1.巧用勾股定理解决折叠与展开问题

巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。

今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。

本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。

关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。

方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。

利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。

三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。

折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。

用勾股定理求折叠问题在我们的生活中，折叠这个话题其实还挺有趣的。

咱们常常看到衣服、纸张、甚至是一些奇奇怪怪的东西需要折叠，这时候大家可能会想，这折叠的过程究竟有什么奥秘呢？说到这，不得不提到勾股定理，嘿嘿，这可是个神奇的工具，能帮我们解决不少麻烦。

想象一下，一张纸对折成两半，然后又折叠成小小的四分之一，最后一摞起来，哇，简直就是艺术品！不过，折叠过程中其实也藏着不少数学的智慧，咱们来聊聊。

折叠的时候，纸张的边边角角往往会形成一些三角形。

大家想象一下，咱们把一张长方形的纸对折，形成一个小长方形。

这个时候，长方形的对角线就出现了。

哎呀，看到这个对角线，是不是瞬间有种“哈，这不就是勾股定理的舞台吗？”的感觉？对角线的长度其实就可以用勾股定理来计算，听起来有点复杂，但其实很简单。

长方形的长和宽就像是直角三角形的两条直角边，而对角线就是斜边。

只要用长方形的长和宽平方相加，再开根号，就能得到对角线的长度。

简单吧？就像把一根香肠切成两段，轻松搞定。

说到这里，想想在学校的时候，老师讲这道题时，我们是不是都在心里默念“能不能快点啊，我还想出去玩呢？”勾股定理不只是数学课堂上的干货，在生活中也能派上大用场。

你有没有试过把一张纸折成一个小飞机？这个小飞机的翅膀得对称，要不然飞不起来。

你在折的时候，恰好就用上了勾股定理，找准了折叠的角度和位置，嘿，飞机飞得可远了。

再说说折叠衣服，那可是个技术活。

有时候一堆衣服像小山一样堆在角落，简直是“山重水复疑无路”的状态。

于是，咱们用折叠的技巧，把它们理顺。

每次折叠时，心里默念“衣服的宽和长能不能形成一个完美的直角三角形呢？”折得越整齐，找衣服的时候就越方便。

这时候，勾股定理又在你耳边悄悄响起，想想每一件衣服的边缘，就像是一个个小三角形，堆在一起形成了一个大矩形，真是让人感叹，折叠这门艺术，简直太精彩了！然后，咱们还可以想象一下折叠纸飞机的场景。

拿出一张纸，开始在手中翻飞，折啊折，最后变成一只酷炫的纸飞机，准备起飞。

典中点勾股定理专训3 利用勾股定理巧解折叠问题◐名师点金◑折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线对称,解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等的性质探索折叠中的变化规律.利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角.2.在图形中找到一个直角三角形,然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x的式子表示出来.3.利用勾股定理列方程求出x.4.进行相关计算解决问题.典例剖析：如图,纸片ABCD为长方形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上的E处,折痕为AF.已知AB=10,AD=8.(1)求BF的长； (2)求折痕AF的长。

解题秘方:翻折问题常常在三角形和四边形中出现,翻折前后的两个图形是全等图形,利用翻折求线段长时,一般都利用勾股定理建立方程模型解决问题。

技巧1：巧用对称法求折叠中线段的长1.在△ABC中,∠C=90°,AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把△ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B′(1)如图①,如果点B′和顶点A重合,求CE的长；(2)如图②,如果点B′是AC的中点,求CE的长。

2.如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B处,点A落在点A'处。

(1)求证B'E=BF； (2)若AE=3,AB=4,求BF的长。

技巧2：巧用方程思想求折叠中线段的长3.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG。

(1)求证△ABC≌△AFG； (2)求BG的长。

4.如图,在长方形ABCD中,AB=8，BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE,BE分别与CD相交于点O,F,且OE=OD,求AP的长。

技巧3：巧用折叠探究线段之间的数量关系5.如图,将长方形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E,交BC于点F,连接CE。

