导学设计15-山西大学附中高二年级合情推理学案

1高二数学选修 2-2 §2.1.1-合情推理1一、学习任务1．通过实例了解归纳推理的含义； 2．能利用归纳进行简单的推理；3．体会归纳推理在数学发现中的作用． 二、新课探究*问题1：阅读教材,对于哥德巴赫猜想你还知道一些什么请和大家分享一下？ 问题2：你认为归纳推理的定义中哪些词语是关键词，你可以解释一下吗？ 问题3：你觉得归纳推理的特点是什么？ 技能提炼1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.，由此你可以得到什么结论？怎么得到的？*2.三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，由此你可以得到什么结论？怎么得到的？3、 个不等式6照此规律，请写出第,474131211,3531211,23211222222【总结】归纳推理的步骤： 变式反馈1、 ,333232,232232,131232 由此你可以得到什么结论？怎么得到的？*2、设函数),0(2)(x x x x f 观察：,1615))(()(,87))(()(,43))(()(,2)()(3423121x xx f f x f x xx f f x f x xx f f x f x xx f x f 根据以上事实，由归纳推理可得：当))(()(时，2且1x f f x f n N n n n 。

1234212,1,,,4?32n a a a a a 3、已知由前面项归纳求出第二章第一节 合情推理2 导学精要一、学习任务1．结合已学过的实例和生活中的实例，了解类比推理的含义；2．能利用类比进行简单的推理． 二、新课探究1、请你可以为大家出个归纳推理的题目？2、从鲁班发明锯子的故事你认为他的思路想法是怎样的？你还知道鲁班的其他故事吗？3、你由类比推理的定义可以分析出定义中的关键词并解释一下吗？【技能提炼】*1、将侧棱互相垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的直角面和斜面，过三棱锥的顶点及斜面两边的中点的截面均称为斜面的中面。

高二数学基于问题的合情推理导学案2 理理教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

教学过程：1创设情境引入新课从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子、他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手、我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的、这个推理过程是归纳推理吗？1数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=ba+c=b+c; (1)a＞ba+c＞b+c;(2)a=b ac=bc; (2)a＞b ac＞bc;(3)a=ba2=b2;等等。

(3)a＞ba2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？1建构教学上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的__________，推演出他们在其他方面也___________；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为_________________（简称类比）、简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理、类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶ 检验猜想。

即观察、比较联想、类推猜想新结论1数学活动例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比、圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合、球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合、圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心例3、在平面上,设是三角形三条边上的高、P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论、1课堂小结1、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。

