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无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影s?s 时，与最优储响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当gold蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无s?s 时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡效的。
当gold参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s的变动对稳态和动态的人均消费的影响c*c golds s s s 高低goldc c 动态无效区c golds上升s下降t那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分1 析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：租让资本，获取利息提供劳动，赚取工资购买产品，进行消费厂商家庭相互拥有销售产品，获得利润雇佣劳动，支付工资租用资本，支付利息三、厂商行为2Y?F(K,AL)沿用新古典生产函数?Y?YK??ALY根据欧拉定理，?K?(AL)?Y?f'(k)?r（真实利率）其中，资本的边际产品为：?K?Y?f(k)?kf'(k)?w（工资率）有效劳动的边际产品为：?(AL)四、家庭行为1.一些假定和符号nt)0L(L(t)?；总人口为L，以速率n增长，e家庭的个数为H，每个家庭有L/H个人；每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H。
2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：L(t)L(0)?????n(?)tt?ee u[C(tdt?C?Uu[(t)])]dt??o??ott HH?)?u(为为即期效用函数，C(t)为每个家庭成员的消费，其中，?越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。
宏观教材讨论个人关于动态规划及高级宏观学习的本坛网友鲁峰发表了一篇不错的高宏学习的帖子，名为："个人关于动态规划及高级宏观学习的意见"地址见：作为一名学了N年宏观的经济学工作者，我非常有兴趣和同道中人进行讨论。
同时，也可以为各位致力于宏观学习的童鞋提供一些(可能不完全正确)的建议。
我的研究领域与鲁峰网友近似，为：经济周期理论(按照惯例，也应包括经验研究)、货币理论与政策。
首先，想商议的第一个话题是，"你对宏观经济研究的偏向"。
在讨论这个话题之前，我假设大家都知道，所谓"经验"，是指empirical这个词。
为了避免与positive弄混淆，我用经验，而非"实证"来表示empirical。
按照惯例，如果有人说自己做宏观经济学，我们一般知道他主要是做理论研究的。
但是，宏观理论中，除了其基础--一般均衡理论外，基本上是找不到一处不能验证的理论的。
换言之，宏观理论直接来自于经验事实，同时，任何宏观理论一定要接受实验(经验)的检验，当然，只能用自然实验，而无法进行可控的实验。
我的看法是，宏观经济学不存在理论研究和经验研究之分，这两者都是由宏观经济学理论研究者完成。
如果有人说他用时间序列之类的方法在检验宏观经济理论，那么，按照惯例，这类研究领域应该叫做"应用时间序列研究"，最多叫做"应用计量经济学"，而绝对不能成为"经验宏观经济研究"，更不能叫做"应用宏观经济理论"。
举个例子，鲁克波尔与克莱茨希的一本教材，叫"应用时间序列计量经济学"。
(这两个人是德国人，名字不好记，所以就把中文名字记住了)这本书是SVAR课程的重要参考教材，整本书的内容就是宏观经济学的经验研究。
大家不妨看看书的名字。
另外一个例子，DeJong and Dave将其著作叫做《结构宏观计量经济学》、Canova将其著作叫《应用宏观经济研究方法》。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，()Y F K AL=，，或者采用紧凑形式.假设。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本,并且所有厂商的A值都相同。
(a)考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题.证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值.（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题.构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b）因为每个厂商拥有同样的k和A,则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择.因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2。
2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性.设想某个人只活两期,其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格,W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？(b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明,若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为.答：(a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2) 求解约束条件：(3)将方程(3）代入（1)中,可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程(4）两边对求一阶条件可得:解得：（5）将方程（5)代入（3），则有：解得：（6) 将方程(6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5)可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8) 对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