八年级折叠问题解题技巧一、折叠问题的基本性质1. 对应边相等在折叠过程中，折叠前后重合的边长度相等。

例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，那么折叠后重合的两条边是相等的。

例如，在矩形ABCD中，将矩形沿着对角线AC折叠，那么AB = AF（假设F是B折叠后的对应点）。

2. 对应角相等折叠前后重合的角是相等的。

比如将一个四边形进行折叠，原来的角和折叠后对应的角大小相同。

如在上述矩形折叠的例子中，∠B = ∠F，∠BAC = ∠FAC。

3. 对称轴垂直平分对应点连线如果沿着直线l折叠，A点折叠后得到A'点，那么直线l垂直平分AA'。

这一性质在解决折叠问题中常常用于构建直角三角形等。

二、解题技巧与题目解析1. 利用勾股定理求解折叠后的线段长度题目：如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A落在边CD上的点F处。

求CF的长。

解析：因为矩形ABCD沿BE折叠，所以AB = BF = 3，AE = EF。

在Rt△BCF中，BC = 5，BF = 3，根据勾股定理公式。

即公式。

2. 利用相似三角形解决折叠问题题目：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处。

求DE的长。

解析：根据勾股定理可得公式。

因为△ABC沿AD折叠，所以△ACD≌△AED，所以AC = AE = 6，CD = DE，那么BE = AB AE=10 6 = 4。

设DE = CD=x，则BD = 8 x。

因为∠DEB = ∠C = 90°，∠B是公共角，所以△BDE∽△BAC。

根据相似三角形的性质公式，即公式，解得公式，所以DE的长为3。

3. 利用折叠性质建立方程求解角度题目：将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在点D'处，若∠EFC = 125°，求∠D'EF的度数。

