动态规划应用举例

动态规划算法应用场景动态规划（Dynamic Programming）在数学上属于运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法，同时也是计算机科学与技术领域中一种常见的算法思想。

动态规划算法与我们前面提及的分治算法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题的解。

但是两者之间也有很大区别：分治法将问题划分为互不相交的子问题，递归的求解子问题，再将他们的解组合起来求解原问题的解；与之相反，动态规划应用于子问题相互重叠的情况，在这种情况下，分治法还是会做很多重复的不必要的工作，他会反复求解那些公共的子问题，而动态规划算法则对相同的每个子问题只会求解一次，将其结果保存起来，避免一些不必要的计算工作。

Tips: 这里说到的动态规划应用于子问题相互重叠的情况，是指原问题不同的子问题之间具有相同的更小的子子问题，他们的求解过程和结果完全一样。

动态规划算法更多的时候是用来求解一些最优化问题，这些问题有很多可行解，每个解都有一个值，利用动态规划算法是希望找到具有最优值的解。

接下来，就让我们具体看看动态规划算法的求解思路及相关应用场景。

1. 动态规划算法求解分析1.1 适用问题首先，在利用动态规划算法之前，我们需要清楚哪些问题适合用动态规划算法求解。

一般而言，能够利用动态规划算法求解的问题都会具备以下两点性质：最优子结构：利用动态规划算法求解问题的第一步就是需要刻画问题最优解的结构，并且如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则此问题具备最优子结构的性质。

因此，判断某个问题是否适合用动态规划算法，需要判断该问题是否具有最优子结构。

Tips: 最优子结构的定义主要是在于当前问题的最优解可以从子问题的最优解得出，当子问题满足最优解之后，才可以通过子问题的最优解获得原问题的最优解。

重叠子问题：适合用动态规划算法去求解的最优化问题应该具备的第二个性质是问题的子问题空间必须足够”小“，也就是说原问题递归求解时会重复相同的子问题，而不是一直生成新的子问题。

动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。

本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。

二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。

其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。

具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。

这种分解可以通过递归的方式进行。

2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。

状态具有明确的定义和可计算的表达式。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。

这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。

4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。

三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。

假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。

目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。

这个问题可以通过动态规划算法来求解。

具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。

（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。

（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。

2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。

动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。

在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。

一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。

例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。

使用动态规划方法来解决LCS问题。

首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。

然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。

2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。

3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。

最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。

二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。

在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。

具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。

一种解决方案是使用动态规划方法。

定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。

然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。

2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。

最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。

三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。

它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。

对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。

动态规划算法有啥用途动态规划算法是一种常用的优化算法，可以在时间和空间上实现高效的计算。

它适用于一系列问题，包括最优化问题、决策问题和计数问题等。

动态规划算法通常用于问题具备「无后效性」（无后效性是指问题的当前状态不会受到未来状态的影响）和「最优子结构」（问题的最优解可以由子问题的最优解推导得到）的情况下。

基本思想是将原问题划分为若干子问题，逐个求解子问题，再根据子问题的最优解推导出原问题的解。

下面将介绍几个典型的应用场景：1. 最短路径问题：最短路径问题是图论中的经典问题，动态规划算法可以高效地解决。

通过构建状态转移方程，可以递推求解从起点到终点的最短路径。

2. 最长公共子序列问题：最长公共子序列问题在字符串处理中非常常见，例如求两个字符串的最长公共子序列长度。

动态规划算法可以通过构建状态转移方程来高效地求解。

3. 背包问题：背包问题是一类经典的组合优化问题，常见的有0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。

动态规划算法可以用来求解背包问题的最优解。

4. 最大子数组和问题：最大子数组和问题是在一个数列中找到一个连续子数组，使得子数组元素的和最大。

动态规划算法可以用来高效地求解最大子数组和。

5. 最长递增子序列问题：最长递增子序列问题即求解一个序列中最长的子序列，满足子序列中的元素从左到右递增。

动态规划算法可以高效地求解最长递增子序列的长度。

6. 矩阵链乘法问题：矩阵链乘法问题是矩阵计算中常见的优化问题，即给定一系列矩阵，求解它们相乘的最少次数。

动态规划算法可以用来高效地解决该问题。

7. 0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定的一组物品中，每个物品可以选择放入背包或不放入背包，目标是使得背包中物品的总价值最大，且背包的容量不能超过一个给定的值。