2.1.1合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理．(3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)，则可归纳猜想{a n}的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．(3)等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是__________．答案(1)a n＝2n＋1(n∈N*)(2)65(3)b2n＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N*)探究1 数列中的归纳推理例1已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n .[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ [解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n＝1，又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n . 拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．答案2n n ＋1解析 因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S3＝64，S4＝85，归纳可得，S n＝2nn＋1.探究2 几何中的归纳推理例2定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[解析]从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D分别表示什么图形，即可研究(a)，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段，B是一个正方形，C是一条水平线段，D是一个圆．所以(a)中的图形应为B*D，(b)中的图形应为A*C.故选B.[答案] B拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．答案512(n－2)(n＋1)解析 由图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1.由f (n )－f (n －1)＝n －1，得f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…，f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)．又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2， 化简、整理，得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)． 探究3 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．[解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[答案] T 8T 4 T 12T 8拓展提升类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．【跟踪训练3】 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有通项满足b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N*)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则通项满足d n ＝________(n ∈N *)的数列也是等比数列．答案nc 1c 2c 3…c n解析 由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n .探究4 几何中的类比推理例4 平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边上的高为h ，则1a 2＋1b 2＝1h 2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，平面BCD 上的高为h ，则________”．[解析] 如图所示，设A 在底面的射影为O ，连接BO 并延长交CD 于E .连接AE ，由AB ⊥AC ，AB ⊥AD 得AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AE .设AE ＝h 1，在Rt △ABE 中，由已知可得1a 2＋1h 21＝1h 2.又易证CD ⊥平面ABE ，∴CD ⊥AE .在Rt △ACD 中有1h 21＝1b 2＋1c 2，∴1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2.[答案] 1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2 拓展提升解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形 点 直线 边长 面积 三角形 线线角 空间图形 直线平面面积体积四面体面面角【跟踪训练4】 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB ，AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2＋AC 2＝BC 2.若三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案 S 2△BCD ＝S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB解析 在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n＋2.故选C.3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，13.答案8解析从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8.4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________．答案球心距离相等的两截面的面积相等解析由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．5．已知数列{a n}满足a n＋1＝12－a n(n∈N*)，a1＝0，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，猜测{a n}的通项公式．解由a n＋1＝12－a n和a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45.观察以上5项，猜测{a n}的通项公式为a n＝n－1n.A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 2．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13， f (1)＝2，则f (2019)等于( ) A ．13 B ．2 C.132 D.213 答案 C解析 ∵f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2， ∴f (3)＝13f (1)＝132，f (5)＝13f (3)＝2， f (7)＝13f (5)＝132，f (9)＝13f (7)＝2，…，∴f (2019)＝132.选C.3．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C解析 类比空间中的平行六面体，平面中有平行四边形． 4．下面使用类比推理，得出正确结论的是( )A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比出“(a＋b)n＝a n＋b n”答案 C解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成立．5．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1 B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析因为在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴、y轴上的截距分别为a，b”，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa ＋yb＋zc＝1.6．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足a si nπ5＋b cosπ5a cosπ5－b si nπ5＝t an8π15，则ba＝()A．4 B.15 C．2 D. 3 答案 D解析将已知式变形，则有a si n π5＋b cosπ5a cos π5－b si nπ5＝a t anπ5＋ba－b t anπ5＝t anπ5＋ba1－ba t anπ5＝t an8π15，类比正切的和角公式，即t an(α＋β)＝t an α＋t an β1－t an αt an β，可知只有当b a ＝t an π3＝3时，上式成立．二、填空题7．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.答案 a ＋b <210(a >0，b >0且a ≠b ，a ＋b ＝20)解析 观察题目所给的不等式，归纳可得出两根号下的两数之和为20.8．等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系：________.答案 b 4＋b 8>b 5＋b 7解析 在等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，∴{a n }是各项均为正数的递增数列，∵4＋6＝3＋7，且a 4·a 6>a 3·a 7，∴在等比数列{b n }中，b n >0，q >1，则{b n }为各项均为正数的递增数列． 又∵4＋8＝5＋7，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.9．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2n π2n ＋1－2＝________. 