专题05 勾股定理在折叠问题中的应用折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。

此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

下面就从以下的题目中逐一进行论述.题1. 如图1-1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD=__________．图1-1【答案】5 2 .【解析】∵∠A=90°，AB=3，AC=4∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=5. 由折叠的性质知：AB=AB’=3，AD=A’D∴A’C=2设CD=x，则AD=A’D=4－x在Rt△A’DC中，由勾股定理得：CD2=A’C2+A’D2x2=4+(4－x)2解得：52 x .故答案为5 2 .题2. 如图2-1，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1.75 B．3 C．3.75 D．4图2-1【答案】C.【解析】∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10.由折叠的性质知：AD=BD=3，AE=BE=5.设CD=x，则BD=AD=8－x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2=AC2+CD2(8－x)2=36+x2解得：x=1.75 .∴BD=6.25.在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=3.75.故答案为C.题3. 如图3-1，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．【答案】3或1.5.【解析】分两种情况讨论：ABCDEB'图3-2①当∠CEB ′=90°时，如图3-2所示.由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.ABC DEB'图3-3②当∠CB ′E =90°时，如图3-3所示.由折叠性质知，∠AB ′C =90°，所以∠AB ′C+∠CB ′E =180°. ∴点A 、B ′、C 共线在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5 由折叠得：AB = AB ′=3 所以B ′C =2设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.综上所述，BE 的值为3或1.5.【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论，并作出相应图形利用折叠的性质及勾股定理解题. 题4. 如图4-1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°， E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ,∠B ）向内折起,点A ,B 恰好落在CD 边的点F 处.若AD =3，BC =5，则EF 的值是（ ）图4-1A.15B.215C.17D.217【答案】A.【解析】由折叠性质知：AE=EF，AD=DF，BE=EF，BC=CF∴CD=CF+FD=8，AE=BE=EF.∵∠AED=∠DEF，∠BEC=∠CEF∠AED+∠DEF+∠BEC+∠CEF=180°∴∠DEC=90°在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2同理得：DE2=AD2+AE2CD2=CE2+DE2∴CD2= BE2+BC2 +AD2+AE2即64=2EF2+9+25解得：EF=15.故答案为A.题5. 如图5-1，在长方形ABCD中，将∆DBC沿BD对折至∆DBC’位置，BC’与AD交于点E. （1）试说明：BE=DE；（2）如果AB=6，BC=8，求△EBD的面积.图5-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：由折叠性质知：∠EBD =∠DBC ， ∵ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC ∴∠EDB =∠DBC ∴∠EBD =∠EDB ∴BE =DE .（2）解：设DE =BE =x ，则AE =8-x ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：222BE AB AE =+即()22268x x =+- 解得：x =254. ∴△EBD 的面积为17524DE AB ⨯⨯=. 题6. 如图6-1所示，把长方形纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF . 若CD =6，求AF 的长度.F图6-1【答案】见解析.【解析】由折叠性质知：∠BAF =∠F AE ，AB =AE ∵E 是长方形ABCD 的边CD 的中点， ∴AE =CD =2DE ∴∠DAE =30° ∴∠BAF =∠F AE =30° 设BF =x ，则AF =2x在Rt △ABF 中，由勾股定理得：222AF AB BF =+即()22226x x =+ 解得：x=∴AF =2x=题7. 如图7-1，在矩形OABC 中，OA =5，AB =4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. 求点D 的坐标.【答案】见解析.【解析】由折叠性质可知：BD =DE , BC =CE =5 ∵OC =AB =4∴在Rt △OCE 中，由勾股定理得：3OE ==.∴AE =OA -OE =2.设AD =x ，则BD =DE =4-x , 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：222AD AE DE +=()22224x x +=-解得：x =32. 因为D 点在第三象限，所以D 点坐标为352⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.题8. 如图8-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．21+ 1. 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.A (B')BCN图8-2①当∠CM B ′=90°时，如图8-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合. 所以，1212BM BC +==A BCN B'图8-3②当∠CB ′M =90°时，如图8-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形 设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC = 2x因为BC 2+1所以x +2x=2+1 解得：x =1，即BM =1.故答案为：212或1. 题9. 如图9-1，AD 是△ABC 的中线，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，若∠ADC =45°，BC =4. 求BC ’的长.图9-1【答案】见解析. 【解析】由折叠性质得： ∠ADC =∠ADC ’=45°，CD =C ’D ∴∠C ’DC =∠BDC ’=90° 如图9-2所示.CAA (C')BD图9-2△BDC ’为等腰直角三角形，BD =C ’D =2， 根据勾股定理，得BC ’ =22故BC ’的长为22题10. 已知，如图10-1长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为AB CDEF图10-1【答案】6.【解析】由折叠性质得：DE=BE设AE=x，则BE=DE=9-x,在Rt△ABE中，由勾股定理得：222AB AE BE+=()22239x x+=-解得：x=4.所以三角形ABE的面积为：11346 22AB AE⨯⨯=⨯⨯=.故答案为6.题11. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图11-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图11-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图11-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.AD (Q )C B P A'5534图11-2由折叠性质可知，AD = A 'D =5，在Rt △A 'CD 中，由勾股定理得，2222''534A C A D CD =-=-=②当点P 与点B 重合时，点A '的位置处于最右端，如图11-3所示.AD CB (P )A'Q332图11-3确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'P =AP ，所以以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'P A 的角平分线，与A D 的交点即为点Q . 由折叠性质可知，AB = A 'B =3，所以四边形AB A 'Q 为正方形. 所以A 'C =BC －A 'B =5－3=2.综上所述，点A 移动的最大距离为4－2=2. 故答案为：2.【点睛】此题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

