高中数学周周回馈练六含解析新人教A版必修

周周回馈练（三）对应学生用书P3５一、选择题１.函数y＝ａｘ2＋ａ与y=错误!未定义书签。

(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（）答案 D解析当a>０时，二次函数ｙ=ax2+a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝0,顶点坐标为（0,a），可排除A、C;当a〈0时，二次函数ｙ=ａx2＋ａ的图象开口向下，且对称轴为直线x＝０，顶点坐标为(0,ａ）,函数y=错误!未定义书签。

的图象在第二、四象限，排除Ｂ．２．有关函数单调性的叙述中，正确的是(）A．y=－错误!在定义域上为增函数B.y=错误!未定义书签。

在［０，＋∞）上为增函数C.ｙ＝－３x2-6x的减区间为［－1,+∞）D.y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数答案Ｃ解析对于A，其定义域为不含０的两个区间,在各自的区间上都是增函数，但不能说在整个定义域上为增函数;对于Ｂ，在[0,+∞）上为减函数;对于C，因为y=-３x2－6x=-３(x＋1)2+3，可求得减区间为[-１,＋∞);对于D,增减性与a的取值有关．故选C。

3.若函数f(x)的定义域为R,且在（0，＋∞）上是减函数,则下列不等式成立的是( ）A.ｆ错误!未定义书签。

〉f(a2－ａ+1)B.f错误!≥f(a2-a+1)Ｃ.f错误!未定义书签。

<ｆ(a２-ａ＋1）D．f错误!未定义书签。

≤ｆ（a2-ａ+1)答案 Bﻬ解析∵f（ｘ)在(0，＋∞)上是减函数,且a２-a＋1＝错误!２+错误!≥错误!>0，∴f(a２－ａ＋１）≤f错误!．4.若偶函数f(x)在(-∞,0）上是减函数，则满足f(1）≤f(a)的实数a的值组成的集合是（ )Ａ.［１，+∞)B.(－∞，-1］C.(－∞,－1]∪［1,+∞)D.（-∞,０）答案 C解析∵f(x)为偶函数，∴ｆ(a）＝f(|a|).又∵f(x）在(0,＋∞）上为增函数，∴｜a|≥1,∴a≥1或a≤－1.5.若偶函数f(x）在（-∞，－1]上是增函数,则下列关系式中成立的是（ )A.f错误!未定义书签。

周周回馈练对应学生用书P11一、选择题1.如图所示,△Ａ′B′Ｃ′是△ＡBC的直观图,其中A′C′＝A′B′,那么△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C.等腰直角三角形 D．钝角三角形答案 B解析由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且这两边相等，由斜二测画法知原图中相应两边分别与两轴平行,即有两边垂直但不等，所以原三角形为直角三角形．2．下列物体的正视图和俯视图中有错误的是（）答案D解析D中的三视图错误.一是俯视图方向不对,二是漏掉了正视图中两条看不见的棱．3.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）答案Ｃ解析根据斜二测画法的规则,将直观图还原可知选C.4．如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△Ａ′Ｂ′Ｃ′中B′Ｃ′边的中点,且A′D′平行于ｙ′轴,那么A′B′,A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB,AＤ,AC中( ）A.最长的是AB，最短的是AＣB.最长的是AC,最短的是AＢＣ．最长的是AB和AC,最短的是ADD.最长的是AD，最短的是ＡC答案Ｃ解析因为A′D′∥ｙ′轴,所以在△AＢC中,ＡD⊥BC,又因为D′是B′Ｃ′的中点,所以D是ＢC的中点,所以AB=AＣ〉ＡＤ．５．如图所示,若Ω是长方体ABＣＤ-A１B1C1D１被平面EＦＧH截去几何体EＦB１－ＨGC1后得到的几何体，其中Ｅ为线段A１B１上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点,且EＨ∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）Ａ.EH∥ＦG B.四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D.Ω是棱台答案 D解析根据棱台的定义(侧棱的延长线必交于一点,即棱台可以还原成棱锥）可知,几何体Ω不是棱台．6．如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A．4 B.42 C．4错误!未定义书签。

