南陵中学2015届高二数学竞赛试卷

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x ，|||1|2x a x a +-+≤恒成立，则实数a 的最小值为13．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若23234560123456(2)x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，则135a a a ++= －4 ．4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为a ，腰长为，则332a b ab +的值为 3 ．5．设2,51(n n n a b n n ==-∈N *，201512201512{,,,}{,,,}a S a a a b b b =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，，CAP ∠为锐角，||2AP =，2AP AC ⋅=，1AP AB ⋅=．当||AB AC AP ++取得最小值时，tan CAP ∠=72． 7．已知正三棱锥P ABC -的底面的边长为6,1 ．8．函数()1)f x =．9．已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为115-． 10．使得12p +和212p +都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集18{(,)|()()0}25A x y y x y x=-⋅-≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤．若(,)x y AB ∈，求2x y -的最小值． 解 作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为(1cos ,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2πθπ∈.又点P 在曲线1825y x =上，所以有18(1cos )(1sin )25θθ++=，即7sin cos sin cos 025θθθθ+++=. ………………………………………（10分）设sin cos t θθ+=，则21s i n c o s (1)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos5θθ+=. ………………………………………（15分）结合22sin cos1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin5θ=，3cos5θ=-．所以，点P的坐标为29(,)55，2z x y=-的最小值为min292155z=⨯-=-．………（20分）12．设nT是数列{}na的前n项之积，满足1,n nT a n=-∈N*．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设22212n nS T T T=+++，求证：111123n n na S a++-<<-．解（1）易知1112T a==，0,1n nT a≠≠，且由111,1n n n nT a T a++=-=-，得11111n nnn nT aaT a+++-==-，即11111nn naa a++=--，即111111n na a+-=--．……………（5分）所以111111111112nn n na a=+-=+-=+---，故1111nnan n=-=++．………………………………………（10分）（2）由（1）得1211n nT a a an==+．一方面，22211123(1)nSn=++++11111112334(1)(2)222nan n n+>+++=-=-⋅⋅+++；……………（15分）另一方面，22211111123(1)444nSn<+++--+-1112135571323()()2222223n n n=+++=-⋅⋅+++．又1212111123322333nnan nn++-<-=-=-+++．所以111123n n na S a++-<<-．………………………………………（20分）13．过直线2130x y -+=上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线28y x =的两条切线， ,M N 为切点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,B C ．（1）证明直线MN 恒过一定点；（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值． 证明 （1）设00(,)A x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y .抛物线28y x =的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：114()yy x x =+．而AM 过00(,)A x y ，故01014()y y x x =+ ①①式说明直线004()y y x x =+恒过点11(,)M x y ．………………………………………（5分）同理可证得直线004()y y x x =+恒过点22(,)N x y ．故直线004()y y x x =+过,M N 两点，则直线MN 的方程为：004()y y x x =+．又00213x y =-，代入004()y y x x =+中，得0(8)4(13)y y x -=-．所以直线MN 恒过定点(13,8)． ………………………………………（10分）（2）直线AM ：114()yy x x =+与y 轴交于114(0,)x B y ． 抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，则111140202BFx y xk y -==--，又14BA k y =，则12181BA BF x k k y ⋅=-=-，所以BF BA ⊥.同理可证CF CA ⊥．所以,,,A B C F 四点共圆，且AF 为直径．因此，△ABC 的外接圆恒过定点(2,0)F ． ………………………………………（15分） 在AF 和直线2130x y -+=垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：02(2)y x -=--， 与2130x y -+=联立，求得(1,6)A -，则||AF =所以，△ABC． ……………………………………（20分）。

