离公式求出C 的值，进而可得出直线1l 的方程.【详解】12//l l Q ，可设直线1l 方程为20x y C -+=，又1l 与2l35C +=，解得2C =或8-.直线1l 的方程为220x y -+=或280x y --=.故答案为：220x y -+=或280x y --=.9．34110x y --=或3490x y -+=【分析】由题意可设所求点的轨迹方程为340x y m -+=，利用两平行线间的距离等于2求得m 值，则点的轨迹方程可求．【详解】由题意可知，到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹是与直线3410x y --=平行的两条直线，且所求直线与已知直线间的距离为2，设所求点的轨迹方程为340x y m -+=，2=即110m +=，解得11m =-或9．∴到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹方程是34110x y --=或3490x y -+=．故答案为：34110x y --=或3490x y -+=10．(1,2)【分析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =，求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；【详解】解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --=点()00,x y 到直线l 的距离为d =()20150y x =-+>在01x =时，min d ，此时02y =，故答案为：(1,2)11．（1）210x y ++=；（2）2350x y -+=【分析】（1）联立直线方程，即可得交点M 坐标，再根据直线平行，则斜率相等，即可得直线方程；（2）根据直线垂直斜率乘积为1-，即可得所求直线的斜率，结合点M 的坐标，即可求解.【详解】由320210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以交点为()1,1M -，（1）直线250x y ++=的斜率为2-，因为所求直线与直线250x y ++=平行，可得所求直线的斜率2k =-，所以所求直线方程为()121y x -=-+，即210x y ++=；（2）因为直线3240x y +-=的斜率为32-，因为所求直线与直线324x y +-=故所求直线的斜率23k =，所以所求直线方程为()2113y x -=+，即2350x y -+=.12．（1）240x y +-=；（2）()3,4A 或()3,0-.【分析】（1）利用点斜式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S =△以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）∵311222AB k -==---，采用点斜式设直线方程：11(2)2y x -=--∴240x y +-=（2）∵A 点在中线AD 上，把A 点坐标代入，2360-+=m n 点A 到直线:240BC x y +-=的距离d =∵11||722ABC S d BC =⋅⋅==△即23603 2474m n m m n n -+=⎧=⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩或30m n =-⎧⎨=⎩所以，点A 的坐标为()3,4A 或()30A -,13．43160x y --=或43240x y -+=．【分析】首先求得C 到直线AB 的距离为4，即动点C 到直线AB 的距离为4，C 的轨迹方程为两条平行直线，结合两条平行线间的距离公式即可求解．【详解】5AB ==，设C 到AB 的距离为h ，则151042h h ⨯⨯=⇒=.直线AB 的方程为()400121y x --=++，即4340x y -+=，设C 的轨迹为430x y c -+=，424c =⇒=或16c =-，所以所求C 的轨迹方程为43160x y --=或43240x y -+=．14．（1）2b =（2）证明见解析，()14--，．【分析】（1）结合图形分析可得直线y ax b =+的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y ax b =+只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设()0F m ，，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.【详解】（1）直线BC 的方程为：20x y―+=，直线y ax b =+只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由2y ax b x y =+⎧⎨+=⎩得21Q b ay a +=+，0Q y >，直线y ax b =+与x 轴交点为0b R a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，22b a -<<，由12BR BQBA CB =12=，化简得：()2(2)41b a a a +=+，又2b a +=，231280b b ∴-+=，解得：2b =而20a b =->，2b ∴=（2）设()0F m ，，直线AC 的方程为：20x y -+=，直线BC 的方程为：20x y +-=，设()0F m ，关于直线AC 的对称点为()111F x y ，，则111120221m x y y x m +⎧-+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得()122F m -+，，同理可得1F 关于直线BC 的对称点为()24F m -，，则2F 在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为41m --，l ∴的斜率为41m +，l 方程为()41y x m m =-+，即()44m y x y +=-，l ∴过定点()14--，．。

