第1章 刚体力学基础 物体的弹性

大学物理刚体力学总结大学物理刚体力学总结大学物理刚体力学总结篇一:大学物理力学总结大学物理力学公式总结 ? 第一章(质点运动学)1. r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k Δr=r(t+Δt)- r(t) 一般地|Δr|?Δr2. v= a= dt dx d??d?? d2??dt3. 匀加速运动:a=常矢 v0=vx+vy+vz r=r0+v0t+at2 ????4. 匀加速直线运动:v= v0+at x= v02 v2-v02=2ax 215. 抛体运动:ax=0 ay=-g vx=v0cs vy=v0sinθ-gt x=v0csθ?t y=v0sinθ?tgt2 216. 圆周运动:角速度= dt Rdθ v 角加速度dt dω 加速度 a=an+at 法相加速度an==Rω2 ，指向圆心 Rv2 切向加速度at=Rα ，沿切线方向dt d??7. 伽利略速度变换:v=v’+u ? 第二章(牛顿运动定律)1. 牛顿运动定律: 第一定律:惯性和力的概念，惯性系的定义第二定律:F=, p=mv dtd?? 当m为常量时,F=ma 第三定律:F12=-F21 力的叠加原理:F=F1+F2+……2. 常见的几种力:重力:G=mg 弹簧弹力:f=-kx3. 用牛顿定律解题的基本思路:1) 认物体 2) 看运动 3) 查受力(画示力图) 4) 列方程(一般用分量式) ? 第三章(动量与角动量)1. 动量定理:合外力的冲量等于质点(或质点系)动量的增量，即 Fdt=dp2. 动量守恒定律:系统所受合外力为零时， p= ??????=常矢量3. 质心的概念:质心的位矢 rc= ???????? 离散分布) m 或 rc = ??dmm (连续分布)4. 质心运动定理:质点系所受的合外力等于其总质量乘以质心的加速度，即 F=mac5. 质心参考系:质心在其中静止的平动参考系，即零动量参考系。