勾股定理应用之折叠专题折叠问题的解题步骤:1. 找:折痕,折叠前后的图形2. 设:设出未知数,尽可能表达线段长3. 列:根据勾股定理列方程专项训练【板块一】折叠问题经典三步骤1. (2010广东如图,把等腰直角△ABC 沿BD 折叠,使点A 落在边BC 上的点E 处.下面结论错误的是( A .AB =BE B .AD =DC C .AD =DE D .AD =EC2. (2011山东如图:△ABC 的周长为30cm ,把△ABC 的边AC 对折,使顶点C 和点A 重合,折痕交BC 边于点D ,交AC 边与点E ,连接AD ,若AE =4cm ,则△ABD 的周长是(A .22cmB .20cmC .18cmD .15cm3. (2010黄冈如图矩形纸片ABCD ,AB =5cm ,BC =10cm ,CD 上有一点E ,ED =2cm ,AD 上有一点P ,PD =3cm ,过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ,将纸片折叠,使P 点与E 点重合,折痕与PF 交于Q 点,则PQ 的长是_______cm . A .2 B .3 C .3.25 D .3.54. 如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B '处,点A 对应点为A ',且3B C '=,求CN 和AM 的长.B 'MNA 'DCBA【板块二】折叠问题中模型抽取平分线夹平行线模型5. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在点E 处,则得到的△BDF 是个等腰三角形吗?若是等腰三角形,请写出证明步骤;若不是,请写出理由.6. 如图,把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连接OB ,将纸片OABC 沿OB 折叠, 使点A 落在A′的位置上.OB 12BC OC ,求点A′的坐标为___________.7. (2010湖南改编如图,将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,点D 落在点G 处,EF 为折痕. (1求证:△FGC ≌△EBC ;(2若AB =8,AD =4,求折痕EF 的长.FEDCACB【板块三】综合应用8.(2011黑龙江如图,ABCD是一张边AB长为2,边AD长为1的矩形纸片,沿过点B的折痕将A角翻折,使得点A落在边CD上的点A′处,折痕交边AD 于点E.(1求∠DA′E的大小;(2求△A′BE的面积.9.(2010河南如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.(1小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.(2问题解决:保持(1中的条件不变,若DC=2DF,求AD AB的值;(3类比探求:保持(1中的条件不变,若DC=nDF,求AD AB的值.CD。

勾股定理折叠问题勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前300年时所发现的一条数学定理，是目前数学中最著名的定理之一。

勾股定理定义：在直角三角形中，三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

记为：a² + b² = c²1、勾股定理发现路径长前300年，毕达哥拉斯是希腊古代最伟大的数学家之一。

在他的探索中，他发现了一条奇异的形态，它就是“勾股定理”。

他与其他数学家一道从南到北，从杨达雅当时的希腊数学鼻祖开始，必经另外三位数学家，包括埃拉托斯特尼，艾培拉和几何学的奠基人厄普代克，才最终发现了勾股定理，以它的实用性和普遍性对数学界造成了巨大的影响。

2、勾股定理的应用勾股定理在日常生活中有着广泛的应用，它可以让我们以更有效率的方式解决许多数学问题，例如解决折叠三角形的大小，测量几何图形等。

此外，勾股定理也能在统计学和金融学中起到解释和替换复杂的概率公式的关键作用，以此来预测期望利率、风险程度等概念。

3、勾股定理的引申此外，这个定理的发现还引发出许多新的数学思想，诸如三角函数和立方根等，从而推动了数学发展的进程。

同时，“勾股定理”也用于科学研究上，有助于帮助我们确定物体行星位置，研究太空测量，对位置、距离和时间的大量计算，以及估算天体运动轨道等。

总之，勾股定理是一个有着悠久历史的数学定理，注定成为数学发展史上不可缺少的一部分。

4、勾股定理的折叠勾股定理折叠，就是在只用纸笔的情况下，通过给定三条直线，来求得所构造三角形，其中能够满足勾股定理的解。

其实折叠并不难，它可以从三个动作来进行解说。

首先，先将三角形折叠成一条直线，再以直线为基础，其他两条线分别放在左边和右边，使得斜边与两边分别相等。

最后，用斜边折出一个似直 h三角形，满足勾股定理的三角形就折叠出来了。

在折叠的过程中，我们不仅要考虑折叠的正确性，还要注意折叠的简明性，在折叠勾股定理三角形时，不能多折纸，也不能歪折纸，因为它会影响最后的结果。