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第一章 线性空间和线性变换1.1 线性空间定义1.1 设V 是一个非空集合，它的元素用,,x y z等表示，并称之为向量；K 是一个数域，它的元素用,,k l m 等表示。
如果V 满足下列条件(I) 在V 中定义一个加法运算，即当,x y V ∈ 时，有唯一的x y V +∈，且加法运算满足下列性质(1) 结合律 ()()x y z x y z ++=++；(2)交换律 x y y x +=+;(3)存在零元素0 ，使00x x x +=+=；(4)存在负元素，即对任一向量,x V ∈ 存在向量y V ∈ ，使得0,x y += 则称y 是x的负元素，记为x -，于是有()0x x +-=(II)在V 中定义数乘（数与向量的乘法）运算，即当,x V k K ∈∈时，有惟一的,kx V ∈且数乘运算满足下列性质(5)数因子分配律()k x y kx k y +=+；(6)分配律()k l x kx lx +=+(7)结合律 ()()k lx kl x =；(8)1x x =则称V 为数域K 上的线性空间或向量空间。
不管V 的元素如何，当K 为实数域R 时，则称V 为实线性空间，当K 为复数域C 时，就称V 为复线性空间。
例1. 设R +为所有正实数组成的数集，其加法与数乘运算分别定义为 m n mn ⊕=，k k m m = 证明R +是R 上的线性空间。
定理 1.1 线性空间V 有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素。
同n 维线性空间nR 中向量组的线性相关性一样，如果12,,...,n x x x 为线性空间V 中的n （有限正整数）个向量，,x V ∈且存在数域K 中的一组数12,,...,n c c c , 使1122...n n x c x c x c x =+++(1.1)则称x 为向量组12,,...,n x x x 的线性组合，有时也称向量x 可由12,,...,n x x x线性表示。
《矩阵理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Matrix Theory2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《线性代数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：适用于理、工等专业9、大纲执笔：应用数学教研室10、大纲审批：理学院教授委员会11、制定(修订)时间：2015年6月二、课程的目的与任务《矩阵理论》是《线性代数》的后继课程，主要讲授线性空间与线性变换，内积空间，矩阵的标准形，矩阵分解，范数理论及其应用等内容。
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等）都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
开设本课程的目的是不仅使学生系统地获得矩阵分析的经典结果和现代结果，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物的能力，培养学生用矩阵分析的方法去思考问题的意识和兴趣，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与归纳判断能力、空间想象能力与数值计算能力，特别培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生将来进行科学研究奠定良好的基础。
三、课程的基本要求本课程的教学要重视矩阵分析的历史背景知识介绍，要注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍，要充分展示基本概念的形成过程，每个概念的引入应遵循实例——抽象——概念的形成过程，多角度说明有关概念的实质；要加强对基本数学方法的介绍，传授一些数学科学的基本学习方法和研究方法，强调在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法，揭示重要数学方法的本质；要结合节次教学内容，增加具有启发性和讨论性的内容，加强应用实例的介绍，特别是一些来自实际的真实问题的解决方法介绍，对传统教学内容的应用问题进行更新和充实，扩大信息量，灵活采用探究式、启发式和讨论式等教学方法，做到抽象内容与具体例题相结合，教师提问与学生回答相结合，教师授课与学生练习相结合，要掌握好例题的难易程度，对例题要有分析、解答和归纳总结，充分调动学生学习数学的主动性和创造性，活跃课堂气氛；要突出矩阵分析的基本思想，要适当渗透一些现代数学思想，引入一些现代数学观点、概念、方法和术语等，为学生进一步接触现代数学奠定了一定基础。
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运∈时，有唯一的和算，即当x,y V+∈（封闭性），且加法运算x y V满足下列性质（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律()+=+；k x y kx ky（6）分配律()+=+；k l x kx lx（7）结合律()()=；k lx kl x=；（8）恒等律1x x [数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。
唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。
第一章 线性空间与线性变换§1 线性空间的概念定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。
数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。
特别地，每个数域都包含整数0和1。
定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。
如果（1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈∀y x ,，都有V ∈+y x ；（2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈∀x ,λ有V ∈x λ；（3）上述两个运算满足下列八条规则：1) V ∈∀y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈∀z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++；3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈∀x ，都有x x =+θ；4) V ∈∀x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。
y 称为x 的负元素；5) V ∈∀x ，都有x x =1；P ∈,∀μλ，V ∈∀y x ,，下列三条成立：6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(，则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。
当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。
例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合}|),,,{(21P x x x x V i n ∈∀= ，若对于V 中任两元素),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y =及每个P k ∈（记作P k ∈∀），定义加法及数量乘法为),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX =则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。