第03周 直线的斜率与直线方程一．选择题1．已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则m =A ．-B ．0C ．D ．【答案】A【解析】设直线l 的斜率为k ，则2tan 3k π==，故m =- 故选A ．2．已知点(1,2)A -，(,2)B m ，若线段AB 的垂直平分线的方程是220x y +-=，则实数m 的值是 A ．2- B ．7- C ．3 D ．1【答案】C 【解析】(1,2)A -和(,2)B m 的中点1(,0)2mC +在直线220x y +-=上，∴1202m+-=． 3m ∴=，故选C ．3．直线230x y ++=在y 轴上的截距为 A ．32B ．3C ．3-D ．32-【答案】D【解析】直线230x y ++=，当0x =时，解得32y =-．所以直线230x y ++=在y 轴上的截距为：32-．故选D ．4．若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为 A ．23B ．23-C ．32 D ．32-【答案】D【解析】直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为3(3)3132--=---，故选D ．5．已知直线:(1)(2)0l a x b y c -+++=，若//l x 轴，但不重合，则下列结论正确的是 A ．1a ≠，0c ≠，2b ≠ B ．1a ≠，2b =-，0c ≠ C ．1a =，2b ≠-，0c ≠D ．其它【答案】C【解析】直线:(1)(2)0l a x b y c -+++=，//l x 轴，但不重合， ∴10200a b c -=⎧⎪+≠⎨⎪≠⎩， 解得1a =，2b ≠-，0c ≠． 故选C ．6．已知ABC ∆的顶点(1,2)A ，(5,2)C ，ABC ∠的平分线BH 所在直线方程为y x =，则直线BC 的方程为 A ．3210x y -+= B ．210x y --= C ．350x y --= D ．310x y -+=【答案】D【解析】因为点(1,2)A 关于直线y x =的对称点(2,1)在直线BC 上； 故直线BC 的方程为：251225y x --=--，即310x y -+=； 故选D ．7．直线320x --=的斜率为 A ．1 BCD ．2【答案】C【解析】直线320x -=，即y =故选C ．8．(1,1)A --，(3,1)B ，直线l 过点(1,2)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是 A ．13(,)22-B ．31(,)22-C ．13(,)(,)22-∞-+∞ D ．13(,][,)22-∞-+∞ 【答案】D【解析】因为直线PA 的斜率12(1)31(1)2k --==--，直线PB 的斜率2211132k -==--，结合图象可知，直线l 的斜率的变化范围为32k 或12k -． 故选D ．9．一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为 A ．30︒ B ．45︒ C ．135︒ D ．150︒【答案】C【解析】一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的斜率为30121-=---， 故该直线的倾斜角为135︒， 故选C ．10．过两点(2,0)A -，(0,3)B 的直线方程为 A ．3260x y --= B ．3260x y +-= C ．3260x y -+= D ．3260x y ++=【答案】C【解析】直线经过两点(2,0)A -，(0,3)B ，而这2个点恰是直线和坐标轴的交点，∴过两点(2,0)A -，(0,3)B 的直线方程为123x y+=-，即3260x y -+=， 故选C ．11．设直线l 过点(1,2)P ，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l 的条数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y kx =， 因为直线过(2,1)P ，则12k =即12k =，此时直线方程为12y x =， 当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设1x ya b+=，由题意可得||||a b =且121a b +=，解可得，3a b ==或1b =，1a =-， 综上可得，满足条件的直线有3条． 故选C ．12．若直线(53)430m x y -+-=与直线2(5)50x m y +++=互相垂直，则m 的值为 A ．1 B ．15 C ．1- D ．3-【答案】B【解析】直线(53)430m x y -+-=与直线2(5)50x m y +++=互相垂直， 2(53)(5)40m m ∴-++⨯=，求得15m =，故选B ．13．直线45y x =-关于点(2,1)P 对称的直线方程是( ) A ．45y x =+ B ．45y x =- C ．49y x =- D ．49y x =+【答案】C【解析】设直线45y x =-上的点0(P x ，0)y 关于点(2,1)的对称点的坐标为(,)x y ， 所以022x x+=，012y y +=，所以04x x =-，02y y =-， 将其代入直线45y x =-中，得到24(4)5y x -=--， 化简，得49y x =-． 故选C ．14．直线1:20l ax y a ++=与直线2:20l x ay a +-=互相平行，则实数(a = ) A ．4- B ．4 C ．2- D ．2【答案】D【解析】直线1:20l ax y a ++=与直线2:20l x ay a +-=互相平行， 0a ∴≠，且22a aa a-=≠， 则实数2a =， 故选D ．二．填空题15．过点(1,0)A -且与直线210x y -+=平行的直线方程为 ． 【答案】220x y -+=【解析】设与直线210x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=， 把点(1,0)A -代入，得200c --+=， 解得2c =，∴过点(1,0)A -且与直线210x y -+=平行的直线方程为220x y -+=．故答案为：220x y -+=．16．已知直线l 的倾斜角为34π，直线1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，且1l 与l 垂直，直线2:410l x by ++=与直线1l 平行，a b +等于 ． 【答案】4-【解析】因为直线l 的倾斜角为34π，所以直线l 的斜率1k =-，又1l 与l 垂直，所以直线1l 的斜率111k k =-=，即2113a+=-，解得0a =， 且2l 与1l 平行，则2141k k b =-==，所以4b =-，故4a b +=-．17．三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=只有两个不同的交点，则a = ． 【答案】3或6-．【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，而10x y ++=和280x y -+= 不平行，∴13a -=-，或 23a-=， 3a ∴=，或6-，故答案为3或6-．18．在ABC ∆中，已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,1)C ，则BC 边上的中线长为 ．【解析】ABC ∆中，已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,1)C ， 则BC 边上的中点(1,2)D -，故BC 边上的中线长为AD =19．若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 ． 【答案】6-【解析】直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，60a ∴+=，解得6a =-．