6. 质点的角动量:对于某一点, L=r×p=mr×v7. 角动量定理:M= dtd?? 其中M 为合外力距，M=r×F，他和L 都是对同一定点说的。

刚体的力学性质力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。

刚体力学是力学的一个方面，主要研究刚体在受力作用下的力学性质。

在本文中，我们将探讨刚体的力学性质，包括刚体的定义、运动、平衡、转动、惯性等。

1. 刚体的定义刚体是指其形状和尺寸在外力作用下不会发生变化的物体。

在研究刚体的力学性质时，我们将其简化为理想的物体，即质点的集合，不考虑物体的内部结构。

2. 刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种。

平动是指整个刚体沿直线运动，转动是指刚体围绕某个轴进行旋转。

a. 平动：刚体的平动可以分为匀速直线运动和变速直线运动。

刚体的平动是由外力作用引起的，根据牛顿第二定律可以推导出刚体的运动方程。

b. 转动：刚体的转动可以分为绕固定轴的转动和绕自身质心的转动。

刚体的转动是由外力或自重力矩作用引起的，根据牛顿第二定律和角动量定理可以推导出刚体的转动方程。

3. 刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受力作用下不发生平动和转动的状态。

根据力矩平衡条件和合力平衡条件可以推导出刚体平衡的条件。

a. 力矩平衡条件：对于刚体平衡，外力矩和内力矩必须相等。

通过求和刚体上各点的力矩，可以得到刚体平衡的条件。

b. 合力平衡条件：对于刚体平衡，合力必须为零。

通过求和刚体上各点的力，可以得到刚体平衡的条件。

4. 刚体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的量度，表示刚体转动时其对转动的惯性大小。

刚体的转动惯量与刚体的质量分布以及转动轴的位置有关。

a. 质点的转动惯量：质点的转动惯量等于质点质量乘以距离轴的平方。

b. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过对质点的转动惯量进行求和得到。

不同形状的刚体，其转动惯量的表达式不同。

5. 刚体的转动惯量定理转动惯量定理表明，在转动惯量不变的情况下，刚体的转动惯量与角加速度成正比。

即转动惯量大的刚体转动相同角度所需要的力矩较大。

6. 刚体的稳定性刚体的稳定性是指刚体保持平衡时的能力。

刚体平衡时，若微小扰动引起的恢复力矩大于微小扰动引起的力矩，刚体即具有稳定性。

四大基础力学力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体运动的原因和规律。

在力学中，存在着四大基础力学，它们分别是：质点力学、刚体力学、弹性力学和流体力学。

这四个力学领域各自独立，但又相互联系，共同构成了力学的基础。

一、质点力学质点力学是研究质点在力的作用下的运动规律的力学分支。

质点是物体的极限，可以看做是没有大小和形状的。

质点力学主要研究质点的运动、力的性质以及质点之间的相互作用。

它的基本原理是牛顿三定律，即质点在外力作用下的运动满足牛顿第一定律、第二定律和第三定律。

质点力学是力学的基础，其他力学领域都是在质点力学的基础上发展起来的。

二、刚体力学刚体力学是研究刚体在力的作用下的运动规律的力学分支。

刚体是指形状和大小不变的物体，可以看做是由许多质点组成的。

刚体力学主要研究刚体的平衡、运动以及刚体之间的相互作用。

它的基本原理是牛顿力学的扩展，包括平衡条件、力矩和角动量等概念。

刚体力学的研究对象更加复杂，需要考虑物体的形状和结构，但仍然是力学的基础。

三、弹性力学弹性力学是研究物体在外力作用下变形和恢复的规律的力学分支。

弹性力学主要研究物体的弹性性质、弹性变形以及弹性力的作用。

它的基本原理是胡克定律，即物体的变形与所受外力成正比。

弹性力学的研究对象是弹性体，它们能够在外力作用下发生形变，但在外力消失后能够完全恢复原状。

弹性力学在工程和材料科学中有广泛的应用，例如弹性体的设计和材料的选用等。

四、流体力学流体力学是研究流体运动规律的力学分支。

流体可以分为液体和气体，它们都具有流动性。

流体力学主要研究流体的运动、流体之间的相互作用以及流体力的作用。

它的基本原理是质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本方程。

流体力学的研究对象更加复杂，需要考虑流体的流动性和形状变化等因素。

流体力学在气象学、海洋学和工程学等领域有重要的应用价值。

四大基础力学共同构成了力学的基础，它们各自研究不同的物体和力的作用规律。

质点力学研究质点的运动，刚体力学研究刚体的运动，弹性力学研究物体的变形，流体力学研究流体的流动。

刚体力学基础知识点总结一、刚体的定义与特性刚体是指物体在力的作用下，无论受到多大的力或力矩，形状和体积都不发生变化的物体。

刚体具有以下特性：1. 刚体的质点间距不变：刚体上的质点在受力作用下，相对位置保持不变。

2. 刚体不发生形变：刚体的内部结构在受力作用下不发生变化，保持原有的形状和体积。

二、刚体的平衡条件刚体的平衡条件是指刚体处于平衡状态时，满足的力学条件。

刚体平衡有两个条件：1. 力的平衡条件：刚体平衡时，合外力和合内力矩均为零。

2. 力矩的平衡条件：刚体平衡时，对于刚体上的任意一点，合外力和合内力矩的代数和为零。

