初等数学研究第二章不等式的解法课件

x
0(m
R).
热点题型3：不等式的证明在数列等章节 中的运用
例3：（2005年全国卷Ⅰ.19）设等比数列{an}的公比 为q，前n项和Sn>0(n=1，2，3，…）
（1）求q的取值范围
（2）设 bn
an2
3 2
an1
记{bn}的前n项和为Tn，试
比较Sn和Tn的大小
变式3：已知数列 {an}的通项公式 an 3 2n 1, 令 f (x) a1x a2 x2 an xn，求函数 f(x)在x=1处
课时考点11：不及等不式等的式解的法应用
高考考纲透析
不等式的性质及其证明；两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数；比较法、分析法、 综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法等 证明简单的不等式；二次不等式、绝对值不等式、 分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法； 不等式的应用。
高考热点
解含参数的分式不等式和绝对值不等式。 不等式在函数、数列、导数、解析几何、
在表达的情感上，《湖心亭看雪》表达 了作者清高自赏、超凡脱俗的感情， 《江雪》表达了作者怀才不遇的孤独感。
《三峡》中“自三峡七百里中，两岸连山， 略无阙处”直写山“连”；“夏水襄陵，沿 溯阻绝”直写大水猛涨，江水汪洋。
《三峡》中三峡春冬秋景的描绘、
《答谢中书书》对四季常景和一日变景的描 绘。
《记承天寺夜游》中对庭院月夜小景的描写、
地面的夹角为 ，tan 1 。试问此人距水平地面多
2
高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？ （图见教材P47页）
热点题型4：不等式在解析几何中的运用
变式4：已知椭圆CLeabharlann 的方程为x2 4y2
1,

(1)不等式x-1>0有无数个解
(√ )
(2)不等式2x-3 ≤0的解集为 x ≥ 2/3 ( × )
2、将下列不等式的解集分别表示在数轴上:
(1)x>4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(2)x<-1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(3)x≥-2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
注意 :
• 将不等式的解集表示在数轴上时,要注意: 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
例题
根据不等式的基本性质求不等式的
解集，并把解集表示在数轴上．
求不等式解集的过程叫做解不等 式。
做一做
(1) 不等式 x + 1 > 5 的解集是
；
(2) 不等式 x2 > 0 的解集是
。
答案： （1）x>4 （2）x是所有非0实数。
议一议
• 1）你能用自己的方式将x>5的解集表示在数 轴上吗？
不等式x>5的解集可以用数轴上表示5 的点的右边部分来表示。在数轴上表示 5的点的位置上画空心圆圈，表示5不包 含在这个解集内。
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
• 2）你能将x-5≤ -1的解集表示在数 轴上吗？ (x≤4)
不等式x-5≤-1的解集可以用数轴上 表示4的点的左边部分来表示。在数轴 上表示4的点的位置上画实心圆点，表 示4包含在这个解集内。

式 g(x)
第 当n 2, an 0时， 五
节 F (x) an x n an1x n1 ... a1x a0 0(或 0)
一般采用“零点分区穿线法”求解
不
等
1）把F(x)因式分解；
式
2)在数轴上依次标出零点；
3）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿”原 则进行穿线。
第 解下列不等式： 五
D((x)) M ,(x) 0
f f
(x) g(
(x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
节
证明思路：
不
10 证对f (x) g(x)的任意解a,
等
都有f (a)(a) g(a)(a)；
式
20 证对f (x)(x) g(x)(x)的任意解b,
都有f (b) g(b)的解。
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
等
式
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g
f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
等 采用零点分段法。
式
eg :| x a | | x b | | x c | | x - d | m,
其中a、b、c、d都是实数。
第 五 节 B、形如 | x - a | | x - b | m( m),

四、一元二次不等式的解法：
例3.解下列不等式（组）： (1)2+x-x2≥0 (2) x2-2x-8≤0
x2-1>0
一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次
函数的图象的关系：
Δ = b 2-4 a c Δ > 0
Δ =0
Δ <0
一元二次方程
的 根 (a> 0) ax2+ b x+ c= 0
一
有两异根 x1<x2
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数y=|x|的
图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1 y=1 －1 o 1 x
一般地，可得解集规律: 形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式
的解集:
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
axb(a0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x1)x27x1 32
例2.解不等式组
10+2x≤11+3x 5x-3 ≤4x-1 7+2x>6+3x
探索：不等式|x|<1的解集. 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}