故答案为：6-．20．已知点(1,3)A 与直线:340l x y ++=，则点A 关于直线l 的对称点坐标为 ． 【答案】(5,1)-【解析】设点A 关于直线l 的对称点坐标为(,)Q a b ，则1334022a b ++⨯++=，3113b a -=-， 联立解得5a =-，1b =．∴点A 关于直线l 的对称点坐标为(5,1)-．三．解答题21．已知坐标原点(0,0)O 和直线:10l x +=，求满足下列条件的直线方程： （1）经过点O ，且与直线l 垂直；（2）经过点O ，且倾斜角是直线l 的倾斜角2倍．【答案】（1）y =；（2）y =．【解析】（1）直线:10l x -+=的斜率为k =，与直线:10l x +=垂直的直线斜率为k '=又经过原点，故直线为y =； （2）设直线l 的倾斜角为α，则tanα=，又[0α∈，)π，故6πα=，所以23πα=，由tan 2α故经过点O ，且倾斜角是直线l 的倾斜角2倍的直线方程为y =． 22．求符合下列条件的直线l 的方程：（1）过点(1,3)A --，且斜率为14-；（2）经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距（截距不为0)相等． 【答案】（1）4130x y ++=;（2）50x y +-=．【解析】（1）利用点斜式可得：直线l 的方程为：13(1)4y x +=-+，化为：4130x y ++=．（2）由题可设直线l 的方程为：1x ya a+=， 将点(3,2)P 代入上式，得：5a =，∴直线l 的方程为：50x y +-=．23．已知直线:(1)20()l a x y a a R ++--=∈．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）当(0,0)O 点到直线l 距离最大时，求直线l 的方程． 【答案】（1）0x y -+=或20x y +-=;（2）20x y +-=． 【解析】（1）直线:(1)20l a x y a ++--=，取0x =，2y a =+， 取0y =，21a x a +=+， 即221a a a ++=+，解得2a =-或0a =， 故直线方程为0x y -+=或20x y +-=．（2）:(1)20l a x y a ++--=变换得到(1)20a x x y -++-=， 故过定点(1,1)A ，当直线l 与AO 垂直时，距离最大． 1OA k =，故1k =-，解得0a =，故所求直线方程为20x y +-=．24．已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=．当m 为何值时，1l 和2l ． （1）平行； （2）垂直？【答案】（1）32m =-；（2）0m =或5m =．【解析】（1）因为12//l l ， 所以22(3)20m m m ⨯--⨯=， 解得或1m =，当1m =时，两条直线重合，故32m =-.（2）因为12l l ⊥，所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=， 解得0m =或5m =．所以，当1l ，2l 平行时，32m =-，当1l ，2l 垂直时，0m =或5m =．25．已知直线l 与直线3420x y +-=的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线l 的方程．【答案】340x y +±．【解析】已知直线l 与直线3420x y +-=的倾斜角相等，故它们的斜率也相等， 设l 的方程为340x y k ++=，并且它与两坐标轴围成的三角形的面积为1||||12234k k--=，求得k =±，可得直线l 的方程为340x y +±=．。

2024年新高二数学提升精品讲义直线的交点坐标与距离公式（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.知识点1两条直线的交点坐标1、点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点P (,)P a b 直线l:0l Ax By C ++=点P 在直线l 上Aa Bb C ++=直线1l 与2l 的交点是P方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解是x ay b =⎧⎨=⎩2、直线的交点与方程的解求两直线1111110(0)++=≠A x B y C A B C 与2222220(0)++=≠A x B y C A B C 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组1112220++=⎧⎨++=⎩A x B y C A x B y C 的解即可．若有111222==A B C A B C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222=≠A B C A B C ，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122≠A B A B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．3、判断两直线的位置关系关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．4、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．经过两直线1111:0++=l A x B y C ，2222:0++=l A x B y C 交点的直线方程为111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220++=A x B y C ，因此它不能表示直线2l ．知识点2两点间的距离1、距离公式：平面内两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式为：12=PP 【注意】公式中1P 和2P位置没有先后之分，也可以表示为：12=PP 2、三种特殊距离：（1）原点O 到任意一点(),P x y 的距离为=OP ；（2）当12PP 平行于x 轴时，1221=-PPx x ；（3）当12PP 平行于y 轴时，1221=-PP y y ．3、坐标法解题的基本步骤（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．知识点3点到直线的距离1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．2、距离公式：点()00,P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d ．【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P 在直线l 上时，它到直线的距离为0．