答案 43n (n ＋1)解析 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和，因此答案为43n (n ＋1)． 三、解答题 10．已知数列{a n }的第一项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想这个数列的通项公式．解 (1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，得a 2＝13， a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17，a 5＝a 41＋2a 4＝19. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19，可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N *)． B 级：能力提升练11．过△ABC 边AB 上任一点O 分别作OA 1∥AC ，OB 1∥BC ，与BC ，AC 分别交于点A 1，B 1，则OA 1AC ＋OB 1BC 为定值1.试写出类比到空间的结论．解 如图1所示，这个命题的正确性很容易由相似三角形的性质推出，也不难用“面积法”证得定值为1，类比到空间，则有：如图2所示，过四面体VABC 的面ABC 上任一点O ，分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，其中A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面的交点，则OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值1.12．我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n－1)2.类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，…n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号6函数的极值与导数【学习目标】会通过求函数的导数确定函数的极值.【学习重点】通过求函数的导数确定函数的极值.【学习难点】通过求函数的导数确定函数的极值.【学习过程】一、导学1. 已知函数 3()267f x x x =-+(1)求)(x f 的单调区间,并画出其图象;(2)函数)(x f 在1-=x 和1=x 处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? )(x f 在这两点处的导数值是多少？相应地, )(x f 的导数的符号有什么变化?2. 观察课本27页（文课本94页)图1.3-10和1.3-11,函数)(x f 在h g f e d c b a ,,,,,,,等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? )(x f 在这些点处的导数值是多少?在这些点附近, )(x f 的导数的符号有什么变化规律? 并总结下列概念：什么是极大值? 什么是极大值点?什么是极小值? 什么是极小值点?什么是极值?极大值:极大值点:极小值:极小值点：极值：极值点:思考:1.极值是最大值或最小值吗?2.函数的极值是不是唯一的?3.极大值一定比极小值大吗?举例说明.4.极值点的导数一定为0,反过来,导数值为0的点一定是极值点吗?举例说明.5.函数的极值点能出现在区间的内部, 也能在区间的端点吗?6.求函数极值的方法是什么?二、导练：1.求下列函数的极值.（1）()31443f x x x =-+ （2）33)(x x x f -=思考：函数3)(x x f =存在极值吗？若存在，请求出，若不存在，请说明理由.2.设cx bx ax x f ++=23)(在1=x 和1-=x 处有极值，且1)1(-=-f ,求出c b a ,,的值，并求出相应的极值.3.已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1-=x 时有极值0，求出n m ,的取值.。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号16演绎推理【学习目标】1．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．2.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．【学习重点】掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．【学习难点】利用“三段论”进行简单的推理．【学习过程】一．导学探究：演绎推理与三段论问题1． 分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，100(21)+是奇数，所以100(21)+ 不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°.新知：演绎推理的定义：从____________出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理问题2 演绎推理有什么特点？问题3 演绎推理的结论一定正确吗？问题4 演绎推理一般是怎样的模式？问题5．如何用集合的观点来理解三段论推理的依据？二．导练导练1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，,A B ∠∠是等腰三角形的底角，则A B ∠=∠；(3)通项公式为23n a n =+的数列{}n a 为等差数列．变式１． 把下列推断写成三段论的形式：(1)因为ABC ∆三边的长依次为3,4,5，所以ABC ∆是直角三角形；(2)函数25y x =+的图象是一条直线；（3)sin ()y x x R =∈是周期函数导练２. 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数， 大前提 （２）无限不循环小数是无理数，大前提－3是整数， 小前提1(0.3333)3=⋅⋅⋅是无限不循环小数，小前提 －3是自然数． 结论 13是无理数． 结论 变式２．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形， 小前提所以菱形是正多边形． 结论导练３． 如图，在锐角三角形ABC 中，,,,AD BC BE AC D E ⊥⊥是垂足，求证：AB 的中点M 到点,D E 的距离相等．变式3．如图，已知：在空间四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB AD的中点，求证：//EF 平面BCD .三．目标检测1．下面几种推理过程是演绎推理的是A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果B A ∠∠与是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°+B=180A ∠∠。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号1 变化率与导数 【学习目标】1.知道平均变化率的概念,会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.2.会用极限描述瞬时速度的定义,并能说出导数的概念,知道导数即瞬时变化率.3.会用导数的定义求解函数在某一点的瞬时变化率,即函数在该点处的导数.4.通过图像认识函数在一点处的导数的几何意义就是曲线在该点处的切线的斜率，并能够用导数的几何意义求解具体的曲线的切线方程问题；知道导函数的概念并会运用概念求导函数.【学习重点】导数的概念、导数的几何意义【学习难点】导数的概念、导数的几何意义【学习过程】一、导读1.平均变化率：一般地，对函数)(x f y =,1212)()(x x x f x f x y --=∆∆称为从1x 到2x 的平均变化率,其中=∆x _________,=2x __________,x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或“增量”,相应地, 函数的变化量或“增量”记为y ∆,即=∆y _______.小结：所谓平均变化率也就是 的“增量”与 的“增量”的比值.思考1：观察右图，平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆表示什么?思考2：一般地,函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率应该怎样表示呢?2.导数一般地,函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率为=∆∆→∆x y x lim 0_______________,称为函数)(x f y =在0x x =处的导数.记作_____________,即: )(0x f '=_____________________.思考3：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋势是什么？3.切线的定义：当点n P 趋近于点P 时，割线n PP 趋近于某一确定的位置，该确定位置的直线PT 称为曲线C 在点P 处的______________.思考4:此处切线的定义与以前有何不同?割线n PP 的斜率n k = ，当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k =_______________.4.导数的几何意义: 函数()y f x =在0x 处的导数是_______________________________.思考5：①函数||x y =在0=x 处是否有切线?②函数3x y =在0=x 处是否有切线?③函数31x y =在0=x 处是否有切线?由此,你可以得到什么结论?5.导函数: _______________________________)(='='y x f .二、导练1.若函数)(x f 满足,1)1(='f 求x f x f x 2)1()1(lim 0-+→和x f x f x )1()21(lim 0--→的值.2.已知质点M 按规律322+=t s 做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s),(1)当01.0,2=∆=t t 时，求t s ∆∆;(2)求质点M 在2=t 时的瞬时速度.3.求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.三、目标检测:1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-（ ） A ．与0x 、h 都有关 B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关。