2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷）（2015-06-27）一、选择题（每个5分，共6题）1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为A. 1169B. 367C. 362.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是A.B. C. R3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则A. A B >B. A B ≥C.A B ≠ D. A 和B 的大小关系不确定4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程11cos n m C ρ=-θ表示的不同双曲线条数为A. 6B. 9C. 12D. 155.使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是A.B. D.6.设22{|,,}M x y x y Z =αα=-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为A. 4nB. 4n+1C. 4n+2D. 4n+3二、填空题（每个8分，共6题）7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为：8.对任一实数序列123(,,,...)A =ααα，定义△A 为序列213243(,,,...)α-αα-αα-α，它的第n 项是1n n +α-α，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920α=α=，则1α的值为：9.满足使1[]2n I =+为纯虚数的最小正整数n= 10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：11.记集合1234234{0,1,2,3,4,5,6},{|,1,2,3,4}7777i a a a a T M a T i ==+++∈=，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2015年数是：12.设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θ+-θ=≤θ≤π，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点②存在定点P 不在M 中的任一条直线上③对于任意整数(3)n n ≥存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）三、解答题（共4题，满分72分）13.（本小题满分16分）如图所示，AB 为Rt △ABC 的斜边，I 为其内心，若△IAB 的外接圆的半径为R ，Rt △ABC 的内切圆半径为r ，求证：(2R r ≥+.14.（本小题满分16分）如图，A ，B 为椭圆22221x y a b +=（a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()(,||1)AP BP AQ BQ R +=λ+λ∈λ> 求证：（Ⅰ）三点O 、P 、Q 在同一直线上；（Ⅱ）若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是k 1、k 2、k 3、k 4，则k 1+k 2+k 3+k 4是定值。

2014-2015高二上学期数学竞赛试题（时间： 120分钟 满分：150分）出卷人：陈木茂、陈加丰一、填空题：共15小题，每小题5分，共75分．把答案填在横线上．1、()242x x x f -+=函数在[]21，上的值域是 ． 2(1tan 45)(1tan 46)...(1tan89)______---=、.()2201231nn n x xa a x a x ++=+++ 、设，则242n a a a +++ 的值为__________.4、已知(),,14,112111n n n n n n a a a a a a a >-+==+++且,*N n ∈=n a 则 .5、已知,0,>b a 且，2=ab 则2222b aa b +++的最小值是 . 6、设(),562+-=x x x f 若实数y x ,满足()()⎩⎨⎧≤≤≥-,51,0x y f x f则xyy x u 22+=的取值范围是 .7、若,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx 使(),14sin 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-πx x 则=x .8、若方程π<<=+x c x b x a 0sin cos 在上有两根βα和，则()=+βαs i n .9、已知实数x,y 满足方程22(2)(1)149x y --+≤， 则y x -2的最大值为______,最小值为_______.min 12310,,,1,______.23y zx y z R x x y z +∈++=++=、若则（）.11、若不等式61114...135357252729m x x m x x-<+++<+-∙∙∙∙∙∙ 对任意(1,3)x ∈恒成立，则①正数m 的取值范围为__________， ②正整数m 的最值为_______.12、函数f(x)是定义在R 上的函数，它的图像既关于直线x=5对称，又关于直线x=7对称，且在[5,7]内单调，则f(x)的最小正周期为______.13、已知点)02(，P ，正方形ABCD 内接于圆22:2O x y +=， ,M N 分别为,AB BC 中点，当正方形绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 .14、记号[x]表示不超过x 的最大整数（如[-π]=-4，[3]=3），则方程29[3]2104x x ---=的解集为_______. 15、已知互不相等的三个实数c b a 、、成等比数列，且b c a a b c log log log 、、构成公差为d 的等差数列，则d = ．二、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（满分10分）比较,53322341++++=x x x x y 15425232++-=x x x y 的大小.17、（满分10分）某屋子有很多张桌子，若3个人一桌，则多2个人；若5个人一桌，则多4个人；若7个人一桌，则多6个人；若9个人一桌，则多8个人；若11个人一桌，则刚好坐满，不多不少；请问这个屋子总共有多少人？写出必要的过程。

2015年高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．42．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是． ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④3．设0.50.320.5,log 0.4,cos 3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或25．函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()c o s 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图22（第2题图）2=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组B 组C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数1()11f x x=-+． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.43311．22011 12. 31(,),(1,0),(3,4)22--三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= …………………2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32s in ()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-E F G B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分 ACBB 1A 1C 1FGE )(x fx1O（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r =342. ……1分 由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即13AM =. ……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540k x y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分由222542621k kk -+-=+，得2322621k k -=+，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……11分 当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………13分所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点A 的横坐标取值范围是[]3,6.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由1()11f x x=-+可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11111111()(1)111(11)11x x f x x x x x x x x x x x+-=-===++++++++，……………3分 显然)(1x f x在区间(0,1]上为减函数， ∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）122121212121211111()()111111(11)x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==+++++++++.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即212111(11)2x x x x +++++>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分yO∙MAxl也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数R ∈++++=-x x x x f x ，e 31)(的最小值是 ．2. 设24211111≥+-==--n x x x x n n n ，，．数列}{n x 的通项公式是=n x ．3. 设平面向量βα,满足3|||,||,|1≤+≤βαβα，则βα∙的取值范围是．4. 设)(x f 是定义域为R 的具有周期π2的奇函数，并且0)4()3(==f f ，则)(x f 在]10,0[中至少有 个零点．5. 设a 为实数，且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根，则a 的取值范围是.6. 给定定点)1,0(P ，动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2x y =相切，则Q 的轨迹方程是 ．7. 设z x yi =+为复数，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，其满足z 的虚部和1z iz--的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集(,)x y 所构成区域的面积是．8. 设n 是正整数．把男女乒乓球选手各n 3人配成男双、女双、混双各n 对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 ．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9. 设正实数b a ,满足1=+b a ．求证：31122≥+++bb a a ．10. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，已知CFBE AD ,,都与平面ABC 垂直．设c CF b BE a AD ===，，，1===BC AC AB ．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积（用c b a ,,表示）．11.设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。

