当前位置：文档之家 › 19 第七章2-单正态总体的假设检验

19 第七章2-单正态总体的假设检验

  • 格式：ppt
  • 大小：2.10 MB
  • 文档页数：13

下载文档原格式

  / 13

合集下载

正态总体方差的假设检验

正态总体方差的假设检验
方差计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i mu)^2$，其中$N$是样本数量， $x_i$是每个样本值，$mu$是样本均 值。
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式

正态总体的假设检验

正态总体的假设检验
(Xi μ)2
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？

单个正态总体的假设检验

单个正态总体的假设检验

计算统计量 Z 的观察值
z0
x 0

n
.
(8.3)
如果：( a ) | z0 |> zα/2，则在显著性水平 α 下，拒绝原假设 H0
(接受备择假设H1)，所以| z 0|> zα/2 便是 H0 的拒绝域。
( b ) | z0 | z /2 ，则在显著性水平 α 下，接受原假设 H0，认
=0.05 下 否 定 H0 ， 即 不 能 认 为 这 批 产 品 的 平 均 抗 断 强 度 是
32.50kg·cm-2。
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期
望值 μ 的检验步骤:
( a )提出待检验的假设 H0 ：μ = μ0； H1：μ ≠ μ0。
( b )构造统计量 Z ，并计算其观察值 z0 :
1277°(可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差?
这里假设测量值 X 服从 X ~ N ( μ , σ2) 分布。
解
①问题是要检验
提出假设 H0 ：μ = μ0=1227； H1：μ ≠ μ0。
由于
σ2
未知( 即仪器的精度不知道 )，我们选取统计量 T
当 H0 为真时，T ~ t ( n -1) ，T 的观察值为
X
X 0

N ( , ) ,
n
Z
n
X 0

n
N (0,1) ,
(8.2)
作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真(即μ = μ0正确)
时, Z ~ N ( 0 , 1)，所以对于给定的显著性水平 α ，可求出 zα/2，
使
P{| Z | z 2 } .
见图8-3，即

假设检验

假设检验

本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒绝所作假设
的决定. 参数假设检验：对总体分布中参数做假设。 分类： 分布假设检验：对总体分布做假设。
假设检验的过程
提出假设
我认为人口的平 均年龄是50岁
作出决策 拒绝假设
别无选择!
总体

抽取随机样本
均值 x = 20
一、引例
X 68 可以确定一个常数c 使得 P c 3.6 / 6
取 0.05,则
c z z0.025 1.96
2
X 68 1.96 由 3 .6 6
X 69.18或 X 66.824
即区间( ,66.824 )与( 69.18 , + )为检验的拒绝域
2 设 X 1 , , X n是取自正态总体 N , 的一个样本， 其中 , 2 都是未知参数。


具体步骤：
（1）先考虑假设检验问题
H 0 : 0
H1 : 0
（2）选择检验统计量，在此处，由于， 2 未知，所以用总
1 n ( X i X ) 2 来代替，则采用 体方差 2 的无偏估计 S n 1 i 1
这是小概率事件 ,一般在一次试验中是不会发生的, 现一 次试验竟然发生, 故认为原假设不成立, 即该批产品次品 率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
1 P (1) C12 p1 (1 p)11 0.306 0.3 12
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,而接受原假设, 即该批产品可以出厂. 注1 直接算 1 / 12 0.083 0.04

0.01 0.05,0.1 ,

第七章假设检验

第七章假设检验
5-2
引言
结论：企图肯定什么事情很难， 结论：企图肯定什么事情很难，而否定就容 易得多。 还记得上次那个例子吗？ 易得多。 （还记得上次那个例子吗？两个人 住一起，其中有一个人病了， 住一起，其中有一个人病了，另一个人天天 给他熬药还端到他床前，三个月过去了， 给他熬药还端到他床前，三个月过去了，突 然有一天那个人忙得很， 然有一天那个人忙得很，把药熬好了就对卧 病在床的人说，你自己去喝吧， 病在床的人说，你自己去喝吧，卧病的人心 里想： 这个人怎么这么坏呢？ 里想：“这个人怎么这么坏呢？”，他倒忘 了这个人对他的好， 了这个人对他的好，记住一个人的好总比记 住一个人的坏好，有时候想想， 住一个人的坏好，有时候想想，老师就像端 药的人，学生就是喝药的人，良药苦口， 药的人，学生就是喝药的人，良药苦口，我 也许一直是你们背后说你们的那个烂人， 也许一直是你们背后说你们的那个烂人，老 师也是弱势群体啊！！） 师也是弱势群体啊！！）
α
H 0 : µ ≤ 2% ↔ H 1 : µ > 2%
5-10
二、两种类型的错误
两类错误发生的概率 α与β之间是此消彼长的关系 接受
H0
拒绝
H0
H0
真实
判断正确 （1-α） ） 取伪错误( 取伪错误(第二类 错误或β 错误或 错误)
弃真错误( 弃真错误(第一 类错误或α 类错误或 错误 ) 判断正确 （1-β） ）
第七章 假设检验
第一节 假设检验概述 第二节 总体参数检验 第三节 卡方检验
参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数， 参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数， 而假设检验是先对总体参数提出一个假设， 而假设检验是先对总体参数提出一个假设，然后利 用样本信息判断这一假设是否成立。 用样本信息判断这一假设是否成立。

