现代控制理论7.6 动态规划与离散系统最优控制

多阶段决Fra bibliotek问题(4/12)
� 通过分析发现 , 另一种求最短时间行 车路线方法的是: � 从最后一段开始 , 先分别算出 x1(3)站和 x2(3)站到终点 F的最短 时 间 , 并 分 别 记 为 J[x1(3)] 和 J[x2(3)]。 � 实际上,最后一段没有选择的余地。 � 因此,由图7-10可求得 J[x1(3)]=4, J[x2(3)]=3
最优性原理与离散系统的动态规划法(3/3)
� 下面分别介绍 � 多阶段决策问题 � 最优性原理一般问题的问题描述 � 离散系统的动态规划法
多阶段决策问题(1/12)
1. 多阶段决策问题
� 在讨论动态规划法之前,先考察一个简单的最短时间行车问 题,简称行车问题。
� 例 如图7-10所示,某交通工具从S 站出发,终点为F站,全程可
多阶段决策问题(9/12)
1) 与穷举法相比,动态规划法可使计算量大为减少。 � 事实上, 用动态规划法解多阶段决策问题,只需作一 些简单的、非常有限的加法运算和求极大运算。 � 如对一个有 n 个阶段 ,除最后一段外每一个状态下一 步有 m 种可能决策方案的多阶段决策问题 , 共需作 (n-2)m2+m=(mn-2m+1)m 次 加 法 运 算 , 以 及 (mn2m+1)(m-1)次从二取一的极大运算 � 而对穷举法, 则需作 m× mn-2× (n-1)=mn-1(n-1)次 加法运算和mn-1-1次的从二取一的极大运算。 � 如对前面的 n=4,m=2的最短时间行车问题 ,用动态规 划法求解共需作10次加法运算和5 次从二取一的极 大运算。而用穷举法求解,则分别为24次和8次。
� 基于对多阶段决策过程的研究,贝尔曼在20世纪50年代首先 提出了求解离散多阶段决策优化问题的动态规划法。 � 如今,这种决策优化方法在许多领域得到应用和发展,如 在生产计划、资源配置、信息处理、模式识别等方面都 有成功的应用。 � 下面要介绍的是,贝尔曼本人将动态规划优化方法成功 地应用于动态系统的最优控制问题,即构成最优控制的 两种主要求解方法之一的最优控制动态规划法。
Ch.7 最优控制原理
目录(1/1)
目 录
7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结
动态规划与离散系统最优控制(1/3)
7.6 动态规划与离散系统最优控制
多阶段决策问题(7/12)
� 类似于前面过程 , 其他各站到终 点的最短时间和相应的行车路 线如图图7-11所示. � 从图7-11 可以很方便地得到各站到终点站F的最短时间 行车路线和所耗费的行车时间, 当然, 也可以得到从起点 站S到终点站F的最短时间行车路线和所耗费的行车时间。
多阶段决策问题(8/12)
多阶段决策问题(10/12)
� 因此,动态规划法在减少计算量上的效果是显著的。 � 阶段数 n 越大, 决策方案 m越多 ,则动态规划法的优点 更为突出。 � 如对 n=10,m=4 的多阶段决策问题 , 用动态规划 法求解共需作132 次加法运算和 33 次从二取一 的极大运算,而用穷举法求解分别为2359296次 和262143次。 � 因此,动态规划法的效果是非常显著的。
多阶段决策问题(12/12)
3) 由图7-11可知,与从起点S至终点F的最优路线{S,x2(1), x1(2),x2(3),F}相对应的,该最优路线的从x2(1)站至终点F 的部分路线{x2(1),x1(2),x2(3),F}是从x2(1)站至终点F的最 优路线。 � 类似地,从x1(2)站至终点F的最优路线{x1(2),x2(3),F} 是从起点S至终点F的最优路线 {S,x2(1),x1(2),x2(3),F}的一部分,也是从x2(1)至终点F 的最优路线{x2(1), x1(2),x2(3),F}的一部分。 � 对于多阶段决策问题,最优路线和最优决策具有这 种性质不是偶然的,而反映了该问题的一种规律性, 即所谓的贝尔曼的最优性原理。 � 它是动态规划法的核心。
最优性原理一般问题的问题描述(1/22)
2. 最优性原理一般问题的问题描述
� 现在正式阐述动态规划的基本原理。 � 在引进一些专门的名词之后 , 先叙述所要求解的多阶段 决策问题 , 接着给出和证明动态规划法的核心问题最优 性原理, 并应用这一基本原理求解多阶段决策过程, 并将 该求解方法推广至在离散系统最优控制问题。 � 下面将在函数空间中描述N阶段的决策过程,为此先引进下述 概念与定义。 1) 状态向量x(k),表示过程在k时刻的状态。对控制问题 , 相 当于状态变量向量。
动态规划与离散系统最优控制(2/3)
� 离散系统的控制问题为人们所重视的原因有二。 1) 有些连续系统的控制问题在应用计算机控制技术、数字 控制技术时,通过采样后成为离散化系统, � 如许多现代工业控制领域的实际计算机控制问题。 2) 有些实际控制问题本身即为离散系统, � 如某些经济计划系统、人口系统的时间坐标只能以 小时、天或月等标记; � 再如机床加工中心的时间坐标是以一个事件(如零 件加工活动)的发生或结束为标志的。
