初等数学研究第二章课件

f (x1, x2 , , xi , , x j , , xn ) f (x1, x2, , x j , , xi , , xn ) ，
则称这个多项式是交代式．
比如 x y ， x2 y2 ， x3 y3 ，都是交代式．
交代式一定含有因式
(xi xj ) ．
1i jn
例 5 分解因式 x4 ( y z) y4 (z x) z4 (x y) ． 解 这是一个三元五次齐次交代式，则必有因式(x y)( y z)(z 3B) 0 ， f (1,1,1) 3A B 4 ．
解得 A 1， B 1，
∴ f (a,b, c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) ．
特别地，若 a b c 0 ，则 a3 b3 c3 3abc ．
例 3 分解因式 x4 y4 (x y)4 ．
补充：多项式的结构 拉格朗日插值公式 设 f (x) 为次数不超过n 的多项式， xi 互不相同，
i 1, 2, , n 1 ，且 f (xi ) yi ，则
f
(x)
y1
(x x2 )(x x3) (x1 x2 )(x1 x3 )
(x xn1) (x1 xn1)
y2
(x x1)(x x3 ) (x2 x1)(x2 x3 )
2[(x y)2 xy]2
2 (x2 xy y2 )2 ．
例4
已知 x1 x2
x3
0 ，求证
x15
x25 5
x35
x13
x23 3
x33
x12
x22 2
x32
分析 由 x1 x2 x3 0 ，得 x13 x23 x33 3x1x2 x3 以及
x12 x22 x32 (x1 x2 x3 )2 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2(x1x2 x2 x3 x3x1)

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初等数论的大部份内容早在古希腊欧 几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几 里得证明了素数有无穷多个，他还给出求 两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓 欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有 杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国 剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数 一个性质： 整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
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二、整除
1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在 一个整数q使得等式：
a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作 b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除 a。
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3、最大公因数的性质
（1）当b∣a时，（a，b）=b. （2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数. （3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有
（am，bm）=（a，b）m. （4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有
（ac，b）=（c，b） （5）若（a，b）=1， b∣ac，则有b∣c. （6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：
a bq r, 0＜ r ＜b ，
b rq1 r1,
0＜ r1 ＜ r ，
则有 (a,b) rn .
r r1q2 r2 ,
…
…
0＜ r2 ＜ r1 ，
rn2 rn1qn rn , 0＜ rn ＜ rn1 ，
rn1 rn qn1 rn1 , rn 1 0 ,
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4、带余除法

况不能发生。 况不能发生。
第二节 方程 x2 + y2 = z2
(ⅱ) 2 ⅱ
| a，2b. 此时 由式 及式(12), 有 及式 / ， 此时, 由式(11)及式
x02 = 2ab，(a, 2b) = 1，a > b > 0. ， ， (13)
利用引理可知，存在正整数 ， 利用引理可知，存在正整数u，v1，使得 x0=uv1, a=u2, 2b=v12, (u,v1)= 1, u>0, v1 > 0. 由2b = v12推出 2v12，2v1，v1 = 2v， ， 因此，存在整数 ， ， 因此，存在整数u，v，使得 a =u2, b =2v2, (u, v)= 1，u> 0, v> 0. ， (14)
x0 y0 z0 也是方程(10)的解 的解。 ( , , 也是方程 的解。 ) 2 d d d
因此， 的最小性， 因此，由z0的最小性，可知 d = (x0, y 0) = 1，(x02, y02) = d 2 = 1。 ， 。 显然x 有不同的奇偶性.不妨设 不妨设2 显然 02与y02有不同的奇偶性 不妨设 x0,2 y/ . | 0
第二节 方程 x2 + y2 = z2
由定理2，存在正整数 ， ， 由定理 ，存在正整数a，b，使得 (a, b) = 1，a > b > 0， ， ， 其中a与b有不同的奇偶性，并且 其中 与 有不同的奇偶性， 有不同的奇偶性 x02 = 2ab，y02 = a2 − b2，z0 = a2 + b2. ， 下面按照a与 的奇偶性 考察两种情况。 的奇偶性， 下面按照 与b的奇偶性，考察两种情况。 (12) (11)
与式(5)是矛盾的 式 (1)，式 (4)与式 是矛盾的 ， 因此 ， 结论 ⅲ) ， 与式 是矛盾的，因此，结论(ⅲ 成立。证毕。 成立。证毕。

数学思想方法授课内容：1、数学思想、数学方法及数学思想方法；2、五种基本的数学思想系统及形成；3、数学思想与数学问题解决4、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；(1)综合法与分析法。

重难点：1、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；（1）综合法与分析法。

讲授方法和手段、讲授、讨论，边讲边练相结合。

一、基本概念：1、数学思想：是数学的基本观点，是对数学概念，原理、方法、发现法则的本质的认识。

对于解题而言，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识及方法间的联系，调节解题，是解题的指导思想，属于策略性知识。

2、数学方法：是为了解决问题而采用的手段，步骤和程序，属于过程性知识。

由于数学思想常常表现为数学方法的形成（即以数学方法的形式表现出来），所以通常把二者称为：数学思想方法。

3、五种基本的数学思想（中学数学思想）：在数学的发展史上，形成了许多重要的数学思想，如：公理化思想；符号化思想，极限思想，固本思想等，但在中学主要学习下面五种数学思想：中学五中主要数学思想：1、猜证结合思想；2、分类与分步思想；3、化归与转化思想；4、数形结合思想；5、函数与方程思想。

我们学习五种数学思想的目标是：在头脑中主动的建构“五种数学思想系统，使自己的数学思想方法达到“系统化”和“明确化”。

第一章猜证结合思想（1）1.1猜证结合思想 1、推理的两种形式：（1）似真推理：归纳人推理与类比推理叫似真推理。

归纳推理：由个别的、特殊的结论，通过观察、实验分析，比较等手段，概括出一般性的结论。

这种推理叫∽。

类比推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫类比推理。

由归纳推理或类比推理得到的结论不一定正确。

∴叫似真推理。

但，似真推理是创造性的逻辑推理。

（2）证明推理：演绎推理叫证明推理，即：由一般原理推出个别的，特殊的结论的推理方法。

证明推理所得出的结论都是正确的。

总结上面内容我们得出：注两种推理：（1）似真推理（数学猜想）：⎧⎨⎩归纳:特殊到一般类比:特殊到特殊或者一般到一般（2）证明推理：演绎：一般到特殊2、基本观点与解题策略（1）数学猜想：似真推理就叫数学猜想。