三、刚体的转动刚体的转动是指刚体围绕某个轴线或转动点进行旋转的运动。

刚体的转动有以下特点：1. 轴线：刚体转动的轴线是指固定刚体上任意两质点连线的延长线的交点。

2. 转动角速度：刚体绕轴线旋转时，每个质点的角速度相等。

3. 转动惯量：刚体绕轴线旋转时，转动惯量是刚体抵抗转动的物理量，与刚体的质量分布有关。

4. 转动定律：刚体绕轴线旋转时，转动定律描述了刚体的转动状态和转动惯量之间的关系。

四、刚体的平动与转动刚体的平动是指刚体作为一个整体沿直线运动的运动形式，而刚体的转动是指刚体围绕某个轴线旋转的运动形式。

刚体的平动与转动有以下关系：1. 平动转动定理：刚体的平动和转动可以相互转化，平动转动定理描述了平动和转动之间的转化关系。

2. 转动轴与平动方向垂直：刚体的转动轴与刚体的平动方向垂直。

五、刚体静力学刚体静力学是研究刚体在不动力学平衡状态下的力学性质和相互作用的学科。

刚体静力学包括以下内容：1. 刚体的受力分析：通过力的平衡条件和力矩的平衡条件，分析刚体所受到的各个力和力矩的大小和方向。

2. 支持反力：刚体在平衡状态下，受到支持反力的作用，支持反力可以分为支持力和摩擦力。

3. 杠杆原理：杠杆原理描述了杠杆平衡的条件，即杠杆两边所受的力矩相等。

六、刚体的碰撞刚体的碰撞是指两个或多个刚体之间发生的相互作用过程。

第6章 刚体力学基础 物体的弹性质点（particle ）是一个忽略了物体形状和大小的理想模型．它遵循质点力学的规律即牛顿运动规律．然而，一个实际物体是有一定形状和大小的，而且在力的作用下会发生形变．如果撤去作用力，能恢复原状态的物体称为弹性体，否则称为塑性体．如果在力的作用下，产生的形变极其微小，从而可以被忽略不计，这样的物体称为刚体（rigid body ）．刚体可以看成是由彼此间距离不变的大量质点组成的有一定形状和大小的物体．如果实际物体在受到力的作用时其形变很小，则可以把它近似看成刚体．因此，刚体也是一个理想模型．本章主要研究刚体作定轴转动所遵循的力学规律．首先导出刚体定轴转动定律，然后讨论力矩对空间的累积作用即刚体定轴转动动能定理，以及力矩对时间的累积作用即角动量定理和角动量守恒定律，最后将简单介绍物体的弹性．6.1 刚体的转动6.1.1 刚体的平动和转动刚体的运动可以分为平动（translation ）和转动，它们是刚体的两种最简单也是最基本的运动形式．刚体的任何复杂运动都可以看作是这两种运动的合成．1．平动如图6-1所示，刚体在运动过程中，组成刚体的所有质点都沿平行路径运动，即连接刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行，这种运动称为平动．如活塞的运动、电梯的升降等．刚体在作平动时，组成刚体的各质点的运动是完全相同的．因此，我们可以用刚体上的一个质点（质元）的运动来替代整个刚体的运动，这就是刚体作平动时，可用质点力学来处理的原因．2. 刚体的定轴转动如果刚体上各个质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动（rotation ），这条直线称为转轴（rotation axis ）．如果转轴在刚体的运动过程中相对于参照系是静止的，则称为定轴转动（fixed-axis rotation ）．例如旋转式的门窗、钟表指针的运动，离心机的转动等都属于定轴转动．如图6-2所示，溜冰运动员在原地绕自身轴的旋转也可近似看作是定轴转动．不难发现，上述运动的共同特征是转动体上各点均绕固定轴作半径不同的圆周运动． 6.1.2 描述刚体定轴转动的物理量刚体绕固定轴转动时，刚体上所有各质量元都在各自的平面内绕轴作半径不同的圆周运动．这些质元的线量（线速度、线加速度等）各不相同．然而，它们的角速度（angular velocity ）、角加速度（angular acceleration ）等角量却是相同的．因此，类似于圆周运动，我们采用角量图6-2芭蕾舞演员的定轴转动图6-1 刚体的平动同济内部使用来描述刚体的定轴转动．如图6-3所示，在刚体上任选一点P ，P 点离转轴距离为r ．过P 点作垂直于转轴的平面，该平面称为转动平面．P 点在此平面内作圆周运动．以转动平面与转轴的交点O 为原点，在转动平面内建立相对于参考系静止的坐标轴Ox ，这样就可以用角量即角位置（angular position ），角位移（angular displacement ），角速度和角加速度来描述刚体的定轴转动．1. 角位移P 点对O 点的位置矢量（位矢）r 与Ox 轴方向的夹角θ称为角位置．在刚体的转动过程中，θ随时间发生变化，是时间的函数)(t θ．刚体在t ∆时间内转过的角度θ∆称为角位移．一般规定沿逆时针方向的角位移为正，沿顺时针方向的角位移为负．角位移的国际单位是rad （弧度）．2. 角速度我们将角位移对时间的变化率定义为角速度，以ω表示．数学表达式为 tθt θt d d lim0=∆∆=→∆ω 6-1 角速度是矢量，其方向由右手螺旋法则确定．使四指沿着刚体转动的方向弯曲，拇指所指的方向就是角速度矢量的方向，如图6-4所示．在国际单位制中，角速度的单位为1s rad −⋅．3. 角加速度 角加速度是描述角速度对时间变化率的物理量，以β表示．数学表达式为220t d d d d lim t t t θωωβ==∆∆=→∆ 6-2角加速度也是矢量，当ω变大时β与ω同方向，当ω变小时β与ω反方向．在国际单位制中，角加速度单位为2s rad −⋅． 在刚体定轴转动中，角速度、角加速度的方向只有沿转轴的两个方向，所以计算中常作标量处理．