Ｄ.8ﻬ答案B解析由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,面积最小的面为面ＶAB,其面积S=错误!×2×4错误!未定义书签。

周周回馈练(二)对应学生用书P23一、选择题1．下列各对函数中，图象完全相同的是( )A ．y ＝x 与y ＝x 2B ．y ＝x x 与y ＝x 0C ．y ＝(x )2与y ＝|x |D ．y ＝x ＋1·x －1与y ＝x ＋1x －1 答案 B解析 对于A ，y ＝x 2＝|x |与y ＝x 值域不同，不是同一个函数，故它们的图象不同；对于C ，函数y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)，函数y ＝|x |的定义域为R ，故它们的图象不同；对于D ，函数y ＝x ＋1·x －1的定义域为[1，＋∞)，而y ＝x ＋1x －1的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故它们的图象不同．故选B.2．函数f (x )＝1x ＋1＋4－2x 的定义域为( )A ．[－1,2]B ．(－1,2]C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，4－2x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞－1，x ≤2，∴－1＜x ≤2，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ＞0，x 2，x ≤0，则满意f (a )＝1的实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2答案 A解析 当a ＞0时，f (a )＝2不符合，当a ≤0时，a 2＝1，∴a ＝－1，故选A.4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1,2)∪(2，＋∞)答案 D解析 若使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)，选D.5．已知函数f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，则函数f (4x ＋1)的定义域为( )A ．[3,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ．[5,9] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 答案 B解析 ∵1≤x ≤2，∴3≤2x ＋1≤5，∴3≤4x ＋1≤5.解得12≤x ≤1. ∴f (4x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，选B. 6．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则方程x ＋1＝(2x －1)sgn x 的全部解之和是( )A ．0B ．2C ．－1＋174 D.7－174答案 D解析 分状况：当x >0时，sgn x ＝1，方程为x ＋1＝2x －1，解得x ＝2；当x ＝0时，sgn x ＝0，方程为x ＋1＝1，解得x ＝0；当x <0时，sgn x ＝－1，方程为x ＋1＝12x －1，解得x ＝－1±174. 其中x ＝－1＋174舍去． 所以原方程全部解之和是2＋0＋－1－174＝7－174，选D. 二、填空题 7．已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的解析式为____________________． 答案 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2－5x＋6(x ≠0)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋6＝1x 2－5x＋6(x ≠0)． 8．函数y ＝f (x )[f (x )≠0]的图象与直线x ＝1的交点个数是________．答案 0或1解析 依据函数y ＝f (x )的定义，当x 在定义域内随意取一个值，都有唯一的一个函数值f (x )与之对应，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1有唯一交点，当x 不在定义域内时，函数值f (x )不存在，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1无交点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1交点个数为0个或1个．9．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 答案 (－∞，1]解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．三、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ＜0，2－x ，x ＞0，求f [g (x )]与g [f (x )]．解 ①当x ＞0时，g (x )＝2－x ，f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.当x ＜0时，g (x )＝x －1，f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，故f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ＜0，x 2－4x ＋3，x ＞0.②当x 2－1＜0时，即－1＜x ＜1时，f (x )＜0，所以g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2.当x 2－1＞0时，即x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0，所以g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.故g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2，x ＞1或x ＜－1，x 2－2，－1＜x ＜1.11．(1)已知一次函数f (x )满意f [f (x )]＝4x ＋6，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )满意2f (x )－f 1x＝mx ，求函数f (x )的解析式． 解 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x＋6，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－6，所以f (x )＝2x ＋2或f (x )＝－2x－6.(2)以1x 替换等式2f (x )－f 1x ＝mx 中的x ，得2f 1x －f (x )＝m x ，与2f (x )－f 1x＝mx 联立成方程组，解得f (x )＝2mx 3＋m 3x. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2mx 3＋m 3x. 12．当m 为何值时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个互不相等的实数根？并探讨m 为何值时，方程有三个实数根，两个实数根，没有实数根．解 干脆解方程会比较麻烦，借助于图象较简单找到答案．先作出y ＝x 2－4|x |＋5的图象，如下图所示，从图中可以干脆看出：当1<m <5时，方程有四个互不相等的实数根；当m ＝5时，方程有3个不相等的实数根；当m >5或m ＝1时，方程有2个不相等的实数根；当m <1时，方程没有实数根．。