证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。

2015年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2015B1、已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x xa x f x，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值范围为 ◆答案： ()+∞-,2 ★解析：(2)2,(4)2f a f a =-=，所以22a a -<，解得：2a >-．2015B 2、已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 ◆答案： 2015★解析：由己知得33(10)(10)(10)10f f -+-=+，即(10)(10)2000f f -=+=2015．2015B 3、某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则ba +的最大值为◆答案：★解析：由辅助角公式：sin cos )T a t b t t ϕ=+=+，其中ϕ满足条件2s i n ,c o ϕϕ==T 的值域是[，室内最大温差为10≤5≤．故a b +≤≤等号成立当且仅当a b ==2015B 4、设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3π，则=1AA◆答案：2★解析：取BD 的中点O ，连接OA, OA 1 , OC 1．则∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，因此∠A 1OC 1=3π, 又△OA 1C 1是等边三角形．故A 1O= A 1C 1，所以12AA===．2015B 5、已知数列{}n a为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,aaa依次成等比数列，则使得121100aaaak>+⋅⋅⋅++的最小正整数k的值是◆答案：34★解析：设数列{}n a的公差为d,则215191,4,8a a d a a d a a d=+=+=+．因为952,,aaa依次成等比数列，所以2295a a a=，即2111()(8)(4)a d a d a d++=+．化简上式得到：218a d d=．又0d>，所以18a d=．由11211(1)(1)210016kk ka k da a a k kka a-++++-==+>．解得min34k=．2015B 6、设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22yxyxyxA+=+=和{}03),(≥++-=kykxyxB，若BA 是单元集，则k的值为◆答案：2-★解析：点集A是圆周22:(1)(1)2x yΓ-+-=，点集B是恒过点)3,1(-P的直线:3(1)l y k x-=+及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆Γ的一条切线．故圆Γ的圆心M (1, l）到直线l，=2k=--2015B 7、设P为椭圆13422=+xy上的动点，点)1,0(),1,1(-BA，则PBPA+的最大值为◆答案：5★解析：取F ( 0 , l )，则F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l= 5．当P在AF延长线与椭圆的交点3(,1)2-时，|PA|+|PB|最大值为5．2015B 8、正2015边形201521AAA⋅⋅⋅内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点jiAA,，1≥的概率为◆答案：6711007★解析：因为||||1i j OA OA ==，所以222||||||22(1cos ,)i j i j i j i j OA OA OA OA OA OA OA OA +=++⋅=+<>．故1≥的充分必要条件是1cos ,2i j OA OA <>≥-，即向量,i j OA OA 的夹角不超过32π．对任意给定的向量i OA1≥的向量可的取法共有： 222134232015ππ⎡⎤÷⨯=⎢⎥⎣⎦1≥的概率是：20151342671201520141007p ⨯==⨯．二、解答题：本大题共3小题，共56分。