动态规划算法可以用来求解该问题的最优解。

8. 最大子矩阵和问题：最大子矩阵和问题是在一个二维矩阵中寻找一个子矩阵，使得子矩阵元素的和最大。

动态规划算法可以用来高效地求解最大子矩阵和。

动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。

（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。

⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。

⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。

动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。

这样就能够从表中得到原始问题的解。

（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。

关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。

⽽在各阶段中。

⼈们都须要作出⽅案的选择。

我们称之为决策。

⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。

这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。

因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。

因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。

每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。

我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。

因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。

经常是⼈们所关⼼的问题。

我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。

（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。

在⾼负荷下⽣产时。

产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y的关系为h=h(y)。

动态规划应用案例动态规划是一种解决复杂问题的优化算法。

它通过将问题拆分成多个子问题，并记录每个子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。

在实际应用中，动态规划被广泛用于解决各种问题，包括最优化问题、路径搜索问题、序列问题等。

本文将介绍几个动态规划的应用案例，以展示其在实际问题中的强大能力。

案例一：背包问题背包问题是动态规划中经典的一个例子。

假设有一个背包，容量为V，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。

要求在不超过背包容量的前提下，选取一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。

这个问题可以用动态规划来解决。

首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)最后，根据状态转移方程，可以循环计算出dp[n][V]的值，即背包中物品总价值的最大值，从而解决了背包问题。

案例二：最长递增子序列最长递增子序列是指在一个序列中，选取一些数字，使得这些数字按照顺序排列，且长度最长。

动态规划也可以应用于解决最长递增子序列问题。

假设有一个序列nums，长度为n。

定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。

案例三：最大子数组和最大子数组和问题是指在一个数组中，选取一段连续的子数组，使得子数组的和最大。

动态规划也可以用于解决最大子数组和问题。

假设有一个数组nums，长度为n。

定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最大子数组的和。

动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。

动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。

以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。

它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。

可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。

2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。

0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。

完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。

3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。

4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。

5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。

以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。

例谈四种常见的动态规划模型动态规划是解决多阶段决策最优化问题的一种思想方法，本文主要结合一些例题，把一些常见的动态规划模型，进行归纳总结。

（一）、背包模型可用动态规划解决的背包问题，主要有01背包和完全背包。

对于背包的类型，这边就做个简单的描述：n个物品要放到一个背包里，背包有个总容量m，每个物品都有一个体积w[i]和价值v[i]，问如何装这些物品,使得背包里放的物品价值最大。

这类型的题目，状态表示为：f[j]表示背包容量不超过j时能够装的最大价值，则状态转移方程为：f[j]:=max{f[j-w[i]]+v[i]},边界：f[0]:=0;简单的程序框架为：beginreadln(m,n);for i:=1 to n do readln(w[i],v[i]);f[0]:=0;for i:=1 to m dofor j:=1 to n dobeginif i>=w[j] then t:=f[i-w[j]]+v[j];if t>f[i] then f[i]:=t;end;writeln(f[m]);end.这类型的题目应用挺广的（noip1996提高组第4题，noip2001普及组装箱问题，noip2005普及组采药等），下面一个例子，也是背包模型的简单转化。

货币系统(money)【问题描述】母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。

他们对货币的数值感到好奇。

传统地，一个货币系统是由1，5，10，20或25，50，100的单位面值组成的。

母牛想知道用货币系统中的货币来构造一个确定的面值，有多少种不同的方法。

使用一个货币系统{1,2,5,10,..}产生18单位面值的一些可能的方法是:18×1,9×2,8×2+2×1,3×5+2+1等等其它。

写一个程序来计算有多少种方法用给定的货币系统来构造一个确定的面值。

【输入格式】货币系统中货币的种类数目是v(1≤v≤25)；要构造的面值是n(1≤n≤10,000)；第1行:二个整数，v和n；第2..v+1行：可用的货币v个整数(每行一个)。

常见动态规划题⽬详解1.爬楼梯题⽬描述：假设你正在爬楼梯。

需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。

你有多少种不同的⽅法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是⼀个正整数。

⽰例 1：输⼊： 2输出： 2解释：有两种⽅法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶2. 2 阶⽰例 2：输⼊： 3输出： 3解释：有三种⽅法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶2. 1 阶 + 2 阶3. 2 阶 + 1 阶实现代码：class Solution {public:int climbStairs(int n) {vector<int> a(n);a[0] = 1;a[1] = 2;if(n == 1){return 1;}if(n == 2){return 2;}for(int i = 2; i < n;i++){a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];}return a[n - 1];}};2.变态跳台阶题⽬描述：⼀只青蛙⼀次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。