周周回馈练对应学生用书P95一、选择题1．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α＝( ) A ．179 B ．－1710 C ．－179 D ．1710 答案 A解析 因为cos α＋sin α＝－13，α∈(0，π)，所以sin2α＝－89，cos α<0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos2α＝1－sin 22α＝179．故选A ． 2．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos2θ1＋sin2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－12答案 A解析 由1－tan θ2＋tan θ＝1得tan θ＝－12，则cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝3．3．cos76°cos16°＋cos14°cos74°－2cos75°cos15°＝( )A ．0B ．32 C ．1 D ．－12答案 A解析 因为cos76°cos16°＋cos14°cos74°＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝12，2cos75°cos15°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝12，所以原式＝12－12＝0，故选A ．4．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )A ．32B ．－32C ．13D ．4 答案 B解析 y ＝2cos x －3sin x ＝13213cos x －313sin x＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，即φ－x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y 取到最大值． ∴φ＝2k π＋π2＋x (k ∈Z )， ∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313． ∴tan x ＝－32． 5．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A ．π2B ．π4C ．πD ．2π 答案 C 解析 点(1，3)的象f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＝232sin2x ＋12cos2x ＝2sin2x ＋π6， 则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π． 6．4c os50°－tan40°＝( )A ． 2B ．2＋32C ． 3D ．22－1答案 C解析 4cos50°－tan40°＝4cos50°－sin40°cos40°＝4sin40°·cos40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin40°cos40°＝2cos10°－＋cos40° ＝32cos10°－32sin10°cos40° ＝3－cos40°＝3cos40°cos40°＝3． 二、填空题7．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________． 答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1， 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4． 8．tan π8＋tan 5π12＝________． 答案 3＋2＋1解析 原式＝1－cos π41＋cos π4＋1－cos 5π61＋cos 5π6＝1－221＋22＋1＋321－32＝3＋2＋1．9．sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值为________．答案 2－ 3解析 原式＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3． 三、解答题10．化简：α－βsin αsin β＋β－θsin βsin θ＋θ－αsin θsin α．解 原式＝sin αcos β－cos αsin βsin αsin β＋sin βcos θ－cos βsin θsin βsin θ＋sin θcos α－cos θsin αsin θsin α＝1tan β－1tan α＋1tan θ－1tan β＋1tan α－1tan θ＝0．11．求证：sin2xx ＋cos x －x －cos x ＋＝1tan x 2．证明 左边＝2sin x cos x [sin x ＋x －][sin x －x －]＝2sin x cos xsin 2x －x －2＝2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＋2cos x －1＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x ＝2sin x 2cos x 21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 2 ＝cos x 2sin x 2＝1tan x 2＝右边． 12．设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3． (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解 (1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3， 此时x ＋π6＝3π2＋2k π(k ∈Z )， 所以x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )， 所以，f (x )的最小值为－3，此时x 的集合xx ＝4π3＋2k π，k ∈Z ． (2)y ＝sin x 的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y ＝3sin x ；然后y ＝3sin x 的图象向左平移π6个单位， 得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6．。

周周回馈练对应学生用书Ｐ2５一、选择题1．已知cos α＝错误!未定义书签。

，则sin(3π+α）c ｏs(２π-α）tan （π-α）=（ )Ａ.±３５ B ．±＼f （4,5) Ｃ．９25D.错误! 答案 D解析 原式=ｓin （π+α）ｃｏｓα（－tan α）=ｓin αc ｏs αt ａn α＝s ｉn 2α=１-ｃos ２α=１－错误!2＝错误!未定义书签。