山西大学附中2015--2016学年高二第二学期5月（总第九次）模块诊断数学试题（文）考试时间：100分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分，请把答案写在答题纸上) 1．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|1,}B x x x Z =≤∈，则A B =（ ） A ．{2,1,1}-- B ．{1,1,2}- C ．{1,1}- D ．{2,1}--2．复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．23．命题 “R x ∈∀，都有0log 2>x 成立”的否定为 ( )A ．R x ∈∃0，使20log 0x ≤成立B ．R x ∈∃0，使0log 2>x 成立C ．R x ∈∀，都有0log 2≥x 成立D ．R x ∈∀，都有0log 2>x 成立4．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得25.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以 A ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” B ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” C ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” D ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 5．若函数22,0()24,0xx x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()1f f 的值为（ ） A ．10- B ．10 C ．2- D ．26．已知命题p ：x R ∃∈，使sin 2x =；命题q ：x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，其中正确的是（ ） A ．②④ B ．②③ C ．③④ D ．①②③7．满足条件{}{}1,2,31,2,3,4,5,6M ⊂⊂≠≠的集合M 的个数是 （ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 8．“3cos 5α=”是“7cos 225α=-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”时正确的反设为（ ）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D ．自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数10．已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料，由上表可得线性回归方程0.08y bx =+，若规定当维修费用12y >时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值2，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ）A ．aBCD 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为f '（x ），满足()()f f x x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ）A ．()2,-+∞ B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分．请把答案写在答题纸上)13．函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，则(2)(2)f f '+= ． 14．命题“04),2,1(2≥++∈∃mx x x ”是假命题，则m 的取值范围为_______． 15．复数满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．16．已知,...,15441544,833833,322322=+=+=+类比这些等式，若 ba b a 66=+（,a b 均为正实数），则=+b a ______． 三、解答题(本大题共4个小题,共40分.要求写出必要的演算过程和推理步骤)17．（本题满分8分）已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域,集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域．（1）求集合C B A ,,；（2）若C C A = ，求实数a 的取值范围． 18．（本题满分10分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为15． （1）请将上面的列表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）19．（本题满分10分）（1）命题p :“2[1,2],0x x a ∀∈-≥”，命题q :“2000,220x R x ax a ∃∈++-=”，若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．（2）已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，若p 是q 的必要而不充分必要条件，求实数m 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()2ln ()f x x x a x a R =-+∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，且不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．山西大学附中2015--2016学年高二第二学期5月（总第九次）模块诊断数学试题（文）考试时间：90分钟12．【解析】因为(2)f x +为偶函数,所以22f x f x -=+,因此041f f ==.令()()xf x h x e =错误！未找到引用源。