2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分 40 分）如图，E 、F 分别是△ABC ，△ACD 的内心，AC 平分∠BAD ，AC 2＝AB ·AD ，延长 EC 交 △CDF 的外接圆于点 K ，延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R ．若 RK ∥EF ，求证：点 A 是△BCD 的外心．RK 证明：如图，连接 ER ，FK ．因为∠BAC ＝∠CAD ，AC 2＝AB ·AD ， 所以△ABC ∽△ADC ，∠ABC ＝∠ACD ．又∠EBC ＝1∠ABC ，∠ACF 1ACD ，2 所以∠EBC ＝∠ACF .＝2∠ 由∠EBC ＝∠ERC 得，∠ERC ＝∠ACF ，所以 ER ∥AC ． K同理 FK ∥AC ，于是 ER ∥FK ． ………………………… 20 又因为 RK ∥EF ，所以四边形 EFKR 为平行四边形，从而 ER ＝FK ． 因为 ER ∥AC ，所以∠REC ＝∠ECA ＝∠ECB ． 又因为∠EBC ＝∠ERC ，EC ＝EC ， 所以△BEC ≌△ECR ，从而 BC ＝ER ． 同理，CD ＝FK ，所以 BC ＝CD ．AC AD CD由AB ＝AC ＝BC ＝1，得△ABC ≌△ADC ，于是 AB ＝AC ＝AD ，即 A 为△BCD 外接圆的外心． ..................................... 40 分≤ n ＋23( 3 )33求所有的正整数 n ，使得对于任意正实数 a 、b 、c 满足 a ＋b ＋c ＝1，有 abc (a n ＋b n ＋c n ) 1． 3解：（1）当 n ≥3 时，取 a 2 b ＝c 1＝3， ＝6， 则 abc (a n ＋b n ＋c n ) 1 (2n －1 11 1 ＞ ．所以 n ≥3 不满足题意． 3n ＋3 ＋2n ＋2n3n ＋2………………………… 10 分（2） 当 n ＝1 时，abc (a ＋b ＋c )＝abc ≤ a ＋b ＋c 3≤ 1，所以n ＝1 时，满足题意．………………………… 20 分（3） 当 n ＝2 时，原不等式也成立．令 x ＝ab ＋bc ＋ca ，则 a 2＋b 2＋c 2＝1－2x ， 由(ab ＋bc ＋ca )2≥3abc (a ＋b ＋c )，得3abc ≤x 2． 于是，abc (a 2＋b 2＋c 2)≤1x 2(1－2x )． 因此 0＜x 1 1 2 －2x ) 1x ＋x ＋1－2x 3 1＜2，从而3x (1 ≤3×( 3) ＝34． 即 abc (a 2＋b 2＋c 2) 1 2 －2x ) 1 ………………………… 40 分 ≤3x (1 ≤34．＝ )设n 为正整数，求满足以下条件的三元正整数组〈a，b，c〉的个数：（1）ab＝n；（2）1≤c≤b；（3）a、b、c 的最大公约数为1．解：用(a，b，c)表示a、b、c 的最大公约数．令S n＝{〈a，b，c〉| a、b、c 为正整数，ab＝n，1≤c≤b，(a，b，c)＝1}，记S n中元素的个数为f(n) (n∈N*)．显然f(1)＝1．①如果n＝pα，其中p 为素数，α≥1．设〈a，b，c〉∈S n，若b＝1，则a＝pα，c＝1；若b＝p t，1≤t≤α－1，则a＝pα－t，(c，p)＝1，1≤c≤b；若b＝pα，则a＝1，1≤c≤b．因此，f(pα)＝1 α－1t＋pα＝pα－1＋pα．(这里φ(x)为Euler 函数)．＋∑φ(p )t=1……………………………… 20 分②下证：如果m，n 为互素的正整数，那么f(mn)＝f(m)·f(n)．首先，对每个〈a，b，c〉∈S mn．由于ab＝mn．令b1＝(b，n)，b2＝(b，m)，那么(b1，b2)＝1，再令a1＝(a，n)，a2＝(a，m)，那么(a1，a2)＝1，而且a1b1＝n，a2b2＝m．因为1＝(a，b，c)＝(a1a2，b1b2，c)＝((a1a2，b1b2)，c)＝((a1，a2)·(b1，b2)，c)．那么(a1，b1，c)＝1，(a2，b2，c)＝1，令c i≡c(mod b i)，1≤c i≤b i，i＝1，2．那么(a1，b1，c1)＝1，(a2，b2，c2)＝1，因此，〈a1，b1，c1〉∈S n，〈a2，b2，c2〉∈S m．……………………………… 30 分其次，若〈a1，b1，c1〉∈S n，〈a2，b2，c2〉∈S m．令a＝a1a2，b＝b1b2．由于(m，n)＝1，从而(b1，b2)＝1．⎧c≡c1 (mod b1)由中国剩余定理，存在唯一的整数c，1≤c≤b，满足⎨．⎩c≡c2 (mod b2)……………………………… 40 分显然(a1，b1，c)＝(a1，b1，c1)＝1，(a2，b2，c)＝(a2，b2，c2)＝1，从而(a，b，c)＝((a，b)，c)＝((a1，b1)(a2，b2)，c)＝(a1，b1，c) (a2，b2，c)＝1．因此，〈a，b，c〉∈S mn．所以，f(mn)＝f(m)·f(n)．利用①②可知，f(n)＝nΠ(1＋1 )． .................................. 50 分p|np设 a 、b 、c 、d 、e 为正实数，且 a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝2．若 5 个正三角形的面积分别为 a 2， b 2，c 2，d 2，e 2．求证：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC ． 证明：不妨设 a ≥b ≥c ≥d ≥e ＞0．若 a ≥1，则面积为 a 2 的三角形可覆盖△ABC ． ..................... 10 分若 a ＜1，则必有 b ＋c ＞1，这是因为当 c 1 b ≥c ，则 b ＋c ＞1；当 c 1＞2时，由于 又 a ＜1，则 b 2＝2－a 2－c 2－d 2－e 2＞1－3c 2≥(1－c )2，≤2时，所以 b ＋c ＞1，从而 a ＋c ＞1，a ＋b ＞1． .......................... 20 分用面积为 a 2，b 2，c 2 的三个三角形覆盖的△ABC ，使得每个三角形都分别有一个顶点与△ABC 的一个顶点重合，且有两条边在△ABC 的两条边上．于是，这三个三角形两两相交．若这三个三角形能覆盖△ABC ，则结论成立．否则有(a ＋b －1)＋(b ＋c －1)＋(c ＋a －1)＜1，得 2－a －b －c ＞0．……………………………… 30 分令中间不能被 a 2，b 2，c 2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2， 则 f 2＝1－(a 2＋b 2＋c 2)＋(a ＋b －1)2＋(b ＋c －1)2＋(c ＋a －1)2＝(2－a －b －c )2，得 f ＝2－a －b －c ． .............................................. 40 分下证：d ≥f ．若 d 1 1 1＞2，由 a ≥b ≥c ≥d ≥2，则 f ＝2－a －b －c ＜2，从而 d ＞f ．若 d 1 2 2 2 2 2 2≤2，由 a 、b 、c ＜1，有 d ≥2d ≥d ＋e ＝2－a －b －c ＞2－a －b －c ＝f ． 所以，面积为 d 2 的正三角形可以覆盖△ABC 不能被面积 a 2，b 2，c 2 覆盖的部分．……………………………… 50 分。