宏观经济学名词解释1. 国内生产总值国内生产总值是指经济社会（一国或地区）在一定时期内运用全部生产要素所生产的全部最终产品的市场价值。
国内生产总值是一个地域概念。
2. 国民生产总值国民生产总值是指某国国民所拥有的全部生产要素所生产的最终产品的市场价值。
国民生产总值是一个国民概念。
国民生产总值核算的方法有生产法，支出法和收入法。
3. 消费物价指数CPI消费物价指数也称零售物价指数，是反映消费品价格水平变动状况的一种价格指数，一般是用通过对若干种主要消费品的零售价格以及服务费用进行加权平均来编制。
用公式表示为：CPI=（一组固定商品按当期价格计算的价值/一组固定商品按基期价格计算的价值）*100%4. 潜在产出潜在产出是指经济中实现了充分就业时所达到的产量水平。
它不是一个实际产出量，一般认为只有在充分就业时，才有可能实现潜在国内生产总值，增加潜在产出的途径是增加劳动、资本等生产要素投入，实现技术进步。
5. GDP 平减指数GDP 平减指数是按当年价格计算的国内生产总值和按不变价格计算的国内生产总值的比率。
用公式表示为：GDP 平减指数=报告期价格计算的当期国内生产总值/基期价格计算的当期国内生产总值GDP 平减指数的优点是范围广泛，能比较准确地反映一般物价水平的变动趋向。
6. 投资乘数 投资乘数是指收入的变化与带来这种变化的投资支出的变化的比率。
用公式表示为：β-=∆∆=11I Y K I ，其中，β为边际消费倾向。
边际消费倾向越高，投资乘数越大，反之则越小。
投资乘数发挥作用的前提是：1，社会中存在闲置资源；2，投资和储蓄的决定相互独立；3，货币供应量的增加适应支出增加的需要。
7. 平衡预算乘数（2006年）平衡预算乘数是指政府收入和支出同时以相等数量增加或减少时，国民收入变动与政府收支变动的比率。
假设政府购买和税收各增加同一数量，即T G ∆=∆时，G G T G T k G k Y t g ∆=∆--=∆--+∆-=∆+∆=∆βββββ11111，所以无论在是定量税，还是比例税下，平衡预算乘数G Y K ∆∆=平均为1。
================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：动态规划的Bellman 原理（10、11硕已讲，精细订正版）二、一个简化的例子欲对Bellman 原理有一个快速的理解，这里通过一个简化的例子，以勾勒出动态规划方法所特有的向后追溯（backward recursion ，逆向递归，逆向归纳）的特征。
假定：（1）典型个人生存两个时期，他可以在两个时点上，即10、=t 上做决策（3=t 时，他就死亡了）；他被赋予一定量的初始资源0)0(>W 。
（2）理想化的资本市场上存在两种资产1。
一种是无风险的现金或者债券，它的价格在任何时刻都没有变化，始终为1；另一种是有风险的股票，它的价格过程假定由以下二项树描绘（参见下图）。
1所谓理想化资本市场如上一章中的要求，即无交易成本、制度限制、操纵行为等。
简单地说，它表示在每一时点上，股票价格要么以 9/4的概率上涨一倍，要么以 )9/41(-的概率下跌一半。
用)0(w 和)1(w 表示该投资者在10、时刻上，投资于风险资产（股票）上的财富分额。
（3）投资者的非资本收入为0，效用函数具有以下特定形式： x x u =)(（4）为了简化求解，假定投资者不进行任何消费，这样最优决策的惟一目标就是最大化他来自最终财富的期望效用。
至此，最优化问题就可以简化为：⎣⎦)2(..)2(max )1(),0(>W t s W E w w我们的任务就是找到最优的投资决策变量（最优控制）)0(w 和)1(w ，使以上最优化问题得以解决。
可以尝试采用“向前”推导的方法，即从0=t 时刻开始，事先决图 股票价格运动的二项树模型p 1000 1 2 t定一个策略)0(w ，但它是不是最优还不清楚，根据)0(w 我们仅仅能够知道1=t 时刻的期望财富水平的函数表达式，但是最大化这个函数得到的“最优的”)0(w ，并不一定是最优决策过程)]1(),0([w w 的必然组成部分，除非可以明确地知道在所有不同情况状态下的)1(w ，并且它是惟一的。
==================================附录：宏观经济学分析方法：动态规划的Bellman 原理（10、11 硕已讲，精细订正版）二、一个简化的例子欲对 Bellman 原理有一个快速的理解，这里通过一个简化的例子，以勾勒出动态规划方法所特有的向后追溯（ backward recursion ，逆向递归，逆向归纳）的特征。
假定：（1）典型个人生存两个时期，他可以在两个时点上，即t 0、1上做决策（ t 3 时，他就死亡了）；他被赋予一定量的初始资源W (0) 0。
（2）理想化的资本市场上存在两种资产1。
一种是无风险的现金或者债券，它的价格在任何时刻都没有变化，始终为 1；另一种是有风险的股票，它的价格过程假定由以下二项树描绘（参见下图）。
1所谓理想化资本市场如上一章中的要求，即无交易成本、制度限制、操纵行为等。
p (t)2004/94004/95/91001005/94/9505/925012t图股票价格运动的二项树模型简单地说，它表示在每一时点上，股票价格要么以4/ 9的概率上涨一倍，要么以 (1 4 / 9) 的概率下跌一半。
用 w(0) 和 w(1) 表示该投资者在 0 、1时刻上，投资于风险资产（股票）上的财富分额。
（3）投资者的非资本收入为0 ，效用函数具有以下特定形式：u( x)x（4）为了简化求解，假定投资者不进行任何消费，这样最优决策的惟一目标就是最大化他来自最终财富的期望效用。
至此，最优化问题就可以简化为：max E W (2)w(0 ),w (1)s.t. W (2)0我们的任务就是找到最优的投资决策变量（最优控制） w(0) 和w(1) ，使以上最优化问题得以解决。
可以尝试采用“向前”推导的方法，即从 t0 时刻开始，事先决定一个策略 w(0) ，但它是不是最优还不清楚，根据w(0) 我们仅仅能够知道 t 1时刻的期望财富水平的函数表达 式，但是最大化这个函数得到的“最优的” w(0) ，并不一定是最优决策过程 [ w(0), w(1)] 的必然组成部分，除非可以明确地知道在所有不同情况状态下的 w(1) ，并且它是惟一的。