高中数学合情推理教案6
教学目标：
1. 熟练掌握合情推理相关概念；
2. 能够运用合情推理解决实际问题；
3. 提高学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

教学内容：
1. 合情推理的基本概念；
2. 含有合情推理的问题解决方法；
3. 合情推理在生活中的应用。

教学步骤：
1. 导入：通过生活中的实际例子引出合情推理的概念，引发学生的兴趣；
2. 讲解：介绍合情推理的定义和基本原理，引导学生理解合情推理的重要性；
3. 练习：提供一些含有合情推理的问题，让学生在小组中讨论解决方法，并进行答疑；
4. 拓展：引导学生通过课堂讨论，了解合情推理在科学研究和工程设计中的应用；
5. 总结：让学生总结今天学习到的知识点，并提出自己的看法和感想；
6. 作业：布置合情推理相关的练习题，巩固学生的知识。

教学资源：
1. PowerPoint课件；
2. 含有合情推理的题目练习册；
3. 实际生活中的例子和案例。

教学反馈：
1. 收集学生的作业，及时批改并指导学生改错；
2. 让学生互相交流，分享自己的解题思路和方法；
3. 给予学生积极的反馈和建议，鼓励他们继续学习合情推理。

导学案 合情推理学习目标：1、了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；2、了解合情推理在数学研究中的作用.重点：理解推理的概念.知识要点1、推理：根据一个或几个 得到一个判断，这种思维方式就是推理.它由两部分构成， 叫前提， 叫结论.2、推理一般分为 推理和 推理.3、合情推理：前提为真时，结论 为真.数学中常用的合情推理有： 推理和 推理.4、归纳推理：（1）定义：根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理，叫归纳推理（简称 ）；（2）归纳推理是从______到 的过程；（3）归纳推理的一般步骤：（i ） ；（ii ） .5、类比推理：（1）定义：根据 不同事物之间具有某些 （或 ）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫类比推理（简称 ）；（2）类比推理是从 到 ，从 到 的过程；（3）类比推理的一般步骤：（i ） ；（ii ） . 预习检测1、由数列1，10，100，1000，……，猜测该数列的第n 项可能是 （ ）A 、10nB 、110n -C 、110n +D 、210n -2、下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适 （ ）A 、三角形B 、梯形C 、平行四边形D 、矩形典型例题例1、用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，(21)n -，…，的前n 项和n S 的归纳过程.例2、设2()41f n n n =++，n N +∈，计算(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，…，(10)f 的值，同时作出归纳推理，并用40=n 验证猜想是否正确.变式1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，12(2)n n nS a n S ++=≥，计算1S ，2S ，3S ，4S ，并猜想n S .例3、找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质.（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦； （2）与圆心距离相等的两弦相等；（3）圆的周长C d π=（d 为直径）； （4）圆的面积2S r π=.变式2、试通过类比,写出在空间中的类似结论.（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；（2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；（3）平面内直角三角形的勾股定理.课堂练习1、根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点.2、数列}{n a 的通项公式22)55(+-=n n a n ，计算=1a ____，=2a ____，=3a ____，=4a ____，…，由此归纳猜想：对任意n N +∈，n a =_____，并用5=n 验证猜想是否正确.3、在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为_______．5、已知数列{}n a 的第一项11a =，11n n na a a +=+，试归纳出这个数列的通向公式.。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号26组合（2）【学习目标】1. 掌握组合数的两个性质；2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；【学习重点】一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题【学习难点】掌握组合数的两个性质【学习过程】复习1：从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示. 复习2： 组合数公式：mn C ＝ ＝导学1、一般地，从n 个不同元素中取出个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n m -个元素的每一个组合 ，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n m -个元素的组合数，即：试试：计算：1820C反思：⑴若y x =，一定有y n x n C C =？ ⑵若y n x n C C =，一定有y x =吗？ 2、从121,,,+n a a a 这1+n 个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素与1a 组成的，共有 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中得到结论：试试：计算：69584737C C C C +++问题分类1 分组分配问题分组问题：（均匀分组，不均匀分组）， 分配问题：（不定向分配， 定向分配） 方法：如果是均匀分组，除以组数的阶乘。

例1 按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？（1）平均分给甲乙丙三人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）甲乙丙三人中一人的一本，一人得2本，一人得3本；（4）分成三份，一份一本，一份2本，一份3本；（5）甲乙丙三人中一人得4本，另两人各得1本；（6）分成三份，一份4本，另两份每份1本；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本．① ③ ④ ② ① ② ③ ④ ④ ③ ②① 图1 图2 图3 2 构造法：构造隔板，构造模型求不定方程)(21k n n x x x k ≥=+++ 的正整数解的组数为_ _11--k n C ，非负整数解的组数为__ __11--+k k n C例2 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？变式1．某校准备将参加自主选拔考试的10个名额分配给高三年级的8个班，每班至少有1个名额，不同的分配方案共有多少种？变式2．某中学要把9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每所小学至少得2台，不同的送法种数有_____种．3 涂色问题例3．将5种不同的颜色分别涂在下列各图中的区域上，每一个区域涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则不同的涂法种数各有多少？课堂练习1. 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种2.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、50401.3. 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？4．把10名学生分为3组，其中1组4人，另两组各3人，但正副班长不能分在同一组，问有多少种不同的分组方法？拔高题：某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.。