2015年高中数学竞赛决赛试题考试时间：150分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1.已知定义在上的奇函数满足（其中），且在区间上是减函数，令，，则（）A．B．C． D．2.已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程，有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知，向量在向量方向上的投影为，则=（）A. B. C. D.4.已知函数的图象如图所示，则函数的图像可能是（）5.已知函数则下列结论正确的（）A．在上恰有一个零点B．在上恰有两个零点C．在上恰有一个零点D．在上恰有两个零点6.函数是上的增函数且，其中是锐角，并且使得函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7.如果函数没有零点，则实数的取值范围是．8.如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于．9.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是；表面积是．10.如图，六边形为正六边形，且，则以，为基底，11.求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为．12.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13（本小题13分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x30 25 y10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）14.（本小题13分）如图所示，在棱长为的正方体中，分别为棱和的中点.（1）求异面直线与所成角的正弦值；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.15.（本小题13分）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线有两个不同的公共点，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.16.（本小题满分12分）设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3| , x∈R.（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若的定义域为R，求实数m的取值范围.17.（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当时，试比较与的大小.18.如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D.（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径为3，求OA的长.2015年闽清县高中数学竞赛决赛试题高二年级组答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号 1 2 3 4 5 6答案 C B B C A D二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．（0，1）∪（2，+∞） 8.9．18根号2 36根号3 10．11．{﹣1，2} 12． 82. 5三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.每小题12分，卷面1分。

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ，则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, )，其中i为虚数单位，zn 表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称abcd为P类数，若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值.10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点，2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：可以选取1, 2, , n 1, 1 ，使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、（本题满分40分）设S A1,A2, ,An ，其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合（n 2），满足对任意的Ai,Aj S，均有Ai Aj S，若k minAi 2.证明：存在x Ai，1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X 的元素个数）.k 上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BCBK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC 2 FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：(kn)!对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。