6.1.3 角量与线量的关系由图6-5可知，线速度与角速度的关系为 ωθθR tR t R t s t t ==∆∆=∆∆=→∆→∆d d lim lim00v 6-3 线速度方向为P 点的切线方向．当P 点作变速圆周运动时，该点的加速度a 可分解为切向加速度t a 和法向加速度n a ，它们的大小分别为 βωωR tR t R t a ====d d d )(d d d t v 6-4 2222n ωωR RR R a ===v 6-5P 点加速度a 的大小为图6-3 刚体的定轴转动图6-5 角量与线量的关系图6-4 角速度的方向同济内部使用422222n 2t d d ωβ+=+ =+=R R t a a a v v 6-6 方向为tnarctana a =ϕ 6-7例题 6.1 卷扬机转筒的直径为cm 40，在制动的s 1.0内，转筒的运动方程为t t 42+−=θ（SI ）．试求（1）转筒边缘上一点P 的速度． （2）P 点的切向加速度及法向加速度．解 由题意，转筒在制动过程中的角速度和角加速度分别为1s rad 42d d −⋅+−==t tθω 2s rad 2d d −⋅−==tωβ 1s =t 时，1s rad 2.042−⋅=+−=t ω，所以（1）转筒边缘上一点P 的速度为11s m 04.0s rad 0.22m400.−−⋅=⋅×==ωr v （2）P 点的切向加速度及法向加速度分别为 22-t s m 04.0)s rad 2(2m40.0−⋅−=⋅−×==βr a 221-2n s m 80.0)s rad .02(2m04.0(−⋅=⋅×==ωr a 6.2 刚体定轴转动定律 转动惯量用角量描述刚体的定轴转动时，角位置和角速度是描述定轴转动的状态量，而角加速度则是描述定轴转动的状态改变量．那么，刚体运动状态改变的根本原因是什么？其遵循怎样的动力学规律呢？ 6.2.1力矩在外力作用下，一个具有固定轴的静止刚体（比如门或窗），可能发生转动也可能不发生转动．刚体是否转动以及转动的快慢，不仅与外力的大小有关，而且还与力的作用点位置和方向有关．力的大小、方向和作用点位置这三个因素组成了力矩（moment of force ）这一物理量，它是改变刚体转动状态的原因．如图6-6所示，设刚体所受外力F 在转动平面内，作用点为P 点．原点O 到力的作用线的垂直距离为d ，称为力F 对转轴的力臂（moment arm of force ）．力的大小与力臂的乘积，称为力对转轴的力矩，以M 表示，有ϕsin Fr Fd M == 6-8 式中r 为原点O 到力F 作用点P 的位矢大小，ϕ为矢径r 与力F 之间的夹角．图6-6 刚体所受的力矩同济内部使用如果外力不在转动平面内，则必须将外力分解成两个分力．一个是与转轴平行的分力，另一个是在转动平面内的分力．只有在转动平面内的分力才会影响刚体的转动状态．力矩是一个矢量．根据矢量的矢积定义，力矩M 为矢径r 与力F 的矢积，即 F r M ×= 6-9力矩的方向由右手螺旋法则确定：右手的四指由位矢r 的方向（经小于180°的角度）转到力F 的方向，拇指的指向就是力矩M 的方向，即M 的方向垂直于r 与F 组成的平面．力矩的大小则由式6-8给出．在定轴转动中，力矩的方向M 总是沿转轴的方向．因此，在定轴转动中，力矩可作为标量来处理．当有几个力同时作用在刚体上时，这几个力的合力矩就等于这几个力的力矩的代数和．在国际单位制中，力矩的单位为m N ⋅． 6.2.2 刚体定轴转动定律如图6-7所示，在刚体上任取一质元i m ∆，该质元到转轴的距离为i r ．质元所受到的合外力在转动平面内的分力为i F ，质元受到刚体内其它所有质元的合内力在转动平面内的分力为i f ．根据牛顿第二定律，沿运动切向分量的方程为βθϕi i i i i i r m f F ∆=+sin sin上式方程两边分别乘以i r ，可得βθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+式中，i i i r F ϕsin 是质元所受到的合外力i F 对转轴的力矩．而i i i r f θsin 则为质元所受的合内力i f 对转轴的力矩．由于质元所受的法向分量i i F ϕcos 和i i f θcos 的作用线均通过转轴，对转轴的力矩为零，故不作考虑．对于构成刚体的每一质元，均可列出上述方程，将所有方程相加，可得∑∑∑=+iiii iiii ii i rm r f r F βθϕ2sin sin 6-10式中∑ii i i r F ϕsin 是作用于刚体所有质元上的外力对转轴力矩的代数和，即刚体所受的合外力矩，用M 表示．∑ii i i r f θsin 是整个刚体所受的内力对转轴力矩的代数和．因内力总是成对出现，且等值反向，所以每一对内力矩的代数和均为零，即0sin =∑ii i i r f θ．而上述等式右边的∑ii i r m 2是由刚体本身性质决定的物理量，称为刚体对定轴的转动惯量（moment ofinertia ），以J 表示∑=ii i r m J 26-11于是，式6-10可写成βJ M = 6-12上式表明，对某定轴刚体所受的合外力矩等于刚体对该定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积．这就是刚体定轴转动定律（law of fixed-axis rotation ）．写成矢量形式为βM J = 6-13刚体定轴转动定律表述了力矩对刚体定轴转动的瞬时作用规律．式中力矩M 、转动惯量J 和角加速度β三个物理量都是同一时刻对应的同一个转轴．