3、点到几种特殊直线的距离（1）点()00,P x y 到x 轴的距离0d y =；（2）点()00,P x y 到y 轴的距离0d x =；（3）点()00,P x y 到直线y a =的距离0d y a =-；（4）点()00,P x y 到直线x b =的距离0d x b =-．知识点4两条平行线间的距离1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．2、距离公式：两条平行直线11:0++=l Ax By C ，()2212:0++=≠l Ax By C C C ，它们之间的距离为：=d 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x 和y 的系数对应相等．3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．考点一：两条直线的交点问题例1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）直线1:3450l x y -+=与21:4303l x y --=的交点坐标为（）A ．(2,3)B ．7,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．73,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,37⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线260x y -+=与直线3x y +=的交点坐标是（）A ．(30)，B ．(1,4)-C ．(3,6)-D ．(4,)1-【变式1-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（）A ．()1,3--B ．()2,1--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2--【变式1-3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l 1与l 2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.(1)12:230,:210l x y l x y ++=--=；(2)12:310,:2620l x y l x y +-=+-=；(3)12:6230,:320l x y l x y -+=-+=.考点二：根据两直线交点求参数例2.（23-24高二上·北京·期中）已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．0C ．20D ．4-【变式2-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）若直线1:40l ax y +-=与直线22:0x y l --=的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞D ．()(),12,-∞-+∞ 【变式2-2】（2023·海南海口·二模）若直线24y x =-+与直线y kx =的交点在直线2y x =+上，则实数k =（）A ．4B ．2C ．12D ．14【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）直线210x my ++=与直线1y x =+相交，则m 的取值范围为．考点三：三条直线的相交问题例3.（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线240,30,20x y kx y x y +-=-+=--=交于一点，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．32-D ．14【变式3-1】（22-23高二上·山东聊城·月考）若三条直线370x y ++=，10x y --=，20x ny n ++=能围成一个三角形，则n 的值可能是（）A ．32B ．1C ．13-D ．12-【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）直线123:7210,:0,:10l x y l mx y l x my ++=+=+-=，若三条直线无法构成三角形，则实数m ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3-3】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线1:20l ax y ++=，2:10l x y +-=，3:30l x y -+=不能围成一个三角形，则a 的取值集合为（）A ．{1,1}-B ．{4,1}C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．{4,1,1}-考点四：过两直线交点的直线方程例4.（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线2023202210x y --=和2022202310x y ++=的交点且过原点的直线方程为．【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点(1,0)P 和两直线1:220l x y +-=；2:3220l x y -+=交点的直线方程为.【变式4-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为．（写成一般式）【变式4-3】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线220x y -+=和10x y ++=的交点，且斜率为3的直线方程．考点五：两点间的距离公式例5.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知()()3,6,2,4A B ，则A ，B 两点间的距离为（）A ．5B C ．3D【变式5-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过(,2),(,1)A m B m m --两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（）A ．2B C ．D ．【变式5-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为()()()3,2,3,4,5,4A B C --，D 为AC 中点，则BD 的长为（）A ．3B ．5C ．9D ．25【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系xOy 中，原点O 到直线1l ：240x y -+=与2l ：390x y +-=的交点的距离为（A B ．C D考点六：点到直线的距离公式例6.