求该青蛙跳上⼀个n级的台阶总共有多少种跳法。

实现代码：class Solution {public:int jumpFloorII(int number) {if(number == 0){return 0;}int total = 1;for(int i = 1; i < number; i++){total *= 2;}return total;}};3.n年后⽜的数量题⽬描述：假设农场中的母⽜每年会产⽣⼀头⼩母⽜，并且永远不会死。

第⼀年农场中只有⼀头成熟的母⽜，第⼆年开始，母⽜开始⽣⼩母⽜，每只⼩母⽜三年之后成熟⼜可以⽣⼩母⽜，给定整数N，求N年后母⽜的数量。

实现代码：class solution{　public: int f(int n){ if(n < 1){ return 0; } if(n == 1|| n== 2||n == 3){ return n; } int res = 3; int pre = 2; int prepre = 1; int tmp1=0; int tmp2 = 0; for(int i = 4;i < n;i++){ tmp1 = res; tmp2 = pre; res = pre + prepre; pre = tmp1; prepre = tmp2; } return res; }};4.矩形覆盖题⽬描述：我们可以⽤2*1的⼩矩形横着或者竖着去覆盖更⼤的矩形。

动态规划是一种用于解决最优化问题的算法。

它通常用于找到最小或最大值。

这里列举了12 个常见的动态规划算法，并给出了每个算法的举例：
1 最长公共子序列（LCS）算法：用于比较两个序列，找出它们之
间的最长公共子序列。

2 最小编辑距离算法：用于比较两个字符串，找出将一个字符串变
为另一个字符串所需的最少编辑操作次数。

3 背包问题算法：用于在限制给定的总体积的情况下选择最优的物
品组合。

4 最短路径算法：用于求解有向图或路径的最短路径。

5 最小生成树算法：用于求解图的最小生成树。

6 线性规划算法：用于求解线性规划问题。

7 矩阵链乘法算法：用于计算矩阵链乘法的最优计算次序。

8 单源最短路径算法：用于求解有向图的单源最短路径问题。

9 拓扑排序算法：用于对有向无环图（DAG）进行拓扑排序。

10图形相似性算法：用两个图形进行对齐，并通过比较它们之间的差异来评估它们的相似程度。

11 11 区间动态规划算法：用于解决区间动态规划问题，例如
最小编辑代价问题。

12 分数背包问题算法：用于在限制给定的总价值的情况下选择
最优的物品组合。

13这些算法的具体细节及实现方式可以通过搜索或者学习相
关的资料来了解。

数据结构之动态规划动态规划的基本思想和常见应用场景动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决复杂问题的方法。

它的基本思想是利用已解决过的子问题的解来求解当前问题的解，从而避免重复计算，提高算法效率。

动态规划的应用广泛，可以用于解决一些优化问题、最优化问题以及组合优化问题等。

动态规划的基本思想可以用以下三个步骤来概括：1. 定义子问题：将原问题划分为一个或多个子问题，并找到它们之间的关系。

2. 构建状态转移方程：根据子问题之间的关系，找到问题的递推关系，将问题转化为子问题的解。

3. 解决问题：通过递推计算或者自底向上的方法，求解问题的最终解。

动态规划的核心是状态转移方程。

状态转移方程描述了子问题与原问题之间的关系，通过它可以求解原问题的解。

在构建状态转移方程时，需要考虑如何选择最优子结构并进行状态转移，以及确定初始状态和边界条件。

动态规划常见的应用场景包括：1. 最优化问题：如最短路径问题、最长递增子序列问题、背包问题等。

这类问题中，动态规划可以帮助我们找到最优解。

2. 组合优化问题：如旅行商问题（TSP）、任务分配问题等。

这类问题中，动态规划可以帮助我们找到最佳的组合方案。

3. 概率计算问题：如概率图模型中的推断问题、隐马尔可夫模型中的预测问题等。

这类问题中，动态规划可以帮助我们计算复杂的概率。

举例来说，我们可以通过动态规划求解最长递增子序列问题。

给定一个序列，我们希望找到其中最长递增的子序列的长度。

首先，定义状态dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。

然后，我们可以根据dp[i-1]和第i个元素的大小关系来更新dp[i]的值，即dp[i]= max(dp[i], dp[j]+1)，其中j为i之前的某个位置，且nums[j] < nums[i]。

最后，我们通过遍历数组，找到dp数组中的最大值，即可得到最长递增子序列的长度。