山西大学附中高二年级（上）数学导学设计编号46简单的逻辑联结词【学习目标】1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,∧∨⌝的真p q p q p假性的判断；关键在于p与q的真假的判断；3. 正确理解p⌝与p的⌝的意义，区别p否命题.【学习重点】1.,,⌝与p的⌝的意义，区别p∧∨⌝的真假性的判断2.正确理解pp q p q p否命题.【学习难点】区别p⌝与p的否命题.【学习过程】一．导读探究一：“且“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1) 12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”..探究二：“或“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”..探究三：“非“的意义问题：下列两个命题有什么关系?(1) 35能被5整除；（2）35不能被5整除；新知：1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作“”或“”.2.规定：二.导练1. 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等；（2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分；（3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数小结：p q ∧的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断.2. 判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A 是A B 的子集或是A B 的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.小结：p q ∨的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断.变式：如果p q ∧为真命题，那么p q ∨一定是真命题吗？反之，p q ∨为真命题，那么p q ∧一定是真命题吗？3. 写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p ：sin y x =是周期函数；（2）p ：32<（3）空集是集合A 的子集.小结：p ⌝的真假性的判断，关键在于p 的真假的判断.三.目标检测1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P ：在ABC ∆中，C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件；命题q ：a b >是22ac bc >的充分不必要条件，则A.p 真q 假B.p 假q 假C.“p 或q ”为假D.“p 且q ”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有A.1B.2C.3D.44.命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，在命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”中假命题是 ，真命题是 .5. 已知p ：2||6x x -≥，q ：,,x Z p q q ∈∧⌝都是假命题，则x 的值组成的集合为6. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q ∨，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈；（2）p q ∧，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈；(3) p q ∨，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数；(4) p q ∧，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数.。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号25组合（1）【学习目标】 1. 正确理解组合与组合数的概念2. 弄清组合与排列之间的关系3. 会做组合数的简单运算.【学习重点】弄清组合与排列之间的关系，会做组合数的简单运算【学习难点】正确理解组合与组合数的概念【学习过程】导学（阅读教材P 21~ P 23，回答以下问题）组合的概念：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.思考：（1）比较排列与组合的概念，找出它们的相同点与不同点。

（2）相同的两个组合有什么特点？组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示． 思考：（3）组合与组合数的区别？（4）组合数计算公式的推到思路是什么？（与排列数的计算公式进行比较）组合数公式m n C ＝ ＝ 规定：=0n C（5）公式中m n ,有什么限制条件？导练1、甲、乙、丙、丁4个人，（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况；（2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？变式1：判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？2、 计算：（1）47C ； （2）37C ； （3）710C ； （4）310C变式2：求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C3、设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值变式3：解方程3213113-+=x x C C课堂检测1、计算：(1) 26C ； ⑵ 38C ； (3)2637C C -； (4)253823C C -.2、设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有个.3、从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .4、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；。