图6-7 刚体定轴转动定律同济内部使用6.2.3 转动惯量转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量．由转动定律βJ M =可以看出，当刚体所受的合外力矩一定时，转动惯量J 愈大，则其角加速度β就愈小；反之J 愈小，β就愈大．对于质量连续分布的刚体，式6-10可写成∫∫==VmV r m r J d d 22ρ 6-14式中ρ为物体的质量密度．在国际单位制中，转动惯量的单位为kg ·m 2．在实际工程上，对规则形状刚体的转动惯量常从手册或表中直接查出．表1-1列出了几种常见刚体对特定转轴的转动惯量．表1-1 几种常见刚体的转动惯量例题6-2 有一质量为m ，长为l 的均匀细杆，如图6-8所示．试求对下列转轴的转动惯量． （1）转轴通过杆的质心并与杆垂直． （2）转轴通过杆的一端并与杆垂直．解 （1）如图6-8(a)所示，以杆中心为坐标原点O ，距离原点x 处，取长为x d 的质元m d ，其质量为x x lmm d d d λ==，其中λ为单位长度的质量，称为质量线密度．该质元对通过杆的质心并与杆垂直的转轴的转动惯量为x x x lmx m x J d d d d 222λ=== 图6-8 例题6-2用图(a)(b)内部整个杆对转轴的转动惯量为23222121121d d ml l x x J J l l ====∫∫−λλ （2）如图6-8(b)所示，同理可得整个细杆对通过杆的一端的转动惯量为23023131d ml l x x J l ===∫λλ例题6-3 如图6-9(a)所示，一质量为m 的物体与绕在定滑轮上的轻绳相连，轻绳与定滑轮之间无相对滑动．设定滑轮的质量为0m ，半径为r ，可视为均质圆盘．试求物体m 由静止开始下落的过程中， （1）绳子的张力． （2）物体的加速度．（3）物体下落的速度与时间的关系． 解 用隔离体法对每一物体进行受力分析，如图6-9(b)所示．滑轮顺时针方向转动，故力矩方向垂直页面向里，设此方向为正．根据牛顿第二定律和定轴转动定律，立出方程． 对物体m ： ma T mg =− 对滑轮0m : βr m Tr 2021=由于绳与滑轮之间无相对滑动，滑轮边缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等，因此有βr a =联立上述方程组，得绳子的张力和物体的加速度分别为gm m m a gm m mm T 0222+=+=考虑到物体m 作匀加速直线运动，满足at =v ，故得物体下落的速度与时间的关系为gt Mm m+=22v由上述例题的解题过程可知，正确的受力分析是解题的关键．如果系统由刚体和质点共同组成，那么在列方程时，不但要同时应用牛顿运动定律和刚体定轴转动定律，而且还要考虑角量和线量的关系．6.3 刚体定轴转动的动能定理和功能原理6.3.1 刚体的转动动能和势能设刚体作定轴转动，在距离转轴为i r 处取一质元i m ∆．如某一时刻刚体角速度的大小为ω，则质元在该时刻的线速度大小为ωi i r =v ，按动能的定义，质元的动能为222k 2121ωi i i i r m m E i∆=∆=v (a) (b) 受力分析图6-9 例题6-3用图同济内部使用刚体的总动能为其所有质元的动能之和，即22k k )(21ωi i iir m E E i∑∑∆== 其中，2i i ir m ∑∆为刚体的转动惯量J ，所以上式可写为2k 21ωJ E =6-15 上式又称刚体的转动动能．类似分析，刚体重力势能应为刚体所有质元的重力势能之和．取任一质元i m ∆，其相对势能零点的高度为i z ，则刚体重力势能p E 为i i igz m E ∑∆=p刚体质心C 相对势能零点的高度C z 为∑∑∆∆=iiiii Cmz m z且刚体总质量∑∆=ii m m ，所以刚体的重力势能为C mgz E =p 6-16 即刚体的重力势能相当于刚体的质量m 集中在质心C 处的质点的重力势能． 6.3.2 刚体定轴转动的动能定理刚体转动动能的改变与外力矩做功有关，其关系可由转动定律导出．设在外力矩的作用下，刚体绕定轴转动的角速度由1ω变为2ω．在此过程中，相应于刚体转过了微小角位移θd ．此合外力矩所作的元功为ωωθωβd d d d d d d J tJθJ θM W ==== 当刚体从1t 时刻的1θ变化到2t 时刻的2θ时，合外力矩对刚体做的功为21222121d d 2121ωωωωθωωθθJ J J M W −===∫∫ 6-17 上式称为刚体定轴转动的动能定理．表明合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，反映了力矩对空间的累积效应．6.3.3 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律如果刚体在定轴转动的过程中除受外力矩外，还受到摩擦力矩和重力矩作用，则按式6-17，有21222121d )(21ωωθθθJ J M M M W −=++=∫非保内保内外 上式中，外M 是指合外力矩．保内M 是指具有保守力性质的内力矩．所谓保守力是指这样一种力，它对物体所做的功与物体运动的路径无关，只与物体的起点和终点的位置有关，如重力、弹性力、静电场力等均属于保守力．非保守力则是指它对物体所做的功与物体运动的路径有关，如摩擦力、爆炸力等属于非保守力．显然，式中非保内M 是指具有非保守力性质的内力矩．