．2．若函数y =2sin ωx (ω〉0)的图象与直线y +２＝0的两个相邻公共点之间的距离为错误!,则ω的值为( ）A.3B.错误!未定义书签。

C.错误! Ｄ．错误!未定义书签。

答案 A解析 函数ｙ＝２s ｉｎωx 的最小值是－2，该函数的图象与直线ｙ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期,故由错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

，得ω=3.3．函数y =cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ）A ．-错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

B ．错误!未定义书签。

，错误!C ．0，错误!D ．错误!,π答案 C解析 若函数y ＝co ｓ2x 递减,则２k π≤２ｘ≤π＋2ｋπ，k ∈Ｚ，即k π≤x ≤错误!未定义书签。

+kπ,k∈Ｚ,令ｋ＝０可得0≤x≤错误!．4.函数y=2sin错误!未定义书签。

-cos错误!未定义书签。

（x∈R)的最小值是（）A．－３Ｂ.－2 C.-1 D．-错误!答案Ｃ解析y=2sin错误!未定义书签。

-ｃos错误!=2sin错误!错误!未定义书签。

-ｘ错误!－sin 错误!＝siｎ错误!,∵x∈R，∴y min＝-1，故选C.5．下列函数中,既为偶函数又在（０，π)上单调递增的是( )A.y＝cｏｓ｜x| Ｂ．y＝ｃｏs|-x|C．ｙ=sin x-错误! D．y=-sin错误!未定义书签。

答案C解析y=coｓ|x｜在（0，π）上是减函数，排除A;y＝cｏs|－ｘ|＝cos|x｜,在（0,π)上是减函数，排除B;ｙ＝sin x-错误!=-ｓin错误!-ｘ＝－ｃｏs x是偶函数,且在（0,π)上单调递增,C符合题意；y＝-sin错误!未定义书签。

高中数学周周回馈练二（含解析）新人教A 版必修2对应学生用书P19 一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．2倍 答案 D解析 设等边圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知得l ＝2r ，所以S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2．2．若体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B．32π3 C ．8π D．4π答案 A解析 由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ＝2．又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R ＝3a(R 为正方体外接球的半径)，所以R ＝3，故所求球的表面积S ＝4πR 2＝12π．3．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝a ，∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，∠BB 1C 1＝90°，侧棱长为b ，则其侧面积为( )A ．33ab 4B ．3＋22abC ．(3＋2)abD ．23＋22ab答案 C解析 如图，由已知条件可知，侧面AA 1B 1B 和侧面AA 1C 1C 为一般的平行四边形，侧面BB 1C 1C 为矩形．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝a ，∴BC＝2a ． ∴S 矩形BCC 1B 1＝2a·b＝2ab ． ∵∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，AB ＝AC ＝a ， ∴点B 到直线AA 1的距离为asin60°＝32a ． ∴S 四边形AA 1C 1C ＝S 四边形AA 1B 1B ＝32ab ．∴S 侧＝2×32ab ＋2ab ＝(3＋2)ab ． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π3B ．π C．4π3 D ．2π答案 A解析 由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－2V 半球＝π×12×2－2×12×43π×13＝2π3．故选A ．5．如图所示，从左到右分别是一个多面体的直观图、正视图、侧视图．按照给出的尺寸，则该多面体的体积为( )A ．23B ．6C ．223 D ．8 答案 C解析 依题意，把题中多面体补成如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求的体积是由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积减去三棱锥E －A 1B 1D 1的体积而得到的．∵VE－A 1B 1D 1＝13×S△A 1B 1D 1×A 1E ＝13×12×2×2×1＝23，V 正方体AC 1＝23＝8，∴所求多面体的体积V ＝8－23＝223．