（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点()0,3A 及直线:10l x y +-=上一点B ，则AB 的值不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式6-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知()3,4A --，()6,3B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值（）A ．13B ．97-C ．13-或79-D ．13或79-【变式6-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）若点()3,1P 到直线:340(0)l x y a a ++=>的距离为4，则=a （）A ．2B ．3C ．5D ．7【变式6-3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知(4,0)A 到直线430x y a -+=的距离等于3，则a 的值为.考点七：平行线间的距离公式例7.（23-24高二上·河北石家庄·月考）两平行直线1:10l x y +-=和2:30l x y +-=之间的距离为（）A ．2B ．2C ．22D ．3【变式7-1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线3420x y --=与6810x y -+=间的距离为（）A ．35B ．1C ．310D ．12【变式7-2】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）（多选）已知两条平行直线m ，n ，直线:3420m x y ++=，直线:680n x y a ++=，直线m ，n 之间的距离为1，则a 的值可以是（）A ．8-B ．6-C ．12D ．14【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选）已知两条平行直线,m n ，直线:10m x y +-=，直线:220n x y a ++=，直线,m n 之间的距离为2，则a 的值可以是（）A ．-8B ．-6C ．2D ．4考点八：点与直线的对称问题例8.（22-23高二·全国·课堂例题）已知不同的两点(),P a b -与()1,1Q b a +-关于点()3,4对称，则ab =（）A ．5-B ．14C ．14-D ．5【变式8-1】（23-24高二上·安徽怀宁·月考）直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（）A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2340x y +-=【变式8-2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点()3,0关于直线30x y -+=对称的点的坐标为（）A ．()3,6B ．()6,3-C ．()6,3-D ．()3,6-【变式8-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线1y x =+关于直线2y x =对称的直线方程为（）A ．310x y --=B ．420x y --=C ．530x y --=D ．750x y --=一、单选题1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知(6,0),(2,0)A B -，则||AB =（）A ．3B ．4C ．6D ．82．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）原点到直线912100x y +-=间的距离是（）A ．23B ．13C ．1D ．253．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线1:220l x y +-=，2:690l ax y +-=间的距离等于（）ABCD4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知1212//,:240,:620l l l x y l x ay ++=++=,则它们的距离为（）A．15BCD．35．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知()2,0A -，()4,B m 两点到直线l ：10x y -+=的距离相等，则m =（）A ．2-B ．6C ．2-或4D ．4或66．（23-24高二上·湖南·期中）已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是（）A ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B ．无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C ．存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D ．存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解二、多选题7．（22-23高二上·全国·期中）若直线1:32l y kx k =+-与直线2:30l x y +-=的交点在第四象限，则实数k 的取值可以是（）A ．0B ．13C ．12-D ．1-8．（23-24高二上·河南商丘·月考）（多选）平面上有三条直线250,10,0x y x y x ky -+=++=-=，将平面划分为六个部分，则实数k 的所有可能取值为（）A ．12B ．1-C ．2-D ．1三、填空题9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC 中，点(1,1)A ，(4,2)B ，(4,1)C -，则ABC 的面积为．10．（2023高二上·全国·专题练习）直线230x y -=与321x y -=上任意两点最小距离为.11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线1:40l x y +=，2:1l mx y +=，3:234l x my -=，若它们不能围成三角形，则实数m 的取值所构成的集合为．四、解答题12．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线:2310l x y -+=，点()1,2--A ．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程；(3)直线l 关于点()1,2--A 对称的直线l '的方程．13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线12:340,:3220l x y l x y --=-+=，设直线12,l l 的交点为P .(1)求点P 的坐标；(2)若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.。