7-2 正态总体均值与方差的假设检验

7-2 正态总体均值与方差的假设检验
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15,
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48,

2
0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
H1 : 0 10
x 9.2
s 1.6
x 0 9.2 10 于是 T 3.54 2.01 t0.025 49 s n 1.6 50
故在 0.05 的水平下，丰产林的树高与10米的差异 有统计意义。（拒绝原假设）
例7 某车间生产某种化学纤维的强度服从正态分布，且原来
单边检验
2
得H0 的拒绝域为：
2 n 1 S 2 0
12 n
或
2 n 1 S 2 0
2 n
作业
• 习题七：3，5，9，12.
• 复习第七章（可做习题七之1~13题） • 复习5~7章，准备课堂测验
例5 P160 8 从某批矿砂中，抽取容量为 5 的一个样本，测得其 含镍量为（单位：%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测量值服从正态分布，问在 这批矿砂的含镍量为 3.25 ？
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中 随机的抽取15段进行测量, 其结果如下（单位：cm） 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解

第七章 假设检验


参数估计
7-3
假设检验
经济、管理类 基础课程
统计学
学习目标
1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤 3. 能对实际问题作假设检验 4. 利用P - 值进行假设检验
7-4
经济、管理类 基础课程
统计学
一. 二. 三. 四. 五.
第一节 假设检验的一般问题
假设检验的概念 假设检验的步骤 假设检验中的小概率原理 假设检验中的两类错误 双侧检验和单侧检验
7 - 20
经济、管理类 基础课程
统计学
假设检验中的两类错误
（决策风险）
7 - 21
经济、管理类 基础课程
统计学
假设检验中的两类错误
1. 第一类错误（弃真错误）

原假设为真时拒绝原假设 会产生一系列后果 第一类错误的概率为 被称为显著性水平 原假设为假时接受原假设 第二类错误的概率为(Beta)
拒绝域 /2
接受域 H0值 样本统计量
临界值
7 - 32
临界值
经济、管理类 基础课程
双侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
置信水平 拒绝域 1- /2 接受域
统计学
抽样分布
拒绝域
/2
临界值
7 - 33
H0值
临界值
样本统计量
经济、管理类 基础课程
双侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
置信水平 拒绝域 1- 接受域 H0值 样本统计量 /2

7 - 37
属于研究中的假设 建立的原假设与备择假设应为 H0: 2% H1: 2%
经济、管理类 基础课程
单侧检验
（原假设与备择假设的确定）

第七章 假设检验

因为，把好人关在牢里的概率很小
4、不原意相信“牢外面的人一定是好人”
未发现犯罪不意味着就是好人
注：有证据可以放心定性坏人，断定好人要慎重
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第15页 15页
三、选择显著性水平
假设检验中关键的小概率事件发生的概率α 称为该检验的显著性水平，简称水平。 注：按照小概率事件原理进行统计推断自然 可能犯错误。错误拒绝原假设 H 0 的概率为 α 。正确拒绝原假设 H 0 的可信度为1-α
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第7页
问题分析（续）
(5) 对于随机试验中参数的假设检验问题称为 参数假设检验问题 否则称为非参数假设检验问题。例如：后 面的聪明检验。 (6) 由样本去推断总体，判断差异是由总体 由样本去推断总体，判断差异是 变异引起，还是由于随机误差引起。这就 变异引起，还是由于随机误差引起。这就 是假设检验要解决的问题 (7) 参数估计和假设检验是二种不同的统计推断
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第23页 23页
显著性水平a 和拒绝域(左侧检验 )
H0成立时的抽样分布 拒绝H0 置信水平
α
1-α
0
临界值
4 December 2010
观察到的样本统计量
宁波工程学院 理学院
第七章 假设检验
第24页 24页
显著性水平a和拒绝域(右侧检验 )
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第8页
通俗的例子（1）
实例：箱子中有黑球和白球，总数100个，但 不知黑球白球各多少个。现提出假设H0：“箱 子中有99个白球或白球占绝大部分”，暂时设 H0正确，那么从箱子中任取一球，得黑球的概 率为0.01或很小，是一小概率事件。 检验：今取一球，居然取到黑球，自然会使人 对H0的正确性产生怀疑，从而否定H0。也就是 说箱中不止1个黑球。 问题：如果取到的是白球，说明什么？