2015-2016学年山西大学附中高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，请把答案写在答题纸上）1．（4分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．（4分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（x0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确3．（4分）已知变量x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A．1B．C．D．4．（4分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度5．（4分）有下列说法：①线性回归方程一般都有时间性；②样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；③根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；⑤相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好；其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．（4分）函数f（x）＝3x2﹣lnx﹣x的极值点的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（4分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．8．（4分）设a＞0，f（x）＝ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y＝f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，]B．[0，]C．[0，||]D．[0，||]9．（4分）已知函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a＝f（），b＝2f（2），c＝（ln2）f（ln2），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b 10．（4分）对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）A．6B．7C．8D．911．（4分）函数f（x）＝﹣2ax+lnx在（0，+∞）上不单调，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞1B．a≤﹣1或a≥1C．a≥1D．a＞112．（4分）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意x∈R，都有f（x）+f（﹣x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x，若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二.填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题纸上）13．（4分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a＝．14．（4分）已知函数f（x）＝2x﹣﹣2lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．15．（4分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．则复数|z|＝．16．（4分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）＝（1+2+22）（1+3+32）＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．三.解答题（本大题共4个小题，共36分.要求写出必要的演算过程和推理步骤）17．（8分）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．（I）求线性回归方程；（参考数据：）（II）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．18．（8分）为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法，询问了大学一、二年级的200个大学生，询问的结果记录如下：其中大学一年级110名学生中有45人认为不会影响学习，有65人认为会影响学习，大学二年级90名学生中有55人认为不会影响学习，有35人认为会影响学习．（I）根据以上数据完成2×2列联表；（II）据此回答，能否有99%的把握断定大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同？附表：（K2＝，其中n＝a+b+c+d）19．（10分）设函数f（x）＝（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性．20．（10分）已知函数f（x）＝﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西大学附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，请把答案写在答题纸上）1．（4分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B．2．（4分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（x0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．3．（4分）已知变量x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A．1B．C．D．【解答】解：根据所给的三对数据，得到＝＝5，＝＝7，∴这组数据的样本中心点是（5，7）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴7＝5+2，∴＝1．故选：A．4．（4分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．5．（4分）有下列说法：①线性回归方程一般都有时间性；②样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；③根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；⑤相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好；其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，回归方程一般都有时间性，例如不能用20世纪80年代的身高、体重数据所建立的回归方程，描述现在的身高和体重的关系，命题正确；对于②，样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；例如回归方程是由大人身高、体重数据所建立的，不能用它来描述幼儿时期的身高与体重的关系，命题正确；对于③，回归方程得到的预报值是预报变量的可能取值的平均值，错误；对于④，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．对于⑤，相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此不正确．故选：D．6．（4分）函数f（x）＝3x2﹣lnx﹣x的极值点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）；＝；∴时，f′（x）＜0，时，f′（x）＞0；∴是f（x）的极值点；即f（x）的极值点个数为1．故选：B．7．（4分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．【解答】解：过点P作y＝x﹣2的平行直线，且与曲线y＝x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k＝y′|x＝x0＝2x0﹣．∴2x0﹣＝1，∴x0＝1或x0＝﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d＝＝．故选：B．8．（4分）设a＞0，f（x）＝ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y＝f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，]B．[0，]C．[0，||]D．[0，||]【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）＝2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y＝f（x）对称轴x＝﹣的距离d＝x0﹣（﹣）＝x0+∴x0∈[，]．∴d＝x0+∈[0，]．故选：B．9．（4分）已知函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a＝f（），b＝2f（2），c＝（ln2）f（ln2），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）．∵当x≠0时，f'（x）+＞0，∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．即当x＞0时，g′（x）＞0，因此当x＞0时，函数g（x）单调递增，∵2＞ln2＞，∴g（2）＞g（ln2）＞g（），即b＞c＞a，故选：A．10．（4分）对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m ＝个，59是从3开始的第29个奇数当m＝7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共＝27个当m＝8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共＝35个故m＝8故选：C．