6．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．9＋4(2＋5) cm 2B ．10＋2(2＋3) cm 2C ．11＋2(2＋5) cm 2D ．11＋2(2＋3) cm 2答案 C解析 如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积为2×2＋2×1＋2×2＋2×5＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12－1＝11＋2(2＋5) cm 2．故选C ．二、填空题7．已知一个圆锥的侧面展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．答案22π3解析 因为扇形的弧长为2π，所以圆锥的母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3．8．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________cm 2．答案 80＋4815解析 如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过B 1作B 1F⊥BC，垂足为F ， 在Rt△B 1FB 中，BF ＝12×(8－4)＝2，B 1B ＝8，故B 1F ＝82－22＝215，所以S 梯形BB 1C 1C ＝12×(8＋4)×215＝1215，故四棱台的侧面积S 侧＝4×1215＝4815，所以四棱台的表面积S 表＝4815＋4×4＋8×8＝80＋4815．9．正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为________．答案243π16解析 如图，设底面ABCD 的中心为E ，则PE 为正四棱锥的高，PE ＝4，AB ＝2，AE ＝12AC＝2，设球心为O ，则点O 一定在线段PE 上，连接OA ，设球的半径为R ，在Rt△AOE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，即R 2＝(2)2＋(4－R)2，解得R ＝94，所以球的体积为V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16．三、解答题10．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解 设正方体的棱长为a ．(1)正方体内切球的球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2．(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，所以有2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2． (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2． 由上知：S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，试求这两个截面圆间的距离．解 如图(1)(2)，设球的大圆为圆O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过点C ，O ，D 的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8．当两截面在球心同侧时，CD ＝OC －OD ＝102－62－102－82＝2； 当两截面在球心两侧时，CD ＝OC ＋OD ＝102－62＋102－82＝14． 综上可知，两截面圆间的距离为2或14．12．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图所示，在三棱台ABC －A′B′C′中，O′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D′分别是BC ，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD ，DD′，则DD′是等腰梯形B CC′B′的高，设为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0．上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝325 3 (cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253， 所以h 0＝1333(cm)．又O′D′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)，设棱台的高为h ，则 h ＝O′O＝h 20－OD －O′D′2＝13332－53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下) ＝433×3253＋34×20×30 ＝1900(cm 3)．。