若将地球和刚体视为一个系统，重力矩对刚体做功可用重力势能增量的负值来表示，因同济内部使用此上式可写为)21()21(d )(12122221C C mgz J mgz J M M W +−+=+=∫ωωθθθ非保内外 6-18式6-18称为重力场中刚体定轴转动的功能原理．如果外力矩和非保守内力矩不做功或做功之和为零，那么系统的机械能守恒．即 C mgz J +221ω=常量 6-196.4 刚体的角动量定理和角动量守恒定律在合外力矩作用下，刚体绕定轴转动的转动定律βJ M =描述了合外力矩对刚体作用的瞬时效应，现在我们进一步讨论外力矩在一段时间内的累积效应对刚体定轴转动的影响． 6.4.1 刚体对定轴的角动量如图6-10所示，设某一瞬时刚体绕轴转动的角速度为ω．在离轴i r 处取质元i m ∆，该质元在自身转动平面内绕轴作圆周运动．如此时质元的线速度为i v ，则质元对转轴的角动量（angular momentum ）i L 可定义为ωr p r L 2i i i i i i i i r m m ∆=∆×=×=v 6-20 式中i p 称为质元的动量（momentum ）．它是描述物体运动状态的一个物理量，大小为物体质量与速度的乘积，方向沿速度方向．由此可理解，角动量是描述物体转动运动状态的一个物理量．式6-20表示的是刚体上某一质元的角动量，又称质点的角动量．刚体绕定轴的总角动量L 应等于刚体上所有质元对该轴角动量的总和，即 ωL L∆==∑∑ii i i i r m 2 6-21其中∑∆ii i r m 2为刚体的转动惯量J ，因此，刚体对定轴的角动量可写为ωL J = 6-22 上式表明，刚体对定轴的角动量L 等于刚体对该轴的转动惯量J 与角速度ω的乘积，方向和角速度一致，沿转轴的方向，其大小为J ωL = 6-23在国际单位制中，角动量的单位为12s m kg −⋅⋅． 6.4.2 刚体的角动量定理根据刚体角动量的表达式，刚体定轴转动定律可写成 tLt J t JM d d d )(d d d ===ωω 6-24 上式表示，刚体所受的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率．将上式改写为 L t M d d = 6-25 式中t M d 称为合外力矩对刚体的冲量矩（moment of impulse ），它反映了合外力矩对时间的累积效应．若刚体绕定轴转动过程中，合外力矩的作用时间从t 1到t 2，则将式6-25两边积分，得1221d L L t M t t −∫＝ 6-26图6-10 刚体对定轴的角动同济内部使用上式表明，在一段时间内作用在刚体上的合外力的冲量矩等于刚体在该段时间内的角动量的增量，这一结论称为刚体对该定轴的角动量定理（theorem of moment of impulse ）．在国际单位制中，冲量矩的单位为s m N ⋅⋅． 6.4.3 刚体的角动量守恒定律由角动量定理，如果刚体所受的合外力矩0=M ，则有=L 常量 6-26 即刚体的角动量保持不变．这一结论称为刚体对定轴的角动量守恒定律（law of conservation of angular momentum ）．刚体作定轴转动时，若转动惯量J 保持不变，则当刚体所受合外力矩等于零时，刚体将以恒定的角速度ω 绕定轴作匀速转动．如图6-11所示，轮船、飞机、火箭上用作导航定向的回转仪（gyroscope ）就是利用这一原理制成的．若物体上各质元相对于转轴的距离可发生变化，即物体的转动惯量是可变的．在物体所受合外力矩0=M 的情况下，物体绕定轴转动的角动量守恒，按式6-26，=ωJ 常量，ω与J 成反比关系．例如，一人站在能绕竖直轴转动的转台上，两手各握一个哑铃，如图6-12所示．开始时，他的两臂平举张开，在其他人推动下使他连同转台一起以一定的角速度转动．当他收拢双臂时，人和转台的转速将加快．这是因为在人收拢双臂的过程中，整个转动系统的转动惯量J 在变小．由于转动系统没有受到外力矩作用，因此系统的角动量守恒，ωJ 保持不变．当J 变小时，ω 随之增大．类似的例子有很多，如花样滑冰运动员、芭蕾舞演员以及跳水运动员等所做的许多令人叹为观止的优美旋转动作，都是角动量守恒定律的应用实例．例题6-4 一半径为R ，质量为0m 的均匀圆盘可绕垂直轴Oz 转动，角速度为0ω，如图6-13所示．设初始时刻质量为m 的人处于圆盘的中心O 处，求当此人走到圆盘的边缘时，圆盘相对地面的角速度ω．解 对圆盘和人组成的系统，其所受的合外力矩为零，因此系统角动量守恒．按题意，初始时刻系统角动量为020021ωR m L =当此人走到圆盘的边缘时，系统的角动量为ωω22021mR R m L +=因为0L L =，由上述关系可得图6-11 回旋仪图6-12 角动量守恒定律演示 图6-13 例题6-4用图同济内部使用0002ωωmm m +=6.4.4 陀螺的运动一个绕自身对称轴高速旋转的陀螺（top ），轴下端与地面的接触点O 为一定点，如图6-14(a)所示．当陀螺不转动时，由于作用于质心的重力对O 点的重力矩不为零，所以陀螺会因此而倾倒．但当它绕自身对称轴高速旋转时，尽管同样受到重力矩作用却不会倾倒，而是在绕自身对称轴旋转的同时，其对称轴还将绕通过固定点O 的铅直轴Oz 作回转运动．我们把刚体高速自转的同时，其自身对称轴还将绕竖直轴作回旋运动的现象称为旋进（precession ）或称为进动．现在我们用角动量定理来解释陀螺的旋进运动．在图6-14(b)中，设陀螺的质量为m ，对自身轴的转动惯量为J ，若陀螺自旋角速度为ω，则其绕自身轴的自旋角动量L 为ωL J =式中L 的方向沿陀螺自身的对称轴．以陀螺与地面的接触点O 为参考点，陀螺所受重力矩M 为g r M m C ×=其中C r 为陀螺质心位矢．