11．（4分）函数f（x）＝﹣2ax+lnx在（0，+∞）上不单调，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞1B．a≤﹣1或a≥1C．a≥1D．a＞1【解答】解：由题意，f′（x）＝x﹣2a+＝，∵函数f（x）在（0，+∞）上不单调，∴分子应满足有两个不等的实根，∴a＞0且△＝4a2﹣4≥0，∴a≥1，a＝1时，导函数≥0，单调递增或是斜率为0的直线，单调，不符合题意．故选：D．12．（4分）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意x∈R，都有f（x）+f（﹣x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x，若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【解答】解：令，则，则g（x）+g（﹣x）＝f（x）+f（﹣x）﹣x2＝0，得g（x）为R上的奇函数，∵x＞0时，g'（x）＝f'（x）﹣x＞0，故g（x）在（0，+∞）单调递增，再结合g（0）＝0及g（x）为奇函数，知g（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，又＝f（2﹣a）﹣f（a）﹣2+2a≥（2﹣2a）﹣2+2a＝0则g（2﹣a）≥g（a）等价于2﹣a≥a，解得a≤1，即a∈（﹣∞，1]．故选：B．二.填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题纸上）13．（4分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a＝2．【解答】解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，所以即得a＝2故答案为：214．（4分）已知函数f（x）＝2x﹣﹣2lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2＝0．【解答】解：∵f（x）＝2x﹣﹣2lnx，∴f′（x）＝2+﹣，∴函数y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为2，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．故答案为：2x﹣y﹣2＝0．15．（4分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．则复数|z|＝．【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+（b+2）i，∵z+2i是实数，∴b+2＝0，即b＝﹣2．又＝＝，∵均为实数，∴2b+a＝0，即a＝﹣2b＝4．∴z＝4﹣2i．则|z|＝．故答案为：．16．（4分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）＝（1+2+22）（1+3+32）＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）＝465．可求得200的所有正约数之和为465．故答案为：465．三.解答题（本大题共4个小题，共36分.要求写出必要的演算过程和推理步骤）17．（8分）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．（I）求线性回归方程；（参考数据：）（II）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．【解答】解：（I）＝10，＝30，，∴b＝﹣2把（10，30）代入回归方程得30＝﹣2×10+a，解得a＝50．∴回归方程为y＝﹣2x+50；（II）当x＝10时，y＝30，估计当气温为10℃时的用电量为30度．18．（8分）为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法，询问了大学一、二年级的200个大学生，询问的结果记录如下：其中大学一年级110名学生中有45人认为不会影响学习，有65人认为会影响学习，大学二年级90名学生中有55人认为不会影响学习，有35人认为会影响学习．（I）根据以上数据完成2×2列联表；（II）据此回答，能否有99%的把握断定大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同？附表：（K2＝，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（I）2×2的列联表为：（II）由K2统计量的数学公式得K2＝＝≈8.081＞6.635∴能够有99%的把握说：大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同．19．（10分）设函数f（x）＝（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝﹣2x+3﹣＝，当＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）极大值＝f（1）＝2，f（x）极小值＝f（）＝+ln2；（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）＝，当a＝2时，f′（x）＝≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；当1＜a＜2时，＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞，此时函数f （x）单调递减；令f′（x）＞0，解得1＜x＜，此时函数f（x）单调递增．当a＞2时，0＜＜1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，此时函数f （x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或（，+∞）单调递减；f（x）在（1，）上单调递增．当a＝2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞2时，f（x）在（0，）或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）（，1）上单调递增．20．（10分）已知函数f（x）＝﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）＝﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）＝﹣a＝﹣+﹣a＝﹣，故当，即x＝e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max＝，所以f′（x）max+a＝，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min＝f（e2）＝，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min＝f（e）＝e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）＝0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号3
导数的运算及导数几何意义的综合应用
【学习目标】进一步熟悉导数公式及运算法则;能准确求解曲线的切线方程问题.
【学习重点】求函数的导数、求曲线的切线方程.
【学习难点】求复合函数的导数.
【学习过程】
一、导练:
1. 求下列函数的导数.
(1) x x y cos sin = (2))23)(32(2
-+=x x y (3) )21)(sin 1(x x y -+=
(4) x x y cos 32+= (5) 31x
x y -= (6) 2
1ln x y -=
2. 已知曲线331
x y =,
(1)若点Q 在曲线上,且以Q 为切点的切线的斜率为9,求点Q 的坐标;
(2)求过点)31
,1(R 的切线方程.
二、目标检测
1. 已知函数)(x f 在R 上满足,88)2(2)(2
-+--=x x x f x f 求曲线)(x f y =在
点))1(,1(f 处的切线方程.
2. 已知曲线21:x y C =与22)2(:--=x y C ,直线l 与1C ,2C 都相切,求直线l 的方程.。

高二数学必修二合情推理导学案【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.【课前准备】（预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.【问题探究】探究任务一：考察下列示例中的推理问题：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……所以n 边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

探究任务二：问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？新知2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 归纳推理的一般步骤1 。

2 。

※ 典型例题例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n -1，……的前n 项和S n 的归纳过程。

例2设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？【当堂检测】1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；①从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+3.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n= (1)2n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。