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数学建模的基本方法与实例数学建模是一种通过数学模型来解决实际问题的方法。
它在现代科学研究和工程实践中扮演着重要的角色。
本文将介绍数学建模的基本方法，并通过实例来详细说明。
一、问题分析在进行数学建模之前，首先需要对问题进行分析和理解。
这包括明确问题的背景、确定问题的目标以及收集问题所需数据等。
通过充分了解问题，我们可以更加准确地进行建模和求解。
二、建立模型在问题分析的基础上，我们需要建立适当的数学模型来描述和解决问题。
数学模型是对实际问题的抽象和简化，它包括变量、参数、约束条件和目标函数等要素。
常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、动态规划模型等。
以线性规划模型为例，其数学形式为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中，c₁、c₂、...、cₙ分别为模型的目标函数系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的右侧常数。
三、求解模型建立完数学模型后，下一步是求解模型以得到问题的最优解。
对于不同类型的模型，可以使用不同的数学方法和工具来求解。
常见的方法包括线性规划的单纯形法、非线性规划的梯度法、动态规划的最优控制理论等。
四、模型验证与分析求解完模型后，需要对结果进行验证和分析。
这包括检验模型的可行性、灵敏度分析以及结果的解释和实际应用等。
通过对模型结果的分析，可以判断模型的有效性和可靠性。
接下来，让我们通过一个实例来具体说明数学建模的过程。
实例：某物流公司的货物配送问题某物流公司需要合理安排货物的配送路线，以最小化配送时间并满足客户的需求。
假设有n个客户需要送货，每个客户的货物量不同，同时每个客户的配送时间窗口也不同。
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
数学建模案例之多变量无约束最优化问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价（MSRP）为339美元。
另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。
公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。
在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。
据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。
而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。
据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
问题是：每种彩电应该各生产多少台？清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？1．问题分析、假设与符号说明这里涉及较多的变量：s：19英寸彩电的售出数量（台）；t：21英寸彩电的售出数量（台）；p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；C：生产彩电的成本（美元）；R：彩电销售的收入（美元）；P：彩电销售的利润（美元）这里涉及的常量有：两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。
变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。
假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
因此，19英寸彩电的销售价格为：p=339 - a ×s - 0.03×t ，此处a=0.0121英寸彩电的销售价格为：q=399 - 0.01×t - 0.04×s因此，总的销售收入为：R=p ×s + q ×t生产成本为：C=400000 + 195×s + 225×t净利润为：P = R - C因此，原问题转化为求s ≥0和t ≥0，使得P 取得最大值。
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
（4）策略 一个由每个阶段的决策按顺序排列组成的集合称为策略。
由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为)}(,),(),({)(11n n k k k k k k x u x u x u x p Λ++=。
在实际问题中，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合。
其中达到最优效果的策略称为最优策略。
（5）状态转移方程 如果第k 个阶段状态变量为k x ，作出的决策为k u ，那么第1+k 阶段的状态变量1+k x 也被完全确定。
用状态转移方程表示这种演变规律，写作(1k k T x =+k x ，)k u（6）最优值函数 指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是用来衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上。
指标函数的最优值称为最优值函数。
下面的方程在动态规划逆序求解中起着本质的作用。
⎪⎩⎪⎨⎧-===+=+++++∈1,,1,),,(,0)()],())(,([min )(11111)(Λn n k u x T x x f x f x u x v x f k k k k n n k k k k k k x D u k k k k k称此为动态规划逆序求解的基本方程（贝尔曼方程）。
可以把建立动态规划模型归纳成以下几个步骤：（1）将问题恰当地划分为若干个阶段；（2）正确选择状态变量，使它既能描述过程的演变，又满足无后效性；（3）规定决策变量，确定每个阶段的允许决策集合；（4）写出状态转移方程；（5）确定各阶段各种决策的阶段指标，列出计算各阶段最优后部策略指标的基本方程。
下面结合具体例子阐述建立动态规划模型的思路。
例13 生产计划问题。
公司要对某产品制定n 周的生产计划，产品每周的需求量、生产和贮存费用、生产能力的限制、初始库存量等都是已知的，试在满足需求的条件下，确定每周的生产量，使n 周的总费用最少。
决策变量是第k 周的生产量，记作),,2,1(n k u k Λ=。