周周回馈练(五)对应学生用书P61一、选择题1．设实数a ＝log 312，b ＝20.1，c ＝0.932，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c答案 A解析 因为a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝20.1＞20＝1，0＜c ＝0.932＜0.90＝1，所以a ＜c ＜b ，故选A.2．若lg (2x －4)≤1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(2,7]C ．[7，＋∞) D．(2，＋∞)答案 B解析 lg (2x －4)≤lg 10，∴2x －4≤10，x ≤7.∵2x －4>0，∴x >2，即2<x ≤7，选B.3．已知log 12m <log 12n <0，则( )A ．n <m <1B ．m <n <1C ．1<m <nD ．1<n <m答案 D解析 ∵底数12∈(0,1)，log 12m <log 12n <log 121，∴m >n >1，选D.4．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2017的值为() A.1ln 2017 B ．－1ln 2017C ．ln 2017D ．－ln 2017答案 D解析 ∵1e 2017＝e －2017>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2017＝ln e －2017＝－2017.又∵f (x )为奇函数，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2017＝f (－2017)＝－f (2017) ＝－ln 2017，选D.5．若log 513×log 36×log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.19 C ．25 D.125答案 D解析 利用换底公式：－log 53×log 36×log 6x ＝2，即log 5x ＝－2.∴x ＝5－2＝125，选D.6．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由图可知，函数y ＝log a x 的图象过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，y ＝3－x 不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D ，故选B.二、填空题7．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________.答案 －12解析 依题意有1－2x ＝2，∴x ＝－12. 8．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12＝________. 答案 24解析 依题意有log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，x －12＝18＝122＝24. 9．不等式x log 12x <1x的解集是________． 答案 (0,1)∪(2，＋∞)解析 由x log 12x <1x ，得x log 12x <x －1. 当x >1时，log 12x <－1，即log 12x <log 122， ∴x >2.当0<x <1时，log 12x >－1，即log 12x >log 122， ∴x <2，即0<x <1.综上得，不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)．三、解答题10．已知函数f (x )＝log 2(2＋x 2)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求函数f (x )的值域．解 (1)因为2＋x 2>0对任意x ∈R 都成立，所以函数f (x )＝log 2(2＋x 2)的定义域是R ， 因为f (－x )＝log 2[2＋(－x )2]＝log 2(2＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数；(2)由x ∈R 得2＋x 2≥2，所以log 2(2＋x 2)≥log 22＝1，即函数f (x )＝log 2(2＋x 2)的值域为[1，＋∞)．11．已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域． 解 ∵－3≤log 12x ≤－32， ∴－3≤log 2x log 212≤－32，即－3≤log 2x －1≤－32， ∴32≤log 2x ≤3. f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －log 22)·(log 2x －log 24)＝(log 2x －1)·(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3， f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2)＝t －322－14.∵32≤t ≤3， ∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g 32＝－14， ∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为－14，2. 12．已知函数f (x )＝ln (a x －b x )(a >1>b >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在定义域I 上的单调性，并说明理由；(3)当a ，b 满足什么关系时，f (x )在[1，＋∞)上恒取正值．解 (1)要使f (x )＝ln (a x －b x )(a >1>b >0)有意义，则由a x －b x >0得⎝ ⎛⎭⎪⎫a bx >1(由a >1>b >0可得a b >1)，∴函数f (x )的定义域为(0，＋∞)；(2)函数f (x )在定义域上是单调递增函数．证明：任取x 1，x 2,0<x 1<x 2，∵a >1>b >0，∴ax 1<ax 2，bx 1>bx 2，∴0＜ax 1－bx 1<ax 2－bx 2，∴ln (ax 1－bx 1)<ln (ax 2－bx 2)，∴f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域上是单调递增函数；(3)要使f (x )在[1，＋∞)上恒取正值，须f (x )在[1，＋∞)上的最小值大于0.由(2)知y min ＝f (1)＝ln (a －b )，∴ln (a －b )>0，∴a －b >1.所以f (x )在[1，＋∞)上恒取正值时有a －b >1.。