M 的方向指向页面里，与陀螺的自旋角动量L 垂直．因此，重力矩不能改变L 的大小，而只能改变其方向．根据角动量定理，当重力矩作用于陀螺t d 时间后，陀螺自旋角动量L 的增量为t d d M L =L d 的方向与M 方向相同，即自旋角动量L 的方向将水平地转向L L d +方向，并不沿竖直方向向下倾斜．于是，自旋角动量L 在水平面内将连续偏转而形成绕竖直轴的旋进运动，即表现为沿一个圆锥面的转动．由图6-13(b)可以看出，陀螺自旋轴在t d 时间内转过的角度即旋进角为θϕsin d d L L =式中，θ为陀螺的自身轴与圆锥轴线之间的夹角．相应的旋进角速度Ω的大小为θϕsin d d L Mt Ω==6-27 上式说明，旋进角速度与外力矩M 成正比，而与自旋角动量L 成反比，亦即与自旋角速度ω成反比．回转效应有着广泛的应用．例如炮弹在飞行时，受到的空气阻力对其质心的力矩会使炮弹发生翻转．为了防止这种情况的发生，常在炮膛内壁刻有螺旋线（亦称来复线），使炮弹在射出时绕自己的对称轴高速旋转．这样，在空气阻力矩的作用下炮弹在前进中将绕自身的行进方向旋进而不至于翻转，如图6-15所示．(a) (b)图6-14 陀螺的选进图6-15 炮弹的旋进同济内部使用在微观领域，旋进的概念也经常用到．例如，原子中的电子同时参与自旋运动和绕核的运动，都具有角动量．当其处在外磁场中，电子受磁力矩的作用以外磁场方向为轴线作旋进．正是电子的这种旋进运动，导致了物质的抗磁性．地球本身就是一个很大的回转仪，因为地球有自转，又受到太阳及其他星体的引力，因而地球在运动中要旋进．6.5 物体的弹性前面我们研究了刚体的运动规律．然而，实际上真正的刚体是不存在的．任何一个物体在外力作用下，其形状和大小都会发生变化，即产生一定的形变（deformation ）．在物体的弹性限度内，如果撤去外力，物体能恢复原状，这种形变称为弹性形变（elastic deformation ），这样的物体称为弹性体．如果外力过大，物体的形变超出了弹性限度，物体便不能恢复原状，这种形变称为塑性形变（plastic deformation ），这样的物体称为塑性体．研究物体在外力作用下所产生的形变，在工程、生物和医学上都具有重要意义．6.5.1 应变 应力 弹性模量1．正应变和正应力如图6-16所示，设一原长为0l 、截面积为S 的匀质杆，当两端受到拉力F 作用时，杆伸长了l ∆．将杆的伸长量与原长度的比值称为应变（tensile strain ），用ε表示，即00l l l l l ∆=−=ε 6-28 ε是一个没有单位的纯数．当物体受到拉力（压力）时，其内部任一横截面处也会产生拉力（压力），所受拉力（压力）应该均匀分布在横截面上．将单位横截面上所受到的内力称为正应力（张应力）（tensile stress ），用σ表示，即S F =σ 6-29 在国际单位中，正应力的单位为2m N −⋅或Pa （帕斯卡）．根据胡克定律，材料在弹性形变范围内，正应力与正应变成正比．将正应力与正应变的比值称为弹性模量（elastic modulus ）（也称杨氏模量），用Y 表示，即因ε为纯数，所以弹性模量的单位与正应力相同，也为Pa ．杨氏模量只与材料的性质有关，而与外力及物体的形状无关．它反映了材料抵抗线性形变的能力，其量值越大，材料越不容易变形．2．切应变和切应力如图6-17所示，有一立方形物体，底面固定于台面上．现在其上表面施加一个与表面相切的作用力F ，由于物体处于平衡状态，可知在物体的下表面同时出现一个与表面相切，大小相等且方向相反的切向力F ′．设上下两表面的垂直距离为d ，两表面的相对位移为x ∆，则受到上述两个大小相等，方向相反的平行力（剪切力）作用所引起剪切形变的程度，可用切应变（shear strain ）来描述．用γ表示，即图6-16 物体的正应力 图6-17 物体的切应力济内部使用发生剪切形变时，物体中任意一个平行于底面的截面S 将物体分成上下两部分．两部分间具有与外力大小相等的切向内力的作用，使得它们之间也产生相对位移，我们把剪切力F 与截面S 之比称为切应力（shear stress ），用τ表示，即与正应变类似，当物体发生剪切形变时，在一定的弹性限度内，切应力与切应变成正比，我们将切应力与切应变的比值称为切变模量（shear modulus ），用G 表示，即实验表明，大多数金属材料的切变模量约为其杨氏模量的31～21．3. 体应变和体应力如图6-18所示，物体各部分在各个方向上受到同等压强时其体积发生变化而形状不变，我们把体积变化量V ∆与原体积0V 之比称为体应变（volume strain ），用θ表示，即当固体放在静止的液体或气体中时，固体将受到流体静压强的作用．静压强总是垂直于固体表面，且在固体内任一平面都有垂直于该平面的压强作用．这种压强也是一种应力，因此体应力（volume stress ）也可用压强p 表示．实验表明，当物体发生体应变时，在一定的弹性限度内，压强p 与体应变θ成正比，我们将压强与体应变的比值称为体变模量（bulk modulus ），用K 表示，即综上所述，应变是指物体在压力作用下的相对形变，也称为胁变．应力则反映了物体发生形变时其内部的受力情况，表示作用在单位面积上的内力，应力也称为胁强．表1-2给出了一些常见材料的弹性模量． 表1-2 几种常见材料的弹性模量 材料 杨氏模量Y （MPa ） 切变模量G （MPa ） 体变模量K （MPa ） 钢 20080 158 玻璃 7030 36 木材10 10 — 骨 16（拉伸）9（压缩）10 — 图6-18 物体的体应内用。

