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①求向量 a 与 b 的夹角;
②求|3a+b|的值.
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专题一
专题二
专三题三
(1)解析:方法一:由已知可得 PO=������2������=3,OM=ON=2.
������������ ·������������=(������������ + ������������)·(������������ + ������������)
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专题一
专题二
专三题三
例 (1)如图,AB 是圆 O 的直径,点 P 是圆弧������������上的点,M,N 是直 径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则������������ ·������������等于( )
A.13
B.7
C.5
D.3
(2)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7.
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 12a-b,
在△DMN 中,������������ = ������������ − ������������ = 1a-b-1a=1a-b,
2 44
在△MNC 中,������������ = ������������ − ������������ = 14a-14a+b=b,
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专题一
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专题三
专题一 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性 运算. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、 运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. 3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定 理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性 运算的基础.
(1)求点 D 的坐标;
(2)用������������, ������������表示������������.
解:(1)设 D(x,y),则������������=(1,2),
������������ =(x+1,y).
所以������������ ·������������=x+1+2y=5,①
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专三题三
专题二 平面向量的数量积及其应用 1.求两个向量的数量积主要有三种方法:(1)定义法,a·b=|a||b|cos θ;(2)向量分解法,即将欲求数量积的两个向量都用已知向量(模已 知,夹角已知)为基底进行分解,然后根据数量积运算的性质及运算 律计算;(3)坐标运算法,即将向量建立到坐标系中,求出向量的坐标, 然后进行计算. 2.向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量 的夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两个 向量垂直、平行、求两个向量的夹角、计算向量的长度等.
当点 D 的坐标为(2,1)时,设������������=p������������+q������������,
则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
所以 -2 = ������ + 3������,所以 ������ = 1,
1 = 2������ + ������,
������ = -1.
=|������������|2+������������ ·������������ + ������������ ·������������ + ������������ ·������������
设������������=m������������+n������������,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).
所以 -2 = ������-������, 所以 ������ = -1, 1 = 2������ + 3������, ������ = 1.
所以������������=-������������ + ������������;
������������ =(x+1)2+y2=10.②
联立①②,解得
������ = -2, 或 ������ D 的坐标为(-2,3)或(2,1).
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(2)当点 D 的坐标为(-2,3)时,������������=(1,2),������������=(-1,3),������������=(-2,1).
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专题二
例1
专题三
如图,四边形 ABCD 是梯形,AB∥DC,且 AB=2CD,M,N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知������������=a,������������=b,求������������, ������������.
分析:本题要求用 a,b 表示������������和������������,而 a,b 不共线,由平面向量 基本定理,知此平面内任何向量都可用 a,b 唯一表示,因此需结合图 形寻找������������, ������������与 a,b 的关系.
所以������������ = ������������ − ������������.
所以,当点 D 的坐标为(-2,3)时,������������=-������������ + ������������,
当点 D 的坐标为(2,1)时,������������ = ������������ − ������������.
解:
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专题三
如图,连接 DN,CN.
∵N 为 AB 的中点,且������������=a,
∴������������ = ������������ = 1a.
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又 AB=2CD,且 AB∥CD,
∴������������ = ������������ = 12a.∴������������ = ������������ = 14a.
在△NBC 中,������������ = ������������ − ������������=b-12a.
∴������������=-1a+b,������������ = 1a-b.
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专题三
变式训练 1 已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且������������ ·������������=5,������������2=10.