已知下列数据及函数关系：第k 周的需求量k d ：第k 周产量为k u 时的生产费为)(k k u c ；第k 周初贮存量为k x 时这一周的贮存费为)(k k x h ；第k 周的生产能力限制为k U ；初始（0=k ）及终结（n k =）时贮存量均为零。
按照最短路问题的思路，设从第k 周初贮存量为k x 到（n 周末）过程结束的最小费用函数为)(k k x f ，则下列逆向递推公式成立。
⎪⎩⎪⎨⎧=⋯=∈++=++++≤≤0)(1,2,,)]()()([min )(11110n n k k k k k k k k U u k k x f n k X x x f x h u c x f k k ， (1)而k x 与1+k x 满足 ⎩⎨⎧==⋯=-+=++012,,111n k k k k x x n k d u x x ，， (2)这里贮存量k x 是状态变量，（2）式给出了相邻阶段的状态在决策变量作用下的转移规律，称为状态转移规律。
在用（1）式计算时，k x 的取值范围——允许状态集合k X 由（2）式及允许决策集合)0(k k U u ≤≤决定。
在实际问题中，为简单起见，生产费用常取)(k k u c ，0=k u ；k k k cu a u c +=)(，0>k u ，其中c 是单位产品生产费，而a 是生产准备费。
贮存费用常取k k k hx x h =)(，h 是单位产品（一周的）贮存费。
最优方程（1）和状态转移方程（2）构成了这个多阶段决策问题的动态规划模型。
实际上，多阶段决策问题有时也可用静态规划方法求解，如例2的生产计划问题。
例14 资源分配问题。
总量为1m 的资源A 和总量为2m 的资源B 同时分配给n 个用户，已知第k 用户利用数量k u 的资源A 和数量k v 的资源B 时，产生的效益为),(k k k v u g ，问如何分配现有资源使总效益最大。
这本来是个典型的静态规划问题：∑==nk k k k v u g Z Max 1),( (1)∑=≥=n k k k u m ut s 110,.. （2） ∑=≥=n k k k v m v120, （3）但是当k g 比较复杂及n 较大时，用非线性规划求解是困难的，特别是，若k g 是用表格或图形给出而无解析表达式时，则难以求解。
而这种情况下，将其转化为动态规划，是一种可行的方法。
资源A ，B 每分配给一个用户划分为一个阶段，分配给第k 用户的数量是二维决策变量),(k k v u ，而把向第k 用户分配之前，分配者手中掌握的资源数量作为二维状态变量，记作),(k k y x ，这样，状态转移方程应为⎩⎨⎧-=-=++k k k k k k v y y u x x 11 （4） 最优值函数),(k k k y x f 定义为将数量),(k k y x 的资源分配给第k 至第n 用户时能获得的最大效益，它满足最优方程⎪⎩⎪⎨⎧=⋯=≤≤≤≤+=++++≤≤≤≤0)0,0(1,2,,,0,0)],,(),([max ),(12111100n k k k k k k k k y v x u k k k f n k m y m x y x f v u g y x f k k k k（5）对于由（4），（5）式构成的动态规划模型，不需要),(k k k v u g ,),(k k k y x f 的解析表达式，完全可以求数值解。
例15 系统可靠性问题。
一个系统由若干部件串联而成，只要有一个部件故障，系统就不能正常运行。
为提高系统的可靠性，每个部件都装置备用件，一旦原部件故障，备用件就自动进入系统。
显然，备用件越多，系统可靠性越高，但费用也越大，那么在一定的总费用限制下，如何配置各部件的备用件，使系统的可靠性最高呢？设系统有n 个部件，当部件k 装置k u 个备用件时，这个部件正常工作的概率为)(k k u p 。
而每个备用件的费用为k c ，另外设总费用不应超过C 。
这个优化问题的目标函数是系统正常运行的概率，它等于n 个串联部件正常工作的概率的乘积。
约束条件是备用件费用之和不应超过C ，决策变量是各部件的备用件数量，于是问题归结为X nk k k u p Z Max 1)(== （1）∑==n k k k ku C u c t s 1,..为非负整数 （2）这个非线性规划转化为动态规划求解比较方便。
按照对n 个部件装置备用件的次序划分阶段，决策变量仍为部件k 的备用件数量k u ，而状态变量选取装配部件k 之前所容许使用的费用，记作k x ，于是状态转移方程为k k k k u c x x -=+1 （3）最优值函数)(k k x f 定义为状态k x 下，由部件k 到部件n 组成的子系统的最大正常工作概率，它满足)]()([)(11)(++∈⋅=k k k k x U u k k x f u p Max x f k k k （4） ], /c ,0[{)(k k x u u x U k k k k ∈=且为正整数}, 12,0，，，⋯=≤≤n k C x k 1)(11=++n n x f （5）注意，这个动态规划模型的最优方程（4）中，阶段指标)(k k u p 与最优值函数)(11++k k x f 之间的关系是相乘，而不是例13~15中的相加，这是由“两事件之交的概率等于两事件概率之积”这一性质决定的。
与此相应，最优值函数的初始条件1)(11=++n n x f 等于1。
例16 任务均衡问题。
一批任务由若干设备完成，问题是如何均衡地向每个设备分配各项任务，使这批任务尽早地完成。
例如一高层（设N 层）办公大楼有n 部性能相同的电梯，为了在早高峰期间尽快地将乘客送到各层的办公室，决定各部电梯分段运行，即每部电梯服务一定的层段。
假定根据统计资料，已知一部电梯从第i 层次开始服务j 层所需要的时间为ij t ，问如何安排这些电梯服务的层段，使送完全部乘客的时间最短。
按照由下而上安排电梯服务层次的序号划分阶段n k ,,2,1Λ=。
第k 部电梯（即第k 阶段）开始服务的层次为状态k x ，它服务的层数为决策k u ，满足k k k u x x +=+1 （1） 当i x k =，j u k =时，已知第k 部电梯服务的时间为ij k k k t u x v =),(。
因为对于第l k ,两部电梯而言，总的服务时间为)],(),,([l l l k k k u x v u x v Max ，所以最优值函数)(k k x f （即从第k 部到第n 部电梯总的最短服务时间）满足)]}(),,({max[min )(11)(++∈=k k k k k x U u k k x f u x v x f k k k }1)(,,2,1|{)(+---⋯==k n x N u u x U k k k k k 1,2,,,,3,2ΛΛn k N x k == （2） 0)1(1=++n f n （3） 这里我们假定每部电梯至少服务1层，且从第2层起开始服务。