第7章 假设检验


(x)
n
0.01，u 2.33，
1
由样本值算得 U 2.51，
O
u
x
U 2.51 2.33 , 否定 H0 ，
即可以认为新生产织物比过去的织物强力有明显提高.
二、 2未知时关于 的假设检验
0
H 0下
N (0, 1) ,
n
(3) 对给定的显著性水平，查表得 u / 2；
(4) 由样本值算得 u 的值；
U 检验法
如果 | u | u 2 ,则拒绝H0 ；否则, 不能拒绝H0 . 20
例 已知滚珠直径服从正态分布，现随机地从一批滚珠中抽
取6个，测得其直径为14.70，15.21，14.90，14.91，15.32， 15.32（mm）。假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问
23
单侧检验 右侧检验
(x)
(1) H0 : 0 , H1 : 0
(2) 检验统计量 U X 0
1
n
O
u
x
(3) 对给定的显著性水平 ，查表得 u ；
(4) 由样本值算得 U 的值；
如果 U u ,则拒绝H0 ；否则, 不能拒绝H0 .
类似可得，若要检验假设 H0 : 0 ，
24
要同时降低两类错误的概率 , ，或者要在 不变的条件下降低 ，需要增加样本容量.
假设检验的另一个关键的问题是如何根据问题 的需要来合理地提出原假设和备择假设.由以上的讨 论知,在显著性检验问题中,若没有非常充足的理由, 原假设是不能轻易拒绝的,因此原假设是受到保护的 假设. 一般地我们总是将被拒绝时导致的后果更严 重的假设作为原假设.
11
罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之

7-2正态总体参数的检验

第二节 正态总体参数的假设检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

U
X 0

n
N (0,1)
(3)对于给定的显著性水平α=0.05 ，查标准正态分布表 u u0.025 1.96 W1 (, u ) (u , )
2
(4)计算统计量观察值
x 0 1637 1600 u 1.258 n 150 26
2
2
(5)结论 u 1.258 u 1.96
当μ= μ0时，统计量U服从标准正态分布N(0,1)。对 于给定的显著性水平α，有
(1) H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0；检验规则为 当 当
U | X 0 |

n
u 时，拒绝H0
2
U
| X 0 |

μ≤μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 U u 时，拒绝H0 n X 0 当 U u 时，接受H0 n
选取统计量
2
(n 1) S 2
2
当H0为真时，服从自由度为n-1的χ2分布。对于给
定的显著性水平α，有
(1) H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02 ；检验规则为
2 2 或 当 (n 1) (n 1) 时，拒绝H0
2
2
1
2
2
当
2 2 (n 1) 2 (n 1) 时，接受H0 1 2 2
7.2 正态总体下参数的假设检验
一、单个正态总体下参数的假设检验 对于一个正态总体均值的检验，常见的有 以下三种类型：
(1) H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0；
(2) H0：μ≤ μ0，H1：μ>μ0；
双边假设检验
(3) H0：μ≥ μ0，H1：μ<μ0；
单边假设检验
1、总体方差σ2已知，正态总体的均值检验 X 0 U 构造检验统计量 n
X 0 对于给定的显著性水平α=0.05 ， S n t (n 1) t0.025 (8) 2.3060
2
2 S 12.5 x 21 (4)由题意，计算得到样本均值和样本方差分别为 x 0 21 18 2.55 计算统计量观察值 t S n 12.5 9 (5)由于 t 2.55 t (n 1) 2.3060 所以拒绝原假设H0，而接受H1，
(3) H0：μ≥ μ0，H1：μ<μ0；检验规则为 当 T 当 T
X 0 S n t (n 1) 时，拒绝H0
X 0 S n
t (n 1) 时，接受H0
例7.6 某地区青少年犯罪年龄构成服从正态分布，现随机抽取9 名罪犯，其年龄如下： 22，17，19，25，25，18，16，23，24 试以95%的概率判断犯罪青少年的平均年龄是否为18岁。 解 (1)提出原假设： H0：μ=18，H1：μ≠18； (2)选取统计量 T (3)查t分布表得
(3) H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0；检验规则为 当 U 当 U
X 0