多阶段决策问题(3/12)
� 在该行车问题中 , 阶段数 n=4, 需作 n1=3次决策。 � 由于每次决策只有两种可能的 选择 ,3 次选择共有 2n-1=23=8种 不同的行车路线。 � 因此,计算8种不同的行车路线所耗费的总行车时间 ,取最 小者即可求出最短时间行车路线。 � 若行车问题需作决策的阶段数 n 较大 , 每次决策中可供选 择的方案较多时 , 用上述穷举法来解决最短行车时间问 题计算量非常大。 � 一般说来 ,用穷举法计算时间与作决策的阶段数 n和每次 决策中可供选择的方案数成指数关系 , 即通常所称的指 数爆炸、维数灾难。
多阶段决策问题(5/12)
� 为便于今后求解过程的应 用,可将从 x1(3)站和x2(3)站 到终点的最短时间 J[x1(3)] 和J[x2(3)]的数值标记于代 表该站的小圆圈内 , 如图711所示。 � 其他站的情况依此类推。
图 7-11 最优行车路线图
多阶段决策问题(6/12)
� 由此向后倒推,继续考察倒数第2 段,计算x1(2)站和x2(2)站到终点F 的最短时间 , 并分别记为 J[x1(2)] 和J[x2(2)]。 � 由图7-10可知, 从 x1(2)站到达终点F的路线中下一站只能 是x1(3)站和x2(3)站中之一。 � 由于从x1(3)站和 x2(3)站分别前往终点的最短时间已经计 算出,因此,从x1(2)站和x2(2)到终点的最短时间分别为 J[x1(2)]=min{1+J[x1(3)],1+J[x2(3)]}=4 J[x2(2)]=min{2+J[x1(3)],2+J[x2(3)]}=5 其相应的最短时间行车路线为 {x1(2),x2(3),F}和 {x2(2),x2(3), F}。
� 前面讨论了连续系统最优控制问题的基于经典变分法和庞特 里亚金的极大值原理的两种求解方法。 � 所谓连续系统 , 即系统方程是用线性或非线性微分方程 描述的动态系统。 � 该类系统的控制问题是与传统的控制系统和控制元件的 模拟式实现相适应的 , 如模拟式电子运算放大器件、模 拟式自动化运算仪表、模拟式液压放大元件等。 � 随着计算机技术的发展及计算机控制技术的日益深入 , 离散系统的最优控制问题也必然成为最优控制中需深入 探讨的控制问题 , 而且成为现代控制技术更为关注的问 题。
最优性原理与离散系统的动态规划法(2/3)
� 动态规划的核心是贝尔曼最优性原理。 � 这个原理归结为一个基本的递推公式,求解多阶段决策 问题时,要从末端开始,逆向递推,直至始端。 � 动态规划的离散基本形式受到问题的维数的限制,应用 有一定的局限性。 � 但是,它用于解决线性离散系统的二次型性能指标的最 优控制问题特别有效。 � 至于连续系统的最优控制问题的动态规划法,不仅是一 种可供选择的有充分性的最优控制求解法,它还揭示了 动态规划与变分法、极大值原理之间的关系,具有重要 的理论价值。
多阶段决策问题(11/12)
2) 用动态规划法求解多阶段决策问题的思路是: � 为最后求出由起点S至终点F的最优路线,先逆向递 推求出各状态至终点F的最优路线。 � 在取得当前状态到终点的极值时,只需要知道当前 状态值和上一次的最优(集合)值,就可以得到当前的 最优值,并作为下一次优化的初始数据。 � 贝尔曼的最优性原理就是运用这个原理给出递推方 法的。
� 上述最短行车时间路线问题及其求解方法可以推广到许多多 阶段决策优化问题, 如建筑安装工期计划、经济发展计划、 资源合理配置等, 其相应的最优性指标可以为所耗费的时间 最短,也可以为所耗费的能源最小、所得到的效益最好等。 � 因此 , 前面介绍逆向递推求解最优化问题的方法是一种 具有普遍性意义的多阶段决策优化方法 , 称为动态规划 法。 � 从上述解题的叙述过程可以看出 , 动态规划法具有如下 特点。
分为4段。 � 中间可以经过的各站及 它们之间的行车时间均 已标记在图上。 � 试求最短行车时间的行 车路线。
图 7-10 某行车路线图
多阶段决策问题(2/12)
� 由 S站出发至终点 F站可有多种不同 的行车路线 ,沿各种行车路线所耗费 的时间不同。 � 为使总的行车时间最短, 司机在 路程的前3段要作出3次决策。 � 也就是说,一开始司机要在经过x1(1)站还是x2(1)站两种情 况中作出决策。 � 到x1(1)站或 x2(1)后,又面临下一站是经过 x1(2)站还是 x2(2)站的第2次决策。 � 同样,在后续的每个阶段都要作出类似的决策。
动态规划与离散系统最优控制(3/3)
� 本节将介绍解决离散系统最优控制的强有力工具--贝尔曼动 态规划,以及线性离散系统的二次最优控制问题。 � 内容为 � 最优性原理与离散系统的动态规划法 � 线性离散系统的二次型最优控制