弹性与刚体的变形与平衡在物理学中，弹性与刚体是两个重要的概念。

它们分别描述了物体在受力作用下的变形和平衡状态。

本文将探讨弹性和刚体的特性以及它们在现实生活中的应用。

一、弹性的特性与变形弹性是物体恢复原状的能力。

当物体受到外力作用时，它会发生变形，但一旦外力消失，物体会恢复到原来的形状。

这种恢复能力就是弹性。

弹性的特性取决于物体的材料和结构。

不同的材料具有不同的弹性特性。

例如，橡胶是一种具有很高弹性的材料，它可以被拉伸或压缩，但一旦外力消失，它会迅速恢复到原来的形状。

相比之下，金属具有较低的弹性，一旦受力变形，恢复到原来的形状需要更大的力量。

物体的结构也会影响其弹性特性。

例如，弹簧是一种常见的弹性物体，它的结构使得它能够承受拉伸或压缩力，并在外力消失后恢复到原来的形状。

这种特性使得弹簧在机械和工程领域中得到广泛应用。

二、刚体的特性与平衡刚体是指在受力作用下形状保持不变的物体。

与弹性不同，刚体在受力作用下不会发生变形。

这是因为刚体的分子结构和力学性质使得它能够抵抗外力的影响。

刚体的特性可以用平衡来描述。

平衡是指物体在受力作用下保持静止或匀速直线运动的状态。

根据牛顿第一定律，物体只有在受力平衡的情况下才能保持静止或匀速直线运动。

刚体的平衡取决于受力的大小和方向。

当物体受到一个力矩时，它会发生旋转。

为了保持平衡，物体需要受到另一个力矩的作用，与原来的力矩大小和方向相等但方向相反。

这种力矩的平衡使得物体保持在静止或匀速直线运动的状态。

三、弹性与刚体的应用弹性和刚体的特性在现实生活中有广泛的应用。

例如，弹簧被广泛应用于机械和工程领域，用于吸收冲击力和储存能量。

汽车悬挂系统中的弹簧就是一个很好的例子，它可以使车辆在行驶过程中更加稳定和舒适。

刚体的特性也在工程设计中发挥着重要作用。

例如，建筑物的结构需要能够抵抗外力的影响，以保证其稳定性和安全性。

通过合理设计和选择适当的材料，可以确保建筑物在受力作用下保持平衡和稳定。

07000022、课程名称大学物理 ACollege Physics A3、授课对象理科非物理类、电子信息类、医科类(8年制)及工科强物理类本科各专业学生4、学分8 (144学时)5、修读期：第2、3学期6、课程负责人：徐斌富邹勇章可钦潘传芳7、课程简介大学物理课程在为学生较系统地打好必要的物理基础，培养学生现代的科学的自然观、宇宙观和辩证唯物主义世界观，培养学生的探索、创新精神，培养学生的科学思维能力，掌握科学方法等方面，都具有其他课程不能替代的重要作用。

本课程主要内容为:(1)力学---质点运动学、质点动力学、非惯性系和惯性力;刚体力学基础、刚体的平面运动、进动; 理想液体的性质、伯努利方程;简谐振动、阻尼振动、受迫振动和共振;波动学基础、超声波和次声波；相对论基础、迈克耳孙-莫雷实验; (2)热学--热力学基本定律、典型的热力学过程、多方过程；统计规律、能量按自由度均分定理；麦克斯韦速率分布律、输运现象。

(3)电磁学---库仑定律；毕奥—萨伐尔定律；电、磁场叠加原理、静电场和恒定磁场的高斯定理、环路定理；安培定律、电介质、磁介质;法拉第电磁感应定律;麦克斯韦方程组；电磁波的产生及基本性质;直流电与交流电; (4)光学---光的干涉、衍射和偏振; 迈克耳孙干涉仪; 全息照相; 光的双折射现象、偏振光干涉;(5)量子物理基础---辐射与物质的相互作用过程；物质波、薛定谔方程；电子隧道显微镜；一维谐振子; 原子的壳层结构、元素周期表等通过大学物理A课程的教学，使学生对物理学的基本概念、基础理论、基本方法有比较全面和系统的认识和正确的理解，为进一步专业学习打下坚实的基础;对物理学研究方法的运用、科学思维能力、技术能力、分析问题和解决问题的能力有较明显的提高, 从而提高学生的科学素质和创新能力。

努力实现知识、能力、素质的协调发展。

8. 实践环节与内容或辅助学习活动另开设大学物理实验。

9、课程考核成绩1(15%):期中考试, 成绩2(15%):平时作业, 成绩3(10%):任课教师自主考核项目, 成绩4(60%):期末考试10、指定教材《大学基础物理》（第一、二、三册）主编徐斌富等科学出版社2007年11、参考书目《物理学基础》[美]哈里德等著张三慧李椿等译机械工业出版社2005年(原书第6版)《新概念物理教程》赵凯华罗尉茵编高等教育出版社《大学物理学》张三慧主编清华大学出版社1999年第二版《大学基础物理学习指导》主编徐斌富等科学出版社2007年07000022、课程名称大学物理 BCollege Physics B3、授课对象工科类本科各专业学生4、学分 6 (108学时)5、修读期第2、3学期6、课程负责人: 徐斌富邹勇章可钦潘传芳7、课程简介大学物理课程在为学生较系统地打好必要的物理基础，培养学生现代的科学的自然观、宇宙观和辩证唯物主义世界观，培养学生的探索、创新精神，培养学生的科学思维能力，掌握科学方法等方面，都具有其他课程不能替代的重要作用。