n
u 时，拒绝H0
X 0

n
u 时，接受H0
例7.4 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差 σ=150，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均 值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(α=0.05) ？ 解 (1)提出原假设： H0：μ=1600，H1：μ≠1600； (2)选取统计量
即认为这批罐头细菌含量大于62.0，质量不符合标准。
3、正态总体方差的检验
常见的正态总体方差的假设检验有以下三种类 型： (1) H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02 ； (2) H0：σ2≤σ02，H1：σ2>σ02； (3) H0：σ2≥σ02，H1：σ2<σ02。 单边假设检验 双边假设检验
(1) H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0；检验规则为
当 T 当 T
| X 0 | S n t (n 1) 时，拒绝H0
2
| X 0 | S n
t (n 1) 时，接受H0
2
(2) H0：μ≤ μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 T t (n 1) 时，拒绝H0 S n X 0 当 T t (n 1) 时，接受H0 S n
(3)查χ2分布表得
2 2 (n 1) 0.01 (19) 36.191

(4)由题意，S=0.015，计算统计量观察值

2
(n 1) S 2
2
(20 1) 0.0152 42.75 2 0.01
2 (5)由于 2 42.75 (n 1) 36.191所以拒绝原假设H0，而接受H1，
即认为这批玻璃花瓶折射率的标准差显著地超过了标准，该超市 应该拒绝接受这批花瓶。
(2) H0：σ2≤σ02，H1：σ2>σ02；检验规则为
当 当
2 2 (n 1)
时，拒绝H0 时，接受H0
2 2 (n 1)
(3) H0：σ2≥σ02，H1：σ2<σ02；检验规则为 当 当

2
2 1
(n 1) 时，拒绝H0
2 12 (n 1) 时，接受H0
即能以95%的把握推断该地区青少年犯罪的平均年龄不是18岁。
2
例7.7 食品罐头的细菌含量按规定标准不能大于62.0，现从一批罐 头中抽取9个，检验其细菌含量，经计算得样本均值为62.5，样本 标准差为0.3。问这批罐头的质量是否完全符合标准(α=0.05 )？ （设罐头的细菌含量服从正态分布 ） 解 (1)由题意建立假设： H0：μ≤62.0，H1：μ>62.0； (2)选取统计量T
(5)由于 u 2 u 1.65 所以拒绝原假设H0，而接受H1， 即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。
2、总体方差σ2未知，正态总体的均值检验
由于总体方差σ2未知，故选取统计量
X 0 T S n
当μ= μ0时，统计量T服从自由度为n-1的t分布。对
于给定的显著性水平α，有
2
接受原假设H0
即不能否定这批产品该项指标为1600。
例7.5 完成生产线上某件工作的平均时间不少于15.5分钟，标准 差为3分钟。对随机抽取的9名职工讲授一种新方法，训练期结束 后，9名职工完成此项工作的平均时间为13.5分钟。这个结果是 否说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短？设α=0.05，并 假定完成这件工作的时间服从正态分布。 解（单边检验问题)(1)提出原假设H0：μ≥15.5，H1μ<15.5；
例7.8一家超市从生产玻璃器皿的厂家订购了一批玻璃花瓶，要 求其折射率的标准差不能超过0.01。货到后，随机抽出一个容量 为20的花瓶的样本进行检查，发现样本折射率的标准差为0.015。 试问在α=0.01的条件下，该超市应该是接受还是拒绝这批玻璃花 瓶？ 解 (1)由题意建立假设： H0：σ2≤0.012，H1：σ2>0.012 2 ( n 1 ) S 对于给定的显著性水平α=0.01 ， (2)选取统计量 2 2
X 0 对于给定的显著性水平α=0.05 ， S n (3)查t分布表得 t (n 1) t0.05 (8) 1.8595
(4)由题意， x 62 .5 S 0.3 计算统计量观察值 x 0 62.5 62.0 t 5 S n 0.3 9 (5)由于
t 5 t (n 1) 1.8595 所以拒绝原假设H0，而接受H1，
X 0 (2)选取统计量 U n
(3)查标准正态分布表
对于给定的显著性水平α=0.05 ，
W1 (, 1.645)
u u0.05 1.645,
(4)计算统计量观察值 x 0 13.5 15.5 u 2 n 3 9
已知n=9，σ=3，
x 13.5