周周回馈练对应学生用书P51 一、选择题1．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线B ．若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线C ．已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m∥α，则n∥βD ．若m ，n 在平面α内的射影互相平行，则m ，n 互相平行 答案 B解析 A 中，m ，n 可以是相交直线；B 正确；C 中，n 可以平行于β，也可以在β内；D 中，m ，n 也可能异面．2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A∈α，A ∉l ，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β答案 D解析 如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l ⇒AC⊥m，AB∥l ⇒AB∥β．故选D ．3．在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 ( )A ．33 B ．22C ． 2D ． 3 答案 C解析 如图，连接AC ，设AC ，BD 交于点O ，连接A 1O ．∵BD⊥AC，BD⊥AA 1，且AC∩AA 1＝A ，∴BD⊥平面AA 1O ，∴BD⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角．tan∠A 1OA ＝A 1AAO＝2．4．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B．a∥α，b∥α C ．a⊥α，b⊥α D．a ⊂α，b⊥α 答案 B解析 根据空间中的线面位置关系可得：当两条直线a 与b 异面时，不存在平面使得a ⊂α，b ⊂α．所以A 错误．由空间中线面的位置关系可得，一定存在一个平面满足a∥α，b∥α．所以B 正确．由线面垂直的性质定理可得：当直线a 与直线b 异面时不存在平面使得a⊥α，b⊥α成立，所以C 错误．由线面垂直的定义可得，当直线a 与直线b 异面且不垂直时，不存在一个平面α使得a ⊂α，b⊥α成立．所以D 错误．5．已知直线PG⊥平面α于点G ，直线EF ⊂α，且PF⊥EF 于点F ，那么线段PE ，PF ，PG 的长度的大小关系是( )A ．PE>PG>PFB ．PG>PF>PEC ．PE>PF>PGD ．PF>PE>PG 答案 C解析 Rt△PFE 中，PE>PF ；Rt△PGF 中，PF>PG ，所以PE>PF>PG ．6．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E⊥平面ABF ，则点E ，F 满足的条件一定是( )A ．CE ＝D 1F ＝12B ．CE ＋DF ＝1C ．BE ＋DF ＝1D ．E ，F 为棱BC ，DD 1上的任意位置 答案 B解析 在面BB 1C 1C 内作BF′∥AF 交CC 1于F′．∵B 1E⊥面ABF ，∴B 1E⊥AF，∴B 1E⊥BF′，DF ＝CF′．在正方形BB 1C 1C 中，由B 1E⊥BF′得CE ＝C 1F′＝1－CF′，∴CE＋CF′＝1即CE ＋DF ＝1．二、填空题 7．下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的线必在第一个平面内．其中所有真命题的序号是________． 答案 ①③④解析 根据空间点、线、面之间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；根据平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，故③正确；根据两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，故④正确．从而真命题的序号为①③④．8．如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B∈l，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．答案34解析 如图，作AO⊥β于点O ，作AC⊥l 于点C ，连接OB ，OC ，则OC⊥l．设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ．由图得sinθ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin30°·sin60°＝34．9．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________．答案 4解析 ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β．∴V＝13S △A′BB′·AA′＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12A′B′×BB′×AA′＝13×12×2×4×3＝4． 三、解答题10．如图，在五面体中，四边形ABCD 是矩形，DA⊥平面ABEF ，且DA ＝1，AB∥EF，AB ＝12EF ＝22，AF ＝BE ＝2，P ，Q ，M 分别为AE ，BD ，EF 的中点．求证： (1)PQ∥平面BCE ； (2)AM⊥平面ADF ．证明 (1)连接AC ．∵四边形ABCD 是矩形，Q 是BD 的中点，则Q 是AC 的中点． 在△AEC 中，∵P 是AE 的中点，∴PQ∥EC． ∵EC ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ∥平面BCE ．(2)∵点M 是EF 的中点，∴EM＝AB ＝22． 又∵EF∥AB，∴四边形ABEM 是平行四边形， ∴AM∥BE，AM ＝BE ＝2． 又∵AF＝2，MF ＝22，∴AM 2＋AF 2＝MF 2，∴∠MAF＝90°，∴MA⊥AF． ∵DA⊥平面ABEF ，AM ⊂平面ABEF ，∴DA⊥AM． 又∵AF∩AD＝A ，∴AM⊥平面ADF ．11．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)求证：EF∥平面A 1CD ； (2)求证：平面A 1CD⊥平面A 1ABB 1； (3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．解(1)证明：如图，连接ED ．在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ＝12AC ，且DE∥AC．又F 为A 1C 1的中点，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以A 1F ＝DE ，且A 1F∥DE，所以四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF∥DA 1． 又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ， 所以EF∥平面A 1CD ．(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，所以CD⊥AB． 又侧棱AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A⊥CD． 又A 1A∩AB＝A ，所以CD⊥平面A 1ABB 1． 又CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD⊥平面A 1ABB 1．(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，连接CG ． 由于平面A 1CD⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CD∩平面A 1ABB 1＝A 1D ， 所以BG⊥平面A 1CD ，所以∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角． 设三棱柱各棱长均为a ，可得A 1D ＝5a 2． 又∠A 1DA ＝∠BDG，∠A 1AD ＝∠BGD，所以△A 1AD∽△BGD，所以BG AA 1＝BD A 1D ，所以BG ＝5a5．在Rt△BGC 中，sin∠BCG＝BG BC ＝55．所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为55．12．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)在线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC．∵A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F．又∵A1F⊥CD，CD∩DE＝D，∴A1F⊥平面BCDE．又∵BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)在线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，PD，QE，则PQ∥BC．又∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴D，E，P，Q四点共面．∴平面DEQ即是平面DEQP．由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C．又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP．又∵DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEQP．即A